1.1+锐角三角函数+课件+2023-2024学年浙教版数学九年级下册

的对边， ∠C = 90∘ .
（1） 用关于 Leabharlann Baidu , b , c 的代数式表示 ∠A , ∠B 的正弦和余弦.
（2） 用关于 a , b 的代数式表示 tan A 和 tan B .
（3） 从 1 2 中你发现了什么？请说明理由.
解：如图所示，在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ，
则 ∠A + ∠B = 90∘ ， a2 + b2 = c 2 .
tan A =
sin A
cos A
sin A = cos 90∘ − ∠A = cos B ，
cos A = sin 90∘ − ∠A = sin B
tan A ⋅ tan B = 1
新知探究
理由： sin2 A
+ cos 2 A
=
a 2
c
+
b 2
c
a
c
=
a2 +b2
c2
=
sin A
1，
cos A
解：（1）原式 =
3
2
2
+
3
3
× −
3
2
2×
2
2
3
4
= +
（2）由题意得 α + 12∘ = 60∘ ，解得 α = 48∘ .
1
−
2
1=
1
.
4
方，即 cos 2 30∘ =
3
2
2
=
3
4
新知探究
*知识点3 同角及互余两角的三角函数间的关系——教材深挖
典例3 （教材第7页作业题第5题改编）已知 a , b , c 分别是 Rt △ ABC 中 ∠A , ∠B , ∠C
三角函数值.列表如下：
三角函数
三角函数值
sin α
cos α
tan α
30∘
1
2
3
2
3
3
45∘
2
2
2
2
1
60∘
3
2
1
2
角α
3
新知探究
注意
（1）特殊角的任一三角函数值 ⇔ 特殊角的度数.例如， sin α =
3
2
锐角
⇔
α = 60∘ .（2） sin 60∘ ≠ sin 30∘ + sin 30∘ .
5
对接中考
考点2 利用特殊角的三角函数值进行计算
典例5 （2023·金华中考）计算：
−2 023
0
+ 4 − 2sin 30∘ + −5 .
1
2
解：原式 = 1 + 2 − 2 × + 5
=1+2−1+5
= 7.
∠C = Rt∠ ， AB = 5 ， BC = 3 .求 AC 的长和 sin A 的值.
解： ∵ ∠C = Rt∠ ， AB = 5 ， BC = 3 ，
∴ AC = AB2 − BC 2 = 52 − 32 = 4 ，
∴ sin A =
BC
AB
3
5
= .
∴ AC 的长为4， sin
3
A 的值为 .
教材深挖
sin
30∘
cos 45∘
锐角三角函数值随角度变化的规律
，
sin 45∘
， cos 60∘
， sin
60∘
的值依次为
1
2
，
的值的顺序正好相反， tan 30∘
2
2
，
3
2
，而 cos 30∘
， tan 45∘
值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）；
新知探究
a
c
b
c
a
, tan B
b
b
.
a
b
c
a
c
（1） sin A = , cos A = , sin B = , cos B = .
（2） tan A =
=
（3）发现：
同一锐角三角函数之间的
关系
平方关系
商的关系
互余两角三角函数之间的关系
∠A + ∠B = 90∘
sin2 A + cos 2 A = 1
cos A =
AC
AB
sin B =
AC
AB
tan B =
AC
BC
=
4a
5a
=
4a
5a
=
4a
3a
=
4
，故A错误；
5
=
4
，故B错误； tan
5
=
4
，故D正确.
3
A=
BC
AC
=
3a
4a
=
3
，故C错误；
4
新知探究
知识点2 ∘ ， ∘ ， ∘ 角的三角函数值
重点
根据锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，可得 30∘ ， 45∘ ， 60∘ 角的
图示
新知探究
名称
正切
定义
符号语言
在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， ∠A 的对 在 Rt △ ABC
中，
边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记做
tan A ，即 tan A =
∠A的对边
∠A的邻边
∠C = 90∘ ，
.
tan A =
a
.
b
图示
新知探究
2.常见的表示方法：①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习
惯上省略角的符号“ ∠
”，如 sin A ， cos A ， tan A ， sin α
， cos α
，
tan α 等；
②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“ ∠
”不能省略，
如 sin∠ABC 不能写成 sin ABC ， cos∠1 不能写成 cos 1 等.
注意
（1） sin A , cos A , tan A 都是一个完整的符号,不能写成 sin ⋅ A , cos ⋅ A ,
数值.
5.知道 30∘ , 45∘ , 60∘ 特殊角的三角函数值，并能计算求值.
新知探究
知识点1 锐角三角函数的概念
1.正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， ∠A 的
正弦
对边与斜边的比叫做 ∠A 的正弦，记
做 sin A ，即 sin A =
∠A的对边
=
a
c
b
c
=
a
b
= tan A ,
b
c
cos B = cos 90∘ − ∠A = sin A = ， sin B = sin 90∘ − ∠A = cos A = ，
tan A ⋅ tan B =
a b
⋅
b a
= 1.
课堂小结
本节知识归纳
对接中考
考点1 锐角三角函数的定义
典例4 （湖州中考）如图，已知在 Rt △ ABC 中，
tan ⋅ A ；
（2） sin A , cos A , tan A 表示的是两条线段的比值，不带单位；
（3）由相似的直角三角形可知， sin A , cos A , tan A 的值与三角形的大小无关，
只与锐角的大小有关.
新知探究
3.三角函数：锐角 α 的正弦、余弦和正切统称 ∠α 的三角函数.
4.取值范围：
任意锐角的正弦、余弦和正切的值都是正实数.
∘
如图所示,在 Rt △ ABC 中, ∠C = 90
, ∠A = α , sin α =
∵ 0 < a < c,
a
c
∴ 0 < < 1 ,即 0 < sin α < 1 .
同理 0 < cos α < 1 ,而 tan α =
a
b
> 0,
故 0 < sin α < 1 , 0 < cos α < 1 , tan α > 0 .
②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.
，
， tan 60∘
的
新知探究
典例2 计算：
注意： cos 2 30∘
（1） cos 2 30∘ +tan 30∘ × sin 60∘ − 2cos 45∘ .
cos 30∘
2
表示
，先代入三
角函数值，再计算平
（2） 已知 α + 12∘ 为锐角， tan α + 12∘ = 3 ，求 α 的度数.
a
.
c
新知探究
典例1 （教材第6页作业题第4题改编）如图，在 △ ABC
中， ∠C = Rt∠ ，
A. cos A =
3
5
BC
AB
3
= ，则( D )
5
B. sin B =
3
5
C. tan A =
4
3
D. tan B =
4
3
[解析] 设 AB = 5a ， BC = 3a ，则 AC = 4a ，所以
斜边
.
在 Rt △ ABC 中，
∠C = 90∘ , sinA =
a
.
c
图示
新知探究
名称
定义
符号语言
在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， ∠A 的邻
余弦
边与斜边的比叫做 ∠A 的余弦，记做
cos A ，即 cos A =
∠A的邻边
斜边
.
在 Rt △ ABC
中，
∠C = 90∘ ，
b
c
cos A = .
第1章 解直角三角形
1.1 锐角三角函数
初中数学
九年级下册
ZJ
学习目标
1.利用由相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数.
2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.
3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.
4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函