2022北京市房山区高三二模数学试卷(含答案)

2022北京市房山区高三二模数学试卷
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{13}A x x =−<<，集合{2}B x x =≤，则（ ） A ．{23}A B x x =−≤<I B ．{23}A B x x =−≤<U C ．{12}A B x x =−<<I D ．{3}A B x x =<I
2．双曲线2
212
x y −=的焦点坐标为（ ）
A ．(1,0)±
B ．(
C ．(
D ．(
3．已知0.2
421,log 0.2,log 33a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．c a b >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b c a >> 4．已知3
cos ,5
αα=
是第一象限角，且角,αβ的终边关于y 轴对称，则tan β=（ ） A ．
34 B ．3
4− C ．43 D ．43
− 5．已知数列{}n a 满足()
12,n n n a a n S *
+=∈N 为其前n 项和．若22a =，则5S =（ ）
A ．20
B ．30
C ．31
D ．62
6．已知函数2()log f x x =，则不等式()2f x <的解集为（ ） A ．(4,0)(0,4)−U B ．(0,4) C ．1,44⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．1,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
7．已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“l α∥”是“l β⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边,AB AD 向外分别作正方形ABEF ，ADMN ，其中
2,1,4
AB AD BAD π
==∠=
，则AC FN ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．0
B ．1−
C ．
D ．−
9．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果13,45n a a ==，那么n d +的最小值为（ ） A ．13 B ．14 C ．17 D ．18
（10）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区； ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%． 其中正确结论的序号是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．②③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．抛物线2
2y x =的准线方程为_________． 12．若复数z 满足(1i)2i z −⋅=，则||z =_______．
13．已知圆22
:(1)(2)1C x y −+−=和直线:(1)l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，
P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为____________．
14．已知函数3,,
(),.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩
若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为__________．
15．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数
sin y A t ϖ=．我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音．已知一个复合音的数学模型是函数1
()sin sin22
f x x x =+．给出下列四个结论：
①()f x 的最小正周期是π； ②()f x 在[0,2]π上有3个零点； ③()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数；
④()f x 其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC V 中，1
cos ,22
a B
b
c b +
==．
（Ⅰ）求A ∠；
（Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求BC 边上的高． 条件①：2cos 3
B =−
；
条件②：sin 2
B =
； 条件③：ABC V
的面积为
32
+． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ．在底面ABCD 中，BC AD ∥，
CD AD ⊥，1AD CD ==，2BC =．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）若半面PAB 与平面PCD 的夹角等于
3
π
，求点B 到平面PCD 的距离．
18．（本小题14分）北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
性别 男
女
（Ⅰ）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50,60)的概率； （Ⅱ）从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为
0μ，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为12,μμ，当m 满足什么条件时，
12
02
μμμ+≥
．（结论不要求证明）
19．（本小题14分）已知函数2
1()(1)e ()2
x
f x x ax a =−−
∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[1,2]上的最小值．
20．（本小题15分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个顶点为(0,1)−，一个焦点为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）已知点(0,2)P ，过原点O 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，直线PM 与椭圆C 的另一个交点为Q ．若MNQ V
，求直线PM 的斜率． 21．（本小题14分）已知数集{}()12312,,,,1,2n n A a a a a a a a n ==<<<≥L L 具有性质P ：对任意的k
(2),,(1)k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1,3,5}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）已知(
)12n n S a a a n *
=+++∈N
L ，求证：21n
n a
S −≤；
（Ⅲ）若36n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．
2022北京市房山区高三二模数学试卷
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
11．1
2
x =−
12．(1,2)；1+ 14．答案不唯一，满足1a <−或01a <<即可 15．②④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）
（Ⅰ）方法一：在ABC V 中，因为1
cos 2
a B
b
c +=， 所以由正弦定理可得1
sin cos sin sin 2
A B B C +
=． 2分 因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+． 4分 所以
1
sin cos sin 2
B A B =． 在AB
C V 中，sin 0B ≠， 所以1
cos 2
A =
，所以60A =︒． 6分 方法二：在ABC V 中，因为1
cos 2
a B
b
c +
=， 由余弦定理222
cos 2a c b B ac +−= 2分
得222122
a c
b a b
c ac +−⋅+=，
整理得2
2
2
c b a bc +−=
所以2221
cos 22
c b a A bc +−==，所以60A =︒． 6分
（Ⅱ）选条件②：由（Ⅰ）知0120B ︒<<︒
因为在ABC V 中，sin 2
B =
，所以45B =︒ 8分 又A B C π++=，所以75C =︒ 9分
所以()sin sin 4530sin 45cos30cos45sin 30C =+=+︒︒︒︒︒︒ 10分
12=+ 11分
=
12分 设BC 边上高线的长为h ，则
sin 242
h b C +==⨯
=． 14分 选条件③：
因为13sin sin 60222
ABC S bc A c c =︒+=
==V 8分
所以1c =+ 9分
由余弦定理得2
2
2
2cos 4422(1=6a b c bc A =+−=++−⨯⨯+︒ 11分
所以a =
12分
设BC 边上高线的长为h ，则
2
2ABC S h a =
==V 14分 17．（本小题14分）（Ⅰ）设BC 中点为E ，连接AE ，
易知ADCE 为正方形，且1,AC AE AB ===
所以2
2
2
BC AB AC =+， 所以AB AC ⊥ 2分
因为PA ⊥底面,ABCD AC ⊂底面ABCD ， 所以PA AC ⊥ 4分
又,PA AB ⊂面PAB ，PA AB A =I 所以AC ⊥平面PAB 5分
（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCD ，在正方形ADCE 中AE AD ⊥ 所以,,AE AD PA 两两互相垂直．
如图建立空间直角坐标系A xyz − 6分 设(0)PA a a =>
则(1,1,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,)C D B P a −
所以(0,1,),(1,0,0)PD a DC =−=u u u r u u u r
， 7分
设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r
，则 00n PD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u
r u r u r u r 即0
0.
y az x −=⎧⎨=⎩ 8分 所以(0,,1)n a =r
9分
由（Ⅰ）知，平面PAB 的法向量为(1,1,0)AC =u u u r
10分
因为平面PAB 与平面PCD 的夹角为
3
π
，
所以||1
cos |cos ,|32
||||AC n AC n AC n π⋅====r
r u u u r r u u u r u u u
r 11分 解得1a = 12分
设点B 到平面PCD 的距离为d ．
(0,2,0),(0,1,1)BC n ==u u u r r
则||||BC n d n ⋅===u u u r r
r 14分 18．（本小题14分）
（Ⅰ）方法一：记事件A 为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B 为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在[50,60)” 由题意可知，459
(),()100100
P A P AB =
= 2分 因此9
()91
100()45()455100
P AB P B A P A ==== 4分
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15
方法二：记事件M 为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在
[50,60)”
由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在[50,60)所包含的基本事件共9个 2分 所以91
()455
P M =
= 4分 所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15
（Ⅱ）方法一：X 的所有可能值为0，1，2， 5分
记事件C 为“从参加体育活动时间在[80,90)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件D 为“从参加体育活动时间在[90,100)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”． 由题意知，事件C 、D 相互独立，且10282
(),()153123
P C P D ==== 6分 所以111
(0)()()()339
P X P CD P C P D ====
⨯= 7分 21124
(1)()()()()()33339
P X P CD CD P C P D P C P D ===+=⨯+⨯=U 8分
224
(2)()()()339
P X P CD P C P D ====⨯= 9分
所以X 的分布列为：
故X 的数学期望144124
()01299993
E X =⨯
+⨯+⨯== 12分 方法二：X 的所有可能值为0，1，2， 5分
因为从参加体育活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为
23，故22,3X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
6分 所以2
2
21(0)139P X C ⎛⎫
==−= ⎪⎝⎭
7分
1
1
12224
(1)1339
P X C ⎛⎫
⎛⎫==−= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ 8分 2
22
24224(2)39339P X C ⎛⎫
====⨯= ⎪⎝⎭
9分
所以X 的分布列为：
故X 的数学期望24
()233
E X np ==⨯
= 12分 （Ⅲ）{211}m Z m ∈≤≤ 14分 19．（本小题14分）
（Ⅰ）当0a =时，()(1)e ,()e x
x
f x x f x x =='− 1分 所以(0)0,(0)1f f '==−． 3分
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：1y =−． 4分 （Ⅱ）(
)
()e e x
x
f x x ax x a =−=−'． 5分 ①当0a ≤时，e 0x
a −>． 所以[1,2]x ∈时，()0f x '>．
所以()f x 在[1,2]上是增函数．所以min 1
()(1)2
f x f a ==−． 7分 ②当0a >时，令()0f x '=，解得12ln ,0x a x ==（舍） 8分 1°当ln 1a ≤，即0e a <≤时，[1,2]x ∈时，()0f x '>．
所以()f x 在[1,2]上是增函数．所以min 1()(1)2
f x f a ==−． 10分 2°当1ln 2a <<，即2
e e a <<时，
所以2min ()(ln )ln (ln 1)2
f x f a a a a a ==−
+−． 12分 3°当ln 2a ≥，即2
e a ≥时，[1,2]x ∈时，()0
f x '<．
所以()f x 在[1,2]上是减函数．所以2
min ()(2)e 2f x f a ==−． 14分 综上，当e a ≤时，min 1
()2
f x a =−
； 当0e a <≤时，2
min 1(
)ln (ln 1)2
f x a a a a =−+−． 当2
e a ≥时，2
min?()e 2f x a =−．
20．（本小题15分）（Ⅰ）由题设，得1,1b c == 2分 则2
2
2
2a b c =+= 3分
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=． 4分
离心率2c e a =
==
5分 （Ⅱ）方法一：
设直线PM 的方程为2y kx =+ 6分
由22
2
12
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22
12860k x kx +++= 7分
()22Δ(8)41260k k =−+⨯>解得232
k >
设()()1122,,,M x y Q x y ，根据题意12,x x 同号， 则122
812k x x k −+=
+，12
26
12x x k =+ 9分 根据椭圆的对称性知1
2
OMQ ONQ MNQ S S S ==
V V V ， 10分 所以OMQ POQ POM S S S =−V V V 11分
2111
22||22
x x =
⨯−⨯ 21x x =− 12分
=
5
=
= 整理得42
223380k k −+= 13分 解得2
2
192,2
k k ==
，（满足2
32k
>）
所以
k =，或2
k =±
15分 方法二：设直线PM 的方程为2y kx =+
由22
212
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22
12860k x kx +++= ()22Δ(8)41260k k =−+⨯>，解得23
2
k >
设()()1122,,,M x y Q x y ， 则122812k x x k −+=
+，12
2
6
12x x k
=+ 根据椭圆的对称性知125
OMQ ONQ MNQ S S S ===V V V ， 设O 到直线
MQ 的距离为d ，d
=
12||MQ x =−=
11||225OMQ S MQ d =⨯==V 整理得42223380k k −+=
解得22192,2
k k ==，（满足2
32k >）
所以k =，或2k =±
21．（本小题14分）
（Ⅰ）因为311≠+，所以{1,3,5}不具有性质P ． 2分
因为212,312,633=⨯=+=+，所以{1,2,3,6}具有性质P 4分 （Ⅱ）因为集合{}12,,,n A a a a =⋯具有性质P ：
即对任意的(2),,(1)k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立， 又因为121,2n a a a n =<<⋯<≥，
所以11,i k j k a a a a −−≤≤，所以12k i j k a a a a −=+≤
即1122332212,2,2,,2,2n n n n n n a a a a a a a a a a −−−−−≤≤≤⋯≤≤ 6分 将上述不等式相加得()211212n n n a a a a a a −−+⋯++≤++⋯+ 所以1212n n a a a a −≤++⋯+；由于11a =，
12121n n n n a a a a a S −−≤++⋯++= 9分
（Ⅲ）最小值为75．
首先注意到11a =，根据性质P ，得到2122a a ==
所以易知数集A 的元素都是整数．
构造{1,2,3,6,9,18,36}A =或者{1
2,4,5,9,18,36}A =，， 这两个集合具有性质P ，此时元素和为75．
下面，证明75是最小的和
假设数集{}()1212,,,,2n n A a a a a a a n =⋯<<⋯<≥，满足175n i i S a
==≤∑（存在性显然，因为满足
175n
i i S a ==≤∑的数集A 只有有限个）．
第一步：首先说明集合{}()1212,,,,2n n A a a a a a a n =⋯<<⋯<≥中至少有7个元素： 由（Ⅱ）可知21322,2a a a a ≤…，…
又11a =，所以234562,4,8,16,3236a a a a a ≤≤≤≤≤<； 所以7n ≥
第二步：证明1218,9n n a a −−==； 若18A ∈，设18t a =，因为361818n a ==+，为了使得1n i i S a ==∑，最小，在集合A 中一定不含有元素k a ，使得1836k a <<，从而118n a −=； 假设18A ∉，根据性质P ，对36n a =，有,i j a a ，使得36n i j a a a ==+ 显然i j a a ≠，所以363672n i j a a a ++=+= 而此时集合A 中至少还有4个不同于,,n i j a a a 的元素， 从而()
1476n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以18A ∈，进而18t a =，且118n a −=； 同理可证：29n a −=
（同理可以证明：若9A ∈，则29n a −=）． 假设9A ∉．
因为118n a −=，根据性质P ，有,i j a a ，使得118n i j a a a −==+ 显然i j a a ≠，所以172n n i j a a a a −+++=， 而此时集合A 中至少还有3个不同于1,,,n n i j a a a a −的元素 从而11375n n i j S a a a a a −>++++=，矛盾， 所以9A ∈，且29n a −=
至此，我们得到了1218,9n n a a −−==， 根据性质P ，有,i j a a ，使得9i j a a =+ 我们需要考虑如下几种情形： ①8,1i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8， 则76S >；
②7,2i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7，则76S >； ③6,3i j a a ==，此时集合{1,2,3,6,9,18,36}A =的和最小，为75； ④5,4i j a a ==，此时集合{1,2,4,5,9,18,36}A =的和最小，为75． 14分。