高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质

∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
∴MBCE＝BBND＝ANDF ，∴ME＝NF.
又ME∥BC∥AD∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形．
∴NM∥EF.又∵MN⊄面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B.
方法三(性质定理法)：如图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接
NP.∵MP∥BB1，∴MCMB1＝CPBP.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN.∵MCMB1＝DNNB，
∴
CP PB
＝
DN NB
，∴NP∥DC∥AB.MP，NP⊂平面MNP，AB，
BB1⊂平面AA1B1B，MP∩NP＝P，AB∩BB1＝B，
连接PF，FH，PH，有MN∥PF. 又∵PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD. 同理可得MG∥平面ACD. ∵MG∩MN＝M， ∴平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知MPHG＝BBGH＝23， ∴MG＝23PH.又∵PH＝12AD， ∴MG＝13AD.同理可得NG＝13AC，MN＝13CD. ∴△MNG∽△DCA，且相似比为1∶3， ∴S△MNG∶SADC＝1∶9. 【答案】 (1)略 (2)1∶9
状元笔记
(1)在应用面面平行、线面平行的性质时，应准确构造平 面，此处需要利用公理3的有关知识，本例中对AB和CD位置关 系的讨论具有一定的代表性，可见分类讨论的思想在立体几何 中也多有体现．
(2)本题构造了从面面平行转化为线线平行，再通过线线平 行的“积累”上升为面面平行，然后利用线面、面面平行的定 义证明“一个平面内的直线，平行于另一个平面”这一结 论．本题设计精巧，转化目的明确，具有一定的代表性．
题型三 平行关系的综合应用
例3 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C ∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB， CD上，且AE∶EB＝CF∶FD，
(1)求证：EF∥平面β； (2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且 AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
【解析】 (1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由α ∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
方法二(判定定理法)：如图，连接CN并延长交BA的延长线于 点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP， ∴DBNN＝CPNN.又CM＝DN， B1C＝BD，MCMB1＝DNNB＝CNNP，∴MN∥B1P. ∵B1P⊂平面AA1B1B，MN⊄平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B.
直线和平面平行的性质定理 a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
两个平面平行的判定定理 (1)定义：两个平面___没_有__公_共__点____，称这两个平面平行； (2)判定定理：若一个平面内的___两_条__相_交__直__线_____与另一个平 面平行，则这两个平面平行； (3)推论：若一个平面内的__两__条_相__交__直_线____分别平行于另一个 平面内的____两_条__相_交__直__线____，则这两个平面平行．
4．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其
中与平面ABB1A1平行的直线共有( C )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
解析 如图，过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的 中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落 在平面DEFG内(其中D，E，F，G分别为三棱柱棱的中 点)，易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C42＝6条．故选 C.
面BDC1，故④正确．
授人以渔
题型一 线面平行的判定与性质
例1 (1)如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM ＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
【证明】 方法一(判定定理法)：如图，作ME∥BC，交BB1 于E.作NF∥AD，交AB于F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.
3．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条 件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，α，β为 平面)，则此条件为___l⊄__α___．
①
m⊂α l∥m
⇒l∥α；②
l∥m m∥α
⇒l∥α；③
l⊥β α⊥β
⇒l∥α.
解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平 面α外的直线”，即“l⊄α”，它也同样适合②③，故填l⊄α.
又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面 FGH.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的 一个截面，若截面为平行四边形．求证：AB∥平面 EFGH.
【证明】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 【答案】 略
(6)向量法：证明两平面的法向量平行．
思考题2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F， G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】 (1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以 GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面． (2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面 BCHG.
思考题1 (1)(高考真题·山东卷)如图，三棱台DEF－ ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
【证明】 如图，连接DG，CD，设CD∩FG ＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE, G为AC 的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四 边形，所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，所以 OH∥BD.
2．(课本习题改编)已知不重合的直线a，b和平面α， ①若a∥α，b⊂α，则a∥b； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b⊂α，则a∥α； ④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α. 上面命题中正确的是____④____(填序号)．
解析 ①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥ α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b⊂α，则a∥ α或a⊂α.
题型二 面面平行的判定与性质
例2 如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为 △ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD； (2)求S△MNG∶S△ADC.
【解析】 (1)证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC， AD，CD于点P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心， ∴BMMP＝BNNF＝GBGH＝2.
(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF，∵ E，F分别为AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC， 且ME＝12BD＝3，MF＝12AC＝2. ∴∠EMF或其补角为AC与BD所成的角， ∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得 EF＝ ME2＋MF2－2ME·MF·cos∠EMF ＝ 32＋22±2×3×2×12＝ 13±6， 即EF＝ 7或EF＝ 19. 【答案】 (1)略 (2) 7或 19
状元笔记
证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化．
∴AC∥BD. ∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴EF∥BD.又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β. ②当AB与CD异面时， 设平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC， ∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH.
∴四边形ACDH是平行四边形． 在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD， 又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH. 又EG∩GF＝G，HD∩BH＝H，∴平面EFG∥平面β. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β. 综上，EF∥平面β.
两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 ______平_行_______．
与垂直相关的平行的判定定理 (1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b； (2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这 两个平面平行． (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直 线平行或异面． (3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α. (4)平行于同一条直线的两个平面平行． (5)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
思考题3 如图所示，在斜三棱柱ABC－ A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当AD11DC11的值等于何值时，BC1∥平面AB1D1； (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．
第3课时 直线、平面平行的判定及性质
[复习要求] 1.以立体几何的定义、公理、定理为出发 点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理.2.能运 用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题．
课前自助餐
直线和平面平行的判定定理 (1)定义：若直线与平面_没__有_公__共_点__，则称直线与平面平行； (2)判定定理：___a_⊄_α_，__b⊂__α_____，a∥b⇒a∥α； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
所以O是AC的中点， 又M是PC的中点，所以AP∥OM. 又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， 所以PA∥平面BMD. 又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH. 【答案】 略
状元笔记
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a