数学必修4单元检测：第3章三角恒等变换附答案 含解析

数学苏教必修4第3章 三角恒等变换单元检测
(满分：100分 时间：60分钟)
一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．若α
的值为__________．
2．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c a ，b ，c 的大小关系是__________．
3．已知2sin 3
α＝，则cos(π－2α)＝__________.
4．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值是__________． 5
__________．
6．已知α∈(π，2π)__________.
7．若π1sin =63α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝__________.
8．若θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝5
9
，则sin 2θ的值为__________．
9．(2012江苏高考，11)设α为锐角，若π4cos =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为
__________．
10．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝－1)，n ＝(cos
A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos
B ＋b cos A ＝c sin
C ，则角B ＝__________.
二、解答题(本大题共4小题，共50分)
11．(12分)已知12cos 13α＝，4
sin 5
β-＝，α，β均是第四象限角，求sin(α－β)的值． 12．(12分)已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
＝－．
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间ππ,64⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 13．(12分)化简下列各式：
；
(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 14．(14分)已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
＝. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)设α∈π0,
4⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，若2cos 22f αα⎛⎫
⎪⎝⎭
＝，求α的大小．
参考答案
1. 答案：－3 解析：原式＝
cos 2sin |cos ||sin |αα
αθ+＝cos 2sin cos sin αααα
+--＝－1－2＝－3.
2. 答案：a ＜c ＜b
解析：a ，b ，c ， 所以a ＜c ＜b . 3. 答案：19
-
解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝19
-
. 4. 答案：4
解析：(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋[tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)]＋tan 21°tan 24°＝2，
同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 所以原式＝4.
5. 解析：
＝cos20cos35(cos10sin10)
︒
︒⋅︒-︒
6. 答案：cos 2
α
-
∵α∈(π，2π)，∴2α∈ππ2⎛⎫
⎪⎝⎭
，.
∴cos <02α.cos 2α-. 7. 答案：7
9
-
解析：∵πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππcos 26α⎡⎤
⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
＝π1cos =33
α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，
∴2πcos 23α⎛⎫+
⎪⎝⎭＝πcos 23
α⎡⎤
⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝2π2cos 13α⎛⎫+- ⎪⎝⎭
＝2×19－1＝79-.
8.答案：
3
解析：(sin2θ＋cos2θ)2＝sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ
＝51
92
+sin22θ＝1，故2
8
sin2
9
θ＝.
又因为2kπ＋π＜θ＜2kπ＋3π
2
(k∈Z)，
所以4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π(k∈Z)．
所以sin 2θ＞0，即sin 2
3
θ＝.
9.
解析：∵α为锐角，
π4 cos=
65
α⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
∴
π3 sin=
65
α⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
∴
π
sin2
6
α
⎡⎤
⎛⎫
+
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
＝
ππ
2sin cos
66
αα
⎛⎫⎛⎫
++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
＝
3424
2=
5525⨯⨯，
且0＜α＋π
6
＜
π
4
，故0＜α＜
π
12
，
∴
π
2
6
α⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝2α＋
π
3
∈
ππ
,
32
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
∴
π7 cos2=
625
α
⎡⎤
⎛⎫
+
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
，
∴
π
sin2
12
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
ππ
sin2
34
α
⎡⎤
⎛⎫
+-
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
＝
＝
ππ
sin2cos
34
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
ππ
cos2sin
34
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
－
＝
ππππsin2cos cos2sin
6464αα
⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
+-+
⎪ ⎪
⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦⎣⎦
＝247 2525
-
10.答案：π6
解析：m⊥n⇒3cos A－sin A＝0⇒A＝π
3
，sin A cos B＋sin B cos A＝sin C sin C，sin A cos
B＋sin B cos A＝sin(A＋B)＝sin C＝sin2C⇒C＝π
2
，∴B＝
π
6
.
11.解：∵α，β均是第四象限角，
∴
5
sin=
13
α--，
3
cos
5
β.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝
5312433
=
13513565
⎛⎫
-⨯-⨯-
⎪
⎝⎭
.
12.解：(1)因为()
π
4cos sin1
6
f x x x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝－
＝
1
4cos cos1
22
x x x
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
－
x＋2cos2x－1
x＋cos 2x＝
π
2sin2
6
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为
π
6
－≤x≤
π
4
，
所以
π
6
－≤2x＋
π
6
≤
2π
3
.
于是，当2x＋
π
6
＝
π
2
，
即当
π
6
x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋
π
6
＝
π
6
－，即
π
6
x＝－时，f(x)取得最小值－1．
13.解：(1)
2sin801
2sin50cos10
cos102
⎛⎫
︒
︒+︒︒
⎪
︒
()
2sin80
2sin50cos6010
︒
︒+︒-︒
＝
2
cos5
⎫
︒︒⎪
⎝⎭
︒
＝
2cos(5045)
cos5
︒-︒
︒
＝2.
(2)解法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝
1
2
cos 20°cos 40°cos 80°
＝
2sin20cos20cos40cos80
4sin20
︒︒︒︒
︒
＝
2sin 40cos 40cos802sin 80cos808sin 2016sin 20︒︒︒︒︒
=︒︒
＝sin1601
16sin 2016
︒=
=︒. 解法二：令M ＝sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°， N ＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°， 则MN ＝(sin 10°cos 10°)(sin 30°cos 30°)(sin 50°cos 50°)(sin 70°cos 70°)
＝41
2sin 20°sin 60°sin 100°sin 140° ＝412cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝412
N ， ∴116M ＝，即sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝1
16
.
14. 解：(1)由ππ
242
x k π+≠+，k ∈Z ，
得ππ82
k x ≠+，k ∈Z ，
所以f (x )的定义域为ππ|,82k x x k ⎧⎫
∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
R Z .
f (x )的最小正周期为π
2
.
(2)由2f α⎛⎫
⎪⎝⎭
＝2cos 2α，
得πtan 4α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭＝2cos 2α，
即πsin 4πcos 4αα⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭＝2(cos 2 α－sin 2 α)， 整理得sin cos cos sin αααα+-＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
因为α∈π0,4⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12
，即1
sin 22α＝.
由α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
所以π2=6α，即π
=12
α.。