人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角习题(含答案) (54)

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外
角作业练习题（含答案)
在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．
（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分∠EDB
①若∠BAC ＝100°，∠C ＝30°，则∠AFD ＝ ；若∠B ＝40°，则∠AFD ＝ ；
②试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D 在线段BG 上运动时，∠BDE 的角平分线所在直线与射线AG 交于点F 试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系，并说明理由
【答案】（1）①115°；110°；②1902
AFD B ∠=︒+∠；理由见解析；（2）
1902AFD B ∠=︒-∠；理由见解析 【解析】
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出
1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152
FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出
∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则
∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出12
BAG BAC ∠=∠，12
FDG EDB ∠=∠，由三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB=∠C ，1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152
FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG ，再由三角形的外角性质即可得出结论； （2）由（1）得：∠EDB=∠C ，12
BAG BAC ∠=∠，1122BDH EDB C ∠=∠=∠,由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，
则∠B=180°-100°-30°=50°，
∵DE ∥AC ，
∴∠EDB=∠C=30°，
∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ， ∴1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152
FDG EDB ∠=∠=︒，
∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；
若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，
∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ， ∴12
BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠， ∵∠DGF=∠B+∠BAG ，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG =()12
B BA
C C ∠+∠+∠ 1401402
=︒+⨯︒ 4070110=︒+︒=︒
故答案为：115°；110°； ②1
902
AFD B ∠=︒+∠； 理由如下：由①得：∠EDB=∠C ，12
BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠， ∵∠DGF=∠B+∠BAG ，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG
=∠B+∠BAG+∠FDG =()12
B BA
C C ∠+∠+∠ ()11802
B B =∠+︒-∠ 1902
B =︒+∠； （2）如图2所示：1
902AFD B ∠=︒-∠；
理由如下：
由（1）得：∠EDB=∠C ，12
BAG BAC ∠=∠，1122BDH EDB C ∠=∠=∠， ∵∠AHF=∠B+∠BDH ，
∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF
11802
BAC B BDH =︒-∠-∠-∠ 1118022
BAC B C =︒-∠-∠-∠ ()11802
B BA
C C =︒-∠-∠+∠ ()11801802
B B =︒-∠-︒-∠
1180902
B B =︒-∠-︒+∠ 1902
B =︒-∠． 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
32．如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，点D 为BC 边上一点，且AD ⊥AB ，
点E 是BD 的中点，连接AE ，且AE ＝DE ．求证：∠AEC ＝∠C ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质得到AE BE =，根据三角形的外角性质得到
2AEC B ∠=∠，由题意证明即可得出结论．
【详解】
证明：AD AB ⊥，点E 是BD 的中点，
12AE BD BE ∴=
=， ,
2,
2,
.
EAB EBA AEC EAB EBA B C B AEC C ∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠
【点睛】
利用直角三角形中斜边中点的性质和三角形外角的性质，根据题目条件等角代换即可证明结论．
33．将一副三角板按如图所示放置，DEF 的直角边DE 与ABC 的斜边AC 重合在一起，并将DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．
（1）DEF 在移动的过程中，FCE ∠与CFE ∠度数之和是否为定值，若是定值，请求出这个值，并说明理由；
（2）能否将DEF 移动至某位置，使//FC AB ？请求出CFE ∠的度数．
【答案】（1）FCE ∠与CFE ∠度数之和是定值，为45︒；（2）能，15CFE ∠=︒
【解析】
【分析】
（1）FED ∠是EFC ∆的外角，且45FED ∠=︒可得；
（2）根据//FC AB ，且90B ∠=︒且60ACB ∠=︒知30FCE ∠=︒，再根据（1）中的结论可得答案．
【详解】
解：（1）FCE ∠与CFE ∠度数之和是定值，为45︒；
FED ∠是EFC ∆的外角，且45FED ∠=︒，
45FCE CFE ∴∠+∠=︒；
（2）//FC AB ，且90B ∠=︒，
90FCB ∠∴=︒，
60ACB ∠=︒，
又45FCE CFE ∠+∠=︒，
15CFE ∴∠=︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定及三角形外角的性质．
34．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，34A ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．
（1）求CBE ∠的度数；
（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．
【答案】（1）62°；（2）28°
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的外角的性质求出CBD ∠，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：（1）90ACB ∠=︒，34A ∠=︒，
BE 是CBD ∠的平分线，
1622
CBE CBD ∴∠=∠=︒； （2）90ECB ∠=︒，62CBE ∠=︒，
28CEB ∴∠=︒，
//DF BE ，
28F CEB ∴∠=∠=︒．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
35．在ABC ∆中，60,B AD ︒∠=是BC 边上的高，画出AB 上的高CE ，若
,AD CE 相交于点O ，求AOC ∠的度数．
【答案】120AOC ∠=︒
【解析】
【分析】
根据三角形高的定义得出90ADB AEC ︒∠=∠=，然后根据三角形的内角和外角的性质解答即可．
【详解】
解：画图正确（有垂直符号）
所以CE 就是AB 上的高
因为AD 是BC 上的高，CE 是AB 上的高（已知），
所以90ADB AEC ︒∠=∠=（垂直定义），
因为180ADB BAD B ︒∠+∠+∠=（三角形内角和为180°）60B ︒∠=（已知）， 所以30BAD ︒∠=（等式性质）
因为AOC AEC BAD ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
所以120AOC ︒∠=（等式性质）
【点睛】
本题主要考查了三角形的高，三角形内角和以及三角形外角的性质，结合图形准确的运用三角形外角的性质是解题的关键．
36．如图，已知在ABC ∆中，0(210),(3),A x B x ACD ︒∠=+∠=∠是ABC ∆的
一个外角，且(610)∠=-︒ACD x ，求A ∠的度数．
【答案】50A ∠=︒
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出x ，从而求出∠A 的度数．
【详解】
解：因为ACD ∠是ABC ∆的一个外角（已知），
所以ACD A B ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
所以6102103x x x -=++
解得20x
所以50A ︒∠=
【点睛】
此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出x ．
37．已知直线//AB CD ．
（1）如图1，直接写出BME E END ∠∠∠，、的数量关系为 ；
（2）如图2，
BME ∠与CNE ∠的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究P ∠与E ∠之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）∠E=∠END-∠BME ；（2）∠E+2∠NPM=180°，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由AB ∥CD ，即可得到∠END=∠EFB ，再根据∠EFB 是△MEF 的外
角，即可得出∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME；
（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到
∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB）=180°，即可得到∠E+2∠NPM=180°．
【详解】
解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME，
故答案为：∠E=∠END-∠BME；
（2）如图2，延长NP交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA ，
∵MQ 平分∠BME ，PN 平分∠CNE ，
∴∠CNE=2∠CNP ，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA ，
∵AB ∥CD ，
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP ，
∵△EFM 中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB ）=180°， ∴∠E+2∠NPM=180°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义、三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．
38．（1）如图1，//AB CD ，I N 、分别在AB CD ，上，试说明
∠MEN=∠INC+∠IME ．
（2）如图2，在（1）的条件下，若MG 平分AME ∠，在AB 上有一点F ，连接NF ，使NE 恰好平分CNF ∠，19ENC ∠=︒，且MGN ∠的补角比FNC ∠的3倍多8︒，求AME ∠的度数；
（3）如图3，在问题（1）（2）的条件下，若点P 是EM 上一动点(不包含点E 和点M )，连接PN ．PQ 平分MPN ∠，NH 平分PNC ∠，过P 作//PR NH ，
当点P 在线段EM 上运动时，下列结论：
①HNP RPQ ∠+∠的值不变；②RPQ ∠的度数不变，可以证明只有一个是正确的，请你做出正确选择并求值．
【答案】（1）见解析；（2）40°；（3）②正确，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）在△IEM 中，利用外角∠MEN=∠NIM+∠IME 推导得到；
（2）先求出∠CNF 的值，进而得到∠NFM ，然后利用∠FNC 与∠MGN 的关系得到∠MGN 的大小，最后在△FGM 中得出∠FMG 的大小，进而得出∠FME ；
（3）求出∠RPQ=∠4－∠NPR=∠4―∠1，然后在△PKN 中，利用内角和180°可算出∠RPQ 为定值.
【详解】
（1）∵AB ∥CD
∴∠MIN=∠INC
∵∠MEN=∠MIN+∠IME
∴∠MEN=∠INC+∠IME ；
（2）∵∠ENC=19°，EN 平分∠FNC
∴∠FNC=38°=∠MFN
∵MGN ∠的补角比FNC ∠的3倍多8︒
∴180°－∠MGN=3×38°+8°
∴∠MGN=58°
∴AMG=∠MGN－∠MFN=20°
∴∠AME=40°；
（3）如下图，延长ME交CD于点K，设∠HNP为∠1，∠HNK为∠2，∠MPQ为∠3，∠QPN为∠4
∵AB∥CD
∴∠AME=∠MKN=40°
∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵PR∥NH
∴∠1=∠NPR
∴∠RPQ=∠4－∠NPR=∠4―∠1
在△PKN中，∠1+∠2+180°－∠3－∠4+40°=180°
∴2(∠4－∠1)=40°
∴∠4－∠1=20°
∴∠RPQ=20°不变，②正确
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，同时还考查了动点问题，解题的关键是将动角转化为不变的角.
39．如图，//AB CD ,点,E F 分别在,AB CD 直线上，点M 为两平行线内部一点
（1）如图1，,MEB MFD ∠∠角平分线交于点N ，若EMF ∠等于130︒，求ENF ∠的度数
（2）如图2，点G 为直线CD 上一点，且MGF EMF ∠=∠，延长GM 交直线AB 于点Q ，点P 为MG 上一点，射线,PF EG 相交于点H ，满足
11,33
PFG MFG BEH BEM ∠=∠∠=∠，设EMF α∠=，求H ∠的度数（用α的代数式表示）
【答案】（1）115°；（2）∠H=60°-13
α． 【解析】
【分析】
（1）过M 作ME ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（2）如图②中设∠BEH=x ，∠PFG=y ，则∠BEM=3x ，∠MFG=3y ，设EH 交CD 于K ．证明∠H=x-y ，求出x-y 即可解决问题．
【详解】
解：（1）过M 作ME ∥AB ，
∵AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠BEM+∠2=∠DFM+∠4=180°，
∴∠BEM=180°-∠2，∠DFM=180°-∠4，∵EN，FN分别平分∠MEB和∠DFM，
∴∠1=1
2
∠BEM，∠3=
1
2
∠DFM，
∴∠1+∠3=1
2
（180°-∠2）+1
2
（180°-∠4）=180°-1
2（∠2+∠4）=180°-1
2
×130°=115°，
∴∠ENF=360°-∠1-∠3-∠EMF=360°-115°-130°=115°；
（2）如图②中设∠BEH=x，∠PFG=y，则∠BEM=3x，∠MFG=3y，设EH交CD于K．
∵AB∥CD，
∴∠BEH=∠DKH=x，
∵∠PFG=∠HFK=y，∠DKH=∠H+∠HFK，
∴∠H=x-y，
∵∠EMF=∠MGF=α，∠BQG+∠MGF=180°，
∴∠BQG=180°-α，
∵∠QMF=∠QME+∠EMF=∠MGF+∠MFG ，
∴∠QME=∠MFG=3y ，
∵∠BEM=∠QME+∠MQE ，
∴3x-3y=180°-α，
∴x-y=60°-13
α， ∴∠H=60°-13
α． 【点睛】
此题考查平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数解决问题．
40．探究题．
已知:如图//,//AB CD CD EE ．
求证: 360B BDF F ∠+∠+∠=︒
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是_________．
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行
线,AB EF 、然后在平行线间画了一点D ，连接BD DF ，后，用鼠标拖动点分,D 别得到了图①②②，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的B BDF ∠∠、与F ∠之间也可能存在着某种数量关系于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图①中B BDF ∠∠、与F ∠之间的数量关系并加以证明：
②补全图③，直接写出B BDF ∠∠、与F ∠之间的数量关系：_______．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，
BA 垂直地面AE 于,A CD 平行于地面
AE ，若150BCD =∠，则ABC ∠=_______．
【答案】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF=∠B+∠F ．理由见解析；②∠F=∠D+∠F ；（3）120°．
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质证明即可．
（2）①结论：∠BDF=∠B+∠F ．如图①中，作DK ∥AB ．利用平行线的性质
证明即可．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
（3）利用图1中的结论，计算即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵AB∥EF，CD∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°（两直线平行同旁内角互补），
∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，
∴∠B+∠BDF+∠F=360°，
故答案为：两直线平行同旁内角互补．
（2）解：①结论：∠BDF=∠B+∠F．
理由：如图①中，作DK∥AB．
∵AB∥DK，AB∥EF，
∴DK∥EF，
∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，
∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．
理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠D+∠B．
故答案为∠F=∠D+∠F．
（3）解：如图2中，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，
∴∠ABC=360°-240°=120°，
故答案为120°．
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造平行线解决问题．。