概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率
§1.1 随机事件
一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率
古典概型公式：P （A ）=所含样本点数
所含样本点数
ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算
补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：
“每个盒子恰有1个球”。

求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...
Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !
)(=∴
补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？
解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。

(i =1,2,3)求：P(A i )=？
Ω所含样本点数：6444
443==⋅⋅
A 1所含样本点数：242
34=⋅⋅
8
3
6424)(1==∴A P
A 2所含样本点数：
36
3423
=⋅⋅C
16
9
6436)(2==∴A P
A 3
所含样本点数：4433
=⋅C
16
1644)(3==∴A P
注：由概率定义得出的几个性质：
知识归纳整理
1、0<P （A ）<1
2、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则
定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）
推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )
推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1
推论3： P （A ）=1－P （A ）
推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：
对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：
n
n
A
A A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)
1
2
1
n
n
A
A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)
1
2
1
§1.4 条件概率与乘法法则
条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )
()(A P AB P （P(A)≠0）
∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）
有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。

全概率与逆概率公式：
全概率公式：
∑==n
i i
i A B P A P B P 1
)
/()()(
求知若饥，虚心若愚。

逆概率公式：)
()
()/(B P B A P B A P i i =
),...,2,1(n i =
（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。

） § 1.5 独立试验概型
事件的独立性：)()()(B P A P AB P B A =⇔相互独立与
贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24
另两个解题中常用的结论——
1、定理：有四对事件：A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ，如果其中有一对相互
独立，则其余三对也相互独立。

2、公式：)...(1)...(2
1
2
1
n
n
A A A P A A A P ⋅⋅⋅-=⋃⋃⋃
第二章 随机变量及其分布
一、对于离散型随机变量的分布问题
1
、求分布列：⑴确定各种事件，记为写成一行；
⑵计算各种事件概率，记为
p
k 写成第二行。

得到的表即为所求的分布列。

注意：应
符合性质——
1
、0≥
k
p （非负性）
2、1
=
∑k
k
p
（可加性和规范性） 补例
1
：将一颗骰子连掷
2
次，以表示两次所得结果之和，试写出
的概率分布。

解：
Ω所含样本点数
：6×
6=36
所求分布列为：
补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中并且取3只，以表示取出3只球中最大号码，试写出的概率分布。

p k
千里之行，始于足下。

解：Ω所含样本点数：35
C =10
所求分布列为：
2、求分布函数F(x)：
分布函数
{
}∑≤=≤=x
x k k p
x P x F ξ)(
二、对于延续型随机变量的分布问题：
∀x ∈R ，如果随机变量
的分布函数F （x ）可写成F （x ）=
⎰∞
-x
dx
x )(φ，则为
延续型。

)(x φ称概率密度函数。

解题中应该知道的几个关系式：
)(≥x φ
⎰
+∞
∞
-=1
)(dx x φ
⎰=-=<<=≤≤b a
dx
x a F b F b a P b a P )()()(}
{}{φξξ
第三章 随机变量数字特征
一、求离散型随机变量
的数学期望E
=？
数学期望（均值）
∑=k
k
k p
x E ξ
二、设为随机变量，f(x)是普通实函数，则η=f()也是随机变量，求E η=?
x 1 x 2 … x k p k
p
1 p
2 … p k η= f()
y 1
y 2
…
y k
以上计算只要求这种离散型的。

6/10
3/10
1/10
p k
5
4
3
求知若饥，虚心若愚。

补例1：设的概率分布为： －1
1
2
25 p k 51 101 101 10
3 10
3 求：⑴
1-=ξη，2ξη=的概率分布；⑵ηE 。

解：因为 －1 0 1 2
25 p k
5
1 10
1 10
1 10
3 103 η=－ －2 －1 0 1 23 η=
1
1
4
4
25 所以，所求分布列为： η=－ －2 －1 0 1
23 p k 51 101 101 10
3 103 和： η=
1 0 1 4
425 p k 51 101 101 10
3 10
3
当η=－1时，E η=E （－1）
=－2×51+(－1)×101+0×101+1×103+23×
103
=1/4
当η=
时，E η=E
=1×51+0×101+1×101+4×103+425×10
3
=27/8
三、求
或η的方差D
=？ D η=？
实用公式ξD =2ξE －ξ2E
千里之行，始于足下。

其中，ξ2E =2)(ξE =2)(∑k
k
k
p x
2ξE =∑k
k
k p
x 2
补例2：
－2 0 2 p k
0.4
0.3
0.3
求：E 和D
解：ξE =－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
ξE 2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
ξD =ξE 2－ξ2E =2.8－（－0.2）2=2.76
第四章 几种重要的分布
常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表．．．．．．．．．．
） 名称
概率分布或密度
期望
方差
参数
范围
二项分布
n p
n p q
0<P<1
q=1－p
正态分布
μ
μ任意 σ>0
泊松分
布
不要求
λ λ λ>0
2
σ{
})
,...,2,1,0(n k q p C k P k n k k n
===-ξ.
).(,
21)(2
2
2)(为常数，，μσσ
πφσμ∞+-∞∈⋅⋅=
--
x e
x x 求知若饥，虚心若愚。

指数分
布 不要求
λ>0
解题中经常需要运用的E 和D
的性质（同志们解题必备速查表．．．．．．．．．．
） E 的性质
D 的性质
————————
第五章 参数恐怕
§8.1 恐怕量的优劣标准（以下可作填空或挑选）
⑴若总体参数θ的恐怕量为θˆ，如果对任给的ε>0，有
1
}ˆ{lim =<-∞
→εθ
θP n ，则称θˆ是θ的一致恐怕；
⑵如果满足θθ=)ˆ(E ，则称
θ
ˆ是θ的无偏恐怕；
⑶如果1
ˆθ和
2
ˆθ均是θ的无偏恐怕，若)ˆ()ˆ(2
1
θθD D <，则称1
ˆθ是比
2ˆθ有效的估
计量。

§8.3 区间恐怕：
λ
12
1
λc
c E =)(0
)(=c D η
ξηξE E E ±=±)(η
ξηξηξD D D +=±)(独立，则、若η
ξξηηξE E E ⋅=)(独立，则、若ξ
ξE c c E ⋅=)(ξ
ξD c c D ⋅=2)(千里之行，始于足下。

几个术语——
1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一具统计量
)...(ˆ1
1
n
，x ，x θ及)...(ˆ1
2
n
，x ，x θ，对于给定的α（0<α<1）满足：
αθθθ-=<<1)}...(ˆ)...(ˆ{1
2
1
1
n
n
，x ，x ，x ，x P
则称随机区间（1
ˆθ，
2
ˆθ）是θ的100（1－α）％的置信区间，1
ˆθ和2
ˆθ称为θ的100
（1－α）％的置信下、上限，百分数100（1－α）％称为置信度。

一、求总体期望（均值）E 的置信区间
1、总体方差2
σ
已知的类型
①据α，得)(0αU Φ＝1－2
α
，反查表（课本P260表）得临界值αU ；
②x =∑=n i i
x
n 1
1 ③求d=n
U σ
α⋅
④置信区间（x -d ，x +d ）
补简例：设总体)09.0,(~μN X 随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，
求总体均值μ的95%的置信区间。

解：①∵1－α=0.95，α=0.05
∴Φ（U α）=1－2
α
=0.975，反查表得：U α=1.96
②∑==+++==41
13)2.138.124.136.12(4
1
41i i X X ③∵σ=0.3，n=4 ∴d=n
U σα⋅=43
.096.1⨯=0.29
④所以，总体均值μ的α=0.05的置信区间为：
（X －d ，X ＋d ）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）
2、总体方差2σ未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！！）
①据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P262表）得)1(-n t α；
②确定x =∑=n i i x
n
1
1和∑=--=n i i x x n s 1
22)(1
1 求知若饥，虚心若愚。

③求d=n
s
n t ⋅
-)1(α ④置信区间（x -d ，x +d ）
注：无非常声明，普通可保留小数点后两位，下同。

二、求总体方差2
σ
的置信区间
①据α和自由度n －1（n 为样本数），查表得临界值：
)1(22
-n α
χ和
)
1(22
1--
n α
χ
②确定X =∑=n i i x n
1
1和∑=--=n i i x X n s 1
2
2)(1
1
③上限)1()1(22
12---
n s n α
χ 下限)1()1(22
2
--n s n α
χ
④置信区间（下限，上限） 典型例题：
补例1：课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm 2）: 482 493 457 471 510 446
435
418
394
469
试对该木材横纹抗压力的方差举行区间恐怕（α＝0.04）。

解：①∵α=0.04，又n=10，自由度n －1=9
∴查表得，)1(22
-n αχ=)
9(202
.0χ=19.7
)1(22
1--
n αχ=)
9(298
.0χ=2.53
②X =
∑=101
101i i x =)469...493482(10
1+++=457.5 ∑=-=101
22)(91i i x X s =9
1
[2)4825.457(-+2)4935.457(-+…+2)4695.457(-]
千里之行，始于足下。

=1240.28
③上限)1()1(22
12---
n s n α
χ=)9(9298
.02χs =53
.228.12409⨯=4412.06 下限)1()1(22
2--n s n α
χ=)9(9202
.02χs =7
.1928.12409⨯=566.63 ④所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06）
第六章 假设检验
必须熟练掌握一具正态总体假设检验的执行标准
普通思路：
1、提出待检假设H 0
2、挑选统计量
3、据检验水平α
，确定临界值4、计算统计量的
值5、作出判断 检验类型⑵：未知方差2
σ
，检验总体期望(均值)μ
①根据题设条件，提出H 0:μ= 0
μ(0
μ
已知)；
②挑选统计量)1(~/--=
n t n
s X T
μ；
③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P262表）得)1(-n t α；④由样本值算
出X ＝？和s ＝？从而得到n
s X T /0μ-=；
⑤作出判断⎪⎩⎪⎨⎧->-<0
00
0)1()1(H ，n t T H ，n t T 则拒绝若则接受若αα 典型例题：
对一批新的某种液体的存贮罐举行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。

根据经验爆破压以为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α
求知若饥，虚心若愚。

=0.05）解：H 0:μ= 549挑选统计量)1(~/--=
n t n
s X T
μ
∵α=0.05，n －1=4，∴查表得：
)4(05
.0t =2.776又∵X =)545...545(5
1++=543
s 2=])545543(...)545545[(4
1
22-++-=57.n s X T /0μ-==5/5.57549543-=1.77<2.776
∴接受假设，即以为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。

检验类型⑶：未知期望(均值)μ，检验总体方差2
σ
①根据题设条件，提出H 0
:σ
= 0
σ(0
σ
已知)；②挑选统计量
2
2
2)1()1(σχs n n ⋅-=-；
③据α和自由度n －1（n 为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：
)
1(2
12--
n α
χ和
)
1(2
2-n α
χ；
④由样本值算出X ＝？和s ＝？从而得到2
2
20
)1()1(σχs n n ⋅-=-；
⑤若)1(2
12--n αχ<)1(20-n χ<)
1(2
2-n α
χ则接受假设，否则拒绝! 补例：某厂生产铜丝的折断力在正常事情下服从正态分布，折断力方差2σ=64，今从一批
产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。

是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（α=0.05） 解： H 0:σ=64
挑选统计量
2
2
2)1()1(σχs n n ⋅-=-
∵α=0.05，n －1=9，∴查表得：
)1(2
12--
n αχ=
)9(975
.02
χ=2.7)1(2
2-n αχ=)
9(025
.02
χ=19
又∵
X =)570...578(101++=575.2s 2=])5702.575(...)5782.575[(9
122-++-=75.73 ∴
65.1064
73.759)1(20=⨯=-n χ)9(975.02
χ=2.7<65.10)1(20
=-n χ<
)
9(025
.02
χ=19
∴接受假设，即以为这批铜丝折断力的方差也是64。

第1章 随机事件及其概率
（1）罗列组合公式
)!(!
n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人举行罗列的可能数。

)!
(!!n m n m C n m
-= 从m 个人中挑出n 个人举行组合的可能数。

（2）加法
和乘法原
理
加法原理（两种想法均能完成此事）：m+n
某件事由两种想法来完成，第一种想法可由m 种想法完成，第二种想法可由
n 种想法来完成，则这件事可由m+n 种想法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n
某件事由两个步骤来完成，第一具步骤可由m 种想法完成，第二个步骤可由n 种想法来完成，则这件事可由m ×n 种想法来完成。

（3）一些
常见罗列
重复罗列和非重复罗列（有序）
对立事件（至少有一具）
顺序问题
（4）随机
试验和随
机事件
如果一具试验在相同条件下可以重复举行，而每次试验的可能结果不止一具，
但在举行一次试验之前却不能断言它闪现哪个结果，则称这种试验为随机试
验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本
在一具试验下，无论事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
空间和事件 ①每举行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一具事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一具事件称为基本事件，用
ω来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一具事件算是由Ω中的部分点（基本事件
ω）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω何必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算 ①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B
A⊂
如果并且有B
A⊂，A
B⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一具发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B
A，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B并且发生：A
B，或者AB。

A
B=Ø，则表示A与B不可能并且发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：
∞
=
∞
=
=
1
1i
i
i
i
A
A
B
A
B
A
=，B
A
B
A
=
（7）概率设
Ω为样本空间，A为事件，对每一具事件A都有一具实数P(A)，若满
的公理化定义 足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件1A，2A，…有
∑∞
=
∞
=
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
1
1
)
(
i
i
i
i
A
P
A
P
常称为可列（彻底）可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

（8）古典概型
1°
{}
n
ω
ω
ω
2
1
,
=
Ω，
2°
n
P
P
P
n
1
)
(
)
(
)
(
2
1
=
=
=ω
ω
ω 。

设任一事件A，它是由
m
ω
ω
ω
2
1
,组成的，则有 P(A)=
{})
(
)
(
)
(
2
1m
ω
ω
ω
=)
(
)
(
)
(
2
1m
P
P
Pω
ω
ω+
+
+ n
m
=
基本事件总数
所包含的基本事件数
A
=
（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果闪现的可能性均匀，并且样本空间中的每一具基本事件可以使用一具有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A，
)
(
)
(
)
(
Ω
=
L
A
L
A
P。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当AB不相容P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
当AB独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B⊂A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1- P(B)
（12）条件概率 定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称
)
(
)
(
A
P
AB
P
为事件A发生条件下，
事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )
()
(A P AB P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1⇒P(B /A)=1-P(B/A) （13）乘法公式
乘法公式：)/()()(A B P A P AB P =
更普通地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有
21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，
则称事件A 、B 是相互独立的。

若事件A 、B 相互独立，且
0)(>A P ，则有
)
()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===
若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性
设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且并且满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
这么A 、B 、C 相互独立。

对于n 个事件类似。

（15）全概公式
设事件
n B B B ,,,21 满足
1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，
2° n
i i
B
A 1
=⊂，
则有
)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；
（16）贝叶斯公式
设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足
1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，
)(Bi P >0，=i 1，2，…，n ，
2° n
i i
B
A 1
=⊂，
0)(>A P ，
则
∑==
n
j j
j
i
i i
B A P B P B A P B P A B P 1
)
/()()
/()()/(，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。

)(i
B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。

)/(A B P i
，（1=i ，2，…，
n ），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的判断。

将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。

（17）伯努利概型
我们作了n 次试验，且满足
每次试验惟独两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复举行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与
否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用
p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表
示n 重伯努利试验中A 闪现
)0(n k k ≤≤次的概率，
k
n k k n
n q p k P C -=)(，
n k ,,2,1,0 =。

第二章随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为X
k
(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件
(X=X
k
)的概率为
P(X=x
k
)=p
k
，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：
,
,
,
,
,
,
,
,
|
)
(
2
1
2
1
k
k
k
p
p
p
x
x
x
x
X
P
X
=。

显然分布律应满足下列条件：（1）
≥
k
p，
,2,1
=
k
，（2）
∑∞
=
=
1
1
k
k
p。

（2）延续型随机变量的分布密度 设
)
(x
F是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)
(x
f，对任意实数x，有 ⎰
∞
-
=x dx
x
f
x
F)
(
)
(
，
则称X为延续型随机变量。

)
(x
f称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：1、
)
(≥
x
f。

2、
⎰+∞
∞
-
=1
)
(dx
x
f。

3、2
1
1221
P()()()()
x
x
x X x F x F x f x dx
<≤=-=⎰
4、P(x=a)=0,a为常数，延续型随机变量取个别值的概率为0
（3）离散与延续型随机变量的关系
dx
x
f
dx
x
X
x
P
x
X
P)
(
)
(
)
(≈
+
≤
<
≈
=
积分元dx
x
f)
(在延续型随机变量理论中所起的作用与k
k
p
x
X
P=
=)
(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数
设X为随机变量，x是任意实数，则函数
)
(
)
(x
X
P
x
F≤
=
称为随机变量X的分布函数，本质上是一具累积函数。

)
(
)
(
)
(a
F
b
F
b
X
a
P-
=
≤
<可以得到X落入区间]
,
(b
a的概率。

分布函数)
(x
F表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：
1° ,1
)
(
0≤
≤x
F+∞
<
<
∞
-x；
2° )
(x
F是单调不减的函数，即
2
1
x
x<时，有≤
)
(
1
x
F)
(
2
x
F；
3° 0
)
(
lim
)
(=
=
-∞
-∞
→
x
F
F
x
，1
)
(
lim
)
(=
=
+∞
+∞
→
x
F
F
x
；
4° )
(
)0
(x
F
x
F=
+，即)
(x
F是右延续的；
5° )0
(
)
(
)
(-
-
=
=x
F
x
F
x
X
P。

对于离散型随机变量，
∑
≤
=
x
x
k
k
p
x
F)
(；
对于延续型随机变量，⎰
∞
-
=x dx
x
f
x
F)
(
)
(。

（5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,
,2,1,0 。

k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
P
k
X
P-
=
=
=)
(
)
(，其中
n
k
p
p
q,
,2,1,0
,1
0,
1
=
<
<
-
=，
则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

记为)
,
(
~p
n
B
X。

当1
=
n时，k
k q
p
k
X
P-
=
=1
)
(，1.0
=
k，这算是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布
设随机变量X 的分布律为
λλ-=
=e k k X P k
!
)(，0>λ， 2,1,0=k ，
则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λπX 或者P(λ)。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。

几何分布
,3,2,1,)(1===-k p q k X P k ，其中p ≥0，q=1-p 。

随机变量X 服从参数为p 的几何分布，记为G(p)。

均匀分布
设随机变量X 的值只落在[a ，b]内，其密度函数
)(x f 在[a ，b]上为
常数a
b -1，即
⎪⎩⎪⎨⎧-=,
0,1
)(a
b x f 其他，则称随机变量X 在[a ，b]上服从均匀分布，记为X~U(a ，b)。

分布函数为
⎰∞
-=
=x dx x f x F )()(
当a ≤x 1<x 2≤b 时，X 落在区间（
21
,x
x ）内的概率为
a
b x
x x X x P --=<<12
21)(。

0， x<a ，
,
a b a
x -- a ≤x ≤b
1， x>b 。

a ≤x ≤b
指数分布
其中0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的指数分布。

X 的分布函数为
记住积分公式：
!0
n dx e x
x n
=⎰+∞
-
=)(x f ,
x e λλ- 0≥x ,
0, 0<x ,
=
)(x F ,
1x e λ-- 0≥x ,
,
0 x<0。

正态分布
设随机变量X 的密度函数为
2
22)(21)(σμσ
π--
=
x e
x f ， +∞<<∞-x ，
其中
μ、0>σ为常数，则称随机变量X 服从参数为μ、σ的
正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为),(~2σμN X 。

)(x f 具有如下性质：
1°
)(x f 的图形是对于μ=x 对称的；
2° 当μ=x 时，σ
πμ21)(=
f 为最大值；
若),(~2σμN X ，则X 的分布函数为
参数0=μ、1=σ时的正态分布称为标准正态分布，记为
)1,0(~N X ，其密度函数记为
22
21)(x e x -=
πϕ，+∞<<∞-x ，
分布函数为
⎰∞
--
=
Φx t dt e
x 2
2
21)(π。

)(x Φ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝2
1。

如果X ~),(2σμN ，则
σ
μ
-X ~)1,0(N 。

⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<σμσμ122
1)(x x x X x P 。

（6）分位数
下分位表：αμα
＝)(≤X P ；
上分位表：αμα
＝)(>X P 。

dt e x F x t 2
2 2
)( 2 1 ) (
（7）函数
的分布函
数
离散型 已知
X的分布列为
,
,
,
,
,
,
,
,
)
(
2
1
2
1
n
n
i
p
p
p
x
x
x
x
X
P
X
=
，
)
(X
g
Y=的分布列（)
(
i
i
x
g
y=互不相等）如下：
,
,
,
,
),
(
,
),
(
),
(
)
(
2
1
2
1
n
n
i
p
p
p
x
g
x
g
x
g
y
Y
P
Y
=
，
若有某些)
(
i
x
g相等，则应将对应的
i
p相加作为)
(
i
x
g的概率。

延续型
先利用X的概率密度f
X
(x)写出Y的分布函数F
Y
(y)＝P(g(X)≤y)，再
利用变上下限积分的求导公式求出f
Y
(y)。

（2）定理法：
当Y=g(X)严格单调并且可导时:
其中h’(y)是g(x)的反函数
（1）联合分布离散型如果二维随机向量ξ（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称ξ为离散型随机量。

设ξ=（X，Y）的所有可能取值为)
,2,1
,
)(
,
(
=
j
i
y
x
j
i
，且事件{ξ=)
,
(
j
i
y
x}的概率为p
ij,
,称
)
,2,1
,(
)}
,
(
)
,
{(
=
=
=j
i
p
y
x
Y
X
P
ij
j
i
为ξ=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分
布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y
1
y
2
… y
j
…
x
1
p
11
p
12
… p
1j
…
x
2
p
21
p
22
… p
2j
…
x
i
p
i1
…
ij
p…
这里p
ij
具有下面两个性质：
（1）p
ij
≥0（i,j=1,2,…）；
（2）.1
=
∑∑
ij
i j
p
延续型
对于二维随机向量),(Y X =ξ，如果存在非负函数
),)(,(+∞<<-∞+∞<<-∞y x y x f ，使对任意一具其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域D ，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
⎰⎰=∈D
dxdy y x f D Y X P ,),(}),{(
则称ξ为延续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X ，Y ）的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-=.1),(dxdy y x f
（2）二维随机变量的本质
)(),(y Y x X y Y x X ===== ξξ
（3）联合分布函数设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
}
,
{
)
,
(y
Y
x
X
P
y
x
F≤
≤
=
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一具以全平面为其定义域，以事件
}
)
(
,
)
(
|)
,
{(
2
1
2
1
y
Y
x
X≤
<
-∞
≤
<
-∞ω
ω
ω
ω的概率为函数值的一具实值函数。

分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
（1）;1
)
,
(
0≤
≤y
x
F
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当x
2
>x
1
时，有F（x
2
,y）≥F(x
1
,y);当y
2
>y
1
时，有F(x,y
2
) ≥F(x,y
1
);
（3）F（x,y）分别对x和y是右延续的，即
);
,
(
)
,
(
),
,0
(
)
,
(+
=
+
=y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
F
（4）.1
)
,
(
,0
)
,
(
)
,
(
)
,
(=
+∞
+∞
=
-∞
=
-∞
=
-∞
-∞F
x
F
y
F
F
（5）对于，
，
2
1
2
1
y
y
x
x<
<
P(x
1
<x≤x
2
,y
1
<y≤y
2
)=0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
1
2
2
2
≥
+
-
-y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
F，
，
，
，
（4）离散型与延续型的关系
dxdy
y
x
f
dy
y
Y
y
dx
x
X
x
P
y
Y
x
X
P)
(
)
(
)
(，
，
，≈
+
≤
<
+
≤
<
≈
=
=
（5）边缘分布离散型X的边缘分布为
)
,2,1
,(
)
(
=
=
=
=
∑
•
j
i
p
x
X
P
P
ij
j
i
i
；
Y的边缘分布为
)
,2,1
,(
)
(
=
=
=
=
∑
•
j
i
p
y
Y
P
P
ij
i
j
j。

延续型 X 的边缘分布密度为
⎰+∞∞
-=；dy y x f x f X
),()(
Y 的边缘分布密度为
.),()(⎰+∞∞
-=dx y x f y f Y
（6）条件分布
离散型
在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为
；•
=
==i ij
i
j
p
p x X y Y P )|(
在已知Y=y j 的条件下，X 取值的条件分布为
,)|(j
ij
j
i
p
p y Y x X P •=
==
延续型 在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
)
(),()|(y f y x f y x f Y
=；
在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
)
()
,()|(x f y x f x y f X
=
（7）独立性
普通型 F(X,Y)=F X (x)F Y (y)
离散型
j
i ij p p p ••= 有零不独立
延续型
f(x,y)=f X (x)f Y (y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分
布
,121
),(22
2212121122
1
))((2)1(212
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=
σμ
σσμμρσμρρσ
πσy y x x e
y x f
ρ＝0
随机变量的函数若X
1
,X
2
, (X)
m
,X
m+1
, (X)
n
相互独立，h,g为延续函数，则：
h（X
1
，X
2
, (X)
m
）和g（X
m+1
, (X)
n
）相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

均匀分布
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∈=其他
,0),(1),(D
y x S y x f D
其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，记为（X ，Y ）～U （D ）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

y 1 D 1 O 1
x
图3.1 y 1
O 2 x
图3.2 y d c
O a b x 图3.3
D 2
D 3
正态分布
,121
),(222212121122
1
))((2)1(21
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=
σμ
σσμμρσμρρσ
πσy y x x e y x f
其中1||,0,0,2
1
,
21
<>>ρσσμμ是5个参数，则称（X ，Y ）服从二维正态分
布，
记为（X ，Y ）～N （).,,,22
21
,
21
ρσσμ
μ
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X ～N （).(~),,22,
221
1
σμ
σμN Y
可是若X ～N （)(~),,22
,
221
1
σμ
σμN Y ，(X ，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：)()()(z Y X P z Z P z F Z
≤+=≤=
对于延续型，f Z (z)＝
dx x z x f ⎰+∞
∞
--),(
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（22
21
2
1
,σσμμ++）。

n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

∑=i
i i C μμ， ∑=i
i
i C 222σσ
Z=max,min(X
1
,X 2,…X n )
若n
X X X 2
1
,相互独立，其分布函数分别为
)()()(2
1
x F x F x F n
x x x ，，则Z=max,min(X 1,X 2,…X n )的分布函
数为：
)()()()(2
1
max
x F x F x F x F n
x x x •=
)](1[)](1[)](1[1)(2
1
min
x F x F x F x F
n
x x x --•--=
第四章 随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征
离散型延续型
期望
期望算是平均值
设X是离散型随机变量，其分
布律为P(
k
x
X=)＝p
k
，
k=1,2,…,n，
∑
=
=n
k
k
k
p
x
X
E
1
)
(
（要求绝对收敛）
设X是延续型随机变量，其概率
密度为f(x)，
⎰+∞
∞
-
=dx
x
xf
X
E)
(
)
(
（要求绝对收敛）
函数的期望Y=g(X)
∑
=
=n
k
k
k
p
x
g
Y
E
1
)
(
)
(
Y=g(X)
⎰+∞
∞
-
=dx
x
f
x
g
Y
E)
(
)
(
)
(
方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
标准差
)
(
)
(X
D
X=
σ
∑-
=
k
k
k
p
X
E
x
X
D2)]
(
[
)
(
⎰+∞
∞
-
-
=dx
x
f
X
E
x
X
D)
(
)]
(
[
)
(2
（2）期望的性质
（1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
∑∑
==
=
n
i
n
i
i
i
i
i
X
E
C
X
C
E
11
)
(
)
(
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。

（3）方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）常见分布的期望和方差
期望方差
0-1分布
)
,1(p
B
p)
1(p
p-
二项分布
)
,
(p
n
B
np)
1(p
np-
泊松分布
)
(λ
P
λλ
几何分布
)
(p
G p
1
2
1
p
p
-
超几何分布
)
,
,
(N
M
n
H N
nM
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
1
1
N
n
N
N
M
N
nM
均匀分布
)
,
(b
a
U2
b
a+
12
)
(2
a
b-
指数分布
)
(λ
eλ
1
2
1
λ
正态分布
),(2σμN
μ
2σ
（5）二维随机变量的数字特征
期望
∑=•
=n
i i i
p x X E 1
)(
∑=•=n j j
j p y Y E 1
)(
⎰+∞
∞
-=
dx x xf
X E X
)()(
⎰+∞
∞
-=
dy y yf
Y E Y
)()(
函数的期望 )],([Y X G E ＝
∑∑i
j
ij
j
i
p y
x G ),(
)],([Y X G E ＝
⎰⎰+∞∞+∞
∞
－－dxdy y x f y x G ),(),(
方差
∑•
-=i
i i
p X E x X D 2)]([)( ∑•-=j
j
j
p Y E x Y D 2)]([)(
⎰+∞
∞
--=dx x f X E x X D X )()]([)(2
⎰+∞
∞
--=dy y f Y E y Y D Y
)()]([)(2
协方差 对于随机变量X 与Y ，称它们的二阶混合中心矩11
μ为X 与Y 的协
方差或相关矩，记为),cov(Y X XY
或σ
，即
))].())(([(11
Y E Y X E X E XY
--==μσ
与记号XY
σ
相对应，X 与Y 的方差D （X ）与D （Y ）也可分别记为XX
σ
与YY
σ。

相关系数 对于随机变量X 与Y ，如果D （X ）>0, D(Y)>0，则称
)
()(Y D X D XY
σ
为X 与Y 的相关系数，记作XY
ρ
（有时可简记为ρ）。

|ρ|≤1，当|ρ|=1时，称X 与Y 彻底相关：1)(=+=b aY X P
彻底相关⎩⎨⎧<-=>=，
时负相关，当，
时正相关，当)0(1)0(1a a ρρ
而当0=ρ时，称X 与Y 不相关。

以下五个命题是等价的： ①0=XY
ρ
；
②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
（6）协方差的性质
(i) cov (X, Y)=cov (Y , X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X 1+X 2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y); (iv)
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）独立和不相关（i） 若随机变量X与Y相互独立，则0
=
XY
ρ；反之不真。

（ii） 若（X，Y）～N（ρ
σ
σ
μ
μ,
,
,
,2
2
2
1
2
1
），
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。