2020年高考数学一轮复习人教班理科数学课件第十章 第七节 离散型随机变量的分布列、均值与方差
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1 5 P 2＜X＜2＝(
D )
3 B． 4 5 D． 6
解析： 选 D.因为
1 1 1 1 1 c1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝1， 所以 c1－5＝1，
1 5 1 5 5 解得 c＝ ，所以 P2＜X＜2＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝c1－3＝ . 4 6
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分布列． 也用等式___________________________ pi≥0(i＝1,2，…，n) (2)性质：①________________________ ；② pi＝1.
第七节
离散型随机变量的分布列、均 值与方差
教材细梳理 知识点 1 离散型随机变量的分布列
(1)定义： 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， …， x i， …， xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
np 若 X～B(n，p)，则 E(X)＝____________ ，D(X)＝np(1－p)．
[拓展] (xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2,3， …， n)相对于均值 E(X)的偏离程度． 而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi，为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量
i＝1 n
量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与 当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低 于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六 月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
[xi－E(X)]2pi
n
DX为随机变量 X 的标准差，记为 σ(X)．
知识点 3
均值与方差的性质
aE(X)＋b (a，b 为实数)． (1)E(aX＋b)＝____________ a2D(X) (2)D(aX＋b)＝____________(a，b 为实数)．
知识点 4 二项分布的期望与方差
X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．
四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确 定．( √ ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平 均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( √ )
(3) 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 列 中 ， 各 个 概 率 之 和 可 以 小 于 1.( × ) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
i＝1 n
知识点 2 (1)均值
离散型随机变量的均值与方差
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 称 E(X)＝ ____________________________________ 为随机变量 X
的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差
i＝1 称 D(X)＝_______________ 为随机变量 X 的方差，其算术平方根
3．(知识点 3、4)已知 X＋Y＝8，若 X～B(10,0.6)，则 E(Y)和 D(Y) 分别是( B ) A．6 和 2.4 C．2 和 5.6 B．2 和 2.4 D．6 和 5.6
解析： 选 B.因为 X～B(10,0.6)， 则 n＝10， p＝0.6， 所以 E(X)＝10×0.6 ＝5，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， 又 X＋Y＝8，则 Y＝8－X， 所以 E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2， D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4×1＝2.4.
分布列性质的两个作用 1．利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列 的正确性． 2．随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一 点可以求随机变量在某个范围内的概率．
考点二 [例 1]
离散型随机变量的均值与方差[探究变通]
(2017· 全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货
2i ，i＝1,2,3，则 P(X＝i)＝a· 3
a 的值
27 B． 38
17 27 D． 19 19 解析：选 B.根据题意及随机变量分布列的性质得
22 23 2 27 ＋a· ＝1，解得 a＝ . a·＋a· 3 38 3 3
c 3．随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝ (k＝1,2,3,4)，其中 c kk＋1 为常数，则 2 A. 3 4 C. 5
2．(知识点 1)若某一射手射击所得环数 X 的分布列为 ⇐ 源自必修三P49A组T5 X 4 P 5 6 7 8 9 10
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 02 04 06 09 28 29 22
则此射手“射击一次命中环数 X≥7”的概率是( A ) A．0.88 C．0.79 B．0.12 D．0.09
则 m＋n＋p＝( C ) A．0.35 C．0.41 B．0.40 D．0.43
解析：选 C.由分布wenku.baidu.com的性质，得 m＋n＝1－(0.1＋0.4＋0.05×2)＝ 0.4，p＝1－(0.2＋0.4＋0.2＋0.15＋0.04)＝0.01，所以 m＋n＋p＝0.41.
2．设随机变量 X 的分布列为 为( B ) 17 A. 38 C.
4．(知识点 2)若随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)＝6.3，则表 中 a 的值为( C ) ⇐源自选修 2－3P49A 组 T5 X P A.5 C．7 4 0.5 B．6 D．8 a 0.1 9 b
考点一
离散型随机变量的分布列及性质[基础练通]
1．甲乙两射箭选手，射中环数 X 的分布列分别为 甲 X P 乙 X P 9 0.2 10 0.4 10.2 0.2 10.3 0.15 10.5 0.04 10.8 p 9 0.1 10 0.4 10.2 m 10.3 n 10.5 0.05 10.8 0.05
D )
3 B． 4 5 D． 6
解析： 选 D.因为
1 1 1 1 1 c1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝1， 所以 c1－5＝1，
1 5 1 5 5 解得 c＝ ，所以 P2＜X＜2＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝c1－3＝ . 4 6
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分布列． 也用等式___________________________ pi≥0(i＝1,2，…，n) (2)性质：①________________________ ；② pi＝1.
第七节
离散型随机变量的分布列、均 值与方差
教材细梳理 知识点 1 离散型随机变量的分布列
(1)定义： 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， …， x i， …， xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
np 若 X～B(n，p)，则 E(X)＝____________ ，D(X)＝np(1－p)．
[拓展] (xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2,3， …， n)相对于均值 E(X)的偏离程度． 而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi，为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量
i＝1 n
量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与 当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低 于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六 月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
[xi－E(X)]2pi
n
DX为随机变量 X 的标准差，记为 σ(X)．
知识点 3
均值与方差的性质
aE(X)＋b (a，b 为实数)． (1)E(aX＋b)＝____________ a2D(X) (2)D(aX＋b)＝____________(a，b 为实数)．
知识点 4 二项分布的期望与方差
X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．
四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确 定．( √ ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平 均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( √ )
(3) 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 列 中 ， 各 个 概 率 之 和 可 以 小 于 1.( × ) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
i＝1 n
知识点 2 (1)均值
离散型随机变量的均值与方差
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 称 E(X)＝ ____________________________________ 为随机变量 X
的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差
i＝1 称 D(X)＝_______________ 为随机变量 X 的方差，其算术平方根
3．(知识点 3、4)已知 X＋Y＝8，若 X～B(10,0.6)，则 E(Y)和 D(Y) 分别是( B ) A．6 和 2.4 C．2 和 5.6 B．2 和 2.4 D．6 和 5.6
解析： 选 B.因为 X～B(10,0.6)， 则 n＝10， p＝0.6， 所以 E(X)＝10×0.6 ＝5，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， 又 X＋Y＝8，则 Y＝8－X， 所以 E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2， D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4×1＝2.4.
分布列性质的两个作用 1．利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值及检查分布列 的正确性． 2．随机变量 X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一 点可以求随机变量在某个范围内的概率．
考点二 [例 1]
离散型随机变量的均值与方差[探究变通]
(2017· 全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货
2i ，i＝1,2,3，则 P(X＝i)＝a· 3
a 的值
27 B． 38
17 27 D． 19 19 解析：选 B.根据题意及随机变量分布列的性质得
22 23 2 27 ＋a· ＝1，解得 a＝ . a·＋a· 3 38 3 3
c 3．随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝ (k＝1,2,3,4)，其中 c kk＋1 为常数，则 2 A. 3 4 C. 5
2．(知识点 1)若某一射手射击所得环数 X 的分布列为 ⇐ 源自必修三P49A组T5 X 4 P 5 6 7 8 9 10
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 02 04 06 09 28 29 22
则此射手“射击一次命中环数 X≥7”的概率是( A ) A．0.88 C．0.79 B．0.12 D．0.09
则 m＋n＋p＝( C ) A．0.35 C．0.41 B．0.40 D．0.43
解析：选 C.由分布wenku.baidu.com的性质，得 m＋n＝1－(0.1＋0.4＋0.05×2)＝ 0.4，p＝1－(0.2＋0.4＋0.2＋0.15＋0.04)＝0.01，所以 m＋n＋p＝0.41.
2．设随机变量 X 的分布列为 为( B ) 17 A. 38 C.
4．(知识点 2)若随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)＝6.3，则表 中 a 的值为( C ) ⇐源自选修 2－3P49A 组 T5 X P A.5 C．7 4 0.5 B．6 D．8 a 0.1 9 b
考点一
离散型随机变量的分布列及性质[基础练通]
1．甲乙两射箭选手，射中环数 X 的分布列分别为 甲 X P 乙 X P 9 0.2 10 0.4 10.2 0.2 10.3 0.15 10.5 0.04 10.8 p 9 0.1 10 0.4 10.2 m 10.3 n 10.5 0.05 10.8 0.05