高考数学一轮复习知识点与练习均值和方差

1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
(1)均值：称E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差：称V (X )＝σ2
＝(x 1－μ)2
p 1＋(x 2－μ)2
p 2＋…＋(x n －μ)2
p n ＝∑n
i ＝
1
x 2i p i －μ2
为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根σ＝V (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .
(2)V (aX ＋b )＝a 2V (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，V (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，V (X )＝np (1－p )． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )
(3)若随机变量X 的取值中的某个值对应的概率增大时，期望值也增大．( ) (4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )
1．(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：
ξ 7 8 9 10 P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为________．
2．(2014·陕西改编)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为__________．
3．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝1
5(k ＝2,4,6,8,10)，则V (X )＝________.
4．(2014·浙江改编)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1
5，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.
5．(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．
题型一 离散型随机变量的均值、方差
命题点1 求离散型随机变量的均值、方差
例1 (2015·福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的概率分布和均值．
命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值
例2 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝5
3
，V (η)
＝5
9，求a ∶b ∶c .
命题点3 与二项分布有关的均值与方差
例3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生
故障的概率分别为1
10
和p .
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49
50，求p 的值；
(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及均值E (ξ)．
思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解．
(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值．
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．
(1)(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，
B ，乙被划分为两个不相交的区域
C ，
D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回
球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为1
3
；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概
率为15，在D 上的概率为3
5
.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
①小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； ②两次回球结束后，小明得分之和ξ的概率分布与均值．
(2)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
①求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； ②用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的概率分布，均值E (X )及方差V (X )．
题型二 均值与方差在决策中的应用
例4 (2014·湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不
足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X 40<X<8080≤X≤120X>120
发电机最多可运行台数12 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这
两种情况发生的概率分别为7
9和
2
9；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不
赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和1
15
.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
8．离散型随机变量的均值与方差问题
典例 (14分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m
个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为2
5
，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.
(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是1
3
，求P 2的值；
(3)设P 2＝1
5，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋
中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和均值．
求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的概率分布． 第四步：求均值和方差．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的概率分布、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．
[方法与技巧] 1．均值与方差的性质
(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )(a ，b 为常数)． (2)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )．
(3)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．
2．求离散型随机变量的均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解． [失误与防范]
1．在没有准确判断概率分布模型之前不能随便套用公式．
2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．
A 组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，V (X )＝3，则P (X ＝1)的值为________．
2．随机变量ξ的概率分布如下，其中a 、b 、c 为等差数列，若E (ξ)＝1
3
，则V (ξ)的值为________.
ξ －1 0 1 P
a
b
c
3．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差V (ξ)＝________.
4．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X ，则X 的均值是________．
5．设随机变量ξ～B (5,0.5)，又η＝5ξ，则E (η)和V (η)的值分别是________．
6．已知随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝1
2k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2<ξ≤5)＝________.
7．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的均值为________．
8．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣
优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．
(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；
(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的概率分布和均值．
9．现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．
(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；
(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的概率分布及均值．
B组专项能力提升
(时间：30分钟)
10．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为________．
11．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为________．
12．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：
x 12 3
P(ξ＝x)？！？
请小牛同学计算ξ的均值．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
13．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．
(1)在这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的概率分布；
(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．
14．气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t(单位：℃)t≤2222<t≤28 28<t≤32 t>32
天数612Y Z
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：
日最高气温t(单位：℃)t≤2222<t≤28 28<t≤32 t>32
日销售额X (单位：千元)2568
(1)求Y，Z的值；
(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的均值和方差；
(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
专注·专业·口碑·极致- 11 -。