2024八年级数学下册第4章一次函数4.4用待定系数法确定一次函数表达式习题课件新版湘教版
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= ，
= ，
得ቊ
解得ቊ
＋ = ，
= .
∴该函数的表达式为y＝x＋1.
由题意知点C的纵坐标为4，
令y＝4，解得x＝3.∴点C的坐标为(3，4).
(2)当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝ x＋n的值大于
函数y＝kx＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值.
【解】n的值为2.
思维发散练2
利用两直线位置关系求一次函数表达式
12.[2023·温州]如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝
2x－ 上，过点A的直线交y轴于点B(0，3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式；
【解】(1)把点A(2，m)的坐标代入y＝2x－ 中，得m＝ .
∴点A的坐标为 ，
向上平移2个单位得到的图象的表达式是(
A.y＝－3x－5
B.y＝3x－3
C.y＝3x＋1
D.y＝3x－1
)
【点拨】
由题意可得一次函数y＝kx＋b的图象也经过点(3，6)，
所以ቊ
＋ = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
＋ = ，
所以此一次函数的表达式为y＝3x－3.
将函数y＝3x－3的图象向上平移2个单位得到的图象的
2. [2023·鄂州 新考向·文化传承]象棋起源于中国，中国象棋
文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面
直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，则在
同一坐标系下，图象经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次
函数表达式为(
)
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
C.y＝2x＋1
D.y＝2x－1
= .
＋ = .
(2)应用：①请你估算小明在第20分钟记录时量筒的总水
量是多少毫升；
②一个人一天大约饮用1 500毫升水，请你估算这个水龙
头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天.
【解】①当t＝20时，y＝100＋2＝102.
答：估算小明在第20分钟记录时量筒的总水量是102毫升.
A(0，2)，B(2，3)，C(3，1).同学们画出了经过这三个点中
每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1
＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3，分别
计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，其中最大
的值等于 5
.
【点拨】
解法一：利用待定系数法分别求出k1，b1，k2，b2，k3，
【解】∵点P(t，y1)在线段AB上，
∴y1＝－ t＋3(0≤t≤2).
∵点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－ 上，
∴y2＝2(t－1)－ ＝2t－ .
∴y1－y2＝－ t＋3－(2t－ )＝－ t＋ .
∵－ ＜0，∴y1－y2随t的增大而减小.
∴当t＝0时，y1－y2有最大值，最大值为 .
−＋ =
入，得ቊ
= ，
，
＝ ，
解得൝
= .
∴直线AP的表达式为y＝ x＋2.在y＝ x＋2
中，令x＝2，则y＝ ×2＋2＝3，即p＝3.
(3)若△BOP与△DOP的面积相等，
求直线BD的表达式.
【解】如图，过点P作PF⊥x轴于点F.
设直线BD的表达式为y＝mx＋n(m≠0).
直线上，则a的值等于( C )
A.－1
【点拨】
B.0
C.3
D.4
设经过(1，4)，(2，7)两点的直线的表达式为y＝kx＋b，
则有ቊ
= ＋，
= ，
解得ቊ
所以直线的表达式为y＝3x
= .
= ＋，
＋1.将点(a，10)的坐标代入表达式，得a＝3.故选C.
4.[2023·威海]一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与
(0.5，30)，(2，150)代入y＝kx＋b，得
ቊ
. ＋ = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
＋ = ，
∴当0.5＜x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝80x－10.
5.[2023·杭州]如图，在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k，b与
图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：
出；超过2千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，
则他购买了 3 千克糯米.设某人的付款金额为x元，购
买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x＞10)的函数表
达式为 y＝ x－ .
【点拨】
−×
−
−
＋2＝3(千克).由题易知y＝
＋2＝ ＝ x－
×.
×.
k，b的值，从而确定其表达式.
知识点1
用点的坐标求一次函数的表达式
1.用点的坐标确定一次函数的表达式的一般步骤：
(1)设：设出一次函数表达式的一般形式：
y＝kx＋ b(k≠0) ；
(2)代：将已知点的
坐标
代入函数表达式，列出方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出待定系数；
(4)写：写出一次函数的表达式.
行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时，y
与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5＜x≤2时，y与x之间
的函数表达式为
y＝80x－10 .
【点拨】
∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，
∴当x＝0.5时，y＝30.
设当0.5＜x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.把
表达式为y＝3x－1.
【答案】D
知识点3
用等量关系法求一次函数的表达式
9.求一次(正比例)函数的表达式，首先应通过审题找出题目
中的等量关系，再把这个等量关系转化为关于x，y的等
式，最后整理为一次(正比例)函数的
一般形式
即可.
10.[2022·呼和浩特]某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推
出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售
.
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，
把A
，
，B(0，3)的坐标代入，
＋＝ ，
＝ − ，
得൝
解得൝
= ，
= .
∴直线AB的函数表达式为y＝－ x＋3.
(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x
－ 上，求y1－y2的最大值可得出“马”位于点(1，2).
设图象经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达
式为y＝kx＋b，
∴ቊ
− = −＋，
= ，
解得ቊ
= .
= ＋，
∴一次函数表达式为y＝x＋1.
【答案】A
3.[2023·贵阳八中月考]若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一
4.4
用待定系数法确定
一次函数表达式
名师点金
用待定系数法求一次函数表达式要明确两点：(1)具备条
件：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个不确定的系数k，b，需
要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，解方程组求得
k，b的值.(2)确定方法：将两对已知变量的对应值分别代入y
＝kx＋b，建立关于k，b的两个方程，通过解方程组，求出
思维发散练3
利用几何图形的性质求一次函数表达式
13.如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点
P(2，p)在第一象限，直线PA交y轴于点C(0，2)，直线PB
交y轴于点D，连接OP，△AOP的面积为6.
(1)求△COP的面积；
【解】(1)如图，过点P作PE⊥y轴于点E.
∵点P的横坐标是2，∴PE＝2.∵C(0，2)，
(1)探究：根据上表中的数据，请判断y＝ 和y＝kt＋b(k，
b为常数)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？
并求出y关于t的表达式.
【解】y＝kt＋b(k，b为常数)能正确反映总水量y与时间t的
函数关系.
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，
= ，
＋ = ，
∴ቊ
解得ቊ
∴y关于t的表达式为y＝5t＋2.
②当t＝24×60＝1 440时，y＝5×1 440＋2＝7 202，
( −)×
当t＝0时，y＝2，∴
＝144(天).
答：估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人
饮用144天.
∵直线BD过点P(2，3)，
＋ = ，
＝
−
，
∴2m＋n＝3.联立൝
解得൝
− = ，
= .
∴直线BD的表达式为y＝－ x＋6.
命题新趋势 利用表格信息探求一次函数表达式解实际应用
14. [2023·永州 新考法·待定系数法]小明观察到一个水龙头因
损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，
直线y＝kx＋b的
k
不变；旋转时，要注意特殊点的坐标
变化.
7.[2023·无锡]将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位，所得
图象对应的函数表达式是(
A
)
A.y＝2x－1
B.y＝2x＋3
C.y＝4x－3
D.y＝4x＋5
8.[2023·益阳六中模拟]一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，
3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图象
b3的值，再计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，最后比较大小
即可得到答案.
解法二：作直线AB，AC，BC，作直线x＝1，由图象可
知，直线x＝1与直线BC的交点最高，利用待定系数法求出
直线BC表达式中k，b的值即可得到答案.
知识点2
用图形变换法求一次函数的表达式
6.直线的位置变换包含平移(平行)、旋转等.平移(平行)时，
(x＞10).
思维发散练1 利用点的坐标信息求一次函数表达式
11.[2023·北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)
的图象经过点A(0，1)和B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x
轴的直线交于点C.
(1)求该函数的表达式及点C的坐标；
【解】把点A(0，1)，B(1，2)的坐标代入y＝kx＋b(k≠0)，
由(2)得点P的坐标(2， 3)，
∴PE＝2，PF＝3.∵S△BOP＝ OB·PF，
S△DOP＝ OD·PE，S△BOP＝S△DOP，
∴ OB·PF＝ OD·PE.∴3OB＝2OD.
在y＝mx＋n中，令x＝0，则y＝n，
令y＝0，则x＝－ .∴OD＝n，OB＝－ .∴－ ＝2n.
∴OC＝2.∴S△COP＝ OC·PE＝ ×2×2＝2.
(2)求点A的坐标及p的值；
【解】∵S△AOC＝S△AOP－S△COP＝6－2＝4，
∴S△AOC＝ OA·OC＝4，即 OA×2＝4.∴OA＝4.
∴点A的坐标是(－4，0).设直线AP的表达式为
y＝kx＋b(k≠0).将A(－4，0)，C(0，2)的坐标代
小明把一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一
分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的
时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t(单位：分钟)
1
2
3
4
5
…
总水量y(单位：毫升)
7
12
17
22
27
…
时间t(单位：分钟)
1
2
3
4
5
…
总水量y(单位：毫升)
7
12
17
22
27
…
= ，
得ቊ
解得ቊ
＋ = ，
= .
∴该函数的表达式为y＝x＋1.
由题意知点C的纵坐标为4，
令y＝4，解得x＝3.∴点C的坐标为(3，4).
(2)当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝ x＋n的值大于
函数y＝kx＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值.
【解】n的值为2.
思维发散练2
利用两直线位置关系求一次函数表达式
12.[2023·温州]如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝
2x－ 上，过点A的直线交y轴于点B(0，3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式；
【解】(1)把点A(2，m)的坐标代入y＝2x－ 中，得m＝ .
∴点A的坐标为 ，
向上平移2个单位得到的图象的表达式是(
A.y＝－3x－5
B.y＝3x－3
C.y＝3x＋1
D.y＝3x－1
)
【点拨】
由题意可得一次函数y＝kx＋b的图象也经过点(3，6)，
所以ቊ
＋ = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
＋ = ，
所以此一次函数的表达式为y＝3x－3.
将函数y＝3x－3的图象向上平移2个单位得到的图象的
2. [2023·鄂州 新考向·文化传承]象棋起源于中国，中国象棋
文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面
直角坐标系，使棋子“帅”位于点(－2，－1)的位置，则在
同一坐标系下，图象经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次
函数表达式为(
)
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
C.y＝2x＋1
D.y＝2x－1
= .
＋ = .
(2)应用：①请你估算小明在第20分钟记录时量筒的总水
量是多少毫升；
②一个人一天大约饮用1 500毫升水，请你估算这个水龙
头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天.
【解】①当t＝20时，y＝100＋2＝102.
答：估算小明在第20分钟记录时量筒的总水量是102毫升.
A(0，2)，B(2，3)，C(3，1).同学们画出了经过这三个点中
每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1
＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3，分别
计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，其中最大
的值等于 5
.
【点拨】
解法一：利用待定系数法分别求出k1，b1，k2，b2，k3，
【解】∵点P(t，y1)在线段AB上，
∴y1＝－ t＋3(0≤t≤2).
∵点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－ 上，
∴y2＝2(t－1)－ ＝2t－ .
∴y1－y2＝－ t＋3－(2t－ )＝－ t＋ .
∵－ ＜0，∴y1－y2随t的增大而减小.
∴当t＝0时，y1－y2有最大值，最大值为 .
−＋ =
入，得ቊ
= ，
，
＝ ，
解得൝
= .
∴直线AP的表达式为y＝ x＋2.在y＝ x＋2
中，令x＝2，则y＝ ×2＋2＝3，即p＝3.
(3)若△BOP与△DOP的面积相等，
求直线BD的表达式.
【解】如图，过点P作PF⊥x轴于点F.
设直线BD的表达式为y＝mx＋n(m≠0).
直线上，则a的值等于( C )
A.－1
【点拨】
B.0
C.3
D.4
设经过(1，4)，(2，7)两点的直线的表达式为y＝kx＋b，
则有ቊ
= ＋，
= ，
解得ቊ
所以直线的表达式为y＝3x
= .
= ＋，
＋1.将点(a，10)的坐标代入表达式，得a＝3.故选C.
4.[2023·威海]一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与
(0.5，30)，(2，150)代入y＝kx＋b，得
ቊ
. ＋ = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
＋ = ，
∴当0.5＜x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝80x－10.
5.[2023·杭州]如图，在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k，b与
图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：
出；超过2千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，
则他购买了 3 千克糯米.设某人的付款金额为x元，购
买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x＞10)的函数表
达式为 y＝ x－ .
【点拨】
−×
−
−
＋2＝3(千克).由题易知y＝
＋2＝ ＝ x－
×.
×.
k，b的值，从而确定其表达式.
知识点1
用点的坐标求一次函数的表达式
1.用点的坐标确定一次函数的表达式的一般步骤：
(1)设：设出一次函数表达式的一般形式：
y＝kx＋ b(k≠0) ；
(2)代：将已知点的
坐标
代入函数表达式，列出方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出待定系数；
(4)写：写出一次函数的表达式.
行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时，y
与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5＜x≤2时，y与x之间
的函数表达式为
y＝80x－10 .
【点拨】
∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，
∴当x＝0.5时，y＝30.
设当0.5＜x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.把
表达式为y＝3x－1.
【答案】D
知识点3
用等量关系法求一次函数的表达式
9.求一次(正比例)函数的表达式，首先应通过审题找出题目
中的等量关系，再把这个等量关系转化为关于x，y的等
式，最后整理为一次(正比例)函数的
一般形式
即可.
10.[2022·呼和浩特]某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推
出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售
.
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，
把A
，
，B(0，3)的坐标代入，
＋＝ ，
＝ − ，
得൝
解得൝
= ，
= .
∴直线AB的函数表达式为y＝－ x＋3.
(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x
－ 上，求y1－y2的最大值可得出“马”位于点(1，2).
设图象经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达
式为y＝kx＋b，
∴ቊ
− = −＋，
= ，
解得ቊ
= .
= ＋，
∴一次函数表达式为y＝x＋1.
【答案】A
3.[2023·贵阳八中月考]若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一
4.4
用待定系数法确定
一次函数表达式
名师点金
用待定系数法求一次函数表达式要明确两点：(1)具备条
件：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个不确定的系数k，b，需
要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，解方程组求得
k，b的值.(2)确定方法：将两对已知变量的对应值分别代入y
＝kx＋b，建立关于k，b的两个方程，通过解方程组，求出
思维发散练3
利用几何图形的性质求一次函数表达式
13.如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点
P(2，p)在第一象限，直线PA交y轴于点C(0，2)，直线PB
交y轴于点D，连接OP，△AOP的面积为6.
(1)求△COP的面积；
【解】(1)如图，过点P作PE⊥y轴于点E.
∵点P的横坐标是2，∴PE＝2.∵C(0，2)，
(1)探究：根据上表中的数据，请判断y＝ 和y＝kt＋b(k，
b为常数)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？
并求出y关于t的表达式.
【解】y＝kt＋b(k，b为常数)能正确反映总水量y与时间t的
函数关系.
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，
= ，
＋ = ，
∴ቊ
解得ቊ
∴y关于t的表达式为y＝5t＋2.
②当t＝24×60＝1 440时，y＝5×1 440＋2＝7 202，
( −)×
当t＝0时，y＝2，∴
＝144(天).
答：估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人
饮用144天.
∵直线BD过点P(2，3)，
＋ = ，
＝
−
，
∴2m＋n＝3.联立൝
解得൝
− = ，
= .
∴直线BD的表达式为y＝－ x＋6.
命题新趋势 利用表格信息探求一次函数表达式解实际应用
14. [2023·永州 新考法·待定系数法]小明观察到一个水龙头因
损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，
直线y＝kx＋b的
k
不变；旋转时，要注意特殊点的坐标
变化.
7.[2023·无锡]将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位，所得
图象对应的函数表达式是(
A
)
A.y＝2x－1
B.y＝2x＋3
C.y＝4x－3
D.y＝4x＋5
8.[2023·益阳六中模拟]一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，
3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数图象
b3的值，再计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，最后比较大小
即可得到答案.
解法二：作直线AB，AC，BC，作直线x＝1，由图象可
知，直线x＝1与直线BC的交点最高，利用待定系数法求出
直线BC表达式中k，b的值即可得到答案.
知识点2
用图形变换法求一次函数的表达式
6.直线的位置变换包含平移(平行)、旋转等.平移(平行)时，
(x＞10).
思维发散练1 利用点的坐标信息求一次函数表达式
11.[2023·北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)
的图象经过点A(0，1)和B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x
轴的直线交于点C.
(1)求该函数的表达式及点C的坐标；
【解】把点A(0，1)，B(1，2)的坐标代入y＝kx＋b(k≠0)，
由(2)得点P的坐标(2， 3)，
∴PE＝2，PF＝3.∵S△BOP＝ OB·PF，
S△DOP＝ OD·PE，S△BOP＝S△DOP，
∴ OB·PF＝ OD·PE.∴3OB＝2OD.
在y＝mx＋n中，令x＝0，则y＝n，
令y＝0，则x＝－ .∴OD＝n，OB＝－ .∴－ ＝2n.
∴OC＝2.∴S△COP＝ OC·PE＝ ×2×2＝2.
(2)求点A的坐标及p的值；
【解】∵S△AOC＝S△AOP－S△COP＝6－2＝4，
∴S△AOC＝ OA·OC＝4，即 OA×2＝4.∴OA＝4.
∴点A的坐标是(－4，0).设直线AP的表达式为
y＝kx＋b(k≠0).将A(－4，0)，C(0，2)的坐标代
小明把一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一
分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的
时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t(单位：分钟)
1
2
3
4
5
…
总水量y(单位：毫升)
7
12
17
22
27
…
时间t(单位：分钟)
1
2
3
4
5
…
总水量y(单位：毫升)
7
12
17
22
27
…