量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7
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与视核为点电荷时电子的势能之差为
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。 定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解： 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1
4Z 4 e2 3 a0
r0
0
e
1 r2 3 2 3 r dr r 2r0 2r0
由于核半径 r0 远小于原子半径 a0 / Z ，积分时近似认为
H k' ,m
2
0 Em －Ek 0
1 2 2 1 1 D E 0－E 0 E 0－E 0 4 m 1 m m 1 m
2
1 ID 2 2 / 2 4m 1
和微扰前相比，基态能级降低，各激发态能级略有升高，简并能级并未解除。 2）当 m 1 时，
r r
即
n n
n r n 0
基态能级 l 0 是非简并的，因而可以用非简并微扰。
E0 H'0 0 D 0 | c o s
1
|0 0 D z
0 r| |0
0 2
0
2 E0
l 0 ,m
Hl' m, 0 0 / E l 0 E
e2 Zr / a0 1
所以
E1s 1s H ' 1s
1
4Z 4e2 3 a0
r0
0
1 r2 3 2 3 r dr r 2r0 2r0
2 Z 4 e 2 r02 3 5 a0 4 Zr 0 0 E1s 5 a0
'
H k' ,m
0
2 0
Em Ek
B k
'
E m Ek
D k
'
Em Ek
0
0
1）当 m 1时， H m,k H m,k 0 。不发生简并态和 m 和 m 的耦合，
' '
0
0
Em k
2
'
D
3
2
I
2
此即基态能级的二级修正。
3. 转动惯量为 I ， 电矩为 D 的平面转子处在均匀弱电场 中， 电场处在转子运动的平面上， 用微扰法求转子的能量的二级修正。
解：
H H 0 H ' lz2 / 2I D cos
H 0 的本征函数，本征值为
0 m
所以
E 2
5 ID 6 A D 2 1 6
2 2
即
原 m 1 的简并能级一分为二。
1 im e , 2
0 Em m2
2
2I
,
m 0, 1， 2，
除基态外，其他能级都是二重简并的。 微扰
' H mn D m cos n
1 D m ei e i n 2 1 1 2 i n m 1 i n m 1 D e e d 2 2 0 1 n m 1 D , 2 n m 1 0,
此即基态能级的一级修正。
2
2. 转动惯量为 I ，电矩为 D 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场较小，用微扰理论求 转子基态能量的二级修正。
解：
L H H0 H D cos 2I
'
2
H 0 的本征函数为 n l , m Ylm ,
能级为
El l l 1
0 2 0
H k' ,1
2
B k
'
E 1 Ek
0
1 ID 2 2 2 3
E1 E0
0 ' ' H 1,0 H 0,1 0
D k
'
' H k' ,m H m,k
Em Ek
0
1 ID 2 2 2 2
由于
A B,
D D*
E 0 ，即一级微扰下，各能级简并未解除。
' ' '
以下讨论二级微扰： 可以证明：在 H m,m H m, m H m, m 0 时，有
A E D
其中
2
D* B E 2
0
H k' , m
0 2 0 ' H k' ,m H m,k
A k
' ' H1, k H 1, k 0,
若k 0
此时两个简并态之间存在耦合方式： 1 0 -1
A k
'
1 ID 2 2 1 2 2 1 1 = D 2 E 0 E 0 E 0 E 0 = 3 E1 0 Ek 0 4 0 1 0 1 H k' ,1
解久期方程可得：
E
1
1 ' ' H m,m H m, m 2
H
' m,m
2 ' ' ' H m , m 4 H m , m H m ,m
因为 所以
1
' ' ' Hm , m H m, m H m, m 0
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。 定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解： 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1
4Z 4 e2 3 a0
r0
0
e
1 r2 3 2 3 r dr r 2r0 2r0
由于核半径 r0 远小于原子半径 a0 / Z ，积分时近似认为
H k' ,m
2
0 Em －Ek 0
1 2 2 1 1 D E 0－E 0 E 0－E 0 4 m 1 m m 1 m
2
1 ID 2 2 / 2 4m 1
和微扰前相比，基态能级降低，各激发态能级略有升高，简并能级并未解除。 2）当 m 1 时，
r r
即
n n
n r n 0
基态能级 l 0 是非简并的，因而可以用非简并微扰。
E0 H'0 0 D 0 | c o s
1
|0 0 D z
0 r| |0
0 2
0
2 E0
l 0 ,m
Hl' m, 0 0 / E l 0 E
e2 Zr / a0 1
所以
E1s 1s H ' 1s
1
4Z 4e2 3 a0
r0
0
1 r2 3 2 3 r dr r 2r0 2r0
2 Z 4 e 2 r02 3 5 a0 4 Zr 0 0 E1s 5 a0
'
H k' ,m
0
2 0
Em Ek
B k
'
E m Ek
D k
'
Em Ek
0
0
1）当 m 1时， H m,k H m,k 0 。不发生简并态和 m 和 m 的耦合，
' '
0
0
Em k
2
'
D
3
2
I
2
此即基态能级的二级修正。
3. 转动惯量为 I ， 电矩为 D 的平面转子处在均匀弱电场 中， 电场处在转子运动的平面上， 用微扰法求转子的能量的二级修正。
解：
H H 0 H ' lz2 / 2I D cos
H 0 的本征函数，本征值为
0 m
所以
E 2
5 ID 6 A D 2 1 6
2 2
即
原 m 1 的简并能级一分为二。
1 im e , 2
0 Em m2
2
2I
,
m 0, 1， 2，
除基态外，其他能级都是二重简并的。 微扰
' H mn D m cos n
1 D m ei e i n 2 1 1 2 i n m 1 i n m 1 D e e d 2 2 0 1 n m 1 D , 2 n m 1 0,
此即基态能级的一级修正。
2
2. 转动惯量为 I ，电矩为 D 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场较小，用微扰理论求 转子基态能量的二级修正。
解：
L H H0 H D cos 2I
'
2
H 0 的本征函数为 n l , m Ylm ,
能级为
El l l 1
0 2 0
H k' ,1
2
B k
'
E 1 Ek
0
1 ID 2 2 2 3
E1 E0
0 ' ' H 1,0 H 0,1 0
D k
'
' H k' ,m H m,k
Em Ek
0
1 ID 2 2 2 2
由于
A B,
D D*
E 0 ，即一级微扰下，各能级简并未解除。
' ' '
以下讨论二级微扰： 可以证明：在 H m,m H m, m H m, m 0 时，有
A E D
其中
2
D* B E 2
0
H k' , m
0 2 0 ' H k' ,m H m,k
A k
' ' H1, k H 1, k 0,
若k 0
此时两个简并态之间存在耦合方式： 1 0 -1
A k
'
1 ID 2 2 1 2 2 1 1 = D 2 E 0 E 0 E 0 E 0 = 3 E1 0 Ek 0 4 0 1 0 1 H k' ,1
解久期方程可得：
E
1
1 ' ' H m,m H m, m 2
H
' m,m
2 ' ' ' H m , m 4 H m , m H m ,m
因为 所以
1
' ' ' Hm , m H m, m H m, m 0