福建省惠安县2020年初中学业质量检查第二次数学试题含答案 (2)

惠安县初中学业质量测查（第二次）
数学试题
（试卷满分:150分；考试时间:120分钟）
友情提示：请认真作答，把答案准确地填写在答题卡上
学校姓名考生号
一、选择题（每小题3分，共21分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答
题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分．
1．化简4的结果是（）
A．2B．2 C．－2 D．±2
2．下列计算错误
．．的是（）
A．6a + 2a =8a B．a– (a– 3) =3 C．a2÷a2 = 0 D．a–1·a2 = a
3. 下列四个平面图形中，三棱锥的表面展开图的是（）
A．B．C．D．
4．学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九年级一班学生捐款情况如下表：
捐款金额（元） 5 10 20 50
人数（人）10 13 12 15
则该班学生捐款金额的中位数是（）
A．13 B．12 C．10 D．20
5．下列事件发生属于不可能事件的是（）
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm
C．任取一个实数x，都有|x|≥0
D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6 6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．8 B. 6 C. 4 D. 2
7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC，则点B到AD
的距离是（）
A．
2
3
B．2 C．5D．
13
13
6
E B
D
O
C
A
（第6题图）
（第7题图）
二、填空题（每小题4分，共40分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
8．若70
A ︒
∠=，则A
∠的余角是度．
9．我国第一艘航母“辽宁舰”的最大排水量为68000吨，用科学记数法表示这个数据是
吨.
10．计算:
2
-
x
x
+
x
-
2
2
＝．
11．分解因式：xy2– 9x = ．
12．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为．
13. 如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE：S△DCE= ．
14．若关于x的方程x2＋(k－2)x－k2＝0的两根互为相反数，则k＝．
15．如果圆锥的底面周长
．．．．为2πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120º，则该圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）
16．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE．若DE：
AC=3：5，则
AB
AD
的值为．
17．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线:l3
y kx k
=-（0
k<）
与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，动点D（异于点A、B）
在线段AB上，DC⊥x轴于C．
（1）不论k取任何负数，直线l总经过一个定点，写出该定点的
坐标为；
（2）当点C的横坐标为2时，在x轴上存在点P，使得PB⊥PD，
则k的取值范围为．
三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
18．（9分）计算：2
32(2)2sin60
---+o－(2π－1)0．
19．（9分）先化简，再求值：2x（x+1）+(x﹣1)2，其中x=23．
（第17题图）
20．（9分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于
F ．求证：△ADE ≌△CDF ．
21．（9分）某校开展“中国梦•泉州梦•我的梦”主题教育系列活动，设有征文、独唱、绘画、手抄报
四个项目，该校共有800人次参加活动．下面是该校根据参加人次绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题．
（1）此次有 名同学参加绘画活动，扇形统计图中“独唱”部分的圆心角是 度．请你把条形统
计图补充完整．
（2）经研究，决定拨给各项目活动经费，标准是：征文、独唱、绘画、手抄报每人次分别为10元、
12元、15元、12元，请你帮学校计算开展本次活动共需多少经费？ 22．（9分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片的
背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次结果记为（x ，y ）． （1）用树状图或列表法表示（x ，y ）所有可能出现的结果；
（2）求使分式y x y
y
x xy x -+--2
223有意义的（x ，y ）出现的概率；
（第20题图）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线12
-+=bx ax y 经过点A （2，﹣1），它的对称轴与x 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标； （2）如果直线y =x +1与抛物线的对称轴交于点C , 与抛物线在对称轴右侧
交于点D ,且∠BDC =∠ACB ,求此抛物线的表达式．
24．（9分）某公司采购某商品60箱销往甲乙两地，已知某商品在甲地销售平均每箱的利润1y (百
元)与销售数量x (箱)的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+-≤<+=)6020(5.740
1),200(510
1
1x x x x y 在乙地销售平均每箱的利2y (百元)
与销售数量t （箱）的关系为⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤+-≤<=)6030(8151),300(62t t t y
（1）将y 2转换为以x 为自变量的函数，则y 2= ；
（2）设某商品获得总利润W （百元），当在甲地销售量x （箱)的范围是0＜x ≤20时，求W 与x 的
关系式；（总利润＝在甲地销售利润＋在乙地销售利润）
（3）经测算，在20＜x ≤30的范围内，可以获得最大总利润，求这个最大总利润，并求出此时x 的
值.
25．（12分）如图，在平面直角坐标xoy 内，函数y ＝
x
m
（x ＞0，m 是常数）的图象经过A (1,4)，B (a ,b )，其中a ＞1．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ． （1）求m 的值；
（2）求证：DC ∥AB ；
（3）当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数表达式．
（第23题图）
.
26．（14分）如图，矩形ABCD 的边AB = 3，AD = 4，点E 从点A 出发，沿射线AD 移动，以CE
为直径作圆O ，点F 为圆O 与射线BD 的公共点，连结EF 、CF ，过点E 作EG ⊥EF ，EG 与圆O 相交于点G ，连结CG ．
（1）求证：四边形EFCG 是矩形； （2）求tan ∠CEG 的值；
（3）当圆O 与射线BD 相切时，点E 停止移动，在点E 移动
的过程中，求四边形EFCG 面积的取值范围;
惠安县初中毕业班质量检测 数学试题参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分． （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题（每小题3分，共21分）
1.B
2.C
3.B
4.D
5.B
6.A
7.C 二、填空题（每小题4分，共40分）
8. 20； 9. 4
6.810⨯； 10. 1； 11. (3)(y 3)x y +-； 12. 54°； 13. 1：3；
14. 2； 15. 3π； 16. 1
2
； 17.（1）(3,0)； （2）303k -≤<. 三、解答题（共89分） 18．（本小题9分）
解：原式23431=--+- ……………………（8分） 3=- ……………………（9分）
19.（本小题9分）
解：原式=2x 2+2x +x 2﹣2x +1，……………………(6分)
=3x 2+1……………………(7分) 当x =2
时，原式=3×（2）2+1………………(8分)
=37．……………………(9分)
20．（本小题9分） 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD =CD ；∠A =∠C ，……………………（6分） 又∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F,∴∠AED =∠CFD =90°; ……………………（8分） 在△ADE 和△CDF 中,∠A =∠C ，∠AED =∠CFD , AD =CD ； ∴△ADE ≌△CDF ．……………………（9分） 21．（本小题9分）
（第26题图）
解：（1）200，36．……………………（4分） 画图如图：
……………………（6分） （2）根据题意得：296×10+80×12+200×15+224×12=9608（元）
答：开展本次活动共需9608元经费． ……………………（9分）
22．（本小题9分） 解：（1）列表如下：
-2 -1 1 -2 （-2，-2） （-2，-1） （-2，1） -1 （-1，-2） （-1，-1） （-1，1） 1 （1，-2） （1，-1） （1，1）
……………………（5分）
(2)由上表可知，所有等可能的情况共有9种，……………………（6分）
∵使分式y x y
y
x xy x -+--2
223有意义，∴x ≠y 且x ≠-y;……………………（7分） ∴满足条件的点有4种，…………………（8分） 则P=
4
9
．………………（9分） （树状图略）
23．（本小题9分）
解：（1）∵抛物线经过点A （2，－1），∴ 4a ＋2b －1＝－1，即 b ＝－2a ，………………（1分）
∵ －
2b a ＝－22a a
-＝1，………………（2分） ∴点B 的坐标是（1，0）. ………………（3分） （2）(解法1)如图2所示.
由（1）得，抛物线的对称轴是x ＝1，
可得直线y ＝x ＋1与x 轴的交点为E （－1，0）， 与抛物线的对称轴的交点C （1，2），∴BE =BC =2， ∴△EBC 是等腰直角三角形；…………（4分）
连结AB ，则∠ABC =∠BCD =135 º，且AB =2; 又∵∠BDC =∠ACB ，∴△ABC ∽△BCD .
∴
AB BC
BC CD
=
，∴2BC AB CD =•;………………（5分） 过D 作DH ⊥BC 于H ，则CH =HD ，设点D 的坐标为（m ，m ＋1），
在Rt △CHD 中，∵m ＞1, CH =HD =m -1,∴CD =2HD =21(m )- ∴22=2×21(m )- ， 解得m ＝3，………………（5分） ∴点D （3，4），………………（7分）
把D （3，4）坐标代入抛物线y ＝ax 2－2ax －1得
9a －6a －1＝4，解得a ＝
5
3.………………（8分） ∴此抛物线的表达式为y ＝53x 2－10
3
x －1.………………（9分）
(解法2)如图3所示.
由（1）得，抛物线的对称轴是x ＝1，
可得直线y ＝x ＋1与x 轴、y 轴的交点为E （－1，0）， F （0，1），与抛物线的对称轴的交点C （1，2）， ∴BE ＝BC ，BE ⊥BC ，
∴△EBC 是等腰直角三角形.………………（4分）
连结BF ，则BF ⊥EC ，且BF ＝2；
过A 作AG ⊥BC 于G ，则∠DFB ＝∠CGA ＝90º， 又∵∠BDF ＝∠ACG ，∴△BDF ∽△ACG . ∴
BD BF
AC AG =
∴2213
BD +＝21 ∴BD ＝25.………………（5分）
过D 作DH ⊥BC 于H ，设点D 的坐标为（m ，m ＋1），
在Rt △BDH 中，BH 2＋HD 2＝BD 2， ∴(m ＋1)2＋(m －1)2＝20， 解得m ＝±3（负数不合题意，舍去），∴点D （3，4）………………（7分） 把D （3，4）坐标代入抛物线y ＝ax 2－2ax －1得
9a －6a －1＝4， 解得a ＝
5
3.………………（8分） ∴此抛物线的表达式为y ＝53x 2－10
3
x －1.………………（9分）
24．（本小题9分）
解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤<+=)
6030(6),
300(4151
2x x x y ……………………（2分）
(图3)
(图2)
（2）综合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+-≤<+=)6020(5.740
1),200(510
1
1x x x x y 和（1）中 y 2，当对应的x 范围是0＜x ≤20 时，
W 1=（110x +5）x +（115
x +4）（60-x ）……………………（4分） =
130
x 2
+5x +240；……………………（6分） （3）当20＜x ≤30 时，
W 2=（-140x +75）x +（115
x +4）（60-x ）……………………（7分） =-
11120
x 2
+75x +240……………………8分 ∵x =-2b a =45011
＞30，∴W 在20＜x ≤30随x 增大而增大 ∴当x =30时，W 2取得最大值为832.5（百元）．……………………………（9分） 25．（本小题12分） 解：（1）∵函数x
m
y =
（x ＞0,m 是常数）图象经过)4,1(A ∴4=m ……………………（2分）
（2）(解法1) 设AC BD ,交于点E ，则在Rt △AEB 中，tan ∠EAB =
1;444BE a a
AE a
-==-
在Rt △CED 中，tan ∠ECD =
1;44
DE a
CE a
==……………………
（5分） ∴;EAB ECD ∠=∠……………………（6分） ∴AB DC //．……………………（7分）
(解法2)设AC BD ,交于点E ，根据题意，可得B 点的坐标为)4,(a
a ，
D 点的坐标为)4,0(a ，
E 点的坐标为)4
,1(a
……………………（3分）
，
a
AE 44-
=，
4
;CE a
=
1,1;EB a ED =-=……………………（4分） ∴441;4AE a a CE
a -=
=-∴1-==a ED EB CE AE ……………………（5分） 又∵;AEB CED ∠=∠ ∴△AEB ∽△CED ∴;EAB ECD ∠=∠……………………（6分） ∴AB DC //．……………………（7分）
（3）（解法1）∵AB DC // ∴当BC AD =时，有两种情况：
①当BC AD //时，由中心对称的性质得：BE =DE ，则11=-a ，得2=a ． ∴点B 的坐标是（2，2）．……………………（8分）
设直线AB 的函数表达式为b kx y +=，分别把点B A ,的坐标代入，得
⎩⎨⎧+=+=b k b k 22,4 解得⎩⎨
⎧=-=.
6,
2b k ∴直线AB 的函数表达式是.62+-=x y ……………………（9分） ②当AD 与BC 所在直线不平行时，由轴对称的性质得： AC BD =， ∴4=a ，∴点B 的坐标是（4，1）．……………………（10分） 设直线AB 的函数表达式为b kx y +=，分别把点B A ,的坐标代入，
得⎩⎨
⎧+=+=.41,4b k b k 解得⎩⎨⎧=-=5
,
1b k
∴直线AB 的函数表达式是.5+-=x y ……………………（11分）
综上所述，所求直线AB 的函数表达式是62+-=x y 或.5+-=x y ……………（12分） （解法2）当BC AD =时，AD 2=BC 2．
在Rt △AED 中，222DE AE AD += ； 在Rt △BEC 中，2
22CE BE BC += ∴222
2
4
4(4)1(1)(),a a
a
-+=-+……………………（8分） 整理得：3
2
216320,a a a ---= ∴ (2)(4)(4)0;a a a -+-= ∴244a a a ==-=或或
，∴24a a ==或……………………（9分）
① 当2=a 时，点B 的坐标是（2，2）．
设直线AB 的函数表达式为b kx y +=，分别把点B A ,的坐标代入，
得⎩⎨
⎧+=+=b k b k 22,4 解得⎩⎨⎧=-=.
6,
2b k
∴直线AB 的函数解析式是62+-=x y ．……………………（10分） ②当4=a 时，点B 的坐标是（4，1）．
设直线AB 的函数解析式为b kx y +=，分别把点B A ,的坐标代入，
精品资料
得⎩⎨⎧+=+=.41,4b k b k 解得⎩⎨⎧=-=5
,1b k ∴直线AB 的函数表达式是.5+-=x y ……………………（11分）
综上所述，所求直线AB 的函数表达式是62+-=x y 或.5+-=x y ……………（12分） 26．（本小题14分）
解：（1）证明：∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CFE =∠CGE =90°．……………………（1分）
∵EG ⊥EF ，∴∠FEG =90°．
∴∠CFE =∠CGE =∠FEG =90°．……………………（2分）
∴四边形EFCG 是矩形．……………………（3分）
（2）由（1）知四边形EFCG 是矩形．
∴CF ∥EG ，∴∠CEG =∠ECF ，
∵∠ECF =∠EDF ，∴∠CEG =∠EDF ，……………………（4分）
在Rt △ABD 中,AB =3，AD =4，∴tan 34AB BDA AD ∠=
=,……………………（5分） ∴tan ∠CEG = 34
；……………………（6分） （3）∵四边形EFCG 是矩形，∴FC ∥EG ．∴∠FCE =∠CEG ．∴tan ∠FCE =tan ∠CEG =
34 ∵∠CFE =90°,∴EF =34
CF , ……………………（7分） ∴S 矩形EFCG = 2
34
CF ;……………………（8分） 连结OD ，如图2①，
∵∠GDC =∠CEG ，∠FCE =∠FDE ，∴∠GDC =∠FDE ．
∵∠FDE +∠CDB =90°，∴∠GDC +∠CDB =90°．
∴∠GDB =90°……………………（9分）
(Ⅰ)当点E 在点A （E ′）处时，点F 在点B （F ′）处，点G 在点D （G ′）处，如图2①所示．
此时，CF =CB =4．……………（10分）
(Ⅱ)当点F 在点D （F ″）处时，直径F ″G ″⊥BD ，
如图2②所示，此时⊙O 与射线BD 相切，CF =CD =3．……………（11分）
(Ⅲ)当CF ⊥BD 时，CF 最小，
如图2③所示．S △BCD =
12BC ×CD =12BD ×CF ， ∴4×3=5×CF ∴CF =
125．……………（12分） ∴125
≤CF ≤4．……………（13分） ∵S 矩形EFCG =234CF ，∴34×（125）2≤S 矩形EFCG ≤34
×42．
精品资料
∴108
25
≤S矩形EFCG≤12．……………（14分）。