山西省运城市2020届高三调研测试(第一次模拟考试)数学(文)试题 Word版含解析

运城市2020年高三调研测试
数学(文)试卷
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}2,0,2,3A =-，集合20{|}B x x =-≤≤，则A B =（ ）
A. {}2,3
B. {}2-
C. ()2,0-
D. {}2,0-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据交集定义直接计算得到答案.
【详解】集合{}2,0,2,3A =-，集合20{|}B x x =-≤≤，则{}2,0A B =-.
故选：D .
【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.
2.已知复数z 满足()221i z i -⋅=-，其中i 是虛数单位，则此复数z 的虛部为（ ） A. 1 B. 35
C.
53
D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到2143
255
i z i i -=
=-+-，得到答案.
【详解】()221i z i -⋅=-，则()()()()212214343
222555
i i i i z i i i i -+--+=
===-+--+，故复数虚部为
3
5
. 故选：B .
【点睛】本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.
3.某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（ ） A.
5
6
B.
45
C.
34
D.
23
【答案】D 【解析】 【分析】
设山水画为1A ，2A ，花鸟画为1B ，2B ，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【详解】设山水画为1A ，2A ，花鸟画为1B ，2B ，
则共有()()()()()()121112212212,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B B B 6种情况，满足条件的有4种， 故42
63
p =
=. 故选：D .
【点睛】本题考查了概率的
计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4.若0.6
2.125
log 0.6, 2.1,log 3
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >>
B. b c a >>
C. c b a >>
D.
b a
c >>
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到0a <，1b >，01c <<，得到答案. 【
详
解
】
2.1 2.1log 0.6log 10
a =<=，
0.602.1 2.11
b =>=，
22
25
0log 1log log 213
c =<=<=， 故b c a >>. 故选：B .
【点睛】本题考查了数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.
5.古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A. 6天 B. 7天
C. 8天
D. 9天
【答案】C 【解析】 【分析】
由等比数列前n 项和公式求出这女子第一天织布
5
31
尺，由此利用等比数列前n 项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天． 【详解】解：设该女子第一天织布x 尺，
则5(12)512
x -=-，
解得531
x =
， ∴前n 天织布的尺数为：
()52131
n
-， 由
5(21)3031
n
-，得2187n ， 解得n 的最小值为8． 故选：C ．
【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．
6.在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =，点M 为线段AC 中点，则MD =（ ）
A.
3144AB AC B.
11
36AB AC - C. 21
33
AB AC -
D. 31
44
AB
AC
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++，化简得到答案. 【详解】(
)
1131
2444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-. 故选：A .
【点睛】本题考查了向量的
运算，意在考查学生的计算能力. 7.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2
π
，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（ ） A. 向左平移6
π
个单位长度 B. 向右平移6
π
个单位长度 C . 向左平移12
π
个单位长度
D. 向右平移
12
π
个单位长度
【答案】D 【解析】 【分析】
先由函数()f x 的两个相邻的对称轴之间的距离为2
π
，得到周期，求出ω，再由平移原则，即可得出结果.
【详解】因为函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2
π
， 所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22T
π
ω==， 所以()sin 2sin 2612f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 因此，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将()sin 212f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移12π
个单位长度. 故选D
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原
则即可，属于常考题型.
8.若x 、y 满足约束条件30200x y x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则43z x y =-的最小值为（ ）.
A. 0
B. -1
C. -2
D. -3
【答案】C 【解析】 【分析】
画出可行域,再根据线性规划的方法求解即可.
【详解】
作出,x y 满足约束条件30200x y x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
,表示的平面区域,
得到如图的ABC 及其内部,其中()()()1,2,3,1,1,0A B C -, 将直线43z x y =-进行平移,
当43z x y =-经过点A 时,目标函数z 达到最小值41322z =⨯-⨯=-. 故选：C
【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的方法,属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，若输入9n =，则输出S 的值为（ ）
A.
89
B.
910
C.
1011
D.
1112
【答案】B 【解析】 【分析】
运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的S 的值.
【详解】输入9n =，0,1S i ==，判断是，1,212S i =
=⨯，判断是，11,31223S i =+=⨯⨯，判断是，……，依次类推，111,101223910
S i =
+++=⨯⨯⨯，判断否，输出1111223910S =+++⨯⨯⨯1111119112239101010
=-+-++-=-=.故选B.
【点睛】本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题.
10.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 （ ）
A. 34π
B. 32π
C. 17π
D.
172
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图可知被截去的三棱锥是长方体的一个角，三棱锥的外接球即所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，从而可求得外接球的表面积．
【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去的三棱锥是长方体的一个角，AB ⊥AD ，AD ⊥AC ，AC ⊥AB ，
所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为：
222113343422++=，外接球的表面积为：2
1434342ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
故选A ．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥外接球表面积的求法，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用22224R a b c =++（a,b,c 为三棱的长）；②若SA ⊥ 面ABC （SA=a ），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.
11.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作倾斜角为60︒直
线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是( ) 3
B. 23+
C. 2
21
【答案】B 【解析】
双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >> 的左焦点F 为(),0c -,直线l 的方程为)y x c =+，令
0x =，则y =，即()
A ，因为A 平分线段1F
B ，根据中点坐标公式可得 ()
B c ，代入双曲线方程，可得2222121c c a b -=，由于()1c e e a =>，则22
21211
e e e -=-，
化简可得421410e e -+=，解得27e =±1e >，解得2e =+ B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.
12.已知函数()2
,0
241,0
x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩(e 为自然对数的底数) ，若函数()()g x f x kx =+恰好有两个零点，则实数k 等于（ ）
A. 2e -
B. e
C. e -
D. 2e
【答案】C 【解析】 【分析】
画出函数()f x 和y kx =-的图像，()g x 在0x <恒有一个零点，故y kx =-与()f x 在0x >时相切，计算得到答案.
【详解】()()0g x f x kx =+=，即()f x kx =-，如图所示：画出函数()f x 和y kx =-的图像，
2241x x kx -++=-，即()2
2410x k x +-=-，()2480k ∆=++>，且1212
x x =-，
故()g x 在0x <时有且仅有一个零点，故y kx =-与()f x 在0x >时相切.
当0x >，设切点为()00,x kx -，()x
f x e =，()'x f x e =，()00'x
f x e k ==-，
00x e kx =-，解得01x =，k e =-.
故选：C .
【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出图像确定相切是解题的关键.
第II 卷(非选择题)
注意事项：
第II 卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)
13.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．
【答案】2400 【解析】 【分析】 确定中位数在2000
2500之间，设t ，则
2000
0.250.2500
t -⨯=，计算得到答案. 【详解】根据频率分布直方图知：
10.00025000.1p =⨯=，20.00045000.2p =⨯=，30.00055000.25p =⨯=.
故中位数在20002500之间，设为t ，则
2000
0.250.50.10.20.2500
t -⨯=--=， 解得2400t =. 故答案为：2400.
【点睛】本题考查了频率分布直方图求中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14.曲线2
1()ln 2
f x x x x =
+在点(1
(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________.
【答案】12
-． 【解析】 【分析】 先对函数2
1()ln 2
f x x x x =
+求导，求出其在点(1
(1))f ，处的切线斜率，进而可求出结果. 【详解】因为2
1()ln 2
f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线2
1()ln 2
f x x x x =
+在点(1
(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=； 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12
a =-
.
故答案为12
-
【点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111n n a S a +＝，＝-， 则n a ＝ _____．
【答案】12n - 【解析】 【分析】
根据11n n S a +-=，则121n n S a ++=-，两式作差，求得212n n a a ++=，再由212a a =，利用等比数列的通项公式，即可求解．
【详解】由题意，根据11n n S a +-=，则121n n S a ++=-，
可得121n n n n S S a a +++=--，即121n n n a a a +++=-，即212n n a a ++=， 又1121a S a ==-，解得2122a a ==， ∴数列{}n a 是等比数列，所以12n n a ．
故答案为12n n
a ．
【点睛】本题主要考查了根据数列的n a 和n S 的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 和n S 的关系，合理递推作差是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16.已知抛物线2
:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且 3 FA FB =-，则AB = _________ 【答案】
32
3
【解析】 【分析】
BD 垂直于准线于D ，准线与x 轴交于点E ， 3 FA FB =-，则4833
BD EF ==，4AB BF =，得到答案.
【详解】如图所示：BD 垂直于准线于D ，准线与x 轴交于点E ， 3 FA FB =-，则
4833
BD EF =
=. 83BF BD ==，32
43AB BF ==.
故答案为：32
3.
【点睛】本题考查了抛物线中线段的长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 ~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) 17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cosC 3c B b ==. （1）求边长b ；
（2）若5c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）32b =（2）21
2
【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理得到sin sin sin cos C B B C =，45C ︒=，得到答案.
（2）根据正弦定理得到3sin 5B =，(
)sin sin A B C =+=，再利用面积公式计算得到答案.
【详解】()1由正弦定理及已知得,sinCsinB sinBcosC =0B π<<，所以sin 0B ≠，
0C π<<，
所以sin cos ,45C C C ︒
==，因为cos 3b C =
，所以b =.
()
24
b C π
==，且5,c =∴
由正弦定理得5
,sin sin sin sin 4
b c B C B π=∴=
，
所以3sin 5B =
，又因为b c <，所以02
B C π<<<，cos 4
5B =，
(
)sin sin sin cos cos cos 10
A B C B C B C =+=+=，所以121sin 22ABC
S bc A ∆==. 【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18.近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各：城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在M 省的发展情况，M 省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的,A B 两项指标数(),1,2,3,4,5i i x y i =，数据如下表所示：
==
（1）试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系(若
0,75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；
（2）立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值.
附：相关公式：
()()
n
i i
x x y y
r
--
=
∑
，
()()
()
1
2
1
,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
=
=
--
==-
-
∑
∑
0.95
≈≈
【答案】（1）0.95，y与x具有较强的线性相关关系（2）估计值为4.6
【解析】
【分析】
（1）直接利用公式计算得到0.95
r≈，得到答案.
（2）计算得到回归方程为
35
102
y x
=+，代入数据计算得到答案.
【详解】()1
24568
5
5
x
++++
==，344454
5
y
++++
==，()()
5
1
6
i i
i
x x y y
=
--=
∑，相关系数
()()
5
9
0.95
10
52
i i
x x y y
r
--
===≈
∑
，
因为0.75
r>，所以y与x具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y与x的关系. （2）由()1可知，
()()
()
5
1
52
1
63
2010
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
===
-
∑
∑
，
35
45
102
a y bx
=-=-⨯=，
所以y与x之间线性回归方程为
35
102
y x
=+，当7
x=时，
35
7 4.6
102
y=⨯+=.
当A指标数为7时，B指标数的估计值为4.6.
【点睛】本题考查了相关系数，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19.如图，在四棱锥P ABCD
-中，PC⊥平面ABCD，点M为PB中点，底面ABCD为梯形，//
AB CD，AD CD
⊥，
1
2
AD CD PC AB
===.
（1）证明：//CM 平面PAD ；
（2）若四棱锥P ABCD -的体积为4，求点M 到平面PAD 的距离. 【答案】（1）详见解析；（22. 【解析】 【分析】
（1）取PA 中点E ，连接DE ，ME ，根据平行四边形的性质，证得//DE CM ，再利用线面平行的判定定理，即可证得//CM 平面PAD .
（2）设AD x =，利用四棱锥P ABCD -的体积，求得2x =，又由//CM 平面PAD 知，点M 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离,过C 作CF PD ⊥，证得CF ⊥平面
PAD ，即可求得答案．
【详解】（1）如图所示，取PA 中点E ，连接DE ，ME ， ∵M 是PB 中点，∴//ME AB ，1
2
ME AB =， 又//AB CD ，1
2
CD AB =
，∴//ME CD ，ME CD =， ∴四边形CDEM 为平行四边形，∴//DE CM .
∵DE ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，∴//CM 平面PAD . （2）设AD x =，则CD PC x ==，2AB x =， 由ABCD 是直角梯形，PC ⊥平面ABCD 知， 则四棱锥P ABCD -的体积为()211
2432
x x x ⨯
+=，解得2x =， 由//CM 平面PAD 知，点M 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离, 过C 作CF PD ⊥，垂足为F ， 由PC ⊥平面ABCD ，得PC AD ⊥， 又AD CD ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，
∵CF ⊂平面PCD ，∴AD CF ⊥，∴CF ⊥平面PAD .
由2PC CD ==，PC CD ⊥知2CF =，
∴M 到平面PAD 的距离为2.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及点到平面的距离公式的求解，其中解答中熟记线面平行与垂直的判定与证明，以及合理转化点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及运算与求解能力，属于基础题．
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭
圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y --=相切.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：
PFM PFB ∠=∠.
【答案】（1）2
212
x y +=（2）证明过程详见解析
【解析】 【分析】
（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b ，利用离心率求出a ，即可求出椭圆C 的标准方程；
（2）依题意可知直线l 斜率存在，设l 方程为()2y k x =-，代入2
212
x y +=整理得
()2
2
2128k x
k x +- 2820k +-=， l 与椭圆有两个交点，0∴∆>.
设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AF ，BF 的斜率分别为1k ，2k ，利用韦达定理证明120k k += 即可.
【详解】解：（1）依题意可设圆C 方程为222x y b +=， 圆C
与直线0x y -+=
相切，1b ∴=
=.22
1a c ∴-=，
由
2
c a =
解得a = ∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （2）依题意可知直线l 斜率存在，设l 方程为()2y k x =-，代入2
212
x y +=整理得
()2
2
2128k x
k x +- 2820k +-=，
l 与椭圆有两个交点，0∴∆>，即2210k -<.
设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AF ，BF 的斜率分别为1k ，2k
则2122812k x x k +=+，2122
82
12k x x k
-=+. ()1,0F 12121211y y k k x x ∴+=
+-- ()()12122211
k x k x x x --=+--
1211211k k x x ⎛⎫
=-+ ⎪--⎝⎭ ()121212221x x k k x x x x ⎛⎫+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭
2
2
2222
8212282811212k k k k k k k k
-+=---+++ 22422021
k k k k -=-=-，
即PFM PFB ∠=∠.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力． 21.已知函数()ln 1f x ax x =++.
（1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间；
（2）对任意的0x >，不等式()x
f x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）{}
1a a e ≤-. 【解析】 【分析】
（1）求出函数()y f x =的定义域与导数，然后在定义域内分别解不等式()0f x '<和
()0f x '>，可得出函数()y f x =的单调递减区间和单调递增区间；
（2）由ln 1x
ax x e ++≤，利用参变量分离法得出ln 1x e x a x
--≤在()0,∞+恒成立，令
()ln 1
x e x g x x
--=
，将问题转化为()min a g x ≤，然后利用导数求出函数()y g x =在()0,∞+上的最小值，可得出实数a 的取值范围.
【详解】（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，定义域为()0,∞+，()111x
f x x x
-'=-=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.
因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；
（2）不等式ln 1x
ax x e ++≤恒成立，等价于ln 1
x e x a x
--≤在()0,∞+恒成立，
令()ln 1x e x g x x --=，0x >，则()()2
1ln x x e x g x x
'-+=， 令()()1ln x
h x x e x =-+，0x >，()1
0x
h x xe x
=+
>'. 所以()y h x =在()0,∞+单调递增，而()10h =，
所以()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =单调递减；
()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =单调递增.
所以在1x =处()y g x =取得最小值()11g e =-， 所以1a e -≤，即实数a 的取值范围是{}
1a a e ≤-.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于利用参变量分离转化为函数的最值来求解，避免了分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4- 4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l
的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）.在以坐标
原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的
极坐标方程是4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 【答案】（1
10y --=，2
2
(1)(1)2x y -+-=；（2
）1+. 【解析】 【分析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直
线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.
【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l
10y --=.
将曲线C
的极坐标方程化为2
ρθθ⎫=+⎪⎪⎝⎭
.
即2
2sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.
故曲线C 的直角坐标方程为()()2
2
112x y -+-=.
（2）将直线l 的参数方程代入()()22
112x y -+-=中，得
2
2
112222t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
化简，得(2
130t t -++=.
∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.
由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,
12121PA PB t t t t +=+=+=.
【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. [选修4- 5：不等式选讲] 23.已知()12f x x x =++-．
（1）已知关于x 的不等式()f x a <有实数解，求a 的取值范围； （2）求不等式()2
2f x x x ≥-的解集．
【答案】（1）3a >；（2）1,2⎡-⎣.
【解析】 分析】
（1）依据能成立问题知，()min f x a <，然后利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即求得a 的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可． 【详解】()1因为不等式()f x a <有实数解，所以()min f x a < 因为()()()12123f x x x x x =++-≥+--=，所以()min 3f x = 故3a >．
()()21,2
23,1221,1x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-+≤-⎩
①当2x ≥时，2212x x x -≥-
，所以22x ≤≤+
22x ≤≤+
②当12x -<<时，232x x ≥-，所以13x -≤≤，故12x -<<
③当1x ≤-时，2212x x x -+≥-，所以11x -≤≤，故1x =-
综上，原不等式的解集为1,2⎡-⎣．
【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用．。