上海市嘉定区2020届高三二模数学卷(含答案)

上海市嘉定区2020届高三二模数学卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合}8,6,4,2{=A ，}3,2,1{=B ，则=B A ∩___________．
2．线性方程组⎩⎨
⎧=+=-8
35
2y x y x 的增广矩阵为____________．
3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于______________．4．在5
)2(-x 的二项展开式中，3
x 项的系数为__________．
5．若实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥021
0y x y x ，则y x z +=的最大值为___________．6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于___________．
7．设各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，632=+a a ，则=6S ___________．8．已知函数x x f a log 2)(+=（0>a 且1≠a ）的反函数为)(1
x f y -=．若2)3(1=-f ，则=a ________．
9．设z C ∈，092
=+z ，则=-|4|z ____________．
10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_________（结果用数值表示）．
11．设P 是双曲线1822
=-y x 上的动点，直线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 3t y t x (t 为参数)与圆1)3(2
2=+-y x 相交于A 、B 两
点，则PA PB ⋅
的最小值是_______________．
12．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A bc c b a sin 322
22=++，则=A ___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在
答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x R ∈，则“1>x ”是“12<-x ”的（
）．
.A 充分非必要条件.B 必要非充分条件
.C 充要条件.D 既非充分又非必要条件
14．下列函数中，既是),0(+∞上的增函数，又是偶函数的是（
）．
.A x
y 1=
.B x
y 2=.C |
|1x y -=.D |
|lg x y =15．如图，若正方体1111D C B A ABCD -的侧面11B BCC 内动点P 到棱11B A 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（
）．
.A 椭圆.B 双曲线.C 抛物线.D 圆
1
A
16．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S 2是6和n a 的等差中项．若对任意的*
n N ∈，都有],[1
3t s S S n
n ∈-，则s t -的最小值为（
）．
.
A 3
2.
B 4
9.
C 2
1.
D 6
1三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5=PC ，⊥PD 底面ABCD ．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；
（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R ∈，函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=
．
（1）若)(x f （x R ∈）是奇函数，求a 的值；
（2）若3)6
(=π
f ，求方程2)(=x f 在区间],0[π上的解．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x （*
x N ∈）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高%2x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
x a 5092（0>a ）万元．（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知椭圆)0(122
22>>=+Γb a b y a x ：过点)2,0(P ，且它的一个焦点与抛物线x y 82=的焦点相同．直线l 过点
)0,1(Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l 的一个方向向量为)2,1(=d
，求OAB ∆的面积（其中O 为坐标原点）；
（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅
为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说
明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知m 为正整数，各项均为正整数的无穷数列}{n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数
为偶数
n n n n
n a m a a a a ,,2
1，记数列}{n a 的前n 项和为n S ．（1）若81=a ，2=m ，求7S 的值；（2）若5=m ，253=S ，求1a 的值；
（3）若11=a ，m 为奇数，求证：“m a n >+1”的充要条件是“n a 为奇数”．
参考答案与评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．}
2{2．⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-8512313．π44．405．3
6．
3
4π
7．638．29．5
10．
7
411．3
12．
3
π
二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．B 14．D 15．C 16．B 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为PD ABCD ⊥平面，所以DC PD ⊥．又因为5,3==PC DC ，所以422=-=DC PC PD ，……………………………………2分
所以四棱锥ABCD P -的体积为
124333
1
31=⨯⨯⨯=⋅=PD S V ABCD ．……………………………………………………………6分
（2）解法1：由题意得AD ∥BC ，
所以直线BC 与BP 所成的角就是异面直线AD 与BP 所成的角．………………………………2分
PD ABCD PD BC BC PCD BC PC
BC CD ⊥⇒⊥⎫
⇒⊥⇒⊥⎬⊥⎭
平面平面…………………
……5分
在Rt PCD ∆中，3
5tan ==
∠BC PC PBC ，35
arctan =∠PBC ．
所以异面直线AD 与BP 所成角的大小为3
5
arctan ．………………………………………8分
解法2：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 为x 轴、y 轴、
z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点
的坐标为)0,0,0(D ，)0,0,3(A ，
)0,3,3(B ，)0,3,0(C ，)4,0,0(P ．…………………2分
所以)0,0,3(-=AD ，）（4,3,3--=BP ．……………4分设异面直线AD 与BP 所成的角为θ，向量AD 与BP 所成的角为ϕ，因为
3434
334
340)3(0)3(3cos =⨯⨯+-⨯+-⨯-=
=
BP AC ϕ，…………………6分又34343cos cos =
=ϕθ，所以34
34
3arccos =θ．即所求异面直线AC 与D C 1所成角的大小为34
34
3arccos
．…………………………………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-，…………………………………………2分
即)cos 2sin 3()(cos )2sin 322x a x x a x +-=-+-（，
即0cos 22=x a ，所以0=a ．……………………………………………………………6分（2）因为3)6
(=π
f ，即
36
cos 3
sin
32
=+π
π
a ，解得2=a ．…………………………2分
所以x x x f 2cos 22sin 3)(+=，即11cos 22sin 3)(2+-+=）（x x x f ，
即12cos 2sin 3)(++=
x x x f ，16
2sin
2)(++=（π
x x f ．……………………………4分设216
2sin
2=++）（πx ，即2162sin =+）（πx ．…………………………………………5分因为],0[π∈x ，则得613,6[62πππ∈+x ，所以662ππ=+x 或65π或6
13π
，
解得0=x 或3
π
=
x 或π．……………………………………………………………………8分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意得1002%)21(2)100(⨯≥+⨯⨯-x x ，
……………………………2分
即0502
≤-x x ，……………………………………………………………………………4分解得500≤≤x ．
又因为*
N ∈x ，所以*
,500N ∈≤<x x ．…………………………………………………6分
（2）从事蔬菜加工的农户年总收入为)50
92x
a x -
（万元，从事蔬菜种植的农户年总收入为%)21(2)100(x x +⨯⨯-万元，
根据题意得%)21(2)100()5092x x x
a x +⨯⨯-≤-（恒成立，…………………………4分因为*
N ∈x ，所以1100254++≤x
x a 恒成立．而
91100
25421100254=+⨯≥++x
x x x ，………………………………………………6分当且仅当25=x （*
N ∈）时，等号成立．所以9≤a ，因此a 的最大值为9．
………………………………………………………8分
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）由题意知2,2==c b ，则得82
2
2
=+=c b a ，
………………………………3分
所以椭圆Γ的方程为14
822=+y x ．……………………………………………………4分
（2）由题意知直线l 的点方向式方程为2
11-=-y x ，即22-=x y ．…………2分设),(),,(2211y x B y x A ，
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+2
214
82
2x y y x 得01692
=-x x ，解得01=x 或9162=x ．…………………………4分于是OAB ∆的面积为916916|2|21=⨯-⨯=
S ，即所求OAB ∆的面积为9
16
．…………6分（3）假设存在点)0,(m M ，使得MB MA ⋅为定值．
设),(),,(2211y x B y x A ．
①当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为)1(-=x k y ．
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(14
82
2x k y y x 得0824)212222=-+-+k x k x k （，由一元二次方程根与系数的关系得2
221222121)
4(2,214k k x x k k x x +-=
+=+，因为),11y m x MA -=（，),22y m x MB -=（，
所以)1)(1()()(212
212121--+--=+--=
⋅x x k m x m x y y m x m x MB MA ）（）（
2
2212212))(()1(k m x x k m x x k ++++-+=2
22
22
222
214)(21)4(2)1(k m k
k k m k k k +++⨯+-+-⨯+=2
2
2221)542()8(k
k m m m +--+-=．……………………………………………3分若MB MA ⋅为定值，则得25
42822
--=
-m m m ，解得4
11=m ，此时16
7
-
=⋅MB MA ；……………………………………………………………………………4分②当直线l 的斜率不存在时，不妨设)214,411(),214,411(
B A -，当点M 的坐标为）（04
11
时，16
7
-
=⋅MB MA ．………………………………………………………………………5分
综上，在x 轴上存在点），（
0411M ，使得MB MA ⋅为定值16
7-．……………………………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）由题意得7,5,3,1,2,4765432======a a a a a a ，
………………3分
所以307=S ．………………………………………………………………………………4分（2）①若1a 是奇数，则512+=a a 是偶数，2
5
2123+==
a a a ，由253=S ，得252
5
)5(111=++
++a a a ，解得71=a ，符合题意；…………2分②若1a 是偶数，不妨设k a 21=（*
N ∈k ），则k a a ==
2
1
2．若k 是偶数，则2223k a a ==，由253=S ，得252
2=++k
k k ，此方程无整数解；
……………………………………………4分
若k 是奇数，则53+=k a ，由253=S ，得25)5(2=+++k k k ，解得5=k ，符合题
意，此时101=a ．
综上，71=a 或101=a ．………………………………………………………………6分（3）充分性：
由已知n a Z +
∈，所以当n a 为奇数时，1n n a a m m +=+>．
……………………2分
必要性：
猜想：当n a 为奇数时，m a n ≤；n a 为偶数时，m a n 2≤．
……………………4分
用数学归纳法证明：
（i）当1=n ，2时，1a 为奇数，m a ≤=11；2a 为偶数，m m a 212≤+=．
（ii）假设当k n =时，猜想成立．即k a 为奇数时，m a k ≤；k a 为偶数时，m a k 2≤．若k a 为奇数，则m a a k k +=+1且1+k a 为偶数；由m a k ≤，得m a k 21≤+；若k a 为偶数，则2
1k
k a a =
+，由m a k 2≤，得m a k ≤+1．此时，若1+k a 为奇数，则m a k ≤+1；若1+k a 为偶数，则m m a k 21≤≤+．综上，1+k a 为奇数，m a k ≤+1；1+k a 为偶数，m a k 21≤+．即当1+=k n 时，猜想也成立．根据（i）和（ii），猜想成立．……………………………………………………………………6分
因为当n a 为偶数时，m a a n
n ≤=
+2
1，所以当m a n >+1时，n a 为奇数．……………………8分。