中考数学专题二次函数图像与坐标轴的交点问题(含解析)

2019备战中考数学专题-二次函数图像与坐标轴的交点问题〔含解析〕
一、单项选择题
1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围是〔〕
A.k<3
B.k<0且k≠0
C.k≤3
D.k≤3且k≠0
2.如图图形中阴影部分的面积相等的是〔〕
A.①②
B.②③
C.①③
D.①
②③
3.在如下图的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③ ＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有
一个正根，你认为其中正确的结论有〔〕
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
4.假设函数的图象与坐标轴有三个交点，那么的取值范围是〔〕
A. B. C.
D.
5.二次函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕﹣1与x轴的交点x1，x2，x1＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕
A.x1＜1＜x2＜2
B.x1＜1＜2＜x2
C.x2＜x1＜1
D.2＜x1＜x2
6.对某个函数给定如下定义：假设存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足|y|≤M，那么称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现
将有界函数〔0 x m，1≤m≤2〕的图象向下平移m个单位，得到的函数边界值是t，且≤t≤2，那么m的取值范围是〔〕
A.1≤m≤
B.≤m≤
C.≤m≤
D.≤m≤2
7.二次函数y=x2－〔m－1〕x+4的图像与x轴有且只有一个交点，那么m的值为〔〕
A.1或－3
B.5或－3
C.－5或3
D.以上都不对
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=α〔x﹣1〕2+k与x轴交于A．B两点，与y轴交于
C点．CD∥x轴与抛物线交于D点且A〔﹣1，0〕那么OB+CD=〔〕
A.4
B.5
C.6
D.7
9.“一般的，假如二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程
ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版?数学?九年级〔下册〕P21〞参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x= ﹣2实数根的情况是〔〕
A.有三个实数根
B.有两个实数根
C.有一个实数根
D.无实数根
10.二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围为〔〕
A.k＞-
B.k＞-且k≠0
C.k≥-
D.k≥-且k≠0
11.抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为〔﹣3，0〕，那么它与x轴另一个交点的坐标为〔〕
A.〔﹣2，0〕
B.〔﹣1，0〕
C.〔2，0〕
D.〔5，0〕
二、填空题
12.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是〔﹣1，0〕，〔3，0〕，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是________．
13.二次函数y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是________．
14.二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为________．
15.y=﹣x2+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，那么∥ABC的面积为________．
16.二次函数y=ax2+bx+c 〔a≠0〕〔a≠0，a，b，C为常数〕的图象，假设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，那么m的取值范围是________．
17.正整数a满足不等式组〔x为未知数〕无解，那么a的值为________；函数y=〔3﹣a〕x2﹣x﹣3图象与x轴的交点坐标为________
18.抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕与x轴的两个交点的坐标分别是〔－3，0〕，〔2，0〕，那么方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的解是________.
三、解答题
19.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．函数y=x2﹣2mx﹣2〔m+3〕〔m为常数〕
〔1〕当m=0时，求该函数的零点．
〔2〕证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．
20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A〔2，0〕、点B〔点B在点A的右
侧〕，与轴交于点C，tan∥CBA=．
〔1〕求该抛物线的表达式；
〔2〕设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；
〔3〕设抛物线上的点E在第一象限，∥BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．
四、综合题
21.二次函数为y=x2﹣2x+m
〔1〕写出它的图象的开口方向，对称轴；
〔2〕m为何值时，其图象顶点在x轴上方？
22.在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为〔3，0〕，与y轴相交于点C；
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕求∥ABC的面积．
23.二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点〔A在B的左边〕，与y轴交于点
C．
〔1〕求出点A、B、C的坐标．
〔2〕求S∥ABC
〔3〕在抛物线上〔除点C外〕，是否存在点N，使得S∥NAB=S∥ABC，假设存在，求出点N 的坐标，假设不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、单项选择题
1.【答案】D
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围。

【解答】∥二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，
∥∥=36-12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，那么k的取值范围是k≤3且k≠0．
应选D．
2.【答案】B
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：①直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：〔2，0〕，〔0，2〕，故S阴影=
×2×2=2；②当x=1时，y=2，阴影部分的面积为×1×2=1；③该抛物线与坐标轴交于：
〔﹣1，0〕，〔1，0〕，〔0，﹣1〕，故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；∥②③面积相等．
应选：B．
【分析】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．
3.【答案】A
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：①抛物线的开口方向向下，那么a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，那么c＞0．
抛物线的对称轴位于y轴的左侧，那么a、b同号，那么b＜0．
故①错误；②据图所知，抛物线与x轴有2个不同的交点，那么b2﹣4ac＞0，故②错误；
③∥a＜0，∥ ＜0，∥c﹣＞c，∥ ＞c；故③错误；④据图所知，抛物线与x 轴有2个不同的交点，其中一个交点位于x的正半轴，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，故④正确；应选：A．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进展推理，进而对所得结论进展判断．
4.【答案】A
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∥函数的图象与坐标轴有三个交点，
∥ ，且，
解得，b<1且b≠0.
故答案为：A.
【分析】根据图像与坐标轴有三个交点可得 b ≠ 0 ，与x轴有两个交点，那么
0,解不等式即可求解。

5.【答案】B
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：当y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕﹣1=0时，
解得：x1=，x2=，
∥0＜＜1，2＜＜3，
∥x1＜1＜2＜x2．
应选：B．
【分析】由y=0，解方程求出x1、x2，根据x1、x2的大小，即可得出结果．
6.【答案】A
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：函数y = 2 〔x − 1 〕2 + 1 的图象向下平移m个单位后新函数的解析式为：y = 2 〔x − 1 〕 2 + 1 -m，
∥其顶点坐标为〔1,1－m〕
,将其化为一般形式为：y=2x2-4x+3-m，
∥其与y轴交点的坐标为〔0,3-m〕,
根据边界函数的定义得出1-m≤y≤3-m,
又得到的函数边界值是t，且≤t≤2，
∥≤m-3≤2
解得：1
故答案为：1≤m≤
【分析】根据抛物线的几何变换，得出抛物线平移后的函数解析式，进而得出平移后的点点坐标，再将平移后的新函数化为一般形式，得出其与y轴交点的坐标，根据边界函数的定义及题中边界值的取值范围得出关于m的不等式组，求解即可得出答案。

7.【答案】B
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】∥二次函数y=x2-〔m-1〕x+4的图象与x轴有且只有一个交点，
∥∥=b2-4ac=[-〔m-1〕]2-4×1×4=0，
∥〔m-1〕2=16，
解得：，
∥m1=5，m2=-3．
∥m的值为5或-3．
应选B．
8.【答案】B
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：如下图：∥抛物线y=α〔x﹣1〕2+k，∥抛物线对称轴为直线x=1，那么FO=CE=DE=1，
∥A〔﹣1，0〕，
∥AO=1，
∥BF=AF=2，
∥OB+CD=2+3=5．
应选：B．
【分析】直接利用抛物线解析式得出其对称轴，进而得出线段的长．
9.【答案】C
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：将方程变形﹣1=〔x﹣1〕2，
设y1= ﹣1，y2=〔x﹣1〕2，在坐标系中画出两个函数的图象如下图：
可看出两个函数图象有一个交点〔1，0〕．
故方程x2﹣2x= ﹣2有一个实数根．
故答案为：C．
【分析】将方程变形﹣1=〔x﹣1〕2，求此方程的解就是求函数设y1=﹣1，y2=〔x ﹣1〕2，两个函数的图象的交点坐标，在平面直角坐标系内画出图像知它们只有一个交点，从而得出结论。

10.【答案】B
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得，解得k＞-且k≠0．故答案为：B．
【分析】二次函数与x轴有两个交点那么满足且k≠0，∥>0，解出k的范围即可。

11.【答案】D
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∥抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为〔﹣3，0〕，
那么设抛物线与x轴的另一个交点坐标为〔m，0〕，
根据题意得，
解得m=5，
∥抛物线与x轴的另一个交点坐标为〔5，0〕．
应选D．
【分析】根据抛物线的对称性和对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为〔﹣3，0〕，即可求出另一个交点坐标．
二、填空题
12.【答案】x1=﹣1，x2=3
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∥抛物线与x轴的公共点是
∥关于x的方程的两个根是
故答案为：
【分析】根据二次函数与x轴的交点的横坐标即为相应的一元二次方程之间的关系即可求解。

13.【答案】k≤2且k≠0
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∥二次函数y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，∥b2﹣4ac=64﹣32k≥0，解得：k≤2，
故k的取值范围是：k≤2且k≠0．
故答案为：k≤2且k≠0．
【分析】利用∥=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．∥=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有
2个交点；∥=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；∥=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没
有交点，进而得出答案．
14.【答案】
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，x2﹣2x+1=2，
〔x﹣1〕2=2，
解得x1=1+ ，x2=1﹣，
所以抛物线与x轴的两交点坐标为〔1﹣，0〕，〔1+ ，0〕，
所以抛物线在x轴上截得的线段长=1+ ﹣〔1﹣〕=2 ．
故答案为．
【分析】通过解方程x2﹣2x﹣1=0可得到抛物线与x轴的两交点坐标，然后计算两交点间的间隔即可．
15.【答案】2
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∥抛物线y=﹣x2+2，∥当y=0时，﹣x2+2=0，
∥x1= ，x2=﹣，
∥与x轴的交点坐标是〔，0〕，〔，0〕；
∥x=0时，y=2，
∥抛物线与y轴的交点坐标为：C〔0，2〕；
∥∥ABC的面积为：×2 ×2=2 ．
故答案是：2 ．
【分析】由于抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，所以把y=0代入函数的解析式中即可求解，再令x=0，求出y的值即可得解，进而利用三角形面积求出即可．
16.【答案】m≥﹣2
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：方程ax2+bx+c+m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c〔a≠0〕与直线y=m 有交点，又图象最低点y=﹣2，
∥m≥﹣2，
故答案为：m≥﹣2．
【分析】方程ax2+bx+c=m有实数相当于y=ax2+bx+c〔a≠0〕与直线y=m有交点，结合图象可得出m的范围．
17.【答案】1；〔﹣1，0〕〔，0〕
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】解：∥正整数a满足不等式组〔x为未知数〕无解，
∥a+2＞3a﹣2，
解得：a＜2，
∥a=1，
代入y=〔3﹣a〕x2﹣x﹣3得：y=2x2﹣x﹣3，
把y=0代入得：2x2﹣x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=，
即函数y=〔3﹣a〕x2﹣x﹣3图象与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕，〔，0〕，
故答案为：1，〔﹣1，0〕〔，0〕
【分析】根据不等式组的解集得出a+2＞3a﹣2，求出不等式的解集，即可得出答案，把a 的值代入函数的解析式，把y=0代入求出方程的解即可．
18.【答案】.x1＝－3，x2＝2
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∥抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕与x轴的两个交点的坐标分别是〔−3,0〕，〔2,0〕，∥当x=−3或x=2时，y=0，
即方程的解为
故答案为：
【分析】可数形结合，方程 a x 2 + b x + c = 0 的解为就是对应的二次函数y=ax2+bx+c与x 轴交点的横坐标.
三、解答题
19.【答案】1〕解：当m=0时，令y=0，那么x2﹣6=0，
解得x=±，
所以，m=0时，该函数的零点为±；
〔2〕证明：令y=0，那么x2﹣2mx﹣2〔m+3〕=0，
∥=b2﹣4ac=〔﹣2m〕2﹣4×1×2〔m+3〕，
=4m2+8m+24，
=4〔m+1〕2+20，
∥无论m为何值时，4〔m+1〕2≥0，
∥∥=4〔m+1〕2+20＞0，
∥关于x的方程总有不相等的两个实数根，
即，无论m取何值，该函数总有两个零点．
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】〔1〕根据函数的零点的定义，当m=0时，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得解；
〔2〕令y=0，然后利用根的判别式列式，然后整理成完全平方式，根据非负数的性质判断出∥＞0，从而确定出有两个函数零点．
20.【答案】解：〔1〕∥当x=0时，∥C〔0，3〕，OC=3，
在Rt∥COB中，∥tan∥CBA=，
∥=，
∥OB=2OC=6，
∥点B〔6，0〕，
把A〔2，0〕、B〔6，0〕分别代入y=ax2+bx+3，得：，解得：
∥该抛物线表达式为y=x2﹣2x+3；
〔2〕∥y=x2﹣2x+3=〔x﹣4〕2﹣1
∥顶点D〔4，﹣1〕，
∥四边形ACBD的面积=∥ABC的面积+∥ABD的面积=×4×3+×4×1=8；
〔3〕设点E的坐标为〔x，x2﹣2x+3〕，分两种情况：
①当∥CBE=90°时，
作EM∥x轴于M，如下图：
那么∥BEM=∥CBA，
∥=tan∥BEM=tan∥CBA=，
∥EM=2BM，
即2〔x﹣6〕=x2﹣2x+3，
解得：x=10，或x=6〔不合题意，舍去〕，
∥点E坐标为〔10，8〕；
②当∥BCE=90°时，作EN∥y轴于N，如图2所示：
那么∥ECN=∥CBA，
∥=tan∥ECN=tan∥CBA=，
∥CN=2EN，
即2x=x2﹣2x+3﹣3，
解得：x=16，或x=0〔不合题意，舍去〕，
∥点E坐标为〔16，35〕；
综上所述：点E坐标为〔10，8〕或〔16，35〕．
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】〔1〕由抛物线解析式和条件得出C和B的坐标，〔0，3〕，OC=3，把A〔2，0〕、B〔6，0〕分别代入y=ax2+bx+3得出方程组，解方程即可；
〔2〕把抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标，四边形ACBD的面积=∥ABC的面积+∥ABD 的面积，即可得出结果；
〔3〕设点E的坐标为〔x，x2﹣2x+3〕，分两种情况：①当∥CBE=90°时；②当∥BCE=90°时；分别由三角函数得出方程，解方程即可．
四、综合题
21.【答案】〔1〕解：∥y=x2﹣2x+m=〔x﹣1〕2+m﹣1，由于a=1＞0；∥抛物线开口向上，对称轴为直线x=1
〔2〕解：欲使它的图象的顶点在x轴的上方，需〔1，m﹣1〕中，m﹣1＞0，
解得m＞1．
故m＞1时，其图象顶点在x轴上方
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】〔1〕由题意知抛物线的解析式为y=x2﹣2x+m，把它化为顶点式，再根据二次函数的性质确定函数的开口方向、对称轴；〔2〕要使函数的图象的顶点在x轴的上方，说明顶点纵坐标＞0，从而求出m的范围．
22.【答案】〔1〕解：把点B的坐标〔3，0〕代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=-5，所以抛物线的表达式y=x2-5x+6；
〔2〕解：∥抛物线的表达式为
当时，即就是
解得
当时，
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】〔1〕把点B的坐标〔3，0〕代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，求出b的值即可得抛物线的表达式。

〔2〕分别将x=0、y=0代入抛物线的表达式y=x2-5x+6得A〔2，0〕，B〔3，0〕，C〔0，6〕，所以AB=1，再利用三角形面积公式求三角形面
23.【答案】〔1〕解：当x=0时，y=﹣3，∥C〔0，﹣3〕，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
〔x﹣3〕〔x+1〕=0，
x=3或﹣1，
∥A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕
〔2〕解：∥A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕，∥AB=3+1=4，
∥C〔0，﹣3〕，
∥OC=3，
∥S∥ABC= AB•OC= ×4×3=6
〔3〕解：存在，当y=3时，x2﹣2x﹣3=3，
x2﹣2x=6，
〔x﹣1〕2=7，
x﹣1= ，
x=1 ，
当y=﹣3时，x2﹣2x﹣3=﹣3，
x2﹣2x=0，
x1=0〔舍〕，x2=2，
∥点N的坐标〔1+ ，3〕或〔1﹣，3〕或〔2，﹣3〕
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】〔1〕分别将x=0和y=0代入可得：点A、B、C的坐标．〔2〕根据坐标写出AB和OC的长，代入面积公式即可；〔3〕根据同底等高的两三角形的面积相等，可知：高为3的三角形满足S∥NAB=S∥ABC，所以点N的纵坐标满足3或﹣3即可，代入解析式可求得N的坐标．。