定点问题习题
2019年高中数学 必修2 直线过定点 练习题34题(含答案)
必修2 直线过定点练习题34题(含答案)一、选择题1.直线kx－y＋1－3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点( )A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)2.当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1=0恒过一定点，则这个定点是( )A．(2,3) B．(－2,3) C．(1,-0.5) D．(－2,0)3.已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y=2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )A．2B．C．D．24.不管m怎样变化，直线(m+2)x-(2m-1)y-(3m-4)=0恒过的定点是( )A． (1,2) B． (-1,-2) C． (2,1) D． (-2,-1)5.已知实数a,b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点，这个定点的坐标为( )6.直线mx+2y+m+4=0经过一定点，则，该点坐标是( )A(-1,-2) B．(1,2) C．(2,-1) D．(2,1)7.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是( )A．(-2，1) B．(2，1) C．(1，-2) D．(1，2)8.方程ax-y+2a+3=0所表示的直线恒过定点( )A．(-2,3) B．(2,3) C．(-2,3)he(2,3) D．(2,-3)9.直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)=0(k∈R)所经过的定点是( )A．(5,2) B．(2,3) C．(-0.5，3) D．(5,9)10.不论a为何值，直线ax+(2-a)y+1=0恒过定点为( )A．(0,0) B．(0,1) C．(0.5,-0.5) D．(-0.5,-0.5)11.直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )A．(0，0) B．(0，1) C．(3，1) D．(2，1)12.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点 ( )A．(1，-3) B．(4，3) C．(3，1) D．(2，3)13.若直线l1：y=k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)14.当k变化时，直线kx+y-2=3k过定点( )A．(0,2) B．(3,2) C．(-3,2) D．(3,-2)15.若实数a，b满足a＋2b=3，则直线2ax－by－12=0必过定点( )A．(－2,8) B．(2,8) C．(－2，－8) D．(2，－8)二、填空题16.过点A(-3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是 .17.直线kx-y+1=k，当k变动时，所有直线都通过定点_________.18.m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y=m－5必过定点。
指数函数的单调性与定点练习题含答案
指数函数的单调性与定点练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f(x)=a x+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点()A.(0, 3)B.(1, 3)C.(−1, 2)D.(−1, 3)2. 函数y=a x+1+1(a>0且a≠1）图象一定过点（）A.(0,1)B.(−1,1)C.(0,2)D.(−1,2)3. 若函数y＝a x+2+2(a>0，且a≠1)的图象恒过一定点P，则P的坐标为（）A.(0, 1)B.(−2, 1)C.(−2, 2)D.(−2, 3)4. 已知函数y=a x+3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα=（）A.3 5B.−35C.45D.−455. 函数f(x)=a x+2的图象恒过定点P，则P的坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,3)6. 若函数f(x)={(a−2)x,x≥2,(12)x−1,x<2是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是()A.(−∞, 2)B.(−∞,138] C.(0, 2) D.[138，2)7. 若函数f(x)＝a|2x−4|(a>0, a≠1)，满足f(1)=19，则f(x)的单调递减区间是（）A.(−∞, 2]B.[2, +∞)C.[−2, +∞)D.(−∞, −2]8. 如果直线2ax−by+14=0(a>0, b>0)和函数f(x)=m x+1+1(m>0, m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x−a+1)2+(y+b−2)2=25的内部或圆上，那么ba的取值范围是()A.[34, 43) B.(34, 43] C.[34, 43] D.(34, 43)9. 不论a 取何正实数，函数f(x)＝a x+1−2恒过点（ ）A.(−1, −1)B.(−1, 0)C.(0, −1)D.(−1, −3)10. 对于x ∈R ，不等式(12)x 2−2ax <23x+a 2恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(0, 1)B.(34,+∞)C.(0,34)D.(−∞,34)11. 已知函数f(x)=a x−2−4(a >0, a ≠1)的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________．12. 已知函数f (x )=3a x+2−1过定点M 的坐标为________.13. 已知函数f(x)＝a x−1+x a +2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________．14. 已知函数f (x )=a x−2(a >0,a ≠1)经过定点A ，A 的坐标是________.15. 函数f(x)=a x−1−23(a >0且a ≠1)的图像必过定点P ，则P 的坐标是________.16. 已知函数y ＝a 2x−1+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(x 0, y 0)，则x 0的值为________．17. 不等式2x2+2x−4≤12的解集为________．18. 已知函数y =a x 在[−1, 0]上的最大值与最小值的和为3．(1)求a 的值．(2)若1≤a x <16，求x 的取值范围．19. 已知函数f(x)=a x−1(x ≥0)．其中a >0且a ≠1．（1）若f(x)的图象经过点(2,12)，求a 的值；（2）求函数y =f(x)(x ≥0)的值域．20. 函数f(x)=a⋅2x+2−x(a∈R).(1)当a=0时，求函数y=f(x2−1)的值域；(2)当x<0时，函数y=f(x)−4有两个零点，求实数a的取值范围．)ax，a为常数，且函数的图象过点(−1, 2)．21. 已知函数f(x)=(12(1)求a的值；(2)若g(x)=4−x−2，且g(x)=f(x)，求满足条件的x的值．22. 已知f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，且当x∈[0,3]时，f(x)=4x+a⋅3x（a为常数）.(1)当x∈[−3,0）时，求f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)=m⋅2−x+31−x在[−2,−1]上有解，求实数m的取值范围．23. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=−2x−1.(1)求出函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0, 1]时，求出f(x)的最小值和最大值．24. 已知函数f(x)=a x2−2x，x∈R（其中a>0且a≠1）；（1）若a>1，请写出函数f(x)的单调区间（不需要证明）；，求函数f(x)在x∈[0, 3]上的值域．（2）若a=12参考答案与试题解析指数函数的单调性与定点练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】根据指数函数过定点的性质，直接领x+1=0即可得到结论【解答】解：由x+1=0，解得x=−1，此时y=1+2=3，即函数的图象过定点(−1, 3).故选D.2.【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】本题考察指数函数图像问题利用指数函数性质求解【解答】解：函数y=a x+1+1(a>0且a≠1)，当x=−1时，y=a0+1=2，故函数的图像一定过点(−1，2).故选D.3.【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】根据指数函数过定点的性质，即a0＝1恒成立，即可得到结论．【解答】∵y＝a x+2+2，∴当x+2＝0时，x＝−2，此时y＝1+2＝3，即函数过定点(−2, 3)．4.【答案】B【考点】任意角的三角函数指数函数的单调性与特殊点【解析】先求得函数y=a x+3+3(a>0且a≠1)的图象恒过点P(−3,4)，可得角α的终边过点P(−3,4)，再根据cosα=xr求得结果．【解答】解：令x+3=0，求得x=−3且y=4，可得函数函数y=a x+3+3(a>0且a≠1)的图象恒过点P(−3,4)，故角α的终边过点P(−3,4)，∴cosα=xr =√(−3)2+42=−35.故选B.5.【答案】D【考点】指数函数的单调性与特殊点指数函数的图象【解析】由函数f(x)=a x(a>0)，且a≠1）恒过(0,1)，根据指数函数的性质，把x=0代入即可求解.【解答】解：∵ 指数函数y=a x恒过点(0,1)，∴当x=0时，可得y=a0+2=3，∴函数f(x)=a x+2恒过点(0,3).故选D.6.【答案】B【考点】函数单调性的性质指数函数的单调性与特殊点【解析】由函数是单调减函数，则有a−2<0，且注意2(a−2)≤(12)2−1．【解答】解：∵函数f(x)={(a−2)x，x≥2，(12)x−1，x<2是R上的单调减函数，∴{a−2<0，2(a−2)≤(12)2−1.∴a∈(−∞,138]. 故选B.7.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由f(1)=19，解出a，求出g(x)＝|2x−4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f(x)的单调递减区间．【解答】由f(1)=19，得a2=19，于是a=13，因此f(x)＝(13)|2x−4|．因为g(x)＝|2x−4|在[2, +∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2, +∞)．故选：B．8.【答案】C【考点】点与圆的位置关系指数函数的单调性与特殊点【解析】由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出ba的取值范围．【解答】解：∵当x+1=0，即x=−1时，y=f(x)=m x+1+1=1+1=2，∴函数f(x)的图象恒过一个定点(−1, 2)；又直线2ax−by+14=0过定点(−1, 2)，∴a+b=7①；又定点(−1, 2)在圆(x−a+1)2+(y+b−2)2=25的内部或圆上，∴(−1−a+1)2+(2+b−2)2≤25，即a2+b2≤25②；由①②得，3≤a≤4，∴14≤1a≤13，∴ba =7−aa=7a−1∈[34, 43]；故选C.9.【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令指数为0，即可求得函数f(x)＝a x+1−2恒过点．【解答】令x +1＝0，可得x ＝−1，则f(−1)＝1−2＝−1∴ 不论a 取何正实数，函数f(x)＝a x+1−2恒过点(−1, −1)10.【答案】B【考点】函数恒成立问题指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：(12)x 2−2ax <23x+a 2=(12)−3x−a 2在R 上恒成立，∵ y =(12)x 在R 上是单调减函数，∴ x 2−2ax >−3x −a 2在R 上恒成立，即x 2+(3−2a)x +a 2>0在R 上恒成立．∴ Δ=(3−2a)2−4a 2<0，解得a >34．故选B ．二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）11.【答案】(2, −3)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】根据指数函数的性质，令幂指数为0，进行求解即可求出定点坐标．【解答】解：由x −2=0得x =2，此时f(2)=a 0−4=1−4=−3，即函数f(x)过定点A(2, −3).故答案为：(2, −3).12.【答案】(−2, 2)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令x +2=0求出x ，代入解析式求出对应的f （x ），即求出定点的坐标．【解答】解：由x +2=0，得x =−2，则此时f(−2)=3a −2+2−1=3a 0−1=2，所以函数f(x)过定点(−2, 2).故答案为：(−2, 2).13.【答案】(1, 4)【考点】指数函数的单调性与特殊点指数函数的图象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】(2, 1)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】根据指数函数y=a x的图象恒过定点(0, 1)，得出函数f(x)=a x−2的图象恒过定点(2, 1)．【解答】解：由题意得，令x−2=0，解得x=2，此时f(2)=1，即函数f(x)的图象恒过定点(2, 1).故答案为：(2, 1)．15.【答案】(1,1 3 )【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令指数函数的幂指数等于零，求得x，y的值，可得它的图象经过定点的坐标．【解答】解：函数f(x)=a x−1−23，令x−1=0，则x=1，则f(1)=1−23=13，所以函数f(x)=a x−1−23的图象恒过定点(1,13).故答案为：(1,13).16.【答案】【考点】指数函数的单调性与特殊点指数函数的图象与性质【解析】令指数等于零，求得x 、y 的值，可得它的图象经过定点的坐标．【解答】对于函数y ＝a 2x−1+1(a >0且a ≠1)的图象，令2x −1＝0，求得x ＝，y ＝2，可得它的图象经过定点（，2)． 再根据它的图象恒过定点P(x 0, y 0)，则x 0＝，17.【答案】[−3, 1]【考点】指数函数的单调性与特殊点其他不等式的解法【解析】 把12变为2−1，然后利用指数函数的单调性列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】2x 2+2x−4≤12=2−1， 依题意得：x 2+2x −4≤−1，因式分解得(x +3)(x −1)≤0，可化为：{x +3≤0x −1≥0 或{x +3≥0x −1≤0，解得−3≤x ≤1， 所以原不等式的解集为[−3, 1]．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）18.【答案】解：(1)由指数函数的性质可得，y =a x 在[−1, 0]单调，∵ 函数y =a x 在[−1, 0]上的最大值与最小值的和为3，∴ a −1+a 0=3，∴ a =12.(2)由(1)得，y =(12)x ，∵ 1≤a x <16，∴ (12)0=1≤(12)x <16=(12)−4， ∴ −4<x ≤0．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）由指数函数的性质可得，y =a x 在[−1, 0]单调可得a −1+a 0=3，可求，（2）由指数函数的单调性质，即可求出x 的范围．【解答】解：(1)由指数函数的性质可得，y =a x 在[−1, 0]单调，∵ 函数y =a x 在[−1, 0]上的最大值与最小值的和为3，∴ a −1+a 0=3，∴ a =12.(2)由(1)得，y =(12)x ，∵ 1≤a x <16，∴ (12)0=1≤(12)x <16=(12)−4，∴ −4<x ≤0．19.【答案】解：（1）函数图象过点(2,12)，所以，a 2−1=12，则a =12．（2）f(x)=a x−1(x ≥0)．由x ≥0得x −1≥−1，当0<a <1时，a x−1≤a −1，所以f(x)∈(0, a −1]，当a >1时，a x−1≥a −1，所以f(x)∈[a −1, +∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）将点代入解析式中，即可求出a 的值，（2）需要分类讨论，分0<a <1时，a >1时，根据指数函数的单调性即可求出【解答】解：（1）函数图象过点(2,12)，所以，a 2−1=12，则a =12． （2）f(x)=a x−1(x ≥0)．由x ≥0得x −1≥−1，当0<a <1时，a x−1≤a −1，所以f(x)∈(0, a −1]，当a >1时，a x−1≥a −1，所以f(x)∈[a −1, +∞)20.【答案】解：(1)a =0时f (x )=2−x ，所以f (x 2−1)=21−x 2，令t =1−x 2，t ∈(−∞,1]，此时y =2t ，t ≤1因为y =2t 在(−∞,1]上是增函数，所以0<y ≤2，所以y =f (x 2−1)的值域是(0,2]．(2)当x <0时，y =f (x )−4=a ⋅2x +12x −4=a⋅(2x )2−4⋅2x +12x 有两个零点，所以a ⋅(2x )2−4⋅2x +1=0在(−∞,0)上有两个不等的实根， 即a =4⋅2x −1(2x )2=42x−(12x )2， 令u =12x ∈(1,+∞)，则a =−u 2+4u 有两不等实根，因为y =−(u −2)2+4在(1,2]上是增函数，在(2,+∞)上是减函数， 且当u =1时，y =3，当u =2时，y =4， 所以a ∈(3,4)．【考点】指数函数的单调性与特殊点指数函数的定义、解析式、定义域和值域 函数的零点与方程根的关系 函数的零点 【解析】 无 无 【解答】解：(1)a =0时f (x )=2−x ，所以f (x 2−1)=21−x 2， 令t =1−x 2，t ∈(−∞,1]， 此时y =2t ，t ≤1因为y =2t 在(−∞,1]上是增函数， 所以0<y ≤2，所以y =f (x 2−1)的值域是(0,2]．(2)当x <0时，y =f (x )−4=a ⋅2x +12x −4 =a⋅(2x )2−4⋅2x +12x有两个零点，所以a ⋅(2x )2−4⋅2x +1=0在(−∞,0)上有两个不等的实根， 即a =4⋅2x −1(2x )2=42x −(12x )2， 令u =12x∈(1,+∞)，则a =−u 2+4u 有两不等实根，因为y =−(u −2)2+4在(1,2]上是增函数，在(2,+∞)上是减函数，且当u =1时，y =3，当u =2时，y =4， 所以a ∈(3,4)． 21. 【答案】解：(1)由已知得(12)−a =2，解得a =1． (2)由(1)知f(x)=(12)x ，又g(x)=f(x)，则4−x −2=(12)x ，即(14)x −(12)x −2=0，即[(12)x ]2−(12)x −2=0，令(12)x =t ，则t 2−t −2=0，即(t −2)(t +1)=0，又t >0，故t =2，即(12)x =2，解得x =−1， 满足条件的x 的值为−1． 【考点】函数的零点与方程根的关系 指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）代入点的坐标，即得a 的值；（2）根据条件得到关于x 的方程，解之即可． 【解答】解：(1)由已知得(12)−a =2，解得a =1． (2)由(1)知f(x)=(12)x ，又g(x)=f(x)，则4−x −2=(12)x ，即(14)x −(12)x −2=0，即[(12)x ]2−(12)x −2=0， 令(12)x =t ，则t 2−t −2=0，即(t −2)(t +1)=0， 又t >0，故t =2，即(12)x =2，解得x =−1， 满足条件的x 的值为−1． 22.【答案】解：(1)∵ f (x )是定义在[−3,3]上的奇函数，且当x ∈[0,3]时，f (x )=4x +a ⋅3x ， ∴ f (0)=40+a ⋅30=1+a =0，解得a =−1， ∴ 当x ∈[0,3]时，f (x )=4x −3x ．当x ∈[−3,0）时，−x ∈(0,3]，∴ f (−x )=4−x −3−x =14x −13x =−f (x )， ∴ f(x)=13x −14x ，x ∈[−3,0)． (2)由(1)知，当x ∈[−2,−1]时，f (x )=13x −14x，∴ f (x )=m ⋅2−x +31−x 可化为13x−14x=m ⋅2−x +31−x ，整理得m =−(12)x−2⋅(23)x．令g (x )=−(12)x−2⋅(23)x，根据指数函数的单调性可得， g (x )在[−2,−1]是增函数． ∴ −172≤g (x )≤−5，又关于x 的方程f (x )=m ⋅2−x +31−x 在[−2,−1]上有解，故实数m 的取值范围是[−172,−5]．【考点】函数奇偶性的性质 函数单调性的性质 指数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】解：(1)∵ f (x )是定义在[−3,3]上的奇函数，且当x ∈[0,3]时，f (x )=4x +a ⋅3x ， ∴ f (0)=40+a ⋅30=1+a =0，解得a =−1， ∴ 当x ∈[0,3]时，f (x )=4x −3x ．当x ∈[−3,0）时，−x ∈(0,3]，∴ f (−x )=4−x −3−x =14x −13x=−f (x )，∴ f(x)=13x −14x ，x ∈[−3,0)．(2)由(1)知，当x ∈[−2,−1]时，f (x )=13x −14x ，∴ f (x )=m ⋅2−x +31−x 可化为13x −14x =m ⋅2−x +31−x ， 整理得m =−(12)x−2⋅(23)x．令g (x )=−(12)x−2⋅(23)x，根据指数函数的单调性可得， g (x )在[−2,−1]是增函数． ∴ −172≤g (x )≤−5，又关于x 的方程f (x )=m ⋅2−x +31−x 在[−2,−1]上有解，故实数m 的取值范围是[−172,−5]．23.【答案】解：(1)由题意知，当x >0时，f(x)=−2x −1， ∴ 当x <0时，−x >0， 则f(−x)=−2−x −1.∵ f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴ f (x)=−f (−x)=2−x +1. 又∵ f(x)为定义在R 上的函数， ∴ f(0)=0，∴ f(x)={−2x −1，x >0，0,x =0，2−x +1，x <0.(2)当x ∈[0, 1]时，解析式f(x)=−2x −1， f(x)=−2x −1在x ∈[0, 1]单调递减． 当x =0时，y 有最大值−2； 当x =1时，y 有最小值−3． 【考点】指数函数的单调性与特殊点 奇函数函数的最值及其几何意义 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）由x <0时，−x >0，则f(−x)=−2−x −1，再由奇函数的定义，以及性质：f(0)=0，即可得到所求函数的解析式；（2）运用指数函数的单调性，可得x ∈[0, 1]时，f(x)为减函数，计算即可得到最值． 【解答】解：(1)由题意知，当x >0时，f(x)=−2x −1， ∴ 当x <0时，−x >0， 则f(−x)=−2−x −1.∵ f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴ f (x)=−f (−x)=2−x +1. 又∵ f(x)为定义在R 上的函数， ∴ f(0)=0，∴ f(x)={−2x −1，x >0，0,x =0，2−x +1，x <0.(2)当x ∈[0, 1]时，解析式f(x)=−2x −1， f(x)=−2x −1在x ∈[0, 1]单调递减． 当x =0时，y 有最大值−2； 当x =1时，y 有最小值−3． 24. 【答案】解：（1）∵ 函数f(x)=a x 2−2x ，x ∈R 是由y =a u 和u =x 2−2x 两个函数复合而成， ∵ 内函数u =x 2−2x 的对称轴为x =1，∴ u =x 2−2x 的单调递减区间为(−∞, 1)，单调递增区间为(1, +∞)， ∵ a >1，∴ 外函数y =a u 是R 上的单调递增函数， 根据复合函数单调性的“同增异减”规则， ∴ 函数f(x)=a x2−2x的单调递减区间为(−∞, 1)，单调递增区间为(1, +∞)；（2）当a =12，则f(x)=(12)x2−2x，∵ u =x 2−2x =(x −1)2−1， ∴ 对称轴为x =1∈[0, 3]，∴ 当x =1时，u 取最小值−1，当x =3时，u 取最大值3， ∴ −1≤u ≤3，∵ y =(12)u 是R 上的单调递减函数，∴ 当u =3时，y =(12)u 取最小值18，当u =−1时，y =(12)u 取最大值2， ∴ 18≤y ≤2，∴ f(x)在x ∈[0, 3]上的值域为[18，2]．【考点】指数函数的单调性与特殊点 函数的值域及其求法 【解析】（1）根据a >1，可以得到复合函数f(x)=a x 2−2x 的外函数为单调递增函数，将求函数f(x)的单调区间转化为求u =x 2−2x 的单调区间，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，即可得到y =x 2−2x 的单调区间，从而确定函数f(x)的单调区间； （2）将a =12代入函数f(x)中，得到f(x)的表达式，再求出u =x 2−2x 的取值范围，利用指数函数的单调性即可求得函数的值域． 【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=a x 2−2x ，x ∈R 是由y =a u 和u =x 2−2x 两个函数复合而成， ∵ 内函数u =x 2−2x 的对称轴为x =1，∴ u =x 2−2x 的单调递减区间为(−∞, 1)，单调递增区间为(1, +∞)， ∵ a >1，∴ 外函数y =a u 是R 上的单调递增函数， 根据复合函数单调性的“同增异减”规则， ∴ 函数f(x)=a x2−2x的单调递减区间为(−∞, 1)，单调递增区间为(1, +∞)；（2）当a =12，则f(x)=(12)x2−2x，∵ u =x 2−2x =(x −1)2−1， ∴ 对称轴为x =1∈[0, 3]，∴ 当x =1时，u 取最小值−1，当x =3时，u 取最大值3， ∴ −1≤u ≤3，∵ y =(12)u 是R 上的单调递减函数，∴ 当u =3时，y =(12)u 取最小值18，当u =−1时，y =(12)u 取最大值2， ∴ 18≤y ≤2，∴ f(x)在x ∈[0, 3]上的值域为[18，2]．。
圆锥曲线定点定制典型习题
圆锥曲线解答题练习例1．已知直线过点)0)(0(>m m M ，且与抛物线)0(22>=p px y 交于)(11y x A ，、)(22y x B ，两点，求证：1x ·2x ，1y ·2y 均为定值，并求这个定值．例2．（09、辽宁）已知椭圆C ：22143x y +=．F E 、是椭圆C 上的两个动点，点)231(，A 是椭圆上的一个定点．如果直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．例3．已知直线L 与抛物线)0(22>=p px y 交于)(11y x A ，、)(22y x B ，两点，且1x ·2x ＝42p ．求证：直线L 经过定点，并求出这个定点的坐标． 例4．(07、湖南理21）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点． （1）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++ （其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； (2)在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．例5．(2011、武汉市第二次质检、三中供题) 已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点001x y ≠，直线l 的方程为0012x x y y +=．(1)判断直线l 与椭圆E 交点的个数；(2)直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （－1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标．例5．(08、武汉模拟)过双曲线22x m －2y ＝2m 的右顶点A ，作两条斜率分别为1k 、2k 的直线AM 、AN ，交双曲线于M 、N ．其中1k ·2k ＝－2m ，1k ＋2k 0≠，且1k ＞2k ，求直线MN 的斜率为定值，并求这个定值．例6．(09、江西）已知点100(,)P x y 为双曲线182222=-b y b x 上任一点，F 2为双曲线的右焦点．过1P 作右准线的垂线，垂足为A ．连接A F 2并延长交y 轴于2P ．(1) 求线段21P P 的中点P 的轨迹的方程；(2) 设轨迹E 与x 轴交于D B 、两点，在E 上任取一点)(11y x Q ，，直线QB 、QD 分别交y 轴于N M 、两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．。
两直线的位置关系习题附答案
两直线的位置关系习题附答案1.已知直线l1：mx+y-1=0与直线l2：(m-2)x+my-2=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件。
2.当0<k<2时，直线l1：kx-y=k-1与直线l2：ky-x=2k的交点在第二象限。
3.若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(0,2)。
4.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2之间的距离为3.5.光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=ax+2射出，则有a=-1/3，b=-6.6.求关于直线x=1对称的直线方程已知直线x-2y+1=0与直线x=1的交点坐标为(1,1)，直线上的点(-1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0)。
因此，直线方程为y-x-3=0，即x+2y-3=0.答案：x+2y-3=07.求四边形ABCD的面积根据向量叉积的公式，四边形ABCD的面积为：S = 1/2 |AB × AD| = 1/2 |(4-1,1-5,0-2) × (1+3,5-2,-1-2)|S = 1/2 |(-3,-4,-2) × (4,3,-3)| = 1/2 |(-6,-6,-21)|S = 1/2 × 9√13 = 9/2√13答案：9/2√138.求直线l1的方程由于l1和l2是平行直线，所以它们的斜率相等。
设l1的方程为y=ax+b，则l2的方程为y=ax+c，其中b≠c。
由于l1过点A(1,1)，所以1=a+b，即b=1-a。
同理，l2过点B(0,-1)，所以-1=a+c，即c=-1-a。
两直线间的距离为|b-c|/√(1+a^2)，要求它最大，就要求|b-c|最大。
因为b=1-a，c=-1-a，所以|b-c|=2+2a。
因此，要使距离最大，就要使2+2a/√(1+a^2)最大。
对其求导数，得到a=-1/√3.代入b=1-a=-1/√3+1，得到直线l1的方程为y=-x/√3+1/√3.答案：y=-x/√3+1/√39.求过点P(2,-1)的直线方程1) 过点P且与原点的距离为2的直线，可以看作以原点为圆心、以2为半径的圆与点P的交点所连成的直线。
圆锥曲线对称性定点问题与习题含详解
k 2 x 2 2 px P (
2p 2p
, )
k2 k
1
2p 2p
,
) A （2pk 2 ,-2pk）（由于算法相同只需将 k 用 - 来代替即可以表达出 A
1
1
k
( ) 2
k
k
点坐标）
1
2
当 A，P 横坐标相同时 2pk =
2p
k 1 ，AP 直线方程为 x 2 p ，与点 x 轴交点 (2 p, 0)
1 4k
2
2
2
去分母
4（1
+k 2）
(m 2 -1)-8k 2 m( m 1) (4 k 2 1)( m2 2 m 1) 0
按降幂排列
4k 2 m 2 -8k 2 m 2 +4k 2 m 2 +8k 2 m-8k 2 m+4m 2 + m2 -4k 2 +4k 2 -2m-4+1 0
k2 4 k2 4
2
k 2 4 1 4k 2
2
2
k2 4 k2 1
8k
k2 1
(x 2
) ，化简得：
直线 PQ 的斜率为 k k 4 1 4k
，直线 PQ 的方程为 y 2
8k
8k
k
4
5
k
k
4
5
k
k 2 4 1 4k 2
y
k2 1
3
（检验项数发现展开刚好是 12 项，验算没有问题）
2
得到： 5m -2m-3 0 m
课时作业7：习题课 直线系方程
习题课 直线系方程课时对点练1．直线kx ＋y ＋1＝2k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(2，－1)B ．(－2，－1)C ．(2,1)D ．(－2,1) 答案 A解析 kx ＋y ＋1＝2k ，可化为y ＋1＝k (2－x )，故该直线恒过定点(2，－1)．2．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0 答案 D解析 过两直线交点的直线系方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y ＝0. 3．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为( )A ．4x －3y ＋9＝0B ．4x ＋3y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x ＋4y ＋9＝0 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－53，y ＝79，因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.4．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0D ．x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0答案 C解析 设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0，令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ，令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.5．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( )A ．恒过定点(－2,3)B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线答案 A解析 (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可化为－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 6．(多选)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3B ．若l 1∥l 2，则m ＝3C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12答案 BD解析 直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0，即x －y －1＝0，两直线重合，只有当m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，m ＝12，C 错误，D 正确． 7．过点P (3,4)，且与直线2x －y ＋1＝0平行的直线方程为____________________． 答案 2x －y －2＝0解析 设与直线2x －y ＋1＝0平行的直线方程为2x －y ＋m ＝0，把点P (3,4)的坐标代入直线方程，求得m ＝－2，所以所求直线方程为2x －y －2＝0.8．已知直线l 经过点P (－1,2)，且垂直于直线2x ＋3y －1＝0，则直线l 的方程是________．答案 3x －2y ＋7＝0解析 由题意，知所求直线l 垂直于直线2x ＋3y －1＝0，设直线l 的方程是3x －2y ＋c ＝0，又由直线l 过点P (－1,2)，代入可得－3－4＋c ＝0，解得c ＝7，故l 的方程是3x －2y ＋7＝0.9．已知两条直线l 1：x ＋2y －6＝0和l 2：x －2y ＋2＝0的交点为P .求：(1)过点P 与Q (1,4)的直线方程；(2)过点P 且与直线x －3y －1＝0垂直的直线方程．解 设过直线l 1：x ＋2y －6＝0和l 2：x －2y ＋2＝0交点的直线方程为x ＋2y －6＋m (x －2y ＋2)＝0，即(m ＋1)x ＋(2－2m )y ＋(2m －6)＝0.①(1)把点Q (1,4)代入方程①，化简得3－5m ＝0，解得m ＝35， 所以过两直线交点P 与Q 的直线方程为85x ＋45y －245＝0，即2x ＋y －6＝0. (2)由直线①与直线x －3y －1＝0垂直，得(m ＋1)－3(2－2m )＝0，解得m ＝57， 所以所求直线的方程为127x ＋47y －327＝0， 即3x ＋y －8＝0.10．已知直线l 1：x ＋2y －4＝0与直线l 2：x －y －1＝0的交点为A ，直线l 经过点A ，点P (1，－1)到直线l 的距离为2，直线l 3与直线l 1关于直线l 2对称．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 3的方程．解 (1)设过点A 的直线l ：x ＋2y －4＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －4－λ＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|1＋λ－(2－λ)－4－λ|(1＋λ)2＋(2－λ)2＝|λ－5|2λ2－2λ＋5＝2， 解得λ＝－1或57，分别代入直线l 方程中， 所以直线l ：y ＝1或4x ＋3y －11＝0.(2)设直线l 3上任一点M (x ，y )关于直线l 2对称的点为N (x ′，y ′)，则l MN ⊥l 2，MN 连线中点在l 2上，且N 在l 1上．所以⎩⎪⎨⎪⎧ y －y ′x －x ′＝－1，x ′＋x 2－y ＋y ′2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ＋1，y ′＝x －1， 点N (y ＋1，x －1)代入直线l 1：x ＋2y －4＝0中，得y ＋1＋2(x －1)－4＝0，整理得2x ＋y －5＝0，即为所求直线l 3的方程．11．已知a >0，b >0，两直线l 1：(a －2)x ＋y －1＝0，l 2：x ＋2by ＋1＝0，且l 1⊥l 2，则1a ＋2b的最小值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．8 答案 C解析 ∵a >0，b >0，l 1⊥l 2，∴a －2＋2b ＝0，整理得a ＋2b ＝2，∴1a ＋2b ＝12(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋2a b ＋5 ≥12⎝⎛⎭⎫22b a ·2a b ＋5＝92， 当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝23时等号成立， 故1a ＋2b 的最小值为92. 12．当点P (2,3)到直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( )A ．3，－3B ．5,2C ．5,1D ．7,1答案 C解析 直线l 恒过点A (－3,3)，根据已知条件可知，当直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0与AP 垂直时，距离最大，最大值为5，此时a ＝1.13．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14 D ．215答案 B解析 (1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，整理得x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0， 解得x ＝y ＝1，所以直线过定点Q (1,1)，所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＝|PQ |＝(－2－1)2＋1＝10.14．经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．答案 2 解析 设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y )＝0，即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0，因为原点到直线的距离d ＝|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x ＝1或4x －3y ＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2.15．已知直线l ：(m ＋3)x ＋(m －2)y －m －2＝0，点A (－2，－1)，B (2，－2)，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－2,2) C.⎣⎡⎦⎤－32，8 D ．(4，＋∞)答案 C解析 直线l 方程变形得(x ＋y －1)m ＋(3x －2y －2)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，3x －2y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝15，∴直线l 恒过点C ⎝⎛⎭⎫45，15，k AC ＝15＋145＋2＝37，k BC ＝15＋245－2＝－116， 由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为k ≤－116或k ≥37， 又k ＝－m ＋3m －2， ∴－m ＋3m －2≤－116或－m ＋3m －2≥37， 即2<m ≤8或－32≤m <2， 又当m ＝2时，直线的方程为x ＝45，仍与线段AB 相交， ∴m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，8. 16．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5,0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5,0)到直线l 的距离的最大值，并求距离最大时的直线l 的方程． 解 (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，点A (5,0)到直线l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝12或λ＝2， 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)， 如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)，所以d max ＝|P A |＝10，直线l 的斜率k ＝－1k P A＝3，所以直线l的方程为3x－y－5＝0.。
一动点到两定点的距离的乘积等于定值
第二章1、一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹(卡西尼卵形线).解:设两定点间距离为a 2,两定点为)0,(a A -和)0,(a B ,设动点),(y x M 依题意2m=即:22222)()(mya x y a x =+-++平方整理即得: 0)(2)(44222222=-+--+m a y x a y x2、求旋轮线⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1,sin)20(π≤≤t 的弧与直线23=y的交点。
解：将旋轮线方程代入直线23=y得,cos 123t -=即21cos -=t ，由)20(π≤≤t ，得321π=t ，342π=t，将21,t t 代入旋轮线方程便得交点为：)23,2332(-π与)23,2334(+π3、把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程 （1）;32x y =（2）)0(212121>=+a a yx（3）)0(0333>=-+a axy y x解：（1）令2t x =，则62ty =，故3ty =。
所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==32ty t x)(∞<<-∞t（2）令θ4cosa x =，则θ4sin a y=。
所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ44sin cos a y a x )20(πθ≤≤（3）设txy=，代入方程得0]3)1([32=-+at t x x .则0=x 或)1(133-≠+=t tat x故313tat x +=（它包含0=x 的情形，因可取0=t），1-≠t313tat y +=4、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。
解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则z C z y x M =⇔∈),,(亦即zzy x =++-222)4(0)4(22=+-∴yx由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-yx5、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。
高考数学 圆锥曲线中定点定值问题练习题素材
11、 【2010 四川】已知定点A(-1,0)，F （2,0），定直线l ：21=x ，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍。
设点P 的轨迹为E,过点F 的直线交E 与B,C 两点，直线AB,AC 交于点M,N. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由。
2、 【2009 湖北】过抛物线()022>=p px y 的对称轴上一点A ()()00,>a a 的直线与抛物线相交于M,N 两点，自M,N 向直线a x l-=:作垂线，垂足分别为11,N M . （Ⅰ）当2p a=时，求证：11AN AM ⊥; （Ⅱ）记△1AMM 、△11N AM 、△1A N N 的面积分别为321,,S S S .是否存在λ，使得对任意的0>a ，都有3122S S S λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
3、 双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为3，A,F 分别是双曲线的左顶点，右焦点，过点F 的直线l 交双曲线的右支于P,Q 两点，交y 轴于R 点，AP,AQ 分别交右准线于M,N 两点。
（Ⅰ）若5=，求直线l 的斜率；（Ⅱ）证明：M,N 两点的纵坐标之积为定值。
4、 已知直线0122:=+-y x l与抛物线y x 42=交于A,B 两点，过A,B 两点的圆与抛物线在A （其中A 点在x 轴的右侧）处有共同的切线。
（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）若圆M 与直线mx y =交于P,Q 两点，O 为坐标原点，求证：⋅为定值。
5、有一幅椭圆型彗星轨道图，长4cm ，高32cm ，如下图，已知O 为椭圆中心，21,A A 是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点F 处。
（Ⅰ）建立适当的坐标系，写出椭圆方程，并求出彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离； （Ⅱ）若直线l 垂直于21A A 的延长线于D 点，4=OD ，设P 是l 上异于D 点的任意一点，直线P A P A 21,分别交椭圆于M,N （不同于21,A A ）两点，问点2A 能否在以MN 为直径的圆上？试说明理由。
高中数学椭圆定点定值专题习题
1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m≠0），求直线l的斜率．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k OD为直线OD的斜率，求证：k•k OD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一9．如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．10．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．12．（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值（2）将椭圆（a＞b＞0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．（3）如图，若AB、CD是过椭圆（a＞b＞0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：为定值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一15．已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．（I）若P（），Q（，1），求椭圆C l的方程；（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．16．已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（﹣a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值．（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若K QA+K QB=2与l的斜率无关，求t的值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一17．如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（﹣1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．18．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一19．如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．22．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一23．已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．24．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x2=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一25．已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值和最小值．26．设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一27．已知椭圆的左焦点F1（﹣1，0），长轴长与短轴长的比是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：为定值．28．已知椭圆的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线（称为椭圆的右准线）于P，Q两点．（1）若当θ=30°时有，求椭圆的离心率；（2）若离心率e=，求证：为定值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一29．已知点P在椭圆C：（a＞b＞0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6﹣|PF2|，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．30．如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一。
定点练习题100例
定点练习题100例一、数学1. 两个数的和等于12，差等于4，求这两个数。
2. 三个数按比例分成4:6:9，其中最大的数是27，求最小的数。
3. 一组数据的方差为25，标准差为5，如果所有数据都减去5，方差和标准差分别变成多少？4. 已知一个正方形的边长是x，求这个正方形的面积。
5. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶了4小时后突然停下来，求汽车行驶的总路程。
6. 一次函数y = kx + 2的图像经过点(3, 5)，求k的值。
7. 某商品的原价为100元，商家打8折促销，求折后的价格。
8. 一个等差数列的首项是3，公差是4，求它的第10项。
9. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求它的第4项。
10. 若a+b=3，ab=2，求a和b的值。
二、物理11. 一个质量为0.5kg的物体以10m/s的速度运动，求它的动能。
12. 质量为2kg的物体从10m的高度自由下落，求它的重力势能。
13. 一辆汽车以20m/s²的加速度匀加速行驶了10秒，求汽车行驶的距离。
14. 一个物体重力为10N，求它的质量。
15. 一段铁棒的长度为1m，温度上升10℃，它的伸长量是多少？16. 一段铁棒的原长为2m，温度上升10℃，它的伸长量是多少？17. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，制动后匀减速停下，加速度大小为5m/s²，求汽车行驶的距离。
18. 一辆汽车以10m/s的速度行驶，制动后匀减速停下，加速度大小为4m/s²，汽车行驶的距离是多少？19. 一段长为1m的导线通以2A的电流，求通过导线的电荷量。
20. 一段2m长的导线通以5A的电流，求通过导线的电量。
三、化学21. 请根据化学反应方程式H2 + Cl2 → 2HCl，回答以下问题：a) 氢气和氯气反应的生成物是什么？b) 生成物中氢气的摩尔数是多少？c) 氯气的摩尔质量是多少？22. 一个化学反应的放热量为1000J，如果化学反应发生了3次，请问总放热量是多少？23. 请根据化学式2H2O → 2H2 + O2，回答以下问题：a) 这个化学反应是何种类型的反应？b) 这个化学反应中氢气和氧气的摩尔比是多少？c) 生成的氢气和氧气的摩尔质量分别是多少？24. 一段1m长的锌棒浸泡在CuSO4溶液中，产生了电子流动，锌棒上的锌被溶解，铜被析出，回答以下问题：a) 锌棒上的锌离子的质量是多少？b) 铜离子的质量是多少？25. 一段1m长的铁棒浸泡在CuSO4溶液中，产生了电子流动，铁棒上的铁被溶解，铜被析出，回答以下问题：a) 铁离子的质量是多少？b) 产生的铜质量是多少？四、语文26. 请阅读以下句子，然后回答问题：“桃之夭夭，灼灼其华。
两动点一定点求最小值例题
两动点一定点求最小值例题
题目描述：有一根长度为L的绳子，绳子上有两个固定的点A和B，以及一个可以在绳子上滑动的点C。
点A和点B之间的距离是已知的，记作d。
现在要求点C在绳子上的位置，使得点C到点A的距离和点C到点B的距离之和最小。
思路：设点C在绳子上的位置为x，AC的长度为x，BC的长度为d-x。
根据勾股定理，AC的长度和BC的长度的平方和等于AB的长度的平方。
因此，可以得到一个关于x的方程，通过求解这个方程，就可以找到最小值对应的x的值。
具体的方程为：
x^2 + (d - x)^2 = AB^2
解这个方程，得到的x值即为点C在绳子上的位置，使得AC和BC之和最小。
这是一个简单的最小值求解问题，可通过代数运算和方程求解的方法来得到最优解。
2019年高中数学 必修2 直线过定点 练习题34题(含答案)
2019年高中数学必修2 直线过定点练习题34题(含答案)1.直线kx-y+1-3k=0，当k变动时，所有直线都通过定点是（C）(3,1)。
2.当a取不同实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过一定点，则这个定点是（D）(-2,0)。
3.已知定点P(-2,0)和直线l：(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为（B）2.4.不管m怎样变化，直线(m+2)x-(2m-1)y-(3m-4)=0恒过的定点是（A）(1,2)。
5.已知实数a,b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点，这个定点的坐标为（B）(-2/3,2)。
6.直线mx+2y+m+4=0经过一定点，则，该点坐标是（D）(2,1)。
7.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（C）(1,-2)。
8.方程ax-y+2a+3=0所表示的直线恒过定点（C）(-2,3)。
9.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点是（A）(5,2)。
10.不论a为何值，直线ax+(2-a)y+1=0恒过定点为（B）(0,1)。
11.直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（C）(3,1)。
12.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点（D）(2,3)。
13.若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点（A）(0,4)。
14.当k变化时，直线kx+y-2=3k过定点（B）(0,1)。
18.答案为：(1,-2)19.答案为：(-1,2)20.答案为：(1,1)21.答案为：(-1,2)22.答案为：(0,1)23.答案为：(0,-1)24.答案为：(1,-2)25.答案为：(0,0)26.答案为：(1,2)27.答案为：(-1,-1)28.答案为：(-1,-2)29.答案为：(-1,-2)30.答案为：(0,2)31.答案为：(-2,1)32.答案为：(-1,-2)33.答案为：(1,-1)34.答案为：(1,-2)18.答案为 (9,-4)。
椭圆定点定值专题习题
1．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4．Ⅰ求椭圆C的标准方程；ⅡP2,n,Q2,﹣n是椭圆C上两个定点,A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值,说明理由．2．已知椭圆的离心率为,且经过点．1求椭圆C的方程；2已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN的斜率k1,k2满足k1+k2=m定值m≠0,求直线l的斜率．3．如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2,且过点．1求椭圆E的方程；2若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M．ⅰ设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证：k1k2为定值；ⅱ设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点,并求出定点的坐标．4．已知F1,F2分别是椭圆a＞b＞0的左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与x轴的交点为N,满足,设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中．1求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；2过A、B两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问：点P是否恒在某定直线上运动,请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆a＞b＞0的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上．1求椭圆的方程；2设A,B,M是椭圆上的三点异于椭圆顶点,且存在锐角θ,使．i求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；ii求OA2+OB2．6．已知椭圆的左焦点为F﹣,0,离心率e=,M、N是椭圆上的动点．Ⅰ求椭圆标准方程；Ⅱ设动点P满足：,直线OM与ON的斜率之积为﹣,问：是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,若存在,求出F1,F2的坐标,若不存在,说明理由．Ⅲ若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上的射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,证明：MN⊥MB．7．一束光线从点F1﹣1,0出发,经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F21,0．1求P点的坐标；2求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；3设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点,试问在x轴上是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB的斜率之积为定值若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在,请说明理由．8．已知椭圆的离心率为,且经过点．1求椭圆C的方程；2设直线l：y=kx+tk≠0交椭圆C于A、B两点,D为AB的中点,k OD为直线OD的斜率,求证：k•k OD为定值；3在2条件下,当t=1时,若的夹角为锐角,试求k的取值范围．9．如图所示,椭圆C：的焦点为F10,c,F20,﹣cc＞0,抛物线x2=2pyp＞0的焦点与F1重合,过F2的直线l与抛物线P相切,切点在第一象限,且与椭圆C 相交于A,B两点,且．1求证：切线l的斜率为定值；2当λ∈2,4时,求椭圆的离心率e的取值范围．10．已知椭圆a＞b＞0的右焦点为F12,0,离心率为e．1若e=,求椭圆的方程；2设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k,若k,求e的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1a＞b＞0的焦点为 F1﹣1,0,F21,0,左、右顶点分别为A,B,离心率为,动点P到F1,F2的距离的平方和为6．1求动点P的轨迹方程；2若,,Q为椭圆上位于x轴上方的动点,直线DM•CN,BQ分别交直线m于点M,N．i当直线AQ的斜率为时,求△AMN的面积；ii求证：对任意的动点Q,DM•CN为定值．12．1如图,设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求证：为定值2将椭圆a＞b＞0与x2+y2=a2相类比,请写出与1类似的命题,并证明你的结论．3如图,若AB、CD是过椭圆a＞b＞0中心的两条直线,且直线AB、CD的斜率积,点E是椭圆上异于A、C的任意一点,AE交直线CD于K,CE交直线AB 于L,求证：为定值．13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A,B两点如图所示,且在直线l的左上方．1证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；2若∠APB=60°,求△PAB的面积．14．设椭圆C：+=1a＞b＞0的左．右焦点分别为F1F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2+=．1若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切,求椭圆C的方程；2在1的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点Pm,0使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,说明理由．15．已知A,B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点,P是椭圆上异与A,B的任意一点,Q 是双曲线C2：=1上异与A,B的任意一点,a＞b＞0．I若P,Q,1,求椭圆C l的方程；Ⅱ记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证：k1•k2+k3•k4为定值；Ⅲ过Q作垂直于x轴的直线l,直线AP,BP分别交 l于M,N,判断△PMN是否可能为正三角形,并说明理由．16．已知椭圆=1的焦点坐标为±1,0,椭圆经过点1,1求椭圆方程；2过椭圆左顶点M﹣a,0与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P,求的值．3过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点,点Q2,t,若K QA+K QB=2与l的斜率无关,求t的值．17．如图,已知椭圆的焦点为F11,0、F2﹣1,0,离心率为,过点A2,0的直线l交椭圆C于M、N两点．1求椭圆C的方程；2①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中,探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等若相等,请给出证明,若不相等,说明理由．18．已知椭圆E：=1a＞b＞0上任意一点到两焦点距离之和为,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点P是右准线上任意一点,过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．1求椭圆E的标准方程；2证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；3点P的纵坐标为3,过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N,在线段MN上取点H,满足,试证明点H恒在一定直线上．19．如图,双曲线C1：与椭圆C2：0＜b＜2的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上,线段OP与椭圆C2交于点A,O为坐标原点．I求证：为定值其中表示直线AA1的斜率,等意义类似；II证明：△OAA2与△OA2P不相似．III设满足{x,y|,x∈R,y∈R}⊆{x,y|,x∈R,y∈R} 的正数m的最大值是b,求b的值．20．已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点．1求椭圆的方程；2当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积；3在线段OF上是否存在点Mm,0,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形若存在,求出m 的取值范围；若不存在,请说明理由．21．已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为kk≠0的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M0,m．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ求m的取值范围；Ⅲ试用m表示△MPQ的面积,并求面积的最大值．22．已知椭圆E：的左焦点,若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ已知两点Q﹣2,0,M0,1及椭圆G：,过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H,K两点,设线段HK的中点为N,连接MN,试问当k为何值时,直线MN过椭圆G的顶点Ⅲ过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC并延长交椭圆W于B,求证：PA⊥PB．23．已知椭圆和圆O：x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点为A,B．1ⅰ若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e；ⅱ若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围；2设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证：为定值．24．已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,点A,B是抛物线x2=4y上的两个动点,且满足,过点A,B分别作抛物线的两条切线,设两切线的交点为M,试推断是否为定值若是,求出这个定值；若不是,说明理由．25．已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2ba＞b＞0,A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB．1求证：为定值；2求△AOB面积的最大值和最小值．26．设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．1若P是该椭圆上的一个动点,求向量乘积的取值范围；2设过定点M0,2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且∠MON为锐角其中O为坐标原点,求直线l的斜率k的取值范围．3设A2,0,B0,1是它的两个顶点,直线y=kxk＞0与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．27．已知椭圆的左焦点F1﹣1,0,长轴长与短轴长的比是．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点,若m⊥n,求证：为定值．28．已知椭圆的左顶点是A,过焦点Fc,0c＞0,为椭圆的半焦距作倾斜角为θ的直线非x轴交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别交直线称为椭圆的右准线于P,Q两点．1若当θ=30°时有,求椭圆的离心率；2若离心率e=,求证：为定值．29．已知点P在椭圆C：a＞b＞0上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6﹣|PF2|,且椭圆C的离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ若过点Q1,0且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得为定值．若存在,求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在,说明理由．30．如图,已知椭圆C：的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：x+22+y2=r2r＞0,设圆T与椭圆C交于点M与点N．1求椭圆C的方程；2求的最小值,并求此时圆T的方程；3设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证：|OR|•|OS|为定值．。
一、直线过定点问题
一、直线过定点问题一、直线过定点问题 1：方法：直线系理论：设m kx y +=，通过已知条件找到m k ,的关系即可证明直线过定点 2：结论：(1)P 为圆锥曲线上一定点,PM 、PN 为两个动弦，且mk k PN PM =⋅，则MN 过定点(或定向).特例:1-=m 时,①若),(0y x P 为椭圆12222=+by ax )0,0(>>b a 上一点,则MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b ---++,用左顶点体会一下。
②若),(0y x P 为双曲线12222=-by ax )0,0(>>b a 上一点,则MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b++---,用左顶点体会一下。
③若),(0y x P 为抛物线2yax=上一点,则MN 过00(,)xa y +-.证明一下：体会方法。
(2)P 为圆锥曲线上一定点,PM 、PN 为两个动弦，且PM PN k k m+=，则MN 过定点(或定向).依抛物线为例证明，体会方法。
(3)P 为圆锥曲线上一定点,PM 、PN 为两个动弦，倾斜角分别为1α、2α且12αα+为定值，则MN 过定点(或定向).3、例题 例1、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，点M （0，2）是椭圆的一个顶点。
∆F 1MF 2是等腰直角三角形。
（I ）求椭圆的方程；（II ）过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别是k 1,k 2,且k 1+k 2=8,证明：直线AB过定点。
例2：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若F 1F 2=2，e =21。
（I ）求椭圆的标准方程； （II ）若P 是椭圆上任意一点，求PAPF⋅1的取值范围；（III ）直线m kx y l +=:与椭圆交于不同的两点M ，N （均不是长轴顶点）。
线条定点练习题
线条定点练习题线条是绘画中最基础的元素之一，它不仅可以用来勾勒形状和轮廓，还能传达情感和表达观点。
在绘画的过程中，准确地掌握线条的定点练习是非常重要的，它可以让我们的作品更加准确、有层次感。
本文将介绍一些常见的线条定点练习题，帮助绘画爱好者提高线条的掌握能力。
一、直线定点练习直线是最基础的线条之一，掌握直线的定点技巧对于绘画至关重要。
以下是一些直线定点练习题：1.1 网格练习：在画纸上画出一个网格，每个小方格的大小相等。
然后用直线连接网格的交点。
练习时可以尝试画出水平直线、垂直直线和斜线。
1.2 长短线练习：在画纸上画出一条水平基准线，然后通过画出不同长度的直线来锻炼手的控制力。
可以从短线开始慢慢过渡到长线，以增加难度。
1.3 平行线练习：画出一条参考线，然后在其上下方画出若干条与参考线平行的直线。
练习时要注意保持直线的平行关系，以及线条与参考线的间距。
二、曲线定点练习曲线是绘画中常用的线条之一，它能够增加画面的流畅感和动感。
以下是一些曲线定点练习题：2.1 弧线练习：在画纸上画出一条参考线，然后通过画出不同半径的弧线来掌握手的控制力。
可以从较小的半径开始，逐渐增大半径，以增加难度。
2.2 波浪线练习：在画纸上画出一条波浪形的参考线，然后通过画出与参考线相似的波浪线来练习手的协调能力。
练习时要注意保持波浪线的形状和大小相似。
2.3 圆弧练习：在画纸上画出一些不完整的圆弧，然后用手指指示画出与之匹配的另一半圆弧。
通过这样的练习可以加强对曲线的感知能力和手的协调能力。
三、立体线条定点练习立体线条是用来表示物体形状和结构的线条，它能够给画面带来立体感。
以下是一些立体线条定点练习题：3.1 正交线练习：在画纸上画出一个立方体的参考线，然后在立方体的各个面上画出相应的正交线。
练习时要注意保持线条的平直和角度的准确。
3.2 透视线练习：在画纸上画出一个透视图的参考线，然后通过画出与透视图相似的线条来练习手的控制力。
高二数学 上学期用“分离系数法”求直线过定点问题例题解析
word1 / 1 用“分离系数法”求直线过定点问题在各种复习参考资料以及各类考试中，常见一类求直线过定点的问题.这类问题一般可用直线系知识应用“分离系数法”求解决.定理:直线)R (0)()(:222111∈=+++++λλC y B x A C y B x A l 必经过直线0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 的交点(A 1、B 1和A 2、B 2不同时为零).证明：设21,l l 的交点为),(000y x P ,则有010101=++C y B x A ，020202=++C y B x A ,把),(000y x P 的坐标代入l 方程的左边得（λ+++)10101C y B x A （000)20202=⋅+=++λC y B x A ,0P ∴的坐标满足l 方程，即直线l 经过l 1与l 2的交点.一般地,定理中直线l 的方程称为过l 1和l 2的交点的直线系方程(不包括l 2).例1.求证:无论m 取何实数,直线0)11()3()12(=--+--m y m x m 恒过定点,并求此定点的坐标. 分析:已知方程实际上是含有一个参数m 的直线系方程,把x ,y 系数中的m 分离出来化为0),(),(=+y x mg y x f 的形式,则根据定理无论m 取何实数,它必过0),(0),(==y x g y x f 和的交点.我们把这种方法就叫做分离系数法.证明:将已知直线方程化为0)12()113(,01132=--++--=+----y x m y x m y my x mx 即,它表示过两直线0120113=--=-+y x y x 和的交点的直线系,解方程组⎩⎨⎧=--=-+0120113y x y x 解得⎩⎨⎧==32y x∴原直线恒过定点(2,3).例2.已知q p ,满足012=-+q p ,则直线03=++q y px 必过定点( ) A. (21,61-) B.(61,21) C.(61,21-) D.(21,61-) 分析:方程中虽有两个参数q p ,,但q p ,又满足条件012=-+q p ,所以实际上还是只有一个参数的直线系方程.也就是根据已知条件在方程中消去p ,分离系数q 就可求得定点坐标.解:∵012=-+q p ,∴q p 21-=代入方程03=++q y px 得03)21(=++-q y x q 化为 0)12()3(=+-++x q y x ,它表示过两直线01203=+-=+x y x 和的交点的直线系方程,解方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+6121 01203y x x y x 得. ∴原直线过定点(61,21-),选C. 练习题:1.无论a 为何实数值,直线0)83()1()23(=---++a y a x a 恒过一定点,并求出这个定点坐标.2.已知132=-n m ,求证:直线5=+ny mx 必过定点,并求这个定点坐标.[答案:1.(-1,6);2.(10,-15)]。
函数图像恒过定点问题(章节练习)
函数恒过定点问题1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为02.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。
方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
一、直线过定点问题由“y-yˊ=k（x-xˊ）”求定点把含有参数的直线方程改写成“y-yˊ=k（x-xˊ）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（xˊ，yˊ）例1：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标例2：若实数a.b满足2a-3b=1，求证：直线ax＋by=5必过定点练习题1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点________2．直线y=mx+2m+14过定点________3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点________4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点________5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点________6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点________7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是________8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是________ 9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点________10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点________二、抛物线过定点问题将解析式中除自变量和因变量之外的参数（设为m）集中，形成（ax2+bx+c）m 的形式，根据题意可得ax2+bx+c=0，解得定点的横坐标x，带入解析式求得纵坐标y0，函数图象一定过定点(x，y)例1．已知抛物线不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．不能确定例2.兴趣小组研究二次函数的图象发现，m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：练习题1.抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标________2.抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是_________。
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专题：定点问题习题
1、已知椭圆14
22
=+y x 的左顶点为A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与椭圆交于 不同的两点P,Q 当0=⋅AQ AP ,求证直线l 过定点，并求该点坐标。
2、设点A 和B 为抛物线)0(42>=p px y 上原点以外的两动点，已知AB OM OB OA ⊥⊥, 于M,求点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线
2、已知O 为坐标原点，直线l 在x 轴上的截距为a （a>0)且交抛物线)0(22>=p px y 于M,N 两点，当a=2p 时，求MON ∠的大小
3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3， 最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点）， 且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．。