变形及刚度计算共85页
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变形及刚度计算_图文_图文
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
A
C
B
x
y挠度
C'
y
转角
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
4、挠度和转角的关系
注意：位移边界条件在支座处
变形连续条件中间在分段点
三、 用积分法求梁的变形 注意
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁 的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程 需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线 方程也随之而异。
F
A
a
D
B
b
三、 用积分法求梁的变形 步骤
1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积 分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。
纵向伸长量： 横向缩短量：
轴向压缩：
F
F
纵向缩短、横向伸长
纵向缩短量： 横向伸长量：
注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 一的杆件，因此引入应变的概念。
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
二、线应变
线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长 ，称之为线应变。
1、纵（轴）向变形量： F
即 该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的 一阶导数
A
挠曲线
y
C
C'
转角
B
x
y挠度
5、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
第九章 杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算
根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
《变形与刚度计算》课件
产生原因
变形产生的原因一般有两 种，分别是受力和温度变 化。其中，受力引起的变 形是材料力学中最常见的， 我们将在后面课程中详细 讲解。
计算方式
变形的计算方法通常有三 种：梁的挠度计算、结构 的变形计算与有限元法计 算。不同的计算方法适用 于不同的应用场景，根据 实际需求选用合适的方法。
材料的刚度
为了帮助更好地理解变形与刚度计算的应用，我们将进行两个实例演示，分别是悬臂梁和桥梁的变形计 算演示。
悬臂梁实例演示
我们将使用一个实际应用场景来演示悬臂梁的变 形计算，加深大家对悬臂梁计算方法的理解。
桥梁实例演示
桥梁是一个很重要的应用场景，我们将为大家演 示一下桥梁的变形计算方法，参考现实应用场景。
结论与总结
《变形与刚度计算》PPT 课件
欢迎来到我们的课件。在本次讲义中，我们将全面介绍变形与刚度计算的基 本概念，以及其在实际工程中的应用。
什么是变形
变形指的是物体由于外力作用而发生的形状、大小、位置等方面的改变。本节将介绍变形的定义，产生原 因以及计算方式。
定义
变形是指物体在受到作用 力（外力）时形状、大小、 位置等方面的改变。简单 来说，它表示了物体由于 外界条件变化，所发生的 形状或状态的改变。
1
变形计算公式
2
桥梁变形的计算公式较为复杂，主要
涉及梁的挠度、材料的应力和应变等。Leabharlann 我们将在后面的课程中逐一介绍。
3
桥梁结构
桥梁是由多个组件组成的大型结构， 一般包括桥墩、桥面和桥面之间的支 撑结构。
刚度计算公式
桥梁刚度的计算方法与悬臂梁类似， 一般采用挠度法和材料力学方法，具 体计算不再赘述。
实例演示
悬臂梁的变形计算公式为 y=FL^3/3EI，其中y是悬臂 梁最大变形，F是悬臂梁上 的受力，L是悬臂梁长度， E是弹性模量，I是截面惯 性矩。
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
圆轴扭转时的变形和刚度计算
=6.44×10-4m4
轴的最大切应力为 τmax=Tma /Wp=2.86×103N·m/1.43×104m
=20×106Pa=20MPa<［τ］=60MPa 可见强度满足要求。
4） 刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为 θmax=Tmax/GIp×180/π
=2.86×103N·m/8.0×1010Pa×6.44×106m4×180/3.14 =0.318°/m＜［θ］=1.1°/m 可见刚度也满足要求。材Βιβλιοθήκη 力学圆轴扭转时的变形和刚度计算
1.1圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角 φ来度量的。在上节中已得到式（3-5），即 dφ/dx=T/GIp
式中：dφ——相距为dx的两横截面间的扭转角。 上式也可写成 dφ=T/GIpdx
因此，相距为l的两横截面间的扭转角为 φ=∫ l dφ=∫(T l /GIp)dx （3-12 若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截面上扭矩T的 数值相同，则上式中的T、G、Ip均为常量，积分后得
得 D≥（16T/π［τ］）1/3
=（16×39.6×103/π×88.2×106）1/3m
=0.131m=131mm
2） 按刚度条件设计轴的直径。由刚度条件式（3-16），即 θmax=Tmax/GIp×180/π
=32×180Tmax/Gπ2D4≤ ［θ 得
D=（32×180T/Gπ2［θ］）1/4 =（32×180×39.6×103/79×109×π2×0.5）1/4m =0.156m=156mm 故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
【例3-6】一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa， 许用切应力［τ］=88.2MPa，单位长度许用扭转角［θ］ =0.5°/m，承受的扭矩为T=39.6kN·m。试根据强度条件和 刚度条件设计圆轴的直径D。
轴的最大切应力为 τmax=Tma /Wp=2.86×103N·m/1.43×104m
=20×106Pa=20MPa<［τ］=60MPa 可见强度满足要求。
4） 刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为 θmax=Tmax/GIp×180/π
=2.86×103N·m/8.0×1010Pa×6.44×106m4×180/3.14 =0.318°/m＜［θ］=1.1°/m 可见刚度也满足要求。材Βιβλιοθήκη 力学圆轴扭转时的变形和刚度计算
1.1圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角 φ来度量的。在上节中已得到式（3-5），即 dφ/dx=T/GIp
式中：dφ——相距为dx的两横截面间的扭转角。 上式也可写成 dφ=T/GIpdx
因此，相距为l的两横截面间的扭转角为 φ=∫ l dφ=∫(T l /GIp)dx （3-12 若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截面上扭矩T的 数值相同，则上式中的T、G、Ip均为常量，积分后得
得 D≥（16T/π［τ］）1/3
=（16×39.6×103/π×88.2×106）1/3m
=0.131m=131mm
2） 按刚度条件设计轴的直径。由刚度条件式（3-16），即 θmax=Tmax/GIp×180/π
=32×180Tmax/Gπ2D4≤ ［θ 得
D=（32×180T/Gπ2［θ］）1/4 =（32×180×39.6×103/79×109×π2×0.5）1/4m =0.156m=156mm 故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
【例3-6】一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa， 许用切应力［τ］=88.2MPa，单位长度许用扭转角［θ］ =0.5°/m，承受的扭矩为T=39.6kN·m。试根据强度条件和 刚度条件设计圆轴的直径D。
材料力学——5梁的变形与刚度计算
3、积分常数由位移边界条件确定。
d
dx
M (x) EI Z
dx
C1
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
可写成：
EIZ M xdx C1
EIz M xdx • dx C1x C2
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最
大挠度。 F
a
b
A
C
Fb
l
L
x
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件。
挠曲线方程应分两段AB,BC.
q
EI z
L
Cx
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
yB 0 yC 0
xa
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.6
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别
d
dx
M (x) EI Z
dx
C1
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
可写成：
EIZ M xdx C1
EIz M xdx • dx C1x C2
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最
大挠度。 F
a
b
A
C
Fb
l
L
x
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件。
挠曲线方程应分两段AB,BC.
q
EI z
L
Cx
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
yB 0 yC 0
xa
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.6
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别
第4章杆件的变形和刚度
拉刚度为EA，B点处受F作用，试求B点位移B。
a
【解】 M A 0，
F
L
1 2
L
cos
FCD
FNCD
2F
cos
FNCD
A
C
C
αD
F
B
LCD
FNCD LCD EA
2Fa
EAcos2
C1
L/2
L/2
B1
CC1
CC LCD
cos cos
B
BB1
2CC1
形。实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与 横向应变y之间存在下列关系：
y x
为材料的一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-1】 变截面直杆，ADE段为铜制，EBC段为钢制；
在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
【例4-2】 已知杆长L=2m，杆直径d=25mm，=300，材料
的 弹 性 模 量 E=2.1×105MPa ， 设 在 结 点 A 处 悬 挂 一 重 物
F=100kN，试求结点A的位移A。
【解】 1． 求轴力
Fx 0，
FNAC sin FNAB sin 0
B1
2C
FNAB FNAC
αα
Fy 0,
FNAC cos FNAB cos F 0
FNAC
FNAB
F
2 cos
A
第九章杆件的变形及刚度计算
第九章 杆件的变形及刚度计算 三、微分方程的积分
w M ( x) EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M( x)
1.积分一次得转角方程
EIw M( x)dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M( x)dxdx C1x C2
第九章 杆件的变形及刚度计算
挠曲线方程为
w f (x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '(x)
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
2.由数学得到平面曲线的曲率
1
(x)
(1
| w |
w2
3
)
2
(1
|
w | w2 )
3
2
M(x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0 M 0
M 0
曲线向上凸时: w 0 M 0 w
w 0
M
M
因此, w与 M 的正负号相同
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件
A
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都等于0.
第九章弯曲变形和刚度计算
3. 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即 y 轴与挠曲线法线 的夹角，或 x 轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方 d 向为正。 tan dx d f x 小变形： tan dx 即:截面转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。
M 纯弯曲时曲率与弯矩的关系式为： EI
不可能
A B
不可能
问题讨论：
y
A B
问题的边界条件、连续条件 ？
q c x
O A
边界条件
分几段？ 连续条件
A处： wA=0 B处： wB=0
A处： wA=0， A =0 分OA一段。
AB、BC两段
B处： w1=w2 1 = 2
11
例：图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁, 在自由端受一集 中力 F作用。试求梁的挠度方程和转角方程 , 并确定 其最大挠度wmax和最大转角max 。
(a x l )
17
（2）建立挠曲线近似微分方程并积分来自梁段I ( 0 x a)
挠曲线近似 微分方程
b EIw1 M 1 F x l
梁段II ( a x l)
EIw2 M 2 F b x F ( x a) l
2 积分一次 b x 转角方程 EIw1 F l 2 C1
P x1 a 2 C1 2 P EI1 x1 a 3 6 C1 x1 a D1 EI1
EIw M ( x) Fl Fx
Fx 2 EIw Flx C1 (a) 2 2 Flx Fx3 EIw C1 x C2 (b) 2 6
(3) 由边界条件确定积分常数 在x＝0处: w＝0 θ＝ 0 y
A
第十章变形与刚度计算
2.05 103 m
10
5
f 20
16
一、基本概念
§10-3 弯曲变形与刚度计算
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度。用w表示。 w A
C
B
x
w挠度
C'
B'
挠度：向上为正,向下为负.
17
2、转角 横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。 用 表示 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。 w A
C' C
B
x
w挠度
转角
B
18
3、挠曲线
梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程为 w A
挠曲线
w f ( x)
式中, x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度。
x
w挠度
C C'
B
转角
B
19
4、挠度与转角的关系
tg w' w' (x )
w A
C' C
B
x
w挠度
27
z 2 2、内力分析 dx
EI
M0 FA F 2B d w L
M (x )
确定积分常数
x0
w (0) 0
M EI z 0 x 2 C 2L
ห้องสมุดไป่ตู้
w
M0 3 EI z w x Cx D 6L
M0
B
x L w (L) 0
M0 L C 6 M0 2 M0 L x 所以 EI z 2L 6
T dx GI P
若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
10
5
f 20
16
一、基本概念
§10-3 弯曲变形与刚度计算
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度。用w表示。 w A
C
B
x
w挠度
C'
B'
挠度：向上为正,向下为负.
17
2、转角 横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。 用 表示 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。 w A
C' C
B
x
w挠度
转角
B
18
3、挠曲线
梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程为 w A
挠曲线
w f ( x)
式中, x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度。
x
w挠度
C C'
B
转角
B
19
4、挠度与转角的关系
tg w' w' (x )
w A
C' C
B
x
w挠度
27
z 2 2、内力分析 dx
EI
M0 FA F 2B d w L
M (x )
确定积分常数
x0
w (0) 0
M EI z 0 x 2 C 2L
ห้องสมุดไป่ตู้
w
M0 3 EI z w x Cx D 6L
M0
B
x L w (L) 0
M0 L C 6 M0 2 M0 L x 所以 EI z 2L 6
T dx GI P
若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
梁弯曲时的变形和刚度计算
4) 计算最大转角和最大挠度。 有了转角方程和挠曲线方程，可以利用高等数学中求极值的方 法得到最大转角和最大挠度。但一般地，根据梁的受力、边界条件 以及弯矩的正负就能绘出挠曲线的大致形状，从而确定最大转角和 最大挠度发生的位置。在本例中梁的挠曲线应为一上凸曲线，并在 固定端处与梁变形前的轴线相切。由此可知，梁的最大转角和最大 挠度都发生在自由端B处。
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.4 用叠加法求梁的变形
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁 的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。 其缺点是运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
将这两个边界条件代入方程，得
C ql3 , D 0 24EI
3) 求转角方程和挠曲线方程。 将所得的积分常数C、D值方程，得转角和挠曲线方程分别为
l
a qa3
6EI
B
C
qa3 6EI
(
)
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.5 梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行 刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.4 用叠加法求梁的变形
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁 的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。 其缺点是运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
将这两个边界条件代入方程，得
C ql3 , D 0 24EI
3) 求转角方程和挠曲线方程。 将所得的积分常数C、D值方程，得转角和挠曲线方程分别为
l
a qa3
6EI
B
C
qa3 6EI
(
)
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.5 梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行 刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
第八章变形及刚度计算改 85页PPT文档
A
C
B
x
y挠度
C'
y
B 转角
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
3、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。 挠曲线方程为 yy(x) ——挠度方程
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
A
挠曲线
y
C
C'
转角
B
x
y挠度
B
二、 挠曲线的近似微分方程
推导公式
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 1 M
EI z
剪力弯曲时, M 和 都是x的函数 。略去剪力对
梁的位移的影响, 则
1 M(x)
(x) EIz
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
y''
(x)
(1
y'2
3
)2
二、刚度条件
许用单位长度扭转角
以弧度每米为单位时
θ T θ rad/m
GI p
以度每米为单位时
三、刚度条件的应用
θ T 180θ /m
GIp π
（1）校核刚度 （2）设计截面 （3）确定荷载
例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。 材料的许用切应力[]=40MPa，轴的许用单位扭转角 []=0. 8°/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴 的扭转强度和刚度。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大
一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
由 π1 2 D ( 1 02.) 5 2 π2D ( 1 02.) 得 5 D 12
第十章变形与刚度计算
27
z 2 2、内力分析 dx
EI
M0 FA F 2B d w L
M (x )
确定积分常数
x0
w (0) 0
M EI z 0 x 2 C 2L
w
M0 3 EI z w x Cx D 6L
M0
B
x L w (L) 0
M0 L C 6 M0 2 M0 L x 所以 EI z 2L 6
29
三、用叠加法求梁的弯曲变形 1、叠加法原理（力的独立性原理）
在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时， 如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、 变形等)成线性关系,则各载荷与其产生的效果互不影响， 各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单 独作用时所产生的效果之和。 2、求梁的弯曲变形的叠加法 分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同 一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。
4、刚度计算 校核刚度
ML2 w 4 EI z
L M0 2 M0 L x 0 x w 0 (θ 0) 2L 6 3 M0 L2 [w ] 所以，刚度满足要求。 w max 9 3 EI Z
M0 3 M0 L EI z w x x 6L 6 M0 2 M0 L EI z x 2L 6
EA为抗拉刚度
E
FN A
E为弹性摸量
3
h1
F h l
b
b1
F
二 横向变形
b b1 b
横向应变:
l1
b b
泊松比:
b b b
钢材的E 约为200 GPa， 约为0.25—0.33
z 2 2、内力分析 dx
EI
M0 FA F 2B d w L
M (x )
确定积分常数
x0
w (0) 0
M EI z 0 x 2 C 2L
w
M0 3 EI z w x Cx D 6L
M0
B
x L w (L) 0
M0 L C 6 M0 2 M0 L x 所以 EI z 2L 6
29
三、用叠加法求梁的弯曲变形 1、叠加法原理（力的独立性原理）
在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时， 如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、 变形等)成线性关系,则各载荷与其产生的效果互不影响， 各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单 独作用时所产生的效果之和。 2、求梁的弯曲变形的叠加法 分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同 一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。
4、刚度计算 校核刚度
ML2 w 4 EI z
L M0 2 M0 L x 0 x w 0 (θ 0) 2L 6 3 M0 L2 [w ] 所以，刚度满足要求。 w max 9 3 EI Z
M0 3 M0 L EI z w x x 6L 6 M0 2 M0 L EI z x 2L 6
EA为抗拉刚度
E
FN A
E为弹性摸量
3
h1
F h l
b
b1
F
二 横向变形
b b1 b
横向应变:
l1
b b
泊松比:
b b b
钢材的E 约为200 GPa， 约为0.25—0.33
梁的变形及刚度计算
(3) 改善荷载的作用情况
在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置 及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形， 提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用， 甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的 变形减小，刚度提高。
l /500，弹性模量E=2×105MPa ，试选择工字钢
的型号。
解 （1）按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为：
M max
FP l 4
＝
40 103 N 3103 mm 4
＝3107 N mm
按弯曲正应力强度条件选截面
M max
W
W
M max
3107 N mm 160MPa
B
=
FPl 2 2EI
wm a x
=
FPl 3 3EI
2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端
B
=
Ml EI
wm a x
=
Ml 2 2EI
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上
B
=
ql 3 6EI
wm a x
=
ql 4 8EI
4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上
时 a = b = l 2
A
=－
B
=
FPl 2 16 EI
梁的刚度足够
所以，选用20a工字钢
3、提高梁抗弯刚度的措施
梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨 度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的 抗弯刚度可以采取以下措施：
(1) 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。
在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。
梁的变形及刚度计算
梁的变形与刚度计算
B
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θA θAq θAm
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θA θAq θAm
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q