高中数学必修三1.3三角函数的诱导公式

2
5
2
A. 3 B. 3 C . 3 D. 4
5
5
5
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• 讲解：XX
• 26
课堂 练习
3.已知 cos(750
)
1
3 ,α为第三象限角,
求 cos(150 ) sin(150 )的值
44. 求 sin 2 10 sin 2 20 sin 2 880 sin 2 890
一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
口诀：奇变偶不变，符号看象限
• 2021/3/10
• 讲解：XX
• 22
例4 : 化简：
sin(2
- )cos(
)cos(
2
)cos(11
2
- )
cos(
- )sin(3
- )sin(-
-
)sin(
9
2
)
解：sin(2 ) sin
cos( ) cos
(2)sin 11 sin(4 ) sin 3
3
3
32
3sin( 16 ) sin 16 sin(5 ) sin 3
3
3
3 3 2
4cos(20400 ) cos 20400 cos(6 3600 1200 )
cos1200 cos(1800 600 ) cos 600 1
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角三 角函数
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用公式 0～2π的角
二或四 的三角函数
讲解：XX
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典例品味
例2:化简:
cos(180 ) • sin( 360) sin( 180) • cos(180
)
解：cos(180 ) • sin(360 ) sin( 180) • cos(180 )
2k
2
"偶"
不
"奇 "
2
3
2
变变
n
n为2 偶数
符号看 " 象限 "
n
n为2 奇数
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• 29
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2、已知 sin( ) 3 ,α是第四象限角,则 cos( 2 )
5
的值是_______.
3、已知2sin(3 ) cos( ), 求2sin2 3sincos - cos2的值
4、 在△ABC中，求证： （1）cos(A+B)=-cosC，（2）sin(A+B)=sinC.
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• 14
【总一总★成竹在胸】
三角函数的诱导公式:
公式一：sin(2k ) sin tan(2k ) tan cos(2k ) cos
公式二:
sin( cos(
) )
sin cos
tan( )
tan
公式三:
sin( cos(
) )
sin cos
tan( ) tan
tan( k 2 ) tan tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式五：
sin(
2
)
cos
cos( ) cos
tan( ) tan
公式六：
sin(
2
)
cos
)
2
sin 3 cos3
2
2
2
sin3 cos4
sin 5
2
cos 3
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
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课堂 练习
1.cos( ) 1 , 3 ，则sin( 2 )
6 32
2
3
2.在第四象限，cos( ) 4 ,则sin(3 )的值是
r
tan y
x
r2 x2 y2
•2
三角函数的诱导公式一:
sin 2k sin ,k Z
cos 2k cos ,k Z
tan 2k tan ,k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：可将任意角的三角函数化到
[0,2π）的三角函数。
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•3
2sin 1 __s_i_n_1_;
4 cos 70 6 _co_s_7_0_1_6.
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典例品味
例1:求三角函数值:
1cos 2250;2sin 11 ;3sin( 16 );4cos 20400
3
3
解 : (1) cos 225 cos(180 45 ) cos 45 2 2
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•1
复习
回顾
任意角的三角函数的定义
α的终边
P(x,y)
y
y rα
y α的终边
P(x,y)
ry α
M x O x O xM x
Mα y
y
x r
O
x
y O xM
α
y
x
α的终边 P(x,y)
r
P(x,y)
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•α讲的解终：边XX
sin y
r
cos x
sin
(
cos • sin
180)• cos (
180)
cos • sin
sin( 180) • cos( 180)
•
2021/3/(10scinos
) • sin
• ( co• 讲s解：) XX
1
• 13
课堂 练习
1、已知 2 ,cos( 7 ) 3
5
, 求 sin(3 )的值。
2
sin
.
单位圆
y
2
P(x,y)
α
O
x
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y=x
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如何求 的三角函数值？
2
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
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公式五:
公式六:
sin(
)
cos
2
cos(
)
sin
2
sin( ) cos
公式三
单位圆
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
y
P(x,y)
α
O
x
-α
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(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α
有什么关系?它们的三角函数之间有什么
关系?
公式四
单位圆
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
的值
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总结 规律
• 1．由一个角的一个三角函数值求其他三角函数 值时，要注意讨论角的范围．
• 2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、 消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方 运算，慎重确定符号．
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诱导公式
y
π-α P(x,y)
α
α
O
x
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公式一
公式二 sin(π+α)=－sinα
cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
公式三 sin(－α)=－sinα
cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
公式四 sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=－cosα 2021/3/10 tan(π-α)=－tan讲解α：XX
cos• (20221/3/10 ) sin • 讲解：cXXos(2 ) sin• 21
【总一总★成竹在胸】
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：
k
（k
Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上
一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上
探究
给定一个角α
(1)终边与角α的终边关于原点对称的角
与α有什么关系?它们的三角函数之间有
什么关系? 公式二
单位圆 y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
tan(π+α)=tanα
π +α α
O
x
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(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
α + k ·2 π ( k ∈ Z ) , －α,π±α的三角 函数值,等于α的 同名函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原 函数值的符号.
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诱导公式归纳
• 公式一，二，三，四都叫做诱导公式。
• 概括如下： k 2 (k Z ), , 的三角函
2
cos( ) sin
2
(正弦)2函函数 数值的,正名前（弦面改将(加余α变上弦看，一)成函符个锐数把号角值α）看,看分象成别锐等限角于时α的原余函弦
数值的符号.
公式五和公式六实现了正弦函数和余弦函数的相互转化.
公式一～公式六叫做诱导公式
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典例品味
6
)
1 ,cos(33)2 : cos(4
)
1 ,sin(
3
4
)
挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用
互余关系
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公式一：
公式二：
sin( k 2 ) sin sin( ) sin
cos( k 2 ) cos cos( ) cos
cos(
2
)
sin
cos(11
2
) cos6
(
2
)
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sin c•o讲s解[：(X2X )]
• 23
sin(2
- )cos(
)cos(
2
)cos(11
2
- )
cos(
- )sin(3
- )sin(-
-
)sin( 9
2
)
cos( ) cos
sin(3 ) sin
数值等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。
• 简化成 “函数名不变，符号看象限”的口诀。
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练习
将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上
1 cos 3 sin
13
9
5
_c_o_s_94__;
sin
_____5_;
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2
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能力 提升
1: sin( ) 1 , sin(5 )
6
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2 : cos( ) 1 , cos(5 )
6
3
6
挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用
互补关系
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利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:
sin( ) sin
sin(9
2
)
cos
原式
(
sin )( cos )( sin )( sin ( cos )sin sin cos
)
tan • 2021/3/10
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例5、化简下列各题:
(1)
cos
2
sin 5
sin(
2 ) cos(2
公式五
1例、3求、证证：明：
(1)sin( 3 ) cos
2
(2)cos( 3 ) sin
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
2
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
注：这四个也是公式，与公式五和公式六是一体！
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能力 提升
1 : sin(
公式四:
sin( ) cos( )
sin cos
tan( ) tan
• 简记成 “函数名不变，符号看象限”的口诀。
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• 讲解：XX
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(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的 角与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式五
sin
2
cos ,
cos