湖北省鄂州市梁子湖区吴都中学2024届中考数学全真模拟试卷含解析

湖北省鄂州市梁子湖区吴都中学2024年中考数学全真模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB ＝3：2，CP ：BP ＝1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②2BF ＝PB•EF ；③PF•EF ＝22AD ；④EF•EP ＝4AO•PO ．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．③④
2．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ） A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．1：3：2
D ．1：2：3
3．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＜13，b=13 B ．a ＜13，b ＜13 C ．a ＞13，b ＜13 D ．a ＞13，b=13 4．如图，AD ∥BC ，AC 平分∠BAD ，若∠B ＝40°，则∠C 的度数是（ ）
A ．40°
B ．65°
C ．70°
D ．80°
5．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，2AC =，下列结论中，正确的是（ ） A ．2sin AB A = B ．2cos AB A = C ．2tan BC A =
D ．2cot BC A =
6．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，3，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
7．下列图形中，主视图为①的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)都在反比例函数3
y=x
-的图象上，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2
B ．y 1＜y 2＜y 3
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3
9．在0.3，﹣3，0，﹣3这四个数中，最大的是（ ） A ．0.3
B ．﹣3
C ．0
D ．﹣3
10．一次函数21y x =-的图象不经过（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，当半径为30cm 的转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 平移的距离为______cm ．
12．如图，半圆O 的直径AB=2，弦CD ∥AB ，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．
13．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数
k
y x
=
（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ▲ ．
14．如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD 则阴影部分的面积为____（结果保留π）
15．如图，小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =，20BC =米，CD 与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．
16．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，E 为AD 上一点，把矩形ABCD 沿BE 折叠，若点A 恰好落在CD 上点F 处，则AE 的长为_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）先化简代数式222x x 11x x x 2x 1
-⎛⎫
-÷ ⎪+++⎝⎭，再从12x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值。

18．（8分）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO ：CO=1：3，求AB 的长． 经过社团成员讨论发现，过点B 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO ：OD=1：3，求DC 的长．
19．（8分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的顶点为M ，直线y ＝m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是_____．抛
物线y ＝
212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ），则m ＝_____，对应的碟宽AB 是_____．抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣5
3
（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1． ①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （x p ，y p ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出y p 的取值范围．若没有，请说明理由．
20．（8分）如图，抛物线与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x
轴，垂足为点C (3，0).
（1）求直线AB 的函数关系式；
（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由
21．（8分）填空并解答：
某单位开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先办理”的方式服务，该窗口每2分钟服务一位顾客．已知早上8：00上班窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口工作1分钟后，又有一位“新顾客”到达，且以后每5分钟就有一位“新顾客”到达．该单位上午8：00上班，中午11：30下班．
（1）问哪一位“新顾客”是第一个不需要排队的？
分析：可设原有的6为顾客分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6，“新顾客”为c1、c2、c3、c4…．窗口开始工作记为0时刻．a1a2a3a4a5a6c1c2c3c4…
到达窗口时刻0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 …
服务开始时刻0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …
每人服务时长 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 …
服务结束时刻 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …
根据上述表格，则第位，“新顾客”是第一个不需要排队的．
（2）若其他条件不变，若窗口每a分钟办理一个客户（a为正整数），则当a最小取什么值时，窗口排队现象不可能消失．
分析：第n个“新顾客”到达窗口时刻为，第（n﹣1）个“新顾客”服务结束的时刻为．
22．（10分）在□ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE，求证：AC=DE。

23．（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的最大值；
（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
(1)求证：四边形DBEC是菱形；
(2)若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解题分析】
由条件设3，AB=2x，就可以表示出CP=
3
3
x，
23
，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP
的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．【题目详解】
解：设3，AB=2x
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB
∴x，CD=2x
∵CP：BP=1：2
∴，x
∵E为DC的中点，
∴CE=1
2
CD=x，
∴tan∠CEP=PC
EC
=
3
，tan∠EBC=
EC
BC
=
3
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°
∴∠CEB=60°
∴∠PEB=30°
∴∠CEP=∠PEB
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，
∴BE BP EF BF
∴BE·BF=EF·BP
∵∠F=∠BEF，
∴BE=BF
∴2
BF＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，
∴PF=2PB=
3
x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°， ∴3∴PF·EF=
3
3
32 2AD 2=2×3x ）2=6x 2， ∴PF·EF≠2AD 2，故③错误. 在Rt △ECP 中， ∵∠CEP=30°， ∴23
x ∵tan ∠PAB=
PB AB 3∴∠PAB=30° ∴∠APB=60° ∴∠AOB=90°
在Rt △AOB 和Rt △POB 中，由勾股定理得， 3x ，PO=
3
3
x ∴4AO·PO=4×3x·
3
2 又EF·
3x·23
x=4x 2 ∴EF·EP=4AO·PO ．故④正确． 故选，B 【题目点拨】
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三
角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．
2、D
【解题分析】
试题分析：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：1，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：1．故选D．
考点：正多边形和圆．
3、A
【解题分析】
试题解析：∵原来的平均数是13岁，
∴13×23=299（岁），
∴正确的平均数a=≈12.97＜13，
∵原来的中位数13岁，将14岁写成15岁，最中间的数还是13岁，
∴b=13；
故选A．
考点：1.平均数；2.中位数.
4、C
【解题分析】
根据平行线性质得出∠B+∠BAD＝180°，∠C＝∠DAC，求出∠BAD，求出∠DAC，即可得出∠C的度数．【题目详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝140°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝1
2
∠BAD＝70°，
∵A∥BC，
∴∠C ＝∠DAC ＝70°， 故选C ． 【题目点拨】
本题考查了平行线性质和角平分线定义，关键是求出∠DAC 或∠BAC 的度数． 5、C 【解题分析】
直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案． 【题目详解】
∵90︒∠=C ，2AC =，
∴2
cos AC A AB AB =
=， ∴2
cos AB A
=，
故选项A ，B 错误， ∵tan 2
BC BC
A AC =
=， ∴2tan BC A =，
故选项C 正确；选项D 错误． 故选C ．
【题目点拨】
此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键． 6、B 【解题分析】
先依据勾股定理求得AB 的长，从而可求得两圆的半径为4，然后由∠A+∠B=90°可知阴影部分的面积等于一个圆的面积的
14
． 【题目详解】
在△ABC 中，依据勾股定理可知22AC BC +，
∵两等圆⊙A ，⊙B 外切， ∴两圆的半径均为4，
∵∠A+∠B=90°，
∴阴影部分的面积=
2
904
360
π⨯
=4π．
故选：B．
【题目点拨】
本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算，求得两个扇形的半径和圆心角之和是解题的关键．
7、B
【解题分析】
分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．
详解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误；
B、主视图是长方形，故此选项正确；
C、主视图是等腰梯形，故此选项错误；
D、主视图是三角形，故此选项错误；
故选B．
点睛：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．
8、A
【解题分析】
作出反比例函数
3
y=
x
-的图象（如图），即可作出判断：
∵－3＜1，
∴反比例函数
3
y=
x
-的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x＜1时，y＞1；当x＞1时，y＜1．
∴当x1＜x2＜1＜x3时，y3＜y1＜y2．故选A．9、A
【解题分析】
根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可
【题目详解】
∵-3＜0＜0.3
∴最大为0.3
故选A ．
【题目点拨】
本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于0，0大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型． 10、B
【解题分析】
由二次函数k 20b 10=>=-<，,可得函数图像经过一、三、四象限，所以不经过第二象限
【题目详解】
解：∵k 20=>，
∴函数图象一定经过一、三象限；
又∵b 10=-<，函数与y 轴交于y 轴负半轴，
∴函数经过一、三、四象限，不经过第二象限
故选B
【题目点拨】
此题考查一次函数的性质，要熟记一次函数的k 、b 对函数图象位置的影响
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、20π
【解题分析】 解：120380
01π⨯=20πcm ．故答案为20πcm ． 12、4
π 【解题分析】
解：∵弦CD ∥AB ，∴S △ACD =S △OCD ，∴S 阴影=S 扇形COD =2901360
π⨯=4π．故答案为4π． 13、3y x
=． 【解题分析】
待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（2a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=3．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=2．
∵点P（2a，a）在直线AB上，∴2a=2，解得a=3．∴P（2，3）．
∵点P在反比例函数
3
y
x
=（k＞0）的图象上，∴k=2×3=2．
∴此反比例函数的解析式为：．
14、9
4π．
【解题分析】
如图，连接OE，利用切线的性质得OD=3，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD
-S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【题目详解】
连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD＝CD＝3，OE⊥BC，
∴四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝32﹣
2
903
360
π⋅⋅9
9
4
π
=-，
∴阴影部分的面积199369244ππ⎛⎫=⨯⨯--= ⎪⎝
⎭， 故答案为94
π． 【题目点拨】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．
15、（14+23）米
【解题分析】
过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．
【题目详解】
如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．
∵CD =8，CD 与地面成30°角，
∴DE =12CD =12
×8=4， 根据勾股定理得：CE =22CD DE -=22
42-2284-=43． ∵1m 杆的影长为2m ，
∴DE EF =12
， ∴EF =2DE =2×4=8，
∴BF =BC +CE +EF =20+43+8=（28+43）．
∵
AB BF =12
， ∴AB =12（28+43）=14+23． 故答案为（14+23）．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB 的影长若全在水平地面上的长BF 是解题的关键．
16、53
【解题分析】
根据矩形的性质得到CD=AB=5，AD=BC=3，∠D=∠C=90°，根据折叠得到BF ＝AB ＝5，EF ＝EA ，根据勾股定理求出CF ，由此得到DF 的长，再根据勾股定理即可求出AE.
【题目详解】
∵矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，
∴CD=AB=5，AD=BC=3，∠D=∠C=90°，
由折叠的性质可知，BF ＝AB ＝5，EF ＝EA ，
在Rt △BCF 中，CF 4，
∴DF ＝DC ﹣CF ＝1，
设AE ＝x ，则EF ＝x ，DE ＝3﹣x ，
在Rt △DEF 中，EF 2＝DE 2+DF 2，即x 2＝（3﹣x ）2+12，
解得，x ＝
53
， 故答案为：53． 【题目点拨】
此题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，由折叠得到BF 的长度是解题的关键.
三、解答题（共8题，共72分）
17、-2
【解题分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．
【题目详解】
原式=()()()()()22x 1x 1x x x x x 1x x 1x 1⎛⎫+-+-÷ ⎪ ⎪+++⎝⎭
=()()()()
2
2
1-111x x x x x x +⋅++- =-1x x - ，
∵x≠±1且x≠0，
∴在-1≤x≤2中符合条件的x 的值为x=2，
则原式=-22-1
=-2. 【题目点拨】
此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
18、（1）75；（2）
【解题分析】
（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA 可得出△BOD ∽△COA ，利用相似三角形
的性质可求出OD 的值，进而可得出AD 的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°
=∠ADB ，由等角对等边可得
出
（2）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，同（1）可得出Rt △AEB 中，利用勾股定理可求出BE 的长度，再在Rt △CAD 中，利用勾股定理可求出DC 的长，此题得解．
【题目详解】
解：（1）∵BD ∥AC ，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA ，
∴△BOD ∽△COA ， ∴13
OD OB OA OC ==．
又∵
∴OD=13，
∴．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB ，
∴
（2）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO EO BE DO AO DA
==．
∵BO：OD=1：3，
∴
1
3 EO BE
AO DA
==．
∵3
∴3，
∴3．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（32+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，
解得：13
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
19、（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝1
2
AB，（2）2，4；（2）①y＝
1
3
x2﹣2；②在此抛物线的对称轴上有
这样的点P，使得∠APB 为锐角，y p的取值范围是y p＜﹣2或y p＞2．【解题分析】
（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；
（2）利用已知点为B （m ，m ），代入抛物线解析式进而得出m 的值，即可得出AB 的值；
（2）①根据题意得出抛物线必过（2，0），进而代入求出答案；
②根据y ＝13x 2﹣2的对称轴上P （0，2），P （0，﹣2）时，∠APB 为直角，进而得出答案． 【题目详解】 （1）MN 与AB 的关系是：MN ⊥AB ，MN ＝
12AB ， 如图1，∵△AMB 是等腰直角三角形，且N 为AB 的中点，
∴MN ⊥AB ，MN ＝
12
AB ， 故答案为MN ⊥AB ，MN ＝12AB ；
（2）∵抛物线y ＝
212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ）， ∴m ＝12
m 2， 解得：m ＝2或m ＝0（不合题意舍去）， 当m ＝2则，2＝
12x 2， 解得：x ＝±
2， 则AB ＝2+2＝4； 故答案为2，4；
（2）①由已知，抛物线对称轴为：y 轴，
∵抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣
53
（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1． ∴抛物线必过（2，0），代入y ＝ax 2﹣4a ﹣53
（a ＞0）， 得，9a ﹣4a ﹣53
＝0， 解得：a ＝13
， ∴抛物线的解析式是：y ＝13x 2﹣2；
②由①知，如图2，y ＝1
3
x2﹣2的对称轴上P（0，2），P（0，﹣2）时，∠APB 为直角，
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，y p的取值范围是y p＜﹣2或y p＞2．
【题目点拨】
此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．
20、（1）
1
1
2
y x
=+；（2）2
515
44
s t t
=-+（0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行
四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.
【解题分析】
（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式．（2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式MN NP MP
=-得到函数关系式．
（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t．再讨论邻边是否相等．
【题目详解】
解：（1）x=0时，y=1，
∴点A的坐标为：（0，1），
∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），
∴点B的横坐标为3，
当x=3时，y=5
2
，
∴点B的坐标为（3，5
2），
设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
1
5
3
2
b
k b
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
解得，
1
2
1
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
则直线AB的函数关系式
1
1
2
y x
=+
（2）当x=t 时，y=
12
t+1， ∴点M 的坐标为（t ，12
t+1）， 当x=t 时，2517144
y t t =-++ ∴点N 的坐标为2517(,1)44
t t t -++ 2251715151(1)44244s t t t t t =-++-+=-+ （0≤t≤3）； （3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ， ∴25155=442
t t -+， 解得t 1=1，t 2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形，
①当t=1时，MP=32
，PC=2， ∴MC=52
=MN ，此时四边形BCMN 为菱形， ②当t=2时，MP=2，PC=1，
∴，此时四边形BCMN 不是菱形．
【题目点拨】
本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．
21、（1）5；（2）5n ﹣4，na +6a ．
【解题分析】
(1)第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第11位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的；
(2)由表格中信息可得，“新顾客”到达时间为1，6，11，16，…，则第n 个“新顾客”到达窗口时刻为5n ﹣4，由表格可知，“新顾客”服务开始的时间为6a ，7a ，8a ，…，第n ﹣1个“新顾客”服务开始的时间为(6+n ﹣1)a =(5+n )a ，第n ﹣1个“新顾客”服务结束的时间为(5+n )a +a =na +6a ．
【题目详解】
(1)第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第11位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的；
故答案为：5；
(2)由表格中信息可得，“新顾客”到达时间为1，6，11，16，…，
∴第n 个“新顾客”到达窗口时刻为5n ﹣4，
由表格可知，“新顾客”服务开始的时间为6a ，7a ，8a ，…，
∴第n 个“新顾客”服务开始的时间为(6+n )a ，
∴第n ﹣1个“新顾客”服务开始的时间为(6+n ﹣1)a =(5+n )a ，
∵每a 分钟办理一个客户，
∴第n ﹣1个“新顾客”服务结束的时间为(5+n )a +a =na +6a ，
故答案为：5n ﹣4，na +6a ．
【题目点拨】
本题考查了列代数式，用代数式表示数的规律，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，寻找规律，列出代数式．
22、见解析
【解题分析】
在∆ABC 和∆EAD 中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B ＝∠DAE 证得∆ABC ≌∆EAD ，继而证得AC ＝DE.
【题目详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴∠DAE ＝∠AEB.
∵AB ＝AE ，
∴∠AEB ＝∠B.
∴∠B ＝∠DAE.
∵在△ABC 和△AED 中，
AB AE B DAE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD(SAS)，
∴AC=DE.
【题目点拨】
本题主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.
23、（1）y=12x 2﹣32x ﹣2；（2）9；（3）Q 坐标为（﹣121655，）或（4﹣854555，）或（2，1）或（4+855，﹣455
）． 【解题分析】
试题分析：()1把点()()10
40A B -，，，代入抛物线22y ax bx =+-，求出,a b 的值即可. ()2先用待定系数法求出直线BE 的解析式，进而求得直线AD 的解析式，设11
,22G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示出PG ,用配方法求出它的最大值， 联立方程2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，求出点D 的坐标，ADP S 最大值=12
D A PG x x ⨯⨯-， 进而计算四边形EAPD 面积的最大值； ()3分两种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）∵()()1040A B -，，，在抛物线2
2y ax bx =+-上， ∴2016420,
a b a b --=⎧⎨+-=⎩ 解得123.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴抛物线的解析式为213222
y x x ．=-- （2）过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，
∵()()4002B E ，，，，
∴直线BE 的解析式为122y x =-+， ∵AD ∥BE ，设直线AD 的解析式为12y x b =-
+， 代入()10A ，-，可得12b =-， ∴直线AD 的解析式为1122y x ，=-
- 设11,22G m m ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 则()221113*********PG m m m m ⎛⎫⎛⎫=-----=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴当x =1时，PG 的值最大，最大值为2，
由2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
， 解得10,x y =-⎧⎨=⎩ 或32.x y =⎧⎨=-⎩ ∴()3,2D -，
∴ADP S 最大值=1124422
D A PG x x ⨯⨯-=⨯⨯=， 15252
ADB S =⨯⨯=， ∵AD ∥BE ，
∴5ADE ADB S S ==，
∴S 四边形APDE 最大=S △ADP 最大+459ADB S ．=+=
（3）①如图3﹣1中，当OQ OB =时，作OT BE ⊥于T ．
∵42OB OE ==，，
∴452525
OE OB BE OT BE ⋅====，
∴BT TQ ==
∴BQ = 可得1216,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
； ②如图3﹣2中，当1BO BQ =时
,14.Q ⎛ ⎝
⎭ 当22OQ BQ =时，()221Q ，，
当3BO BQ =时，Q
34.⎛ ⎝⎭
综上所述，满足条件点点Q 坐标为1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
或4⎛ ⎝
⎭或()21，
或4.⎛+ ⎝⎭ 24、 (1)见解析
【解题分析】
（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC 为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD =BD ，得证；
（1）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB 边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．
【题目详解】
（1）证明：∵CE ∥DB ，BE ∥DC ，
∴四边形DBEC 为平行四边形．
又∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是AC 的中点，
∴CD=BD=12
AC ， ∴平行四边形DBEC 是菱形；
（1）∵点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，AD=3，DF=1，
∴DF 是△ABC 的中位线，AC=1AD=6，S △BCD =
12S △ABC ∴BC=1DF=1．
又∵∠ABC=90°，
∴
=
．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=1S△BCD=S△ABC=1
2
AB•BC=
1
2
×42×1=42．
点睛：本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由点D是AC的中点，得到CD=BD是解答（1）的关键，由菱形的性质和三角形的面积公式得到S四边形DBE C=S△ABC是解（1）的关键.。