配套K12高三应知应会讲义集合、逻辑、推理与证明教案苏教版

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【K12学习】XX届高考数学备考推理与证明复习教案

XX届高考数学备考推理与证明复习教案专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数第四讲推理与证明【最新考纲透析】．合情推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

．直接证明与间接证明了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；．呈现方式金榜经，属中档题。

考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

例1：观察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=-1280+1120+n+p-1.可以推测，–n+p=.【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，，，又，，．【答案】962．要点考向2：演绎推理考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。

考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。

配套K12高三应知应会讲义数列教案苏教版

数列二、应知应会知识和方法： 1．（1）在公差为2等差数列{ a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＝4，则a 1＋a 3＋a 5＝________．（2）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，则S 9＝________．（3）已知数列{a n }的首项为a 1＝13，且满足a n －a n +1a n +1a n＝5 (n ∈N +)，则a 6＝_______．说明：考查等差数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n 项求和公式建立了基本量之间的关系． 2．（1）在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝4，a 22＋a 23＝24，则数列{a n }的前23项和S 23＝________．（2）已知数列{a n }的前n 项的和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值是．（3）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 10S 20＝．说明：掌握等差数列的性质能提高解题的速度．这些性质主要有：①若n ＋m ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ；②公差为d 的等差数列{a n }中，其下标成等差数列的子数列也成等差数列；③公差为d 的等差数列{a n }中，连续m 项的和也组成等差数列，且公差为m 2d 等． 3．（1）等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9的值是________．（2）数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －49那么数列的前n 项和S n 取得最小值时，n 为_______．（3）已知等差数列前n 项和为S n ，若S 12＞0，S 13＜0，则此数列中绝对值最小的项为_______．（4）等差数列{a n }中，3a 4＝7a 7，且a 1＞0 当该数列的前n 项和S n 取得最大值时，n ＝_____．（5）数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2 n －1 则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝．说明：注意等差数列的前n 项和的特征在解题中的应用： ①S n ＝a 1＋a n 2n a 1＋n (n －1)2d 其中a 1＋a n ＝a 2＋a n －1 ＝a 3＋a n －2…＝，注意平均数的概念；②公差不为0的等差数列的前n 项和是关于项数n 的二次函数，且常数项为0； ③前n 项和最大、最小的研究方法． 4．（1）若等比数列{a n }的前三项和S 3＝1，且a 3＝1，则a 2＝________．（2）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3 S 3成等差数列，则{a n }的公比q 为．（3）各项是正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，S 3＝21 则a 2＋a 4＋a 6＝________（4）在等比数列{a n }中，首项a 1＜0，公比为q ，则{a n }是递增数列的充要条件是________．（5）设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝17，则a n ＝________．说明：等比数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n 项求和公式建立了基本量之间的关系．等差和等比数列的简单综合．5．（1）设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________．（2）在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2 则该数列前15项的和S 15＝_____．（3）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．说明：掌握等比数列的性质能提高解题的速度．这些性质主要有： ①若n ＋m ＝p ＋q ，则a n a m ＝a p a q ；②公比为q 的等数列{a n }中，其下标成等差数列的子数列也成等比数列；③公比为q 的等比数列{a n }中，连续m 项的和也组成等比数列，且公差为q m等．注意与等差数列的简单综合．6．（1）已知数列的通项a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1， n 为奇数2n －2， n 为偶数．则a 2a 3＝__________．（2）已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N +，有a p ＋a q ＝a q +p ，若a 1＝19，则a 36＝__________．（3）数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1．如果a n －2为自然数，且之前未出现过，则a n +1＝a n －2，否则a n +1＝3a n ，那么a 6＝_________．说明：考查递推公式和归纳思想（寻找规律），注意从等差、等比、周期等方面进行归纳． 7．（1）数列112，314，518，…，（2n －1）＋12 n ，…的前n 项和S n 的值等于__________．（2）在数列{a n }中，a n ＝1n ＋n ＋1且S n ＝9，则n ＝_______．（3）等差数列{a n }中，a n +1＝2 n ＋1 则S n ＝1 a 1a 2 ＋1 a 2a 23 ＋…＋1a 2009a 2010＝_______．（4）数列1，1＋2，1＋2＋4，…1＋2＋4＋…＋2n －1…前n 项和为S n ，那么S n ＝_______．（5）设数列{a n }是等差数列，{b n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝b 1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13，①求数列{a n }、{b n }的通项公式；②求数列{a nb n}的前n 项和S n ．说明：掌握等差数列和等比数列的求和方法；掌握一些能转化为等差和等比数列的求和；掌握错位相减求和；知道一些典型的裂项求和方法．8．（1）如果数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是_______．（2）数列{a n }中，已知a 1＝12且前n 项和S n ＝n 2a n ，则a n ＝_______．（3）数列{a n }中，已知a 1＝1，a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋ na n ＝2 n －1，则a n ＝________．（4）已知数列{a n }的前n 项和S n =－a n －(12)n －1＋2（n 为正整数）. 令b n =2na n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式说明：掌握数列的前n 项和S n 与第n 项a n 之间的关系及转化方法．掌握从特殊到一般的归纳方法． 9．（1）已知a n +1＝2a n a n ＋2， a 1＝2 ①求证：数列{1a n}的等差数列；②求数列{a n }的通项公式．（2）已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +2＝3a n +1－2a n （n ∈N +）①证明：数列{ a n +1－a n }是等比数列； ②求数列{a n }的通项公式．（3）根据下列条件，分别确定{a n }的通项公式： ①a 1＝1，a n +1＝a n ＋2n ； ②a 1＝1，a n +1 a n ＝n ＋1n； ③a 1＝1，a n +1＝3a n ＋4．说明：理解由数列的递推公式求通项公式的方法．掌握常见递推数列的通项公式的求法，如a n +1－a n ＝f （n ），a n +1a n＝f （n ），a n +1＝pa n ＋q （其中p 、 q 为常数）其主要想法是将其转化为等差或等比数列．数列二、应知应会知识和方法： 1．（1）在公差为2等差数列{ a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＝4，则a 1＋a 3＋a 5＝________．解：a 1＋a 3＋a 5＝－2．（2）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，则S 9＝________．解：S 9＝54．（3）已知数列{a n }的首项为a 1＝13，且满足a n －a n +1a n +1a n ＝5 (n ∈N +)，则a 6＝_______．解：a 6＝128．说明：考查等差数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n 项求和公式建立了基本量之间的关系． 2．（1）在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝4，a 22＋a 23＝24，则数列{a n }的前23项和S 23＝________．解：S 23＝161（2）已知数列{a n }的前n 项的和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值是．解：k ＝8（3）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 10S 20＝．解：S 10S 20＝310．说明：掌握等差数列的性质能提高解题的速度．这些性质主要有：①若n ＋m ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ；②公差为d 的等差数列{a n }中，其下标成等差数列的子数列也成等差数列；③公差为d 的等差数列{a n }中，连续m 项的和也组成等差数列，且公差为m 2d 等． 3．（1）等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9的值是________．解：a 2＋a 9＝24．（2）数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －49那么数列的前n 项和S n 取得最小值时，n 为_______．解：n ＝24．（3）已知等差数列前n 项和为S n ，若S 12＞0，S 13＜0，则此数列中绝对值最小的项为_______．解：第7项．（4）等差数列{a n }中，3a 4＝7a 7，且a 1＞0 当该数列的前n 项和S n 取得最大值时，n ＝_____．解：n ＝9．（5）数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2 n －1 则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝．解：5150．说明：注意等差数列的前n 项和的特征在解题中的应用： ①S n ＝a 1＋a n 2n a 1＋n (n －1)2d 其中a 1＋a n ＝a 2＋a n －1 ＝a 3＋a n －2…＝，注意平均数的概念；②公差不为0的等差数列的前n 项和是关于项数n 的二次函数，且常数项为0；③前n 项和最大、最小的研究方法． 4．（1）若等比数列{a n }的前三项和S 3＝1，且a 3＝1，则a 2＝________．解：a 2＝－1（2）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3 S 3成等差数列，则{a n }的公比q 为．解：q ＝13（3）各项是正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，S 3＝21 则a 2＋a 4＋a 6＝________ 解：a 2＋a 4＋a 6＝126．（4）在等比数列{a n }中，首项a 1＜0，公比为q ，则{a n }是递增数列的充要条件是________．解：q ∈（0，1）．（5）设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝17，则a n ＝________．解：a n ＝1152 n －1．说明：等比数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n 项求和公式建立了基本量之间的关系．等差和等比数列的简单综合． 5．（1）设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________．解：S 4n ＝30．（2）在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2 则该数列前15项的和S 15＝_____．解：11．（3）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解：0，4，8，16或15，9，3，1．说明：掌握等比数列的性质能提高解题的速度．这些性质主要有： ①若n ＋m ＝p ＋q ，则a n a m ＝a p a q ；②公比为q 的等数列{a n }中，其下标成等差数列的子数列也成等比数列；③公比为q 的等比数列{a n }中，连续m 项的和也组成等比数列，且公差为q m等．注意与等差数列的简单综合．6．（1）已知数列的通项a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1， n 为奇数2n －2， n 为偶数．则a 2a 3＝__________．解：a 2a 3＝20．（2）已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N +，有a p ＋a q ＝a q +p ，若a 1＝19，则a 36＝__________．解：a 36＝4．（3）数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1．如果a n －2为自然数，且之前未出现过，则a n +1＝a n －2，否则a n +1＝3a n ，那么a 6＝_________．解：a 6＝15．说明：考查递推公式和归纳思想（寻找规律），注意从等差、等比、周期等方面进行归纳． 7．（1）数列112，314，518，…，（2n －1）＋12 n ，…的前n 项和S n 的值等于__________．解：S n ＝n 2＋1－12 n ．（2）在数列{a n }中，a n ＝1n ＋n ＋1且S n ＝9，则n ＝_______．解：n ＝99．（3）等差数列{a n }中，a n +1＝2 n ＋1 则S n ＝1 a 1a 2 ＋1 a 2a 23 ＋…＋1a 2009a 2010 ＝_______．解：S n ＝20094018．（4）数列1，1＋2，1＋2＋4，…1＋2＋4＋…＋2n －1…前n 项和为S n ，那么S n ＝_______．解：S n ＝2n ＋1－n －2．（5）设数列{a n }是等差数列，{b n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝b 1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13，①求数列{a n }、{b n }的通项公式；②求数列{a nb n}的前n 项和S n ．解：①a n ＝2 n －1，b n ＝2n －1； ②S n ＝6－2n ＋32n －1．说明：掌握等差数列和等比数列的求和方法；掌握一些能转化为等差和等比数列的求和；掌握错位相减求和；知道一些典型的裂项求和方法．8．（1）如果数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是_______．解：a n ＝2×3n．（两种思路：一是归纳，二是转化）（2）数列{a n }中，已知a 1＝12 且前n 项和S n ＝n 2a n ，则a n ＝_______．解：a n ＝1n （n ＋1）．（3）数列{a n }中，已知a 1＝1，a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋ na n ＝2 n －1，则a n ＝________．解： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ， n ≥21， n ＝1．（4）已知数列{a n }的前n 项和S n =－a n －(12)n －1＋2（n 为正整数）. 令b n =2na n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式解：a n =n2n ．说明：掌握数列的前n 项和S n 与第n 项a n 之间的关系及转化方法．掌握从特殊到一般的归纳方法． 9．（1）已知a n +1＝2a n a n ＋2， a 1＝2 ①求证：数列{1a n}的等差数列；②求数列{a n }的通项公式．解：①略； ②a n ＝2n．（2）已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +2＝3a n +1－2a n （n ∈N +）①证明：数列{ a n +1－a n }是等比数列； ②求数列{a n }的通项公式．解：①略； ②a n ＝2n －1．（3）根据下列条件，分别确定{a n }的通项公式： ①a 1＝1，a n +1＝a n ＋2n ； ②a 1＝1，a n +1 a n ＝n ＋1n； ③a 1＝1，a n +1＝3a n ＋4．解：①a n ＝n 2－n ＋1．②a n ＝n ．③a n ＝3 n－2．说明：理解由数列的递推公式求通项公式的方法．掌握常见递推数列的通项公式的求法，如a n +1－a n ＝f （n ），a n +1a n＝f （n ），a n +1＝pa n ＋q （其中p 、 q 为常数）其主要想法是将其转化为等差或等比数列．。

(教师用书)高中数学第二章推理与证明教案苏教版选修2-2

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理第1课时归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳推理进行简单的推理应用．2．过程与方法通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式．3．情感、态度与价值观正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用．学生通过主动探究、合作学习，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，养成认真观察事物、发现探索新知识的良好思维品质．●重点难点重点：归纳推理的含义与特点，能进行简单的归纳推理．难点：运用归纳推理得到一般性的结论，做出猜想．归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，突出体现数学的人文价值和实际应用价值，因此，在高中数学的模块中，归纳推理就显得格外的举足轻重了．为了突破难点，引导学生合作交流，发现特殊实例的共性，抓住本质特征，作出合理猜想．(教师用书独具)●教学建议关于归纳推理的教学，建议以学生熟悉的实例为载体，创设问题情境．例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导学生进行观察、分析、归纳推理，并借助例题具体说明在数学发现的过程中归纳猜想的作用、采取合作交流，培养学生合作学习的意识与数学思维能力．在课堂上渗透数学文化教育，让学生通过数学文化的学习，了解数学发展中起重大作用的历史事件和人物，激发学习数学的兴趣．●教学流程创设问题情境，引导学生得出归纳推理的意义和特点.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握数、式中归纳推理的一般规律.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握图形中归纳推理的特点与思路.⇒学习例3及其变式训练，求解简单实际问题的归纳推理并体会应用的广泛性.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．(1)若a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝2，…你能猜想出数列{a n}的通项公式吗？(2)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】(1)a n＝n(n∈N*)；(2)三角形的内角和都是180°.2．在解决上述问题时，经历了怎样的思维过程？【提示】列出部分→归纳现象→得出结论．1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．归纳推理(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3．归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．n1n＋1n(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列通项公式a n，并证明结论的正确性．【思路探究】由a1＝1求a2的值，进而求a3，a4→分析a1，a2，a3，a4的特征→猜想a n→数学证明【自主解答】(1)由a1＝1，且a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，令n＝1，得a2＝3，令n＝2，n＝3，进而得a3＝7，a4＝15，(2)由a1＝21－1，a2＝22－1，a3＝23－1，a4＝24－1.可归纳猜想，得a n＝2n－1(n∈N*)．证明如下：由a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴{a n＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，因此a n＝2n－1.1．在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式；要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系，这是解题的关键．2．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些共同的特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；…根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．【解】 1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…猜想不等式的左边共有2n －1项，最后一项的分母为2n－1，右边为n 2，由此可得一般性结论．1＋12＋13＋…＋12n －1＞ n 2(n∈N *)．理得出它们之间的关系．图2－1－1【思路探究】先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．【自主解答】正方体：F ＝6 V ＝8 E ＝12；三棱柱：F ＝5 V ＝6 E ＝9；五棱柱：F ＝7 V ＝10 E ＝15；四棱锥：F ＝5 V ＝5 E ＝8；两个同底面的四棱锥组成的组合体：F ＝8 V ＝6 E ＝12；通过以上观察发现F ，V ，E 满足F ＋V －E ＝2.所以归纳得：在凸多面体中，面数F 、顶点数V 和棱数E 满足以下关系：F ＋V －E ＝2.1．在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、区域部分图形等的增加情况常用归纳推理解决，通过比较，寻找规律是解决该类问题的关键．2．应用归纳推理，注意两点：(1)从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．有两种花色的正六边形地面砖，按如图2－1－2所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有条纹的正六边形的个数是多少？图2－1－2【解】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有条纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)．故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.边形．如图2－1－3所示，为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．图2－1－3试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式．(不要求证明)【思路探究】根据前三个图形，找出正六边形增加的规律．【自主解答】由图形可知：每个图形最外面有6×(n－1)个正六边形：f(4)＝f(3)＋18＝19＋18＝37，f(5)＝f(4)＋24＝37＋24＝61，因为f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … …所以当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)．以上各式相加，当n≥2时，f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]， ∴f(n)＝f(1)＋6×（n －1）n 2＝3n 2－3n ＋1.1．在本例中，应注意两点：(1)图形的特点，每个图形从宏观上看均为一大正六边形，每一边上均有n 个小正六边形，(2)式的变化，通过式子，寻求f(n)与f(n －1)的关系，转化成数列问题．2．利用归纳推理，可以使我们对许多实际问题总结出一般性的结论，掌握事物的本质规律．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，… 这就是斐波那契数列．此数列中，a 1＝a 2＝1，当n≥3时，请归纳出a n 与a n －1间的递推关系式．【解】因为2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，8＝3＋5，…逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)．归纳不完整致误对任意的正整数n，猜想2n与n2的大小关系．【错解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32.归纳猜想：当n＝1时，2n＞n2；当n≥2时，2n≤n2.【错因分析】对于2n与n2，n仅取1，2，3来判断它们的大小关系，这不具有代表性，忽略了对n＞3时情形的归纳．【防范措施】进行归纳推理时，防止归纳的局限性，可多考查一些特殊情形，从中寻找规律，发现一般性的结论．【正解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.归纳猜想：当n＝1或n≥5时，2n＞n2；当n＝2或4时，2n＝n2；当n＝3时，2n＜n2.1．归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法，应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，为学习研究提供方向．2．我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．1．由数列1，10，100，1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________．【解析】该数列可整理为100，101，102，103….【答案】10n－12．如图2－1－4所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．图2－1－4【解析】设a n表示第n个图形中的火柴杆数，易知a1＝4，a2＝4＋3＝7，a3＝7＋3＝10，a4＝10＋3＝13….∴a n＝3n＋1.【答案】13 3n＋13．(2013·陕西高考)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为________【解析】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2. 【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）24．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，3，…)，试用归纳法归纳出这个数列的通项公式．【解】当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；a 3＝a 21＋a 2＝13；a 4＝a 31＋a 3＝14.归纳可得，数列{a n }的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为a n ＝1n(n ＝1，2，3，…)．一、填空题图2－1－51．如图2－1－5所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．【解析】通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1.得第36颗珠子一定为白色的．【答案】白2．(2013·无锡高二检测)如图2－1－6所示，第n 个图形中，小正六边形的个数为________．图2－1－6【解析】 a 1＝7，a 2＝7＋5＝12，a 3＝12＋5＝17，∴a n＝7＋5(n－1)＝5n＋2.【答案】5n＋23．正整数按下表的规律排列，则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为________．【解析】第2 006行的第一个数为2 0062，第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项，－1为公差的等差数列的第2 007项，∴该数为2 0062＋(－1)×2 006＝2 005×2 006.【答案】 2 005×2 0064．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】1235．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111【解析】等号右边应为n＋1个“1”．【答案】 1 111 1116．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图2－1－7那么下列图形中，图2－1－8可以表示A*D ，A*C 的分别是________．【解析】由已知图形，抓共性不难总结出： A “|”，B “□”(大)，C “—”，D “□”(小)．故A*D 为(2)，A*C 为(4)．【答案】 (2)，(4)7．经计算发现下列不等式：2＋18＜210， 4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________．【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b ＜210. 【答案】若a ＋b ＝20，则a ＋b ＜2108．(2013·镇江高二检测)设函数f(x)＝x x ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝xx ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．【解析】函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.分母中常数项依次为2，4，8，16，…，其通项为2n. 又函数中，分子都是x .∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n－1）x ＋2n.【答案】x（2n－1）x ＋2n二、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式，为什么？【解】不等式左边和式个数分别为3，4，5，…时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，…，其分子依次为32，42，52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，…. 故当不等式左边和式个数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2（n －2）π(n≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2（n －2）π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n∈N *)．11．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 求m －n ＋p 的值．【解】观察等式可知，cos α的最高次项的系数：2，8，32，128构成了公式比为4的等式数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350.(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m(12)10－1 280×(12)8＋1 120×(12)6＋n ×(12)4＋p×(12)2－1，即n ＋4p ＝－200.(2) 联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50.故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.(教师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中所示的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中所示的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．则289，1 024，1 225，1 378中既是三角形数又是正方形数的是________．【自主解答】记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.同理可得正方形数构成的数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2. 将289，1 024，1 225，1 378分别代入上述两个通项公式，可得使n 都为正整数的只有1 225. 【答案】 1 225设n≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________．【解析】由T 2＝0，T 4＝0，…猜想T n ＝0(n 为偶数)．T 3＝123－133，T 5＝125－135，…猜想T n ＝12n －13n (n 为奇数)，因此可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数【答案】 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数第2课时类比推理(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去．2．过程与方法正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识．3．情感、态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识．●重点难点重点：了解合情推理的含义，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．难点：类比时寻求合适的类比对象；培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力．(教师用书独具)●教学建议本节教材内容要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理——类比推理进行了概括和总结，让学生在学习过程中体会类比推理在数学结论的发现、证明与数学体系构建中的作用．(1)创设恰当的教学问题情境，如鲁班锯的发现、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念，从而提炼出类比推理的一般过程，概括出类比推理的含义．(2)分组交流，合作学习，讲练结合，将班上同学分成六个小组，分组讨论．从具体问题出发——观察、分析比较、联想——归纳，类比——提出猜想，让学生充分感受和体验类比推理的过程．●教学流程创设问题情境，引导学生提炼类比推理的一般过程和含义.⇒借助例1及其变式训练，使学生掌握数列中定义、性质公式的类比.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面图形和空间图形的类比规律.⇒通过例3及其变式训练，理解合情推理的应用广泛性并体会其作用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识与思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】 (1)四面体任意三个面的面积大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．上述两个推理是从特殊到一般的推理吗？【提示】不是．是从三角形的特征推出四面体的特征，两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较猜测新的结论 2．类比推理的特征(1)类比推理是两类事物之间的特殊到特殊的推理； (2)类比推理的结果是猜测性的，不一定可靠．类比推理与归纳推理有何本质的不同？【提示】类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．1．合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用．n n 4841281612 类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【思路探究】等差数列的性质结论多与和、差有关，等比数列的性质结论多与积、商有关，注意到类比结论中出现T 16T 12这一形式与S 16－S 12对应，易得答案．【自主解答】等比数列类比等差数列，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 81．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m≠n，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ，n ∈N *且m ≠n )．类比上述结论，求b m ＋n ，并说明理由．【解】类比得b m ＋n ＝n －m b na m.理由如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＋n ＝b m q n.又b m b n ＝b 1q m －1b 1q n －1＝q m －n ＝a b . ∴q ＝(ab)1m －n .因此b m ＋n ＝b m q n＝a (a b )n m －n ＝(b na m )1n －m ＝n －mb na m.BC 2＋AC2＝AB 2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是________．【思路探究】三角形是由直线段围成的封闭图形，三棱锥(四面体)是由三角形围成的封闭图形，因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系．【自主解答】考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象．1231．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中．2．类比与归纳推理虽然不一定正确，但都是经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出合理猜想的推理，为研究学习提供了一盏明灯．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明． (3)在第(2)问中，若a 1＝2，公和为5，求a 18和S 21.【思路探究】先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再根据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项的和．【自主解答】 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)由“等和数列”的定义，知 a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 19＝a 21＝2. a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 18＝a 20＝3. 因此a 18＝3.S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21 ＝5×10＋2＝52.1．本题通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，考查学生的类比应用能力．2．从类比出新数列的定义出发，由特殊到一般，归纳出数列规律，类比是一个伟大的引路人，在探求知识的过程中，我们要充分运用类比的方法，由已知探究未知．设f(x)＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．【解析】等差数列运用“倒序相加”求和．令t ＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)① 则t ＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．② ∵f(x)＝12x ＋2，∴f(1－x)＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x＝2x2（2x＋2），因此f(x)＋f(1－x)＝12x ＋2＋2x2（2x＋2）＝12＝22，故①＋②，得2t ＝12×22＝62， ∴t ＝3 2. 【答案】 3 2误将类比所得结论作为推理依据致误已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0，a 2x 2＋b 2x＋c 2＜0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的________条件．【错解】在方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0中，若“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”，则两个方程同解．由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，故“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的充要条件．【答案】充要【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．【防范措施】类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误，因此要理解好类比对象的本质，忌盲目类比．【正解】当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则M ＝∅，N ＝R ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2D /⇒M ＝N ；当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2，即M ＝ND /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分也不必要条件．【答案】既不充分也不必要1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．要熟练掌握一些常见的类比推理，如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比，特别是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球)的类比，需掌握它们的类比特点与一些常用结论．1．若数列{a n }是等差数列，则通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 的数列{b n }(n∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有通项为d n ＝________的数列{d n }(n ∈N *)也是等比数列．【解析】 “和”变“积”，“商”变“开方”．【答案】nc 1·c 1·…c n2．下面使用类比推理恰当的序号是________．①“若a·3＝b·3，则a ＝b”类推出“a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”； ②“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”类推出“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ③“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ④“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n”．【解析】 ①②④均错．【答案】 ③3．在平面直角坐标系O —xy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O —xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．【解析】平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O —xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．【答案】过原点的平面4．类比圆的下列特征，找出球的相关特征． (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长和面积可求．【解】 (1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球面； (2)空间中不共面的4个点确定一个球； (3)球的表面积与体积可求．一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”．【答案】中心2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】乘积类比和，幂类比积． ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9. 【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】 1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面 5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： (1)“mn＝nm”类比得“a ·b ＝b ·a ”；(2)“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”，类比得“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； (3)“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得“|a ·b |＝|a |·|b |”； (4)“ac bc ＝a b ”类比得“a ·cb ·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________．【解析】 (1)(2)均正确，(3)(4)不正确．【答案】 (1)(2)6．(2013·南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．【解析】原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h.类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r ·S ⇒r ＝14h.【答案】正四面体的内切球的半径是高的147．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图2－1－9所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________．图2－1－9【解析】，，∴a ＝21，b ＝9，则a ＋b ＝30. 【答案】 30图2－1－108．如图2－1－10所示，对于函数y ＝x 2(x ＞0)图象上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，线段AB 必在曲线段AB 的上方，点C 分向量AB →的比为λ(λ＞0)，过C 作x 轴的垂线，交曲线段AB 于C′，则由图象中点C 在点C′的上方可得不等式a 2＋λb 21＋λ＞(a ＋λb 1＋λ)2.请分析函数y ＝ln x(x ＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是________．【解析】 y ＝x 2的图象在x ＞0时，图象下凹，且A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，所以点C 的纵坐标是a 2＋λb 21＋λ，点C 与点C′的横坐标都是a ＋λb 1＋λ，而点C′在曲线y ＝x 2上，点C 在点C′上方，所以y C ＝a 2＋λb 21＋λ＞y C ′＝(a ＋λb 1＋λ)2.。

《推理与证明》教案苏教版选修

数学：第2章《推理与证明》教案（苏教版选修1-2）十五、推理与证明一、考点、要点、疑点：考点：1、理解合情推理与演绎推理； 2、了解分析法和综合法； 3、了解反证法。

要点：1、合情推理（归纳和类比）在数学发现中的作用。

2、演绎推理的基本模式（三段论）。

3、证明的三种基本方法（分析法、综合法、反证法）各自的思考过程、特点。

二、典型例题解析：例1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：① ；②例2、中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径____________．例3、已知表中的对数值有且只有两个是错误的．x1.53567891427lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c2(a+c)3(1-a -c）2(2a-b)1-a+2b3(2a-b)（1）假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a-b-c是否正确？给出判断过程；（2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．（不要求证明）三、课堂练习：1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：① ；②2、若三角形内切圆的半径为，三边长分别为，则三角形的面积。

根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别为，则四面体的体积。

3、设，则＝。

4、已知数列，则是该数列的第项。

5、设数列是公比为的等比数列，是它的前项和。

（1）求证：数列一定不是等比数列；（2）数列能是等差数列吗？请判断并说明理由。

6、我们知道：圆的任意一条弦的中点和圆心的连线与该弦垂直。

那么，若椭圆的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。

参考解答例题解析：1、2、3、（1）正确（2）课堂练习：1、2、 3、4、1285、（1）略（2）时，是；时，不是6、椭圆的弦中点与原点的连线及弦所在直线的斜率都存在，那么它们的斜率的积为或。

【配套K12】高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案苏教版选修2_2

2.3 数学归纳法数学命题.数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有__________公理：如果(1)当n 取第一个值__________时结论正确；(2)假设当________(k ∈N *，且k ≥n 0)时__________，证明当__________时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．预习交流1做一做：用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，从k 到k ＋1时，左端增加的式子为________．预习交流2用数学归纳法应注意哪些步骤？答案：预习导引数学归纳法 (1)n 0(例如n 0＝1,2等) (2)n ＝k 结论正确 n ＝k ＋1预习交流1：提示：k ＋1预习交流2：提示：两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n ＝k ＋1时为什么成立．n ＝k ＋1时成立是利用假设n ＝k 时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n ＝k ＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k ＋1时也成假设了，命题并没有得到证明．用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都可用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．一、用数学归纳法证明等式或不等式证明12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)．思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n 怎样变化，即由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左右两边各增添哪些项．用数学归纳法证明： 11×2＋13×4＋…＋1(2n －1)×2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 可用数学归纳法来证明关于自然数n 的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n ＝k ＋1时成立，必须用到假设n ＝k 成立的结论．二、用数学归纳法证明几何问题有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2个部分．思路分析：由k 到k ＋1时，研究第k ＋1个圆与其他k 个圆的交点个数问题．证明：凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)．(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜出一般结论．(2)关键步骤的证明可以先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明． (3)几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．三、归纳—猜想—证明已知等差数列{a n }，等比数列{b n }，且a 1＝b 1，a 2＝b 2(a 1≠a 2)，a n ＞0(n ∈N *)． (1)比较a 3与b 3，a 4与b 4的大小，并猜想a n 与b n (n ≥3)的大小关系； (2)用数学归纳法证明猜想的正确性．思路分析：数列的通项公式应注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时的变化情况，增加哪些项是难点，注意观察寻找规律．数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *.(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的也可能是错误的，需要由数学归纳法证明．1．设f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋12n －1，则f (k ＋1)－f (k )＝________.2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为__________．3．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n ×(n ＋1)，…的前n 项和为S n ，计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，…，由此可猜测S n ＝________.4．平面内原有k 条直线，它们的交点个数为f (k )，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．5．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *)．答案：活动与探究1：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋[2(k ＋1)－1]2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝(2k ＋1)(k ＋1)－4(k ＋1)2＝(k ＋1)[2k ＋1－4(k ＋1)]＝(k ＋1)(－2k －3) ＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]＝右边， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知对于任意正整数n ，等式都成立．迁移与应用：证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)×2k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)×2k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．活动与探究2：证明：(1)当n ＝1时，即一个圆把平面分成2个部分f (1)＝2，又n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，∴命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即k 个圆把平面分成f (k )＝k 2－k ＋2个部分，那么设第k ＋1个圆记作⊙O ，由题意，它与k 个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k 个圆相交于2k 个点．把⊙O 分成2k 条弧，而每条弧把原区域分成2部分，因此这个平面的总区域增加2k 个部分，即f (k ＋1)＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N *命题均成立．迁移与应用：证明：(1)当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸k ＋1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线是以顶点A k ＋1为一个端点的所有对角线，再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数(k ＋1－3)＋1＝k －1.f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)·(k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]，故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对于n ≥4，n ∈N *命题都成立．活动与探究3：(1)解：设a 1＝b 1＝a ，公差为d ，公比为q ，由a 2＝b 2，得a ＋d ＝aq .① ∵a 1≠a 2，a n ＞0，∴a ＞0，d ＞0.由①，得d ＝aq －a ，q ＝1＋d a＞1.∴b 3－a 3＝aq 2－(a ＋2d )＝aq 2－a －2a (q －1)＝a (q －1)2＞0. ∴b 3＞a 3.∵b 4－a 4＝aq 3－(a ＋3d )＝a (q －1)(q 2＋q －2)＝a (q －1)2(q ＋2)＞0， ∴b 4＞a 4.猜想出b n ＞a n (n ≥3，n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝3时，由(1)可知已证得b 3＞a 3， ∴n ＝3时猜想成立．②假设当n ＝k (n ∈N *，k ≥3)时，b k ＞a k 成立．则当n ＝k ＋1时，∵b k ＋1＝b k q ，a k ＋1＝a k ＋d ，∴b k ＋1－a k ＋1＝b k q －a k －d ＝b k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋d a －a k －d ＝(b k －a k )＋db k a －d ＝(b k －a k )＋d (b k －a )a .∵q ＝1＋da＞1，且b 1＝a ＞0，∴{b n }为递增数列．∴b k ＞a . ∴b k －a ＞0.又b k －a k ＞0，∴(b k －a k )＋d (b k －a )a＞0.∴b k ＋1－a k ＋1＞0.∴b k ＋1＞a k ＋1. ∴n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①和②可知，对于n ∈N *，n ≥3猜想成立．迁移与应用：(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k. 这表明n ＝k ＋1时，结论成立，∴a n ＝2n－12n －1.当堂检测1．12k ＋12k ＋1 2．1＋a ＋a 23．n n ＋14.f (k )＋k 5．证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．。

配套K122018年高中数学第2章推理与证明章末小结与测评学案苏教版选修1-2

第2章推理与证明一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是_________________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝25．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x＝22，发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12.∴S ＝3 2.答案：3 27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2，即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”．已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列3，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________．解析：由题意知T 500＝2 004＝S 1＋S 2＋…＋S 500500，则T 501＝3＋（S 1＋3）＋（S 2＋3）＋…＋（S 500＋3）501＝500×2 004＋3×501501＝2 003.答案：2 003 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（m －n ）a ，y ＝（m ＋n ）b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第n 个图形中共有______________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n ，24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4.(当a ＝12，b ＝12时等号成立)∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n(n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n，所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos （60°＋2α）2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2，即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc .因a ＋d ＝b ＋c ，则只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc .设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )·(c ＋d －t )＜0. 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．19．(本小题满分16分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，已知a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.求证：(1)a ＞0，且－2＜b a＜－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根．证明：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，f (0)＝c ＞0，f (1)＝3a ＋2b ＋c ＝2a ＋b ＞0，而b ＝－a －c ，则a －c ＞0，所以a ＞c ＞0. 又2a ＞－b ，所以－2＜b a，而a ＋b ＜0，则b a ＜－1，因此有－2＜b a＜－1.(2)Δ＝(2b )2－12ac ＝4[(a ＋c )2－3ac ]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c 2＋3c 2，则Δ＞0，f (x )的对称轴为x ＝－b 3a ，由(1)可得13＜－b 3a ＜23，又f (0)＞0，f (1)＞0且a ＞0，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝12，2a n ＋1＝a n a n ＋1＋1.(1)猜想数列{a n }的通项公式(不用证明)；(2)已知数列{b n }满足b n ＝(n ＋1)a n ＋2，求证：数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．证明：(1)由条件可得：a 1＝12，a 2＝23，a 3＝34，……猜想：a n ＝nn ＋1.(2)由(1)可知：b n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在不同的三项b p ，b q ，b r 使其成等比数列，则b 2q ＝b p ·b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，则有q 2＋2＋22q ＝pr ＋2＋2(p ＋r )，化简得q 2＋22q ＝pr ＋2(p ＋r )．因为p ，q ，r ∈N *，所以有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q ＝p ＋r ，消去q 得(p ＋r )2＝4pr ，即(p －r )2＝0，所以p＝r .这与假设b p ，b q ，b r 为不同的三项矛盾，所以数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．。

高三应知应会讲义集合、逻辑、推理与证明教案苏教版

集合、逻辑、推理与证明一、考试说明要求：二、应知应会知识和方法：1．(1)已知集合S＝{1，2，3}，集合T＝{2，3，4，5}，则S∩T＝___________．解：{2，3}．(2)已知全集U＝R，集合A＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜x＜－1，或x＞4}，则集合A∪(∁U B)＝______________．解：{x｜－2≤x≤4}，或写成[－2，4]．(3)设集合M＝{m∈Z｜－3＜m＜2}，N＝{n∈Z｜－1≤n≤3}，则M∩N＝_________．解：{－1，0，1}．(4)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．解：4．说明：考察集合的交、并、补运算．2．(1)对于集合A，B，定义“A－B”的含义是：A－B＝{x｜x∈A，且x∈／B}．若A＝{x｜－2＜x≤4}，B＝{x｜x≤1}，则集合A－B＝____________．解：{x｜1＜x≤4}，或写成(－1，4]．(2)设P，Q是两个非空集合，定义：P×Q＝{(a，b)｜a∈P，b∈Q}．若P＝{3，4}，Q＝{4，5，6，7}，则集合P×Q中的元素的个数为_________．解：8．(3)定义集合运算：A※B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，3}，则集合A ※B中所有元素之和为___________．解：9．说明：考察新定义类型集合的运算．3．(1)已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，正确的有_____个．解：2，分别为原命题和逆否命题．(2)命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为_____________．解：“若a≤b，则2a≤2b－1”．(3)下列命题：①每一个二次函数的图象都开口向上；②对于任意非正数c，若a≤b，则a ≤b＋c；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6＜0成立．其中既是全称命题又是真命题的有____________．解：②．(4)命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是：_____________．解：∃x∈R，x3－x2＋1＞0．说明：考察命题的四种形式及其之间的关系；和全称性命题，存在性命题的否定形式．4．(1)已知：p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q 的__________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”) 解：充分不必要．(2)设集合M＝{x｜0＜x≤3}，N＝{x｜0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的_________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)解：必要不充分．(3)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的_________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)解：充分不必要．(4)“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”是“a＞0，b＞0”的___________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)解：充分不必要．说明：考察充分必要条件，及多知识点的综合运用能力．5．(1)用反证法证明命题：“a ，b ∈Z ，若ab 为奇数，则a ，b 全为奇数”时，应假设__________________．解：“若a ，b 不全为奇数”．(2)若△ABC 能剖分为两个与其自身相似的三角形，则此三角形必为_______三角形．(填“锐角”，“直角”，“钝角”) 解：直角．说明：使用反证法证明时，应准确的做出反设(否定结论)；能利用反证法思想解决问题． 6．(1)下列推理：正确的序号是．解：④．(2)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为．解：大前提是错误的．(3)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线间的平行线段长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到_______________________________，这个类比命题为____命题．(填“真”，“假”)解：“夹在两个平行平面间的平行线段长度相等”，真．说明：熟悉演绎推理、类比推理的一般模式，并能判断推理的正误．7．(1)32＞3＋12＋1，43＞4＋13＋1，54＞5＋14＋1，… ，由此可以得到的一个结论是．解：n ＋1n ＞n ＋1＋1n ＋1(n ≥2，且n ∈N*)． ① 指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是增函数， y ＝2x 是指数函数， y ＝2是增函数． ② 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)是偶函数，y ＝(x ＋1)2是二次函数， y ＝(x ＋1)2是偶函数．④ 对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象都过点(1，0)，y ＝lg x 是对数函数， y ＝lg x 的图象都过点(1，0)．③ 减函数y ＝kx ＋b (k ＜0)是一次函数， y ＝2x ＋1是一次函数， y ＝2x ＋1是减函数．(2)数列{a n }中，a 1＝1，对任意n N*，a n ＋1＝2a n2＋a n，依次计算a 2，a 3，a 4后，归纳出a n 的通项公式为．解：2n ＋1． (3)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝_________；当n ＞4时，f (n )＝．（用n 表示）解：5，12(n ＋1)(n －2)．(4)根据右图中5个图形及其相应点的个数变化规律，试猜想第n 个图中有________个点．解：n 2－n ＋1．说明：能灵活的使用类比、归纳及演绎推理解决简单问题．。

【配套K12】高三应知应会讲义算法初步、概率、统计教案苏教版

算法初步、统计、概率二、应知应会知识和方法：1．（1）下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，则其输出的结果是．解：当x ＝－1时，即输出，此时y ＝0.5－1＝2．（2）下面框图表示的程序所输出的结果是_______. 解：1320．（3）如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋1100的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．解：i ≤100说明：考查流程图．2．（1）某算法的伪代码如下，则输出的结果是____________．．解：9．（2）右面是一个算法的伪代码。

如果输入的x 的值是20的y 的值是．解：150（3）右面一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为．解：I ＜20．（1）（2）(3)说明：考查基本算法语句（伪代码）． 3．（1）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人．解：3．(2)从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．解：25，60，15（3）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n ___________．解：192．说明：考查常用的抽样方法(简单随机抽样，分层抽样)，体会统计的意义． 4．（1）一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为．解：320．（2）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000]（元）月收入段应抽出人．解：25．（3）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为．解：32．说明：考查用样本频率分布估计总体分布．5（1）_x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则_x ，a ，b 之间的关系为．解：100_x ＝40a ＋60b ．（2）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为．解：4．说明：考查用样本估计总体特征数（均值和方差）． 6．（1）一篇英文短文中，共使用了6000个英文字母（含重复使用），其中E 共使用了900次，则字母E 在这篇短文中的使用频率为．（2计算表中各次比赛进球的频率；这位运动员投篮一次，进球的概率约为．解：进球频率m n 分别为：0.75，0.8，0.75，0.78，1.75，0.7．进球的概率约为：4965≈0.75．(3)那么分数不满110的累积频率是．（精确到0.01）解：0.47说明：考查随机事件和概率．了解概率的频率定义，知道概率是随机事件在大量重复试验时该事件发生的频率的稳定值，会用事件发生的频率估算概率． 7．（1）先后投两个骰子，正面向上的点数之和为2的概率是，正面向上的点数之和为6的概率是．解：136，536．（2）5个零件中，有一个不合格品，从中任取2个，全是合格品的概率为．解：23．(3)若A 、B 、C 、D 、E 五人随机地乘坐两辆出租车，每辆车最多能乘坐4人，则A 、B 、C 在同一辆车，D 、E 在另一辆车上的概率为（用分数表示）．解：115说明：考查古典概型．若一个试验的n 个结果（基本事件）是等可能的，则每个基本事件发生的概率均为1n ，若事件A 包含其中的m 种基本事件，则P (A )＝mn．8．（1）取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率为．解：12．（2）右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．解：解利用几何概型235．（3）在区间（0，1）内随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率．解：关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实根的条件是n －4m ≥0．考察点（m ，n ）所在区域（如图），当点（m ，n ）落在三角形ODC 内时，上述方程有实数根，所以事件“关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根”的概率为S OCD S 正方形OABC ＝18．说明：考查几何概型．会求出三种模型（线段、平面、空间模型）的几何概型问题，会根据变量（1个或2个）构造简单的模型解题． 9．（1）罐头10个，其中2个一等品，5个二等品，其余全是不合格品，从中任取1个检验是合格品（一等品或二等品）的概率为．解：710．（2）从5名男生和4名女生中任选2名代表，则代表中至少有一名女生的概率为．解：1318．(3)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是____________．解：45．说明：考查互斥事件及其发生的概率．对一个较复杂的事件，我们常把该事件分解成若干互斥事件的和，或通过对立事件来把握该事件．。

高考数学复习集合与逻辑、推理与证明课件苏教版

求证：a2 +b2 +c2 1
方法1：
3
a 2+ b 2+ c2 1=13 a 2+ 3 b 2+ 3 c2 1 33
= 1 33a2+3b2+3c2a+b+c2
= 1 3 a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 a 2 b 2 c 2 2 a b 2 a c 2 b c 3
= 1 3ab2+bc2+ac2
m2
(ⅰ) 当p真且q假时有： m1或m3m3
(ⅱ)
当p假且q真时，有：
m2 1<m<31<m2
} 综上得m的取值范围是： m 1 < m 2 或 m 3
h
20
点评：
（ 1）含有逻辑关系词的命题要先确定构成命题的命题的真假，求出此时参数成立的条件；（2）其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件；
集合与逻辑推理与证明
h
1
本单元知识结构
确定性
概念
元
素性
质
互
异
性
无
序
性
列举法
表
示方
法
描系
属
包
于含
关关
系系
运
算
交并
集集
补集
且或非
命题及其关系
充要条件逻辑联结词
存在量词与
全称量词
常用逻辑
用语
h
2
推理
归纳推理合情推理
h
8
（4）预计在今后的高考中，集合部分的试题还将以填空题的形式出现，主要考查集合语言与集合思想的运用，考查以集合为背景的应用性、开放性问题，命题将构思巧妙、独特新颖、解法灵活；而对于命题的考查与其它知识相结合，因此基本概念和技能一定要落实好。

【配套K12】高中数学第2章《推理与证明》素材苏教版选修2-2

《推理与证明》中的数学思想有关《推理与证明》中的问题蕴含着许多数学思想，若根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而使问题简捷、准确地获解．一、类比思想所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似，从而推断出这两个对象之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式．“由特殊到一般”是解决这类问题的思维主线．例1 已知(12)i x i n 0=≥，，，，且121n x x x +++=．求证：1n x +≤分析：我们可先把它类比为一简单题目：“已知10x ≥，10x ≥，且121x x +=，求证：1”该题的证明思路为：∵121x x +=，∴01≤，则1212≤≤，∴1过程中用到了基本不等式和配方法，这正是要寻找的证明原命题的思路和方法．证明：由基本不等式有0i j x x +≤，则11201()1i j n n x x x n <2(-)+++=-≤≤≤，∴12112n i j x x x n ++++≤≤≤≤，即21n x n +)≤≤．∴1n x +≤ 二、转化思想转化思想就是在解决数学问题时，将有待解决的问题，通过某种转化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题，并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答．例如分析法是证明命题的一种方法，当问题直接证明思路不明显时，常常考虑运用分析法．而运用分析法解题的关键是将结论适当转化．例2 设实数x y ，满足20y x +=，若01a <<，求证：1log ()log 28x y a a a a ++≤．分析：直接证明思路不明显，因此可以先结合条件将结论适当转化．由01a <<，只需转化为证2x y a a a +≥．又x y a a +≥14x y +≤．再由2y x =-转化为证明214x x -≤．因此运用分析法即可简捷得证．证明：要证1log ()log 28x y a a a a ++≤，因为01a <<，所以只需证18x y a a a +2≥，又x y a a +≥18x y a a a +2≥，只需证14x y +≤，即证214x x -+0≥． ① ①式显然成立．故原不等式成立．点评：本题在寻找使结论成立的条件①时，是先根据函数的单调性，将对数不等式、指数不等式逐步转化为①，从而把问题化难为易．三、正难则反思想有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想．运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易、化繁为简的奇效．反证法就是“正难则反”的一种证明方法，它不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性．因而对于那些“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单的命题，则适宜用反证法来证．例3 设函数()f x 的定义域是区间[01]，，(0)(1)f f =，且对1x ∀、1[01]x ∈，，12x x ≠，均有2121()()2f x f x x x -<-，求证：对1x ∀、2[01]x ∈，，12x x ≠，均有21()()1f x f x -<．分析：因直接证明较为困难，于是考虑使用反证法．证明：假设1x 、2[01]x ∈，，12x x ≠，使得21()()1f x f x -≥．不妨设12x x >，则2121()()[()(0)][(1)()]f x f x f x f f f x 1-=-+-≤21212112()(0)(0)()202122222()f f x f f f x x x x x x x -+-<-+-=+-=--≤．所以12102x x <-<．又由条件可得21211()()2212f x f x x x -<-<⨯=．这与假设矛盾，故原命题成立．点评：运用反证法证题时，须注意三点：（1）必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；（2）推理过程必须完全正确，否则不能判定非命题是错误的；（3）在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确、毫不含糊．四、归纳递推思想归纳递推思想就是在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法予以证明．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察———归纳———猜想———证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．例4 已知点的序列(0)n n A x ，，*n ∈N ，其中10x =，2(0)x a a =>，3A 是线段12A A的中点，4A 是线段23A A 的中点，，n A 是线段21n n A A --的中点，．（1）写出n x 与1n x -、2n x -之间的关系式(3)n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算1a ，2a ，3a ，由此推测数列{}n a 的通项公式．分析：利用递推公式及归纳猜想是解题的关键．解：（1）当3n ≥时，122n n n x x x --+=；（2）121a x x a =-=；2123222111()222x x a x x x x x a +=-=-=--=-； 323433321111()22224x x a x x x x x a a +⎛⎫=-=-=--=-⨯= ⎪⎝⎭；由此推测：1*1()2n n a a n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N （可用数学归纳法证明）．。

【配套K12】高中数学第二章推理与证明2.2.2间接证明学案苏教版选修2_2

2.2.2 间接证明1．间接证明(1)不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明的方法通常称为________．(2)________是一种常用的间接证明方法．2．反证法(1)用反证法证明时，要从否定________开始，经过正确的推理，导致逻辑________，从而达到新的否定(即肯定原命题)．(2)用反证法证明命题“若p则q“p 且綈q ”为假3．反证法证明过程包括三个步骤(1)____——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．(2)____——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果．(3)____——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．预习交流做一做：用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设应该是________________________________________________________________________．预习导引1．(1)间接证明 (2)反证法2．(1)结论矛盾 (2)否定结论q 矛盾若p 则q ”为真3．(1)反设 (2)归谬 (3)存真预习交流：提示：假设三角形的内角中至少有两个钝角一、用反证法证明否定性命题设数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．(1)求证：数列{S n }不是等比数列．(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？思路分析：仔细分析题意可得(1)(2)中都含有否定性命题，可采用反证法证明，解题时要注意对公比q 的分析．设a ，b ，c ，d ∈R ，且ad －bc ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．二、用反证法证明“至多”“至少”问题证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．思路分析：结论中含词语“至多”，宜采用反证法，注意“至多有一个”的否定是“至少有2个”．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋y x 与1＋x y中至少有一个小于2. (1)结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题，宜考虑使用反证法．(2)要想得到与原命题相反的判断，必先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大)，然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论，从这些结论中把原命题所含的结论剔除，就得到原命题的相反判断．三、用反证法证明“唯一”性问题用反证法证明：过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行．思路分析：假设过点A 有两条直线与直线a 平行，由平行公理推出与假设矛盾的结论．过平面α内的点A 作直线a ，使得a ⊥α，求证：直线a 是唯一的．1．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．2．用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，再灵活运用．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用，正确的序号是__________．①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容应是__________．3．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．5．下列叙述正确的有__________．(填序号)①“a ＞b ”的反面是“a ＜b ”；②“x ＝y ”的反面是“x ＞y 或x ＜y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．活动与探究1：解：(1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列；假设当q ≠1时数列{S n }是等差数列，则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以当q ≠1时数列{S n }不是等差数列．迁移与应用：证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1.因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0，即(a ＋b )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＋(b ＋c )2＝0，所以a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝b ＝c ＝d ＝0，这与已知条件ad －bc ＝1矛盾．故假设不成立，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.活动与探究2：证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．迁移与应用：证明：假设1＋y x 与1＋x y 都大于等于2，即1＋y x ≥2，1＋x y≥2. 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋y ≥2x ，① 1＋x ≥2y .② ①＋②得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2矛盾，所以假设不成立，所以1＋y x与1＋x y中至少有一个小于2. 活动与探究3：证明：假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．迁移与应用：证明：假设这样的直线不唯一，则过点A 至少还有一条直线b ，使得b ⊥α.∵直线a，b是相交直线，∴直线a，b可以确定一个平面β.设α和β相交于过点A的直线c.∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.同理可得b⊥c.这样在平面β内，过点A就有两条直线垂直于c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，故假设错误，从而这样的直线a是唯一的．当堂检测1．①②③2．3a≤3b成立3．a≠1或b≠1解析：“a＝b＝1”亦即“a＝1且b＝1”，所以其否定应为“a≠1或b≠1”．4．③①②5．②解析：①不正确，“a＞b”的反面是“a≤b”；②正确；③不正确，原命题的反面漏掉了“三角形的外心在三角形上”；④不正确，原命题的反面为“最少有两个钝角”．。

【配套K12】高中数学第1章常用逻辑用语第1课时四种命题教案苏教版选修1-1

第一章常用逻辑用语
第1课时命题及其关系
教学目标：
1. 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；
2．会分析四种命题之间的相互关系及判别命题的真假．
3．提高学生分析问题解决问题的能力，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．
教学重点：
四种命题的相互关系．
教学难点：
由原命题准确写出另外三种命题．
教学过程：
Ⅰ.问题情境
复习命题的概念．
Ⅱ.建构数学
1．四种命题
2．四种命题之间的关系
Ⅲ.数学应用
例1 写出命题“若0=a ，则0=ab ”的逆命题，否命题与逆否命题。

变式练习：已知命题“负数的平方是正数”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
例2 把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：
（1）两个全等三角形的三边对应相等；
（2）四条边相等的四边形是正方形。

变式练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．并判断它们的真假：
（1）若1m <，则2
20x x m ++=方程有实数根；
（2）奇函数的图象关于原点对称；
（3）若220x x +-=，则1x =；
（4）2280x x ++>的解集是空集．
思考：已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.
Ⅳ. 课时小结:
Ⅴ. 课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P8习题1，2。

【配套K12】高中数学第1章常用逻辑用语第2课时充分条件和必要条件教案苏教版选修1-1

第一章常用逻辑用语第2课时充分条件和必要条件教学目标：1．从不同角度理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养抽象慨括和逻辑推理的意识．教学重点：构建充分条件、必要条件的数学意义教学难点：命题条件的充分性、必要性的判断．教学过程：Ⅰ.问题情境前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请判断下列命题的真假：⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+；⑶若0x ≥，则20x ≥；Ⅱ.建构数学1．充分性2．必要性Ⅲ.数学应用例1.指出下列命题中，p 是q 的什么条件．⑴p ：10x -=，q ：()()120x x -+=；⑵p ：两直线平行，q ：内错角相等；⑶p ：a b >，q ：22a b >；⑷p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形．变式练习.指出下列命题中，p 是q 的什么条件．（1）“b a =”是“b 222=”的____________（2）“b a lg lg =”是“b a =”的____________例2.已知012:;0208:222>-+->--a x x q x x p ，若p 是q 的充分不必要条件，求正数a 的取值范围。

变式练习.在ABC ∆中，B A >是B A sin sin >的什么条件？思考．（1）设集合{}|2M x x =>，{}|3P x x =<，则“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈”的什么条件？（2）求使不等式24210mx mx --<恒成立的充要条件Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P8 1，2，3。

江苏省淮安中学高三数学《第01课简易逻辑集合推理与证明》基础教案

第01课简易逻辑、集合、推理与证明一、课前预习：1、已知集合A={x|x=2n —l ，n∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A ∩B= ___2、“ 11x <”是“ lg 0x >成立”的 ______条件(填人“充分不必要’’或“必要不充分，，或“充要”或“既不充分也不必要”)．3、已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 _____4、若命题“2,10x R x ax ∃∈++<”是真命题，则实数a 的取值范围是 _______5、已知U 为实数集，集合{|02},{|1}M x x N x y x =<<==-，则()U M C N U = __________6、下列命题中真命题的个数有 ___ 个（1）2,10x R x x ∀∈-+>（2）{}1,1,0,10x x ∀∈-+>（3）3,x N x x ∃∈≤使 7、命题“不存在x R ∈，使得20x ≥”的否定是 ____________ 8、满足集合{1,2,3}M {1,2,3,4,5}的集合M 的个数为 ___________ 9、已知集合{}{}0,1,M x x x R y y y R =≠∈≠∈U ,集合{0P x x =<或01x <<或}1,x x R >∈，则集合M 与P 之间的关系是 ___________ 10、设p ：”正数a 的平方根不等于0”,则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 _________11、已知a ，b 为不共线的向量，设条件M ：⊥-（）b a b ；条件N ：对一切x ∈R ，不等式x --≥a b a b 恒成立．则M 是N 的 _________ 条件．12、已知1=1，1+2=3,1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，1+2+3+…+n=(1)2n n +，观察下面立方和：33333333331,12,123,1234,++++++L 两者对比，试归纳出立方和的求和公式： ___________13、在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ____________14、用反证法证明命题“),(*∈⋅Z b a b a 是偶数，那么a ，b 中至少有一个是偶数．”那么反设的内容是 _____________二、例题例1、已知集合{}0822≤--=x x x A ，{}R m m m x m x x B ∈≤-+--=,03)32(22（1）若]4,2[=⋂B A ，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围。

高中数学第二章《推理与证明》第1节教学设计苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学教案

课题：归纳推理第二章《推理与证明》第1节教学目标：1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.重点与难点：本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力. 教学方式：本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.教学工具：多媒体、圆纸片、硬币.教学过程：三问：对比（1）、（3）这两个推理，你能发现它们的相同点和不同点吗？3. 归纳推理的概念形成幻灯片：看下面的例子，试写出一般性结论.(1)1+3=4；1+3+5=9；1+3+5+7=16.(2)一元一次方程有一个实数根；一元二次方程最多有两个实数根；一元三次方程最多有三个实数根.提问：什么是归纳推理？学生发言，教师点评.总结：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，称为归纳推理（简称归纳）.回顾给出定义的过程，其本身就是归纳（从特殊到一般）的过程，所以可以说“我们归纳出了归纳”. （这两个“归纳”上有点区别，第一个重在归纳总结，第二个才是归纳推理.）合情推理的概念.三问的目的是：引出归纳推理（不必出现类比推理这个名词）.纯数学的实例，使学生体会归纳推理的含义.引导学生概括归纳推理的概念.现学现用，而且这句话本身很有趣，有利于激发学生的兴趣.三. 经典探究，深化新知幻灯片：汉诺塔问题如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 汉诺塔问题的探索，完整体现了归纳推理的过程，很具有代表性.使学生充分体验从个别情况看起，发现规律，归纳总2111112222n n -个个222223333n n =个2个3.*N n ∈，计算)10(,),f 的值，并归纳一般性结论。

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集合、逻辑、推理与证明
一、考试说明要求：
二、应知应会知识和方法：
1．(1)已知集合S＝{1，2，3}，集合T＝{2，3，4，5}，则S∩T＝___________．
解：{2，3}．
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜x＜－1，或x＞4}，则集合A∪(∁U B)＝______________．
解：{x｜－2≤x≤4}，或写成[－2，4]．
(3)设集合M＝{m∈Z｜－3＜m＜2}，N＝{n∈Z｜－1≤n≤3}，则M∩N＝_________．
解：{－1，0，1}．
(4)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．解：4．
说明：考察集合的交、并、补运算．
2．(1)对于集合A，B，定义“A－B”的含义是：A－B＝{x｜x∈A，且x∈／B}．若A＝{x｜－2＜x≤4}，B＝{x｜x≤1}，则集合A－B＝____________．
解：{x｜1＜x≤4}，或写成(－1，4]．
(2)设P，Q是两个非空集合，定义：P×Q＝{(a，b)｜a∈P，b∈Q}．若P＝{3，4}，Q＝{4，
5，6，7}，则集合P×Q中的元素的个数为_________．
解：8．
(3)定义集合运算：A※B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，3}，则集合A ※B中所有元素之和为___________．
解：9．
说明：考察新定义类型集合的运算．
3．(1)已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，正确的有_____个．
解：2，分别为原命题和逆否命题．
(2)命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为_____________．
解：“若a≤b，则2a≤2b－1”．
(3)下列命题：①每一个二次函数的图象都开口向上；②对于任意非正数c，若a≤b，则a ≤b＋c；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6＜0成立．其中既是全称命题又是真命题的有____________．
解：②．
(4)命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是：_____________．
解：∃x∈R，x3－x2＋1＞0．
说明：考察命题的四种形式及其之间的关系；和全称性命题，存在性命题的否定形式．4．(1)已知：p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q 的__________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”) 解：充分不必要．
(2)设集合M＝{x｜0＜x≤3}，N＝{x｜0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的_________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)
解：必要不充分．
(3)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的_________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)
解：充分不必要．
(4)“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”是“a＞0，b＞0”的___________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)
解：充分不必要．
说明：考察充分必要条件，及多知识点的综合运用能力．
5．(1)用反证法证明命题：“a ，b ∈Z ，若ab 为奇数，则a ，b 全为奇数”时，应假设__________________．解：“若a ，b 不全为奇数”．
(2)若△ABC 能剖分为两个与其自身相似的三角形，则此三角形必为_______三角形．(填“锐角”，“直角”，“钝角”) 解：直角．
说明：使用反证法证明时，应准确的做出反设(否定结论)；能利用反证法思想解决问题． 6．(1)下列推理：
正确的序号是．解：④．
(2)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为．解：大前提是错误的．
(3)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线间的平行线段长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到_______________________________，这个类比命题为____命题．(填“真”，“假”)
解：“夹在两个平行平面间的平行线段长度相等”，真．
说明：熟悉演绎推理、类比推理的一般模式，并能判断推理的正误．
7．(1)32＞3＋12＋1，43＞4＋13＋1，54＞5＋14＋1，… ，由此可以得到的一个结论是．
解：
n ＋1n ＞n ＋1＋1
n ＋1
(n ≥2，且n ∈N*)． ① 指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是增函数， y ＝2x 是指数函数， y ＝2x 是增函数． ② 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)是偶函数，
y ＝(x ＋1)2是二次函数， y ＝(x ＋1)2是偶函数．
④ 对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象都过点(1，0)，
y ＝lg x 是对数函数， y ＝lg x 的图象都过点(1，0)．
③ 减函数y ＝kx ＋b (k ＜0)是一次函数， y ＝2x ＋1是一次函数， y ＝2x ＋1是减函数．
(2)数列{a n }中，a 1＝1，对任意n N*，a n ＋1＝2a n
2＋a n
，依次计算a 2，a 3，a 4后，归纳出a n 的通
项公式为．解：
2
n ＋1
． (3)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝_________；当n ＞4时，f (n )＝．（用n 表示）解：5，1
2
(n ＋1)(n －2)．
(4)根据右图中5个图形及其相应点的个数变化规律，
试猜想第n 个图中有________个点．解：n 2
－n ＋1．
说明：能灵活的使用类比、归纳及演绎推理解决简单问题．。

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