一元函数微分学(二)

因为 F(0)=0,F(ζ3)=0。
根据罗尔定理，在（0, ζ3）中至少存在一点 ζ,使得 F’(ζ)=0,即 f’(ζ)+2ζf’(ζ)+
ζf’’( ζ)=0，得证。
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
1
f(x)在[1，2]上连续，
（1，2）上可导，f(1)= ，f(2)=2,证明：
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导，
(3) f (a) f (b) ．
则 y f (x) 在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ＝0
罗尔(Rolle)中值定理的几何意义
罗尔定理的几何意义
拉格朗日(Lagrange)中值定理
定理(
拉格朗日定理 )： 设函数 y f (x) 满足下列条件
f(ζ)、ζf’( ζ)，可以考虑原函数为 ζekζ f(ζ),经求导比较，k 取 2。
设 F(x)=x 2 f’(x),F(0)=0。
1
因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=-1，在（0，1）存在一点 ζ1，f(ζ1)= , 在（1，2）
3
1
存在一点 ζ2，f(ζ2)= 。
3
根据罗尔定理，在（ζ1, ζ2）中至少存在一点 ζ3,使得 f’(ζ3)=0，则 F(ζ3)=0。
lim
→0 ln(1 + )
ln 1 + −
→0
2
lim
洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极
限
lim
→0
1 − 2
1 + 2
洛必达(L’Hospital)法则求极限
若f(x)在x=1处的某个邻域中还有连续的一阶导数，且f(1)=1,f’(1)=0,
因为，f(x)不恒等于 x，所以在（0,1）中至少存在一点 k 使得 F(k)大于
0 或小于 0.
当 F(k)>0 时，据拉格朗日定理，在（0,k）中至少存在一点ζ,F’(ζ)>0.
当 F(k)<0 时，据拉格朗日定理，在（k,1）中至少存在一点ζ,F’(ζ)>0.
得证。
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
又在x=1处f’’(x)存在，证明：
lim→1
()−(1) 1
(−1)2
= f’’(1)
2
会利用导数判定函数的单调性
1、定理设函数 f (x) 在区间（a，b）内可导
（1）若 f ' ( x) 在 ( a , b ) 内 f ' ( x) 0 ，则 f (x) 在 ( a , b ) 内单调递增。
一元函数微分学(二)
理解罗尔(Rolle)中值定理
费马引理：设f(x)在点x0某邻域有定义，且
在x0点可导，如果存在x0点的邻域内，有
f(x)<=f(x0）（或f(x)>=f(x0))，则f’(x0)=0。
1、定理(罗尔定理 )：
设函数 y f (x) 满足下列条件：
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，
ζ，使得 ζf’(ζ)+f( ζ)=0 成立。
解析：要证 ζf’(ζ)+f( ζ)=0，ζf’(ζ)+f( ζ)的原函数为 ζf( ζ)。
设 F(x)=xf(x)，则 F(0)=0,F(1)=0
根据罗尔定理，在（0,1）中至少存在一点 ζ,使得 F’(ζ)=0
即 ζf’(ζ)+f( ζ)=0,得证。
设函数 f(x)在 (0,1)可导,f(0)=0,f(1)=1,f(x)不恒等于 x,证明：在（0,1）中
至少存在一点ζ，f’(ζ)>1
解析：要证 f’(ζ)>1，就是 f’(ζ)-1>0,因为涉及导数，f’(ζ)-1 的原函
数为 f(ζ)- ζ。
可以设 F(x)=f(x)-x
F(0)=0,F(1)=0
理，（ ξ1， ξ2）利用罗尔定理。

会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
1
设函数 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)可导,f(0)=f(1)=0,f( )=1,证明：在
2
（0,1）中至少存在一点 ζ，f’(ζ)=1
解析：要证 f’(ζ)=1，就是 f’(ζ)-1=0,因为涉及导数，f’(ζ)-1 的原函
2


2 csc 2 x
1
x
x
x
4
4
4
tan 2 x
lim ( sin 2 x) 1
x
所以
lim (tan x) tan 2 x e 1
x

4
1
e

4
洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极
限
ln(1 + 3 )
lim
→0 −
− −
证明一些简单的等式或不等式。
设函数 f(x)在[0,1]上连续，(0,1)可导，且 f(0)=0,f(1)=2.证明：在（0,1）
中至少存在一点 ζ，使得 f’(ζ)=2 ζ+1 成立。
解析：要证 f’(ζ)=2ζ+1，就是 f’(ζ)-2ζ-1=0，f’(ζ)-2ζ-1 的原函数
为 f(ζ)- ζ2-ζ。
拉格朗日中值定理的几中变形
f ( x) f (a) f ' ( )(x a)
f ( x x) f ( x) f ' ( )x f ' ( x x)
a x
0 1
理解柯西(Cauchy)中值定理
定理(
柯西中值定理 )： 设函数 f(x)，g(x)满足下列条件
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
设函数 f(x)在[0,2]上二阶可导，f(0)=0,f(1)=1,f(2)=-1, 证明：在（0,2）
中至少存在一点 ζ，使得 f’(ζ)+2ζf’(ζ)+ ζf’’( ζ)=0 成立。
解析：f’(ζ)+2ζf’(ζ)+ ζf’’( ζ)，可以看作 f(ζ)+2ζf(ζ)+ ζf’( ζ)形式，因为含有
过 C 小、处的切线平行与弦 AB，由此可知拉格朗日中值定理的弧 AB 上除端点
外每个点都具有不垂直于 x 轴的切线，当我们把弦 AB 所在的直线平行移动时，
在曲线弧 AB 的内部至少找到 C ( , f ( )) ，使得该点处的切线与弦 AB 所在的直
线平行。
拉格朗日(Lagrange)中值定理
( +1)()
(+1)!
(x − x0)n +Rn(x)
(x − x0)n+1 (在 x 到 x0 之间)
会用罗尔中值定理证明方程根的存
在性
用罗尔中值定理证明:方程3a 2 +2bx-(a+b)=0在
（0,1）内有实根.
证明：设F(x)=a 3 +b 2 -(a+b)x
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
f(x)在[a,b]上连续，二阶可导，过
（a,f(a)),(b,f(b))直线与曲线y=f(x)相交与
(c,f(c)),(a<c<b)
证明：(1)在(a,b)内存在两点ξ1,ξ2,使f’(ξ1)=f’(ξ2)
(2)在(a,b)内存在一点ξ，f’’(ξ)=0
提示：(a,c),(c,b)两区间利用拉格朗日中值定
（1，2）区
2
2
间存在一点 ζ，使得 f’(ζ)= f(ζ)。
ζ
2
2
ζ

解析：f’(ζ)- f(ζ)=0。取方程 y’- y=0, 代公式 y=ce
2
dx

,y=cx 2 ,c=

2
()
设 F(x)=
2
1
1
2
2
F(1)= ,F(2)=
根据罗尔定理，在（1,2）中至少存在一点 ζ, 使得 F’(ζ)=0,即
例： lim (tan x )
x

tan 2 x
lim e ln(tan x )
x
4
tan 2 x

4
lim ln(tan x ) tan 2 x
e
x

lim tan 2 x ln(tan x )
e
4
x

4
sec2 x
ln(tan x)
tan x
lim
因为 lim tan 2 x ln(tan x) lim
1）在闭区间 [ a , b ] 上连续；
2）在开区间 ( a , b ) 可导;
3）g’(x)≠0.
则在开区间 ( a , b ) 内至少有一点 ，使得
′()
()−()
＝
′ () ()−( )
理解柯西(Cauchy)中值定理
证明：设F(x)=f(x)-f(a) 由罗尔定理可证。
−()
(g(x)-g(a))
−()
泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理
若函数在 x0 的某领域内存在直到 n+阶导数，则：
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+
′′ ()
( )()
2!
!
(x-x0)2+……+
其中 Rn(x)为拉格朗日余项,Rn（x）=
掌握洛必达(L’Hospital)法则
注：该定理对于 x 时的未定型也成立
0
0
定理说明了当 x x 0 时， 型未定型的极限值在符合定理条件下，可以通过对分子、
分母分别求导，在求导函数比的极限。
例： lim
x 1
e x ex
e x ex
lim
2
x 1
x
1
ln x
lim
例： lim
x 1
x 1 arcsin x
1
x
1
1 x2
lim
x 1
1 x2
0
x
掌握洛必达(L’Hospital)法则
定理：设函数 f (x) 与 g (x) 满足下列条件：
(1) lim f (x) ＝ ， lim g (x) ＝ ，
x x0
x x0
(2) 在点 x 0 的某个空心邻域中， f ' ( x) 和 g ' ( x) 都存在并且 g ' ( x) ≠0，
(3) lim
x x0
则有
f ( x )
＝A (或∞)；
g ( x)
lim
x x0
f ( x)
f ( x )
＝ lim
＝A (或∞)
g ( x) x x0 g ( x)
注：该定理对于 x 时的未定型也成立
掌握洛必达(L’Hospital)法则
0 、0 型
将 0 或无穷大取倒数，变成
数为 f(ζ)- ζ。
设 F(x)=f(x)-x
1
1
2
2
F(0)=0,F( )= ,F(1)=-1
1
因为函数 F(x)连续，在( ,1)中必有一点 k,使得 F(k)=0
2
根据罗尔定理，在（0,k）中至少存在一点 ζ,使得 F’(ζ)=0
即 f’(ζ)=1，得证。
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
设 F(x)=f(x)-x 2 − x
F(0)=F(1)=0
根据罗尔定理，在（0,1）中至少存在一点 ζ,使得 F’(ζ)=0
即 f’(ζ)= 2ζ+1,得证。
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
设函数 f(x)在[0,1]上可导，且 f(1)=0,证明：在（0,1）中至少存在一点
拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何
意义

拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义
f (b) f (a)
ba
从图上看， f 就是在点 C ( , f ( )) 处的切线的斜率，而
表示
过曲线 y f (x) 上两端点 A(a, f (a)) 、 A(b, f (b)) 的直线的斜率，因此（1）表示
0
或 型
0
1
x
e 1
lim
例： lim x(e 1) lim
x
x
x
1
x
1
x
1
x
1
)
1
x 2 lim e x 1
x
1
2
x
e (
掌握洛必达(L’Hospital)法则
∞-∞型
1
1
0
0
0
0
先变成 − 再通分变成 型
0
1∞ ，00 ，∞
0
0
∞
变形为eln1 , eln 0 , eln ∞ 再变型为e∞ln1 , e0ln0 , e0ln ∞
1）在闭区间 [ a , b ] 上连续；
2）在开区间 ( a , b ) 可导．
则在开区间 ( a , b ) 内至少有一点 ，使得
f (b) f (a)
f ( ) ＝
ba
拉格朗日(Lagrange)中值定理
−()

−
证明：设F(x)=f(x) F(b)=F(a)
根据罗尔定理可证。
x x0
x x0
(2) 在点 x 0 的某个空心邻域中， f ' ( x) 和 g ' ( x) 都存在并且 g ' ( x) ≠0，
(3) lim
x x0
则有
f ( x )
＝A (或∞)；

g ( x)
lim
x x0
f ( x)
f ( xLeabharlann )＝ lim＝A (或∞)
g ( x) x x0 g ( x)
2
ζf’(ζ)-2f(ζ)=0,所以 f’(ζ)= f(ζ),得证。
ζ
ζf ′ (ζ )−2f(ζ)
ζ3
=0,
掌握洛必达(L’Hospital)法则
^
定理：设函数 f (x) 与 g (x) 在 N ( x 0 , ) 内可导，且满足下列条件：
(1) lim f (x) ＝0， lim g (x) ＝0，