2014-2015学年高一数学(人教B版必修5)课件2-3-1《等比数列的概念及通项公式》

A．90
B．100
C．145
D．190
[解析] 设公差为d，由题意得a22＝a1·a5， ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， ∴S10＝10×1＋10×2 9×2＝100，故选B.
[答案] B
等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项， 则aa21＋＋aa43＋＋aa190＝________.
此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
易错疑难辨析
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝ 42，求a5、a7的等比中项．
[错解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得
a1＋a1q＋a1q2＝168 a1q－a1q4＝42
，
∴aa11q1＋1－q＋q3q＝2＝42168② ①
[解析] ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)， ∴Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)， 两式相减，得an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2(n≥2)．
∵S2＝2S1＋6＝2a1＋6＝16， ∴a1＋a2＝16，∴a2＝16－a1＝11. ∴a2＋1＝12＝2(a1＋1)． ∴aan＋n＋1＋11＝2(n∈N*)． 又a1＋1＝6， 即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.
4．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝________.
[答案] 32
[解析] 设公比为q，则a4＝a1q3， ∴q3＝aa14＝81＝8，∴q＝2. ∴a6＝a1q5＝25＝32.
课堂典例讲练
8，求an.
等比数列的通项公式 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝
A．2
B．－52
C．2或－2
D. 2或－ 2
[答案] C
[解析] 由题意，得x2＝4， 又∵x是－1和－4的等比中项， ∴x＝±2.
3．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(一个分裂为 两个)，经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成________个？
[答案] 256
[解析] 设逐次分裂后的个数为an，则{an}构成以a1＝2为首 项，q＝2为公比的等比数列，∴an＝2n，经过4小时，共分裂8 次，∴a8＝28＝256，∴这种细菌经过4小时可由1个繁殖成256 个．
递推公式
通项公式
aan－n 1＝________(n≥2)
an＝________
3.等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成________，则G叫做x和y的等比 中项． (2)如果G是x和y的等比中项，那么________，即________．
答案： 1．第2项 同一个常数 公比 q 2．q a1qn－1 3．等比数列 G2＝xy G＝± xy
[正解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵a2－a5＝42，∴q≠1， 由已知，得aa11＋q－a1aq1＋q4＝a1q422＝168 ， ∴aa11q1＋1－q＋q3q＝2＝42168② ①
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由②①得q(1－q)＝14，
[解析] 解法一：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a23＝8， ∴a2＝2. 从而aa11＋a3＝a3＝4 5 ，解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1时，q＝2；当 a1＝4时，q＝12， 故an＝2n－1或an＝23－n.
解法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2.
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， ∴由②除以①，得q(1－q)＝14. ∴q＝12， ∴a1＝12－42124＝96. ∴a6＝a1q5＝96×(12)5＝3. ∵a5、a7的等比中项为a6， ∴a5、a7的等比中项为3.
[辨析] 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽 略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
∴q＝12，
∴a1＝12－42124＝96.
令G是a5、a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a
2 1
q10＝962×(12)10＝9，
∴a5、a7的等比中项是±3.
课后强化作业（点此链接）
等比数列的实际应用
培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种 子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一 代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多 少粒(保留两个有效数字)?
[解析] 由于每代的种子数是它的前一代种子数的120 倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中a1＝120，q ＝120，因此，a5＝120×1204≈2.5×1010.
答：到第五代大约可以得到种子2.5×1010粒．
容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L，然后加满 水，混合溶液后再倒出1 L，又用水加满，如此继续下去，问 第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒出几次后 才可以使酒精浓度低于10%.
[解析] 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1
预习效果展示
1.(2012～2013学年度湖南怀化市第三中＝(
)
A．1
B．3
C．±1
D．±3
[答案] A
[解析] 设公比为q，则a5＝a1q4， ∴q4＝81，∴q2＝9. ∴a3＝a1q2＝19×9＝1.
2．已知－1，x，－4成等比数列，则x的值为( )
成才之路·数学
人教B版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
数列
第二章
2．3 等比数列
第二章
第1课时 等比数列的概念及通项公式
课前自主预习 课堂典例讲练
易错疑难辨析 课后强化作业
课前自主预习
情境引入导学
我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出 门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九 巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几 何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？
代入已知得aa11＋·a1aq1·qa＋ 1q2a＝1q82＝7 ，
即aa31q131＝＋8q＋q2＝7 ，
∴aa11q1＝＋2q＋q22＝7
1
将a1＝2q 代入(1)得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝12.
由(2)得aq1＝＝21
a1＝4 或q＝12
[答案]
13 16
[解析] 由题意知，a3是a1和a9的等比中项， ∴a23＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d， ∴aa21＋＋aa43＋＋aa190＝1136dd＝1136.
等比数列的判定
已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1(n∈ N*)．求证：数列{an}是等比数列．
，以下同解法一．
三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于 64，求这三个数．
[解析] 设这三个数为aq，a，aq 根据已知条件得
aq＋a＋aq＝14 ①
aq·a·aq＝64
②
由②得a＝4，代入①得q＝2或q＝12，
∴这三个数为2,4,8或8,4,2.
等比中项
等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1， a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( )
知能自主梳理
1.等比数列的定义 如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的比都等 于________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的________，公比通常用字母________表示．
2．等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)， 填表：
[解析] ∵Sn＝2an＋1(n∈N*)， ∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， 即aan－n 1＝2(n≥2)．故数列{an}是等比数列．
已知数列{an}的首项 a1＝5，前n项和为Sn, 且Sn＋1＝2Sn＋n ＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列．
－
1 a
.设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓
度是an＋1＝an(1－1a)．所以{an}构成以a1＝1－1a为首项，q＝1－
1 a
为公比的等比数列．所以an＝a1qn－1＝(1－
1 a
)n，即第n次操作
后溶液的浓度是(1－
1 a
)n.当a＝2时，由an＝(
1 2
)n<
1 10
，得n≥4.因