苏教版选修2-2高中数学导数的概念—平均变化率教案

导数的概念—平均变化率
教学目的： 知识与技能：了解曲线的切线的概念
过程与方法：掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．
情感、态度与价值观：并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 。

教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．
教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.
教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：
学生探究过程： 导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.
微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，
一、复习引入：
圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫
二、讲解新课：
１．曲线的切线
切线x O y
如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线 y=f(x)
β
∆x ∆y
Q
M P
x O y
2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法： 因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即
tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x
∆ 我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的
斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.
三、讲解范例：
例1曲线的方程为y =x 2+1，那么求此
曲线在点P (1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.
解：k =x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 2200(1)(1)(1)1(11)lim lim x x f x f x x x
∆→∆→+∆-+∆+-+==∆∆ y=x 2+1
y=2x P(1,2)x O y
200()2lim lim (2)2x x x x x x
∆→∆→∆+∆==∆+=∆ ∴切线的斜率为2.
切线的方程为y －2=2(x －1)，即y =2x .
例2求曲线f (x )=x 3+2x +1在点(1，4)处的切线方程.
解:k =x
f x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆)1()1(lim )()(lim 0000 330(1)2(1)1(1211)lim x x x x
∆→+∆++∆+-+⋅+=∆ 23
053()()lim x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆
20lim[53()]5x x x ∆→=+∆+∆= ∴切线的方程为y －4=5(x －1)，
即y =5x －1
例3求曲线f (x )=3
1x 3－x 2+5在x =1处的切线的倾斜角. 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k =tan α，求出倾斜角α.
解：∵tan α=x
f x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆)1()1(lim )()(lim 0000 32011(1)(1)5(15)3
3lim x x x x
∆→+∆-+∆+--+=∆ 301()3
lim x x x x
∆→∆-∆=∆201lim[()1]13x x ∆→=∆-=- ∵α∈［0，π)，∴α=4
3π. ∴切线的倾斜角为4
3π.
例4求曲线y =sin x 在点(2
1,6π)处的切线方程. 解：k =x
x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆6sin )6sin(lim )6()6(lim 00π
πππ
011cos 2
22lim x x x x ∆→∆+∆-=
∆001cos 1sin lim lim 22x x x x x x ∆→∆→∆-∆=+∆∆
202sin 12lim 22x x x ∆→∆-=+
∆202sin 12lim ()222
()2
x x x x ∆→∆∆=⋅-+∆
110222
=⋅⋅+= ∴切线方程是)6
(2321π-=-x y ， 即2
112323+-=πx y 例5 y =x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.
解：设点P 的坐标(x 0，x 03)
∴斜率3=x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00033000()lim x x x x x ∆→+∆-=∆ 223
00033()()lim x x x x x x x
∆→∆+∆+∆=∆2220000lim[33()]3x x x x x x ∆→=+∆+∆= ∴3x 02=3，x 0=±1
∴P 点的坐标是(1，1)或(－1，－1) 四、巩固练习：
1．已知曲线y =2x 2上一点A (1，2)，求(1)点A 处的切线的斜率.(2)点A 处的切线方程.
解：(1)k =x
x x f x f x x ∆⋅-∆+=∆-∆+→∆→∆2
20012)1(2lim )1()1(lim 4)24(lim )(24lim 02
0=∆+=∆∆+∆=→∆→∆x x
x x x x ∴点A 处的切线的斜率为4.
(2)点A 处的切线方程是y －2=4(x －1)即y =4x －2
2.求曲线y =x 2+1在点P (－2，5)处的切线方程.
解：k =x
x x f x f x x ∆---+∆+-=∆--∆+-→∆→∆1)2(1)2(lim )2()2(lim 2200 4)4(lim )(4lim 02
0-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x
x x x x ∴切线方程是y －5=－4(x +2)，即y =－4x －3.
点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发
五、教学反思 ：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.
六、课后作业：
1. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.
(1)y=－3x +2, x ＝２处 （２）y ＝1
1+x ，x ＝０处． 答案：(1)k=－１２，（２）k=－１。