第一篇 流体力学基础(教案)

第一篇流体力学基础
第一章概述
一、流体力学研究对象
流体力学是力学研究的一个分支。

在研究物体平衡和运动规律的力学中，根据研究的对象不同，一般分为：以受力后不变形的绝对刚体为研究对象的理论力学；以受力后产生微小变形的固体为研究对象的固体力学；以受力后产生较大变形的流体为研究对象的流体力学。

流体力学是研究流体自身的平衡、机械运动以及与固体相互作用的科学。

它研究的对象是流体，包括液体和气体。

流体力学通常是以水作为研究对象的典型代表，故又称其为水力学。

二、流体力学发展概况
我国春秋战国时期和秦代，修建了都江堰、郑国渠和灵渠；古埃及和古印度也修建了大量的水利工程。

因此说流体力学的形成和发展是从水力工程研究开始的。

希腊哲学家阿基米德(公元前287-前212)是最早从事水力学研究的学者，他的著作《论浮体》是最早的水力学著作。

正是从那时起，流体力学开始成为一门独立的学科。

流体力学有两个主要发展途径：一是古典流体力学途径，它运用严密的数学分析，建立流体运动的基本方程，其奠基人是伯努利和欧拉；另一条途径，是运用实验的手段模拟并解决实际工程问题，成功者大多是工程师，以毕托、谢才、文德里、达西等人为杰出代表。

这一时期，由于理论指导不足，仅靠实验，难于解决复杂、系统的工程问题。

进入20世纪以来，全球工业的突飞猛进，极大推动了古典流体力学和水力学的发展，并且使两者走向了融为一体的道路。

这一阶
段的主要成就有：雷诺根据流动状态的实验研究，提出了流动存在着两种状态，及判别流动状态的准则－雷诺数；德国工程师普朗特提出了边界层理论，使纯理论的古典流体力学开始与工程实际相结合，逐渐形成了现代流体力学。

新的分支，如：空气动力学，流变学，电磁流体力学，两相流体力学，高、超音速空气动力学和计算流体力学等等。

三、流体力学应用领域及研究方法
随着流体力学的飞速发展，其理论成就被越来越多地应用到现代工农业生产的各个领域，例如航天工业、造船工业、电力工业、水资源利用、水利工程、核能工业、机械工业、冶金工业、化学工业、采矿工业、石油工业等等，特别是在煤炭工业生产中，无论是矿井通风、排水、水力采煤、水力运输、水力填充、重力选煤，还是采煤机、支护设备和装载机械设备的液压系统等，都以流体力学理论为其最重要的理论基础。

现代流体力学的研究方法依然是理论分析计算与实验研究结果并重。

四、流体及其物理性质
流体的主要物理性质：惯性、流动性、压缩性与膨胀性、粘性、表面张力。

1．流体的特征
流体与固体一样是由分子组成的。

但流体在任何微小的剪切力的作用下都会发生连续的剪切变形—流动。

因此，能够流动的物质称为流体。

流动性是流体的主要特征。

流体分为液体和气体。

液体具有一定的体积，与容纳它的容器
大小无关，有自由表面。

而气体在任何情况下，总要膨胀充满其所占据的空间。

其体积随其占据的空间的体积变化。

２．连续性假设
流体由分子组成，分子之间实际上是不连续的而有间隙，但在自然状态下，分子间距非常小，因此可以把流体看作是一种由无间隙充满空间的质点组成的、连续介质。

流体被看作连续介质后，其物理量在流场中就是连续分布的。

这样既可以用数学解析法来分析流体平衡和运动规律，也为实验研究提供了可能。

3．惯性
惯性是物体所具有的保持原有运动状态的物理性质，它主要取决于物体的质量。

质量愈大，运动状态愈难改变。

1)密度
对于各种不同流体，同体积内的质量一般是不同的，为了表明某种流体的惯性，通常采用单位体积的质量来表示，称它为密度，以ρ表示，则
m
ρ=
V (1-1)
式中ρ-流体的密度，k g/m3；
m-流体的质量，k g；
V-流体的体积,m3。

2)重度
地球表面上的一切流体，都处在地心引力作用下，因此，具有质量的流体也必然具有重力。

由于重力易于称量，在流体力学中又多引用单位体积流体的重力，即重度来表示上述特征。

以γ表示，
则
γ =
V
G (1-2) 式中 γ-流体的重度；N /m 3； G -流体的重量，N ；
V –同前。

因V G γ=,由式(1-1)和式(1-2)得
γ
=g ρ
(1-3)
式中 g -重力加速度，m /s 2。

常取g =9.81m /s 2。

4．压缩性和膨胀性
(1)压缩性：如果温度不变，流体体积随所受压力增大减小的性质称为流体的压缩性。

压缩性的大小一般用压缩系数和体积弹性系数来度量。

温度不变时，单位压力的变化引起的体积的相对变化量称为压缩系数，用p β表示，即
p β=-dP dV
V 1 (1-4) 式中 p β-压缩系数；1/P a ;
-dV 体积增量；m 3
-dP 压力增量；P a
由于当d p 为正值时，d v 必为负值，故上式右端加负号，以使之为正值。

压缩系数的倒数为流体的体积弹性系数：
E =β1
(1-5) 弹性系数E 表示了流体反抗压缩变形的能力。

E 越大表示流体越难压缩。

如表所示20°水的弹性系数很大，压缩系数很小，液体受压变形很小。

其它的液体也是如此。

因此，除特殊流动问题外，一般实际工程中常把液体看成是密度为常量的不可压缩的流体。

(2)膨胀性：如果压力不变，流体的体积随温度的提高而增大的性质称为流体的膨胀性。

膨胀性的大小一般用膨胀系数来度量。

压力不变时，温度的变化引起的体积相对变化量称为膨胀系数，用βt 表示，即
dT dV V t 1=
β (1-6) 式中 βt -膨胀系数；1/K
dT -温度的增量；
5．流体的粘性
著名的英国科学家牛顿在17世纪对流体的粘滞性进行了研究，他指出，流体的内部存在着由粘性引起的剪切应力，其大小与垂直于流体运动方向的速度梯度成正比，
这种在流体层与层之间由于相对运动而产生的内摩擦力以反抗相对运动的性质，叫流体的粘性。

粘性是液体运动时产生阻力的根源，其只存在于液体的内部，即使在相对速度为零的相对平衡情况下，粘性也存在，只是因为没有相对运动，因而它不显现出来；
液体发生相对运动时，粘性使液体产生抵抗运动的应力，但只要液体变形停止，液体对于变形的抵抗也就同时消失。

T =A μdy
du (1-7) 式中T -内摩擦力，N ； μ-比例系数，称为动力粘度系数，帕·秒(P a ·s )
单
位面积上的内摩擦应力τ=A T =μdy du (1-8)
式中 τ-单位面积上的内摩擦应力, P a /M 2。

式(1-8)称为牛顿内摩擦定律。

值得指出的是，此定律不适用于某些特殊的流体如高分子溶液、胶质溶液等。

我们将能够满足牛顿定律的流体称为牛顿流体，如水、空气和油类等。

度量粘性大小的物理量有三个：动力粘度、运动粘度和恩氏粘度。

动力粘度：表征流体动力特性的粘度称为动力粘度，用μ表示。

即
μ=dy du /τ (1-9)
式中μ-动力粘度，P a ·s 。

其物理意义为：动力粘度在数值上等于速度梯度d u /d y =1时的内摩擦应力。

μ值越大，流体流动时阻力越大。

运动粘度：表征流体运动特性的粘度成为运动粘度，用ν表示，
ν
=ρμ (1-10)
式中ν-运动粘度，米2/秒(m 2
/s )； μ、ρ-同前。

从单位上看，运动粘度只包含运动要素，不含动力要素。

它反映了流体运动特性。

运动粘度越小的流体其流动性越好。

实验还表明，流体的动力粘度μ主要与温度有关，而与压力的关系不大。

通常只考虑温度的影响。

一般液体的粘度随温度的升高而减小，而气体的粘性随温度的升高反而增大。

不同温度下水和气体的动力粘度μ和运动粘度υ如表1-2和表1-3所示。

恩氏粘度：工程中还常用恩氏粘度ºE 来表示液体的运动粘度。

恩氏粘度是一个实验值。

测定恩氏粘度的装置叫恩氏粘度仪。

测量时，将200c m 3的被测液体装入容器中，加热至某一温度(通常是50º)并保持恒温。

然后让其靠自重流出 2.8m m 的小孔，记下所需的时间t 1。

然后再测出20º的200c m 3蒸馏水流出同一小孔的时间t 2。

则该液体的恩氏粘度为：
E =2
1t t (1-11) 恩氏粘度是一个无量纲数，它与运动粘度的换算关系为： ν=(0.0732 E -E
︒⋅06310)×10-4 (1-12) 6.表面张力
液体分子间有内聚力(吸引力)，而液体与气体交界的自由表面上，当各个方向上的内聚力不能达到平衡时，分子间就产生了内压
力，液体在其内压力的作用下，力图使自身体积收缩为最小的趋势；表面的液体在内聚力作用下，形成了一层膜，其上所受的张紧力，即为表面张力。

液体与固体接触时，其间有附着力存在。

液体表现附着力强弱不同，有些液体能“润湿”固体，如水、酒精(如图1-3-a)，有些液体则不能，如水银(如图1-3-b)。

在液体内部的内聚力所引起的表面张力和液体与固体间的附着力的共同作用下，使细管中的液体与固体管壁接触处有所上升或下降，这种现象称为毛细管现象。

7．作用在流体上的力
研究流体的运动和平衡规律，除了了解其物理性质外，还需了解作用在流体上的力。

作用在流体上的力有表面力和质量力。

表面力是作用在所研究的流体体积表面上的，它一般有表面切应力(摩擦力)和法向力(压力)。

单位面积上的切应力称为剪切应力，单位面积上的法向力称为压应力。

表面力表现了周围流体对研究流体的相互作用力(内摩擦力和内压力)，以及固体壁面对流体的作用力。

质量力是作用在被研究流体的各个质点上的力，其大小与流体的质量成正比，故称为质量力。

质量力有两种：一是外界物体对流体的吸引力，如地球吸引力等；二是流体作加速运动时产生的惯性力(直线惯性力和圆周加速的离心力)等。

第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体处于静止状态和相对静止状态下的平衡规律及其在工程上的应用的科学。

这里指的静止状态及相对静止状态是说，流体质点与质点间没有相对运动；这样的状态通常也被称为平衡状态或相对平衡状态。

第一节 流体静压力及其特征
一、流体静压力
在匀质的、静止或相对静止的液体中取一部分分离体，如图2-1所示，以S 平面将此分离体分为上下两部分，并去掉上部分。

此时，仍要保持下部分液体的平衡，在平面S 上必须加上原来上部分对下部分的作用力。

假设作用在下部分ΔS 面积上的作用力为ΔP ，则面积ΔS 上的平均流体静压强为
p = S
P ∆∆ (2-1) 当面积ΔS 无限缩小到一点时，静压强 p =0lim →∆S S
P ∆∆ (2-2) 在流体力学中称上述压强为流体的静压力，简称压力,单位P a 。

二、流体静压力的特征
第一特征 静止液体的静压力垂直指向作用面。

第二特征：静止液体中任意一点的压力值大小均相等，与作用面的方位无关。

点的静压力与作用方位无关，其值均相等。

应当指出：根据这一特性，流体中某点的静压力不是矢量，而是一个标量。

三、流体静力学基本方程式
设在一容器中，盛有重度为γ的静止匀质液体，从中取一点A ，其在液面下深度为h ，以A 点为中心取一微小的面积d s ，并作一高度为h 的圆柱体。

如图2-4所示，设液体表面的压力为p 0，A 点的压力为p 。

把此圆柱体从液体中分离出来，为了使圆柱体仍保持平衡，在圆柱体周围将有以下平衡力。

（1） 垂直向上的作用与底面的总压力P =pds ；
（2） 垂直向下的作用与液面上的总压力0P =ds p 0；
（3） 圆柱体的自重dG =hds γ，此力垂直向下；
（4） 圆柱体周围受有水平方向的侧向力。

P + 0P + dG =0 (2-5)
pds -ds p 0 -hds γ =0 (2-6)
p =0p +h γ (2-7)
式中 P -深度为h 处的液体静压力，P a ；
P 0-作用于液面上的压力，P a ；
γ-液体的重度，N /m 3；
h -所研究点与液面之间垂直距离，m 。

这就是流体静力学基本方程式，它说明当流体表面压力为一定时，静止液体中任一点的静压力p ，与其h 深度成正比，也就是水越深压力越高。

1z +γ1p = 2z +γ
2p (2-12) 由于两点是任意选取的，故可将上述关系推广到整个液体，得出具有普遍意义的规律，即
z +γp
=c (常数) (2-13)
式中z ---单位重量液体所具有的位能，又称单位位置势能；
γp
---单位重量液体所具有的压能(称单位压能)；
z +γp
----单位重量液体所具有的势能(液体的总能量)。

在水箱两侧A 、B 位置各连接有一测压管，如图2-5。

两侧压管中的液面在同一高度，并与水箱的液面平齐，1z +γ1
p = 2z
+ 2
p
=H。

即静止液体中各点的测压管高度相等，说明静止液体中任
意一点的单位重量液体所具有的总能量（势能）是相等。

四、等压面
在平衡流体中，压力相等的各点所组成的面，称为等压面。

等压面有两个特征：
1.在平衡的流体中，通过任意一点的等压面，必与该点所受的质量力互相垂直。

2.当两种互不相混的液体处于平衡时，它们的分界面必为等压面。

如果平衡的液体的质量力仅为重力，液面为一水平面。

根据流体静力学基本方程式可知(1)水下任意深度的水平面均为等压面。

(2)在重力作用下平衡的两种不同流体(液体与气体、液体与液体)的分界面，也为等压面。

一般情况下我们把液体与气体的分界面称为自由表面。

显然自由表面也是等压面。

第二节 流体压力的测量
一、压力的测量基准及单位
流体压力的大小的测量有不同的测量基准，一般有绝对压力p 和相对压力p b 。

以绝对真空为测量基准测得的压力称为绝对压力；以大气压力为基准测得的压力称为相对压力。

也称为：计示压力、表压力。

绝对压力只可为正值或零，而相对压力既可以为正值、零，也可以为负值。

绝对压力、相对压力的关系如下：
p =a p +b p (2-14)
当某处的b p <a p 时，p b 为“-”，该处有真空存在，真空的大小用真空度表示，符号p z 。

其值为：
z p =a p p (2-15)
压力的单位
压力的单位有下列三种表示形式：
(1)应力单位
用单位面积上的力表示。

单位为P a 或k P a 。

(2)液柱高度
常用水柱 (m H 2O )和水银高度(m m H g )表示压力的大小。

(3)大气压力
标准大气压(a t m )是在北纬45º海平面上、温度为15º时测定的大气压数值
大气压力与前两种单位的关系是：
1标准大气压(a t m )=101337 P a =10.33m H 2O =760m m H g 2
二、测压计
流体压力的测量仪表有许多种，主要分为以下三类：液柱式、电测式和机械式。

本书只介绍液柱式和金属压力表(机械式)的基本
原理。

1．液柱式测压计
(1)管式测压计
测压管是一根直径不小于5m m 的玻璃直管或“U ”型管，如图2-13所示。

可用来分别测定容器中某点的压力。

如果被测的流体压力较大时，可采用“U ”型管并在管中装入水银，
如果被测的流体为气体，空气的重度可以忽略不计时，
如果“U ”型的另一端与另一个对象相接，就能在“U ”型管上显示出被测对象的压力差
(2)微压计
当测量微小的流体压力时，如仍用前面所讲的压差计，则误差较大，一般可采用倾斜微压计，构造如图2-14所示。

左侧是一断面为S 1圆形玻璃容器，上面有一管口，与被测的对象连通。

右侧是断面积S 2的细管。

b p =θγsin l ’ (2-19) 另一种测量微小压差的微压计如图2-13所示。

将U 型管倒置，在它的上部将比重较小的，并且不能与水混合的液体倒入，然后测量两边的压力差。

2.金属测压计与真空测压计
当需要测量较大的压力时，常用金属测压计(又称金属压力表)。

这种测量仪器具有构造简单，测压范围广，携带方便，量测精度足以满足工程需要等优点，因而在工程中被广泛地采用。

现在常用的有弹簧管压力计，它的工作原理是利用弹簧元件在被动压力作用下产生变形带动指针指示压力。

压力表测出的压强是相对压力，又称为表压力。

习惯上称只测正压力的表叫压力表。

另有一种金属真空计，其结构与压力表相似。

当大气压力进入管中时，指针的指示仍为零，当传递压力介质进入管中时，由于压力小于大气压力，金属管将发生收缩变形，这时指针的指示值为真空值。

常称这种只测负压的表为真空表。

第三节 静止液体对壁面的总压力
在工程实际中，如在确定挡水堤坝、路基、桥墩、闸门及其他水工设施的结构尺寸和强度时，不仅要知道建筑物任意点的压力的大小和分布，而且也要知道建筑物的总压力的大小、方向和作用点。

一、作用在平面上的总压力
在自由表面压力为0p 的静止液体中斜放一平板，并知该平板于水平面的交角为θ。

根据水静力学基本方程式知，平板上各点所受的静水压力因水的深度不同而不同。

因此求总压力必须积分。

设平板的边界为任意形状。

在此板上取一微小的面积d s ，因面积d s 极小，以作用在d s 上的静水压力可视为相等的。

作用在d s 的总压力d P 为：
dP =p ds = (0p +γh )ds (2-24) 式中 p --作用在ds 上的静水压力；
h --d s 重心上的水深，h =αsin y 。

对上式进行积分，便可得出作用在面积S 上的总压力P ： P =
dp S ⎰=dS h p S )(0γ+⎰ =dS y p S )sin (0αγ+⎰
=0p A +α
γsi n ydS S ⎰ (2-25) 由理论力学得知ydS S ⎰是面积S 绕O X 轴的静力矩，它等于总面积S 与面积中心到X 轴的距离Y c 的乘积，即
ydS S ⎰=S y c ⋅ (2-26)
将上式代入则
P =0p s +s y c ⋅αγsin
=0p s +s h c γ N (2-27) 如只考虑液体对此板的作用力则
P =s h c N (2-28) 式中 c h --平面形心(c 点)的水深。

由上式知，作用于受压面上静水总压力等于形心点的压力与受压面面积的乘积，其方向必然垂直指向受压面。

二、总压力的作用点
总压力作用点又称为压力中心。

因为p 0是均匀的作用在S 面上，所以这部分的总压力(p 0s )的作用点在面积s 的重心上。

同时平板的另一侧，一般也受到p 0s 的作用。

因此在计算压力中心的位置时，不考虑此部分的作用的总压力。

D y =S
y I c X (2-32) 将面积S 对o x 轴的惯性矩X I 换算成对通过平面形心c 且平行于o x 轴的轴线的惯性矩c I 。

根据惯性矩对平行轴的定理，X I 可用下式表示
X I =c I +2c sy (2-33) 将上式代入得
D y =c y +S
y I c c (2-34) 式中 c I ---面积S 对通过其形心c 且与x 轴平行的轴的惯性矩。

因为S
y I c c 总大于零，故D y >c y ，说明压力的作用点总是在受压面的形心以下的图形对称轴上。

若受压面水平放置，其压力的作用点与受压面的形心重合。

第三章流体动力学
流体动力学是研究流体运动规律的科学。

内容包括：流体运动学和流体动力学。

前者研究流体运动的方式及速度、加速度、位移等运动物理量；后者研究引起运动的原因及作用力、动量、能量等动力学物理量作用的方法。

第一节流体运动要素和研究流体运动的方法表征流体运动的量，一般有速度、加速度、密度和作用力等，统称为运动要素。

由于流体的运动非常的复杂，各质点间以及质点与容器壁间时时刻刻存在着位移、以及粘性力作用，使得流体动力学的问题不能完全用理论分析的方法来解决。

因此在研究流体动力学问题时，总是先将流体假设为理想液体，待求得运动的基本规律后，补充以实验结果；获得足够接近符合实际的计算公式后，再用以解决工程实际问题、指导实验、并经受实践的检验。

因此我们说：现代流体力学的研究方法是理论探索与实验证明并重的。

在流体动力学中，研究流体运动的方法有两种：一种是欧拉法；研究不同质点通过固定空间点时的运动规律；另一种是拉格朗日法，研究质点在整个运动过程中的运动规律。

欧拉法比较简单，是本章阐述的基础。

第二节流体流动的几个基本概念
一、稳定流动与非稳定流动
(1)稳定流动在充满着运动流体的几何空间中任取一点，如果在不同时间内流体各质点流经此空间点时，其流动要素(流速、压力、密度等)不变的流动称为稳定流动。

(2)非稳定流动如果流体质点流经某空间点时，其流动要素随时间而变化的流动(如图3-1-b所示)称为非稳定流动。

二、迹线、流线
(1)迹线某一流体质点在某段时间内的运动轨迹称为这一流体质点的迹线。

(2)流线流线是流场中某一瞬间的一条空间曲线，在该线上各点的流体质点所具有的速度方向与在该点的曲线的切线方向重合。

在稳定流中，由于通过每一空间点的质点速度不随时间而变，因此流线的形状，在所有时间内都是相同的。

而非稳定流动则不同，在不同时间内的流线形状是不同的。

流线与迹线的区别：首先流线是某一时刻(瞬间)的一条线，而迹线则是在一段时间内的一条线；再则流线上每个空间点都有一个流体质点，因此一条流线上有无数个流体质点；而每条迹线只能是一个流体质点运动的轨迹。

在稳定流中，流线与迹线相重合。

而在非稳定流中，迹线与流线不重合。

流线不能相交。

三、流管、流束及总流
(1)流管在流场中取一段很小的闭合曲线，通过这条封闭曲线上所有点作流线族，这些流线族所围成的管称为流管。

(2)流束充满在流管内部的全部流体称为流束。

断面无穷小的流束称为微小流束。

微小流束的极限为流线。

(3)总流在流动周界内的全部流体称为总流。

按周界的性质不同，总流可分为：有压流如自来水管、矿井排水等；无压流如河流、明渠等；射流如通过孔口、喷咀泄入大气的流动等。

四、过流断面、湿周及水力半径
(1)过流断面垂直于总流的横断面称为总流的过流断面，用“S”表示，其单位为m2，过流断面可以是平面，也可以是曲面。

(2)湿周在总流的某个过流断面上，液体与固体相接触的线称为湿周，用“X”表示,单位m。

(3)水力半径总流的过流断面与湿周的比值称为水力半径，用“R”表示，单位m,即
R =x
s (3-1) 特别指出：水力半径与圆的几何半径是完全不同的两个概念。

五、缓变流与急变流
流体按其流线的几何形状不同分为缓变流和急变流。

1．缓变流
流体的流线接近于直线流动，流线的曲率大和彼此之间的夹角都很小，过流断面接近于平面的流动，称为缓变流。

符合流体静力学的分布规律，即在同一过流断面上，各点的测压管水头相等(z 位置水头、γp
压力水头)，即
c p z =+
γ(常量)
2．急变流 流体的流线之间的夹角很大或曲率很小的流动。

在急变流阶段，流线有明显弯曲，流体各质点除受重力作用外，还受离心力作用，过流断面动压力分布与静压力不同，即使在同一断面，测压管水头也不相等。

六、流量和平均流速
(1)流量 单位时间内通过过流断面的流体称为流量。

以体积表示流体时称为体积流量，用Q 表示，单位m 3
/s 。

以质量表示流体时则称为质量流量，用m Q 表示，单位k g /s 。

(2)平均流速 假设流体以某一速度
v 过过流断面S ，则通过的流量为Q =v S 。

v =S Q =S 1udS s ⎰ (3-4) 式中，v 就称为过流断面上的平均流速；m /s 。

第三节 流动的连续性方程
根据质量守恒定律，匀质流体在流动时，其质量既不能产生，也不能消失，就是说，流体在流场中的流动是连续不断地进行的。

反映这种流体连续不断流动的方程称为流体的连续性方程。

设在稳定流动的流场中取出一微小的流束，其两端的过流断面1及2的面积分别为d s 1、d s 2。

通过的流速分别为u 1、u 2。

显然，在Δt 时间内通过过流断面1的流体体积等于u 1 d s 1Δt ，而通过断面2断面的流体的体积等于u 2d s 2Δt 。

因为微小流束为稳定流，其形状不随时间而变化；流体不能从流管表面流进或流出；流体不可压缩；流体充满整个流动空间呈无间隙的连续流动，因此，根据质量守恒定律，在时间Δt 内，流过两断面的质量是相等的，即
ρ1u 1dS t ∆=ρ2u 2dS t ∆ (3-5) 方程两边消去ρΔt ，得出
1u 1dS =2u 2dS =Q d (3-6) 对3-6式沿整个过流断面积分便得到总流的连续性方程式： ⎰s 1u 1dS =⎰s 2u 2dS =Q
将上式代入平均流速，则
1v 1S =2v 2S =Q (3-7)
式中 Q -体积流量，m 3/s
或
21v v =1
2S S 式3-7为总流的连续性方程式。

分析此方程可以得出：在稳定流中，平均流速与过流断面面积成反比；又因为此方程式不涉及到力的问题，因此其也适用于实际液体。