人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第2课时) 课件
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人教版 数学 九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数/
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
导入新知
22.3 实际问题与二次函数/
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际 问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商 场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 2 限定取值范围中如何确定最大利润
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段
时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销
售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每 月的总利润最多是多少元？
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润 销售量 每月利润（元） （元） （件）
正常销售 10 涨价销售 10+x
180
1800
180-10x y=(10+x)(180-10x)
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元 出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会 导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少 10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销 售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范 围是x ≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800.
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示， 则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大 利润是多少元？
可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数 的简图，利用简图和性质求出.
巩固练习
22.3 实际问题与二次函数/
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,
那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导
致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20
件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500. ∴当x=5时，y最大 =4500 . 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元.
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20).
∴
50k+b=60, 70k+b=20,
解得
k =－2,
b = 160.
∴ y =－2x +160（50≤x≤70）.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70).
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
方法点拨
求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
22.3 实际问题与二次函数/
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要
考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因
此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
x
2
100 (10)
5
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，
此时篮球的售价为70元.
连接中考
22.3 实际问题与二次函数/
某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪 念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1 元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为__1_8_0__件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并 求出最大利润．
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250. ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218. 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218. ∴售价x应在50~70元之间.
解：①当40≤x≤50时，∵Q最大= 1200＜1218，
∴此情况不存在. Q =
60x－1800 ,
（40≤x≤50 ）
－2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得－2(x－55)2 +1250=1218.
Q 1250
基础巩固题
1. 某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某 段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出 （300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定 为 25 元.
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
2. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件， 价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬 衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式 为 y=2000-5(x-100) .每月利润w(元)与衬衣售价 x(元)之间的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以上 关系式只列式不化简）.
o 51 53 55
x
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
巩固练习
22.3 实际问题与二次函数/
某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出， 那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售 量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润 是__x_+_1_0__元，这种篮球每月的销售量是50010x 个(用x的代 数式表示) . (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球 的售价应定为多少元?
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解 答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商 品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：Q与x的函数关系式为：
60x－1800 ,
（40≤x≤50 ）
Q = －2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是
多少元？
解：由题意得
51≤x≤59,
30 (－2 x +160)≥1620.
Q
解得：51≤x≤53.
1242
∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大. ∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242.
涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 涨价销售
20
300 6000
20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
探究新知
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
20
300
6000
降价销售
20-x
300+18x y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即y=-18x2+60x+6000.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200, 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250. ∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定
该商品的售价x的取值范围；
期销售额是 18000 元，销售利润 6000 元.
【数量关系】 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 1 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市 场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才 能使利润最大？
解得x1=51，x2=59.
1218
由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:
当218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
0
51 55 59
x
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款
素养目标
22.3 实际问题与二次函数/
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自 变量的取值范围.
1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过 程中的最大利润问题.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
知识点 利润问题中的数量关系
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖
出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星
虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此
自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
由(1)(2)的讨论及现在
③涨价多少元时，利润最大，是多少的？销售情况,你知道应
即：y=-18x2+60x+6000，
当x
60 2 (18)
5 3
时,
y
18
(
5)2 3
60
5 3
该如何定价能使利润 最大了吗?
6000 6050.
因此令－2(x－55)2 +1250=1218,
解得：x1=51，x2=59.
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件), 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件).
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或
59元，当月的销售量分别为58件或42件.
22.3 实际问题与二次函数/
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
导入新知
22.3 实际问题与二次函数/
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际 问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商 场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 2 限定取值范围中如何确定最大利润
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段
时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销
售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每 月的总利润最多是多少元？
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润 销售量 每月利润（元） （元） （件）
正常销售 10 涨价销售 10+x
180
1800
180-10x y=(10+x)(180-10x)
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元 出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会 导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少 10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销 售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范 围是x ≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800.
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示， 则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大 利润是多少元？
可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数 的简图，利用简图和性质求出.
巩固练习
22.3 实际问题与二次函数/
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,
那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导
致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20
件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500. ∴当x=5时，y最大 =4500 . 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元.
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20).
∴
50k+b=60, 70k+b=20,
解得
k =－2,
b = 160.
∴ y =－2x +160（50≤x≤70）.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70).
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
方法点拨
求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
22.3 实际问题与二次函数/
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要
考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因
此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
x
2
100 (10)
5
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，
此时篮球的售价为70元.
连接中考
22.3 实际问题与二次函数/
某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪 念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1 元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为__1_8_0__件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并 求出最大利润．
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250. ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元.
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218. 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218. ∴售价x应在50~70元之间.
解：①当40≤x≤50时，∵Q最大= 1200＜1218，
∴此情况不存在. Q =
60x－1800 ,
（40≤x≤50 ）
－2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得－2(x－55)2 +1250=1218.
Q 1250
基础巩固题
1. 某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某 段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出 （300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定 为 25 元.
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
2. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件， 价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬 衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式 为 y=2000-5(x-100) .每月利润w(元)与衬衣售价 x(元)之间的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以上 关系式只列式不化简）.
o 51 53 55
x
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
巩固练习
22.3 实际问题与二次函数/
某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出， 那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售 量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润 是__x_+_1_0__元，这种篮球每月的销售量是50010x 个(用x的代 数式表示) . (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球 的售价应定为多少元?
探究新知
22.3 实际问题与二次函数/
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解 答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商 品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：Q与x的函数关系式为：
60x－1800 ,
（40≤x≤50 ）
Q = －2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是
多少元？
解：由题意得
51≤x≤59,
30 (－2 x +160)≥1620.
Q
解得：51≤x≤53.
1242
∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大. ∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242.
涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 涨价销售
20
300 6000
20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
探究新知
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
20
300
6000
降价销售
20-x
300+18x y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即y=-18x2+60x+6000.
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22.3 实际问题与二次函数/
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200, 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250. ∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
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22.3 实际问题与二次函数/
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定
该商品的售价x的取值范围；
期销售额是 18000 元，销售利润 6000 元.
【数量关系】 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
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22.3 实际问题与二次函数/
素养考点 1 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市 场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才 能使利润最大？
解得x1=51，x2=59.
1218
由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:
当218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
0
51 55 59
x
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22.3 实际问题与二次函数/
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款
素养目标
22.3 实际问题与二次函数/
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自 变量的取值范围.
1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过 程中的最大利润问题.
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22.3 实际问题与二次函数/
知识点 利润问题中的数量关系
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖
出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星
虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此
自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
由(1)(2)的讨论及现在
③涨价多少元时，利润最大，是多少的？销售情况,你知道应
即：y=-18x2+60x+6000，
当x
60 2 (18)
5 3
时,
y
18
(
5)2 3
60
5 3
该如何定价能使利润 最大了吗?
6000 6050.
因此令－2(x－55)2 +1250=1218,
解得：x1=51，x2=59.
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件), 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件).
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或
59元，当月的销售量分别为58件或42件.