河南省新乡市辉县市第二高级中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理.doc

河南省新乡市辉县市第二高级中学2021-2022高二数学下学期期中试
题 理
第I 卷（选择题)
一、单选题（共12小题，每小题5分，计60分） 1．已知复数21i
z i
+=-，则z 的虚部是（ ） A ．32
-
B ．i -
C ．
32 D ．32i 2．设函数()f x 在1=x 处存在导数为2，则0(1)(1)
lim
3x f x f x
∆→+∆-=∆（ ）. A ．23 B ．6 C ．13 D ．12
3．如右图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（ ） A ．13 B ．39 C ．48
D ．58
4．已知曲线3
y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（ ） A ．-1
B ．±1
C ．1
D ．3±
5．已知f （x ）＝cos 2x +e 2x ，则f ′（x ）＝（ ） A ．-2sins 2x +2e 2x
B ．sin 2x +e 2x
C ．2sin 2x +2e 2x
D ．-sin 2x +e 2x
6．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ） A ．720 B ．360
C ．240
D ．120
7．
1220
1x dx -=（ ）
A ．
12
π
B ．
3
12π+
C ．
3
6π+
D ．
3
6π+
8．10
1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中4x 的系数是（ ） A ．210- B ．120-
C ．120
D ．210
9．如图，一环形花坛分成,,,
A B C D四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．12 B．24 C．18 D．6
10．若多项式()
210
01
1
x x a a x
+=++()()
910
910
11
a x a x
+++++，则9a=（）
A．9 B．10 C．-9 D．-10
11．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数
12
12
1
1
+
+
中的“…”代表无限次重复，设
12
12
1
1
x=
+
+
，则可以利用方程12
1
x
x
=
+
求得x 333=（）
A．2 B．3 C．4 D．6
第II卷（非选择题)
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．曲线2
3()e x
y x x
=+在点(0,0)处的切线方程为___________．
14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2
(2,)(0)
Nσσ>，若ξ在(0，4)内取值的概率为0.6，则ξ在(0，+∞)内取值的概率为__________
15．已知随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4)2i
P X i i a
==
=，则(24)P X <≤等于________. 16．设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数， ()20f -=，当0x >时，
()()0xf x f x '-<，则不等式()0f x >的解集为______________.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．（本题10分）复数(1)(1)()z m m m i m R =-+-∈. （Ⅰ）实数m 为何值时，复数z 为纯虚数； （Ⅱ）若m =2，计算复数1z
z i
-+．
18．（本题12分）（1
（2）设x ，y 都是正数，且x+y ＞2证明：12x y +＜和12y
x
+＜中至少有一个成立．
19．（本题12分）设()13
ln 122
f x a x x x =+-+，曲线()y f x =在点()()
1,1f 处取得极值. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间和极值.
20．（本题12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，
且乙投球2次均未命中的概率为.
（Ⅰ）求乙投球的命中率
；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
21．（本题12分）已知a ∈R，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围．
22．（本题12分）实验中学从高二级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题。

已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为2
3
，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率；
（2）分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数的期望(),()E X E Y 和方差()D X 、()D Y ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？
理科数学答案
1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．B 8．B 9．C 10．D 11．C 当n=k 时，等式左端=1+2+…+k 2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k 2+k 2+1+k 2+2+…+（k+1）2，增加了项（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）2
．故选：C ．
12．B 解：依题意可设x =，解得3x =， 13．30x y -= 14．0.8 15．
7
10
16．(),2(0,2)-∞-⋃ 17.解：（1）欲使z 为纯虚数，则须()10m m -=且10m -≠，所以得0m = ……..5分 （2）当m=2时，z=2+i ,z =2-i ,故所求式子等于221i i i +--+=11
22
i - ……..10分
18．解：（1）∵22-
=（-（）
=0，
分
（2）假设12x y +＜和12y x +＜都不成立，即1x y +≥2且1y
x
+≥2， ∵x，y 都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x， ∴1+x+1+y≥2x+2y，
∴x+y≤2，这与已知x+y ＞2矛盾，
∴假设不成立，即12x y +＜和12y
x
+＜中至少有一个成立．…………..12分 19． 解：（1）因为()13ln 122f x a x x x =+
-+，故可得()213
22
a f x x x '=--，……..2分 又因为()10f '=，故可得20a -=，解得2a =. ……..5分 （2）由（1）可知，()()()()2
31113
21,222x x f x lnx x f x x x --=+
-+-'=，……..6分
令()0f x '=，解得121
,13
x x =
=，……..7分 又因为函数定义域为()0,+∞，
故可得()f x 在区间⎪⎭⎫ ⎝
⎛310，和()1,+∞单调递减，在区间1,13
⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增. ……..10分
故()f x 的极大值为()10f =；()f x 的极小值为12233f ln ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.……..12分 20．解：（I ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得2
2
1
(1())(1)16
P B p -=-=
……………2分 解得34p =
或5
4
（舍去）， ……………3分 所以乙投球的命中率为
3
4
. ……………4分 （II ）由题设知（I ）知1()2P A =
，1()2P A =，3()4P B =，1()4
P B =， ξ可能取值为0,1,2,3 …………..5分
故2111(0)()()()2432
P P A P B B ξ==⋅=
⨯=， 1
2(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117
()22444232
=
⨯+⨯⨯⨯=， 2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=
15
(2)1(0)(1)(3)32
P P P P ξξξξ==-=-=-==
……………9分 ξ的分布列为
……………10分
17159
0123232323232
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= ……………12分 21． 解：（1）a=2时，f （x ）=（﹣x 2
+2x ）•e x
的导数为f′（x ）=e x
（2﹣x 2
），…………1分 由f′（x ）＞0
＜x
， 由f′（x ）＜0，解得x
x
即有函数f （x
，
，+∞），
． ……………5分
（2）函数f （x ）=（﹣x 2+ax ）•e x 的导数为f′（x ）=e x [a ﹣x 2+（a ﹣2）x]，………6分 由函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，则有f′（x ）≥0在（﹣1，1）上恒成立，……7分
即为a ﹣x 2
+（a ﹣2）x≥0，即有x 2
﹣（a ﹣2）x ﹣a≤0， ………8分 则有1+（a ﹣2）﹣a≤0且1﹣（a ﹣2）﹣a≤0， 解得a≥
3
2
． …………11分 则有a 的取值范围为[
3
2
，+∞）． …………12分 22．解：（1）甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率3
3436283135
C P C ⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭…3分
（2）甲班级能正确回答题目人数为X ，X 的取值分别为1,2,3 ………4分
122130424242333
666131
(1),(2),(3)555
C C C C C C P X P X P X C C C ========= ……7分 则131
()1232555
E X =⨯
+⨯+⨯=， ………8分 2221312
()(12)(22)(32)5555
D X =-⨯+-⨯+-⨯= …… 9分
乙班级能正确回答题目人数为Y ，Y 取值分别为0,1,2,3
22~3,,()3233Y B E Y ⎛⎫
∴=⨯= ⎪⎝⎭
，212()3333D Y =⨯⨯= ………11分
由()(),()()E X E Y D X D Y =<可得，由甲班级代表学校参加大赛更好. ………12分。