中考数学复习二次函数与方程(不等式)综合练习题(附答案)

二次函数与方程（不等式）综合练习题
一、单选题
1.抛物线2
(0)y ax bx c a =++<如图所示，则关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）
A.2x <
B.3x >-
C.31x -<<
D.3x <-或1x >
2.对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点如果二次函数22y x x c =++c 有两个相异的不动点12,x x ，且121x x <<，则c 的取值范围是( ) A.3c <-
B.2c <-
C.14
c <
D.1c <
3.一次函数5y ax a =+（0a ≠）与二次函数2
2y x x b =+-(0)b ≠交于x 轴上一点，则当
23x -≤≤时二次函数22(0)y x x b b =+-≠的最小值为( )
A.15
B.-15
C.-16
D.0 4.二次函数2
1y x bx =+-的图象如图,对称轴为直线1x =.若关于x 的一元二次方程
2210x x t ---=(t 为实数)在14x -<<的范围内有实数解,则t 的取值范围是( )
A.2t ≥
B.27t -≤<
C.22t -≤<
D.27t <<
5.“如果二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴有两个公共点,那么一元二次方程2
ax bx c ++=有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若,()m n m n <是关于x 的方程
1()()0x a x b ---=的两根,且a b <,则,,,a b m n 的大小关系是( )
A.m a b n <<<
B.a m n b <<<
C.a m b n <<<
D.m a n b <<<
6.如图，抛物线2()0y ax bx c a +≠+=的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，其部分图象如图所示，下列结论：
①24ac b <；
②方程20ax bx c +=+的两个根是1213x x =-=，； ③30a c +>；
④当0y >时，x 的取值范围是13x -≤<； ⑤当0x <时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的个数是( ) A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
7.二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①0a < ②0b < ③0c > ④420a b c ++= ⑤20b a +=⑥ 042>-ac b 其中正确的个数是( ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
8.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,关于x 的方程2(0)ax bx c m m ++=>有两个实数根,()αβαβ<,则下列选项正确的是( )
A.31αβ-<<<
B.31αβ-<<<
C.31αβ<-<<
D.3α<-和1β>
9.二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是( )
A.30x -<<
B.3x <-或0x >
C.3x <-
D.03x <<
10.如图，抛物线()2
11112
y x =
++与()2243y a x =--交于点3(1)A ,
，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B C ,两点，且D E ,分别为顶点则下列结论:①2
3
a =
；②AC AE =；③ABD △是等腰直角三角形；④当1x >时，12y y >，其中正确结论的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点,M N 的坐标分别为()()1,2,2,1-，若抛物线
()220y ax x a +-=≠与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）
A ．11143a a ≤-≤<或
B ．1143
a ≤< C ．1143a a ≤
>或 D ．1
14
a a ≤-≥
或 12.二次函数2y x mx =-+的图象如图，对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A.5t >﹣
B.53t -<<
C.34t <≤
D. 54t -<≤
13.在平面直角坐标系中，已知函数2221231,2,4y x ax y x bx y x cx =++=++=++，其中,,a b c 是正实数，且满足2b ac =.设函数123,,y y y 的图象与x 轴的交点个数分别为123M M M ，，，( ) A.若122,2M M ==，则30M = B.若121,0M M ==，则30M = C.若120,2M M ==，则30M =
D.若120,0M M ==，则30M =
14.二次函数2
(2)3y x a x =+-+的图象与一次函数(12)y x x =≤≤的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是( )
A ．3a =±12a -≤<
C.3a =+122a -
≤< D.3a =-1
12
a -≤<- 二、解答题
15.如图，二次函数24y x x m -=+的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点0(1)A ，
及点B ．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足24kx b x x m -+≥+的x 的取值范围．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P 使得PA PC +最小，求P 点坐标及最小值．
16.如图.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
24y mx mx m =-++与y 轴交于点()0,3A ，与x
轴交于点,B C (点B 在点C 左侧). (1)求该抛物线的解析式及点,B C 的坐标;
(2)抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点2()1,E --，求直线DE 的解析式;
(3)在(2)的条件下，已知点(),0P t ，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方.直接写出t 的取值范围.
三、填空题
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
3y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平 行的直线交抛物线2
13
y x =
于点,B C ，则BC 的长为 .
18.如图，直线y mx n =+与抛物线2y ax bx c =++交于(1,),(4,)A p B p -两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是___________.
19.如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为()2,0，若抛物线2
12
y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .
20.抛物线2
3(0)y ax bx a =++≠过(4,4),(2,)A B m 两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足01d <≤，则实数m 的取值范围是 .
21.如图,抛物线2
y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -.则方程
2ax bx c =+的解是 .
22.抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过(2,0)A ，(4,0)B -两点.下列四个结论： ①一元二次方程20ax bx c ++=的根为122,4x x ==-； ②若点()()125,,π,C y D y -在该抛物线上，则12y y <； ③对于任意实数t ，总有2at bt a b +-；
④对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则p 的值只有两个.
其中正确的结论是_________（填写序号）.
23.如图，抛物线2
y ax bx c =++ (,,a b c 是常数，0a ≠)与x 轴交于A B ，两点，顶点(,)P m n .给出以下结论： ①20a c +<; ②若13(,)2y -
，21(,)2y -，31
(,)2
y 在抛物线上，则123y y y >>； ③关于20ax bx k ++=有实数解，则k c n >-； ④当1
n a
=-
时，ABP △为等腰直角三角形. 其中正确的结论是________ (填写序号）.
参考答案
1.答案：C
解析：∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴的交点坐标为(3,0)-，(1,0)
∴关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是31x -<<，故选C 2.答案：B
解析：由题意知12x x 、是方程22x x c x ++=的两个实数根，且121x x <<，整理得20x x c ++=， 24140
110b ac c c ⎧∆=-=->⎨
++<⎩
，解得2c <-，故选B. 3.答案：C
解析：一次函数5y ax a =+（0a ≠）与二次函数22y x x b =+-(0)b ≠交于x 轴上一点
∴把0y =代入得05ax a =+，解得5x =- ∴交点为(5,0)-
代入22y x x b =+-得02510b =--，解得15b =
∴二次函数为2215y x x =+-
二次函数2215y x x =+-对称轴为2
121
x =-
=-⨯ ∴当23x -≤≤时，1x =-时，min 121516y =--=-，故选C.
4.答案：B
解析：抛物线的对称轴直线12
b
x =-
=，解得2b =-， 所以抛物线解析式为2
21y x x =--，则顶点坐标为(1,2)-， 当1x =-时，2
212y x x =--=； 当4x =时，2217y x x =--=，
而关于x 的一元二次方程2210x x t ---=(t 为实数)在14x -<<的范围内有实数解可看作二次函数2
21y x x =--与直线y t =有交点, 所以27t -≤<. 故选B. 5.答案：A
解析：依据题意，画出函数()()y x a x b =--的图象，如图所示.
函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为,()a b a b <. 方程1()()0x a x b ---=, 转化为()()1x a x b --=，
方程的两根是抛物线()()y x a x b =--与直线1y =的两个交点.
<，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n.
由m n
<;在对称轴右侧，y随x增大由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m a
<.
而增大，则有b n
<<<.
综上所述，可知m a b n
故选:A.
6.答案：B
解析：从题图中可知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为直线1x =-与x 轴的一个交点坐标是(1,0)，∴与x 轴的另一 个交点坐标是(3,0)-，∴2ax bx c m ++=的根可以看作二次函 数
2y ax bx c =++图象与直线y m =的交点的横坐标，如图，可知3α<-和1β>.
9.答案：A
解析：根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x 的取值范围即可． 解：由图可知，30x -<<时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是30x -<<． 故选：A. 10.答案：C
解析：抛物线()2
243y a x =--过点()1,3A ，393a ∴=-，解得，故①正确；
由题意可知3(4)E -,，AE ∴=
，
点3(1)A ,
、C 关于直线4x =对称，3()7C ∴,，6AC ∴=，故AC AE ≠，故②错误； 易得点D 的坐标为(11)
-,，由抛物线的对称性可知，AD BD =，()33B -,，
又
11()D -,，4AB ∴=，AD BD ==，222AD BD AB ∴+=，
ABD ∴△是等腰直角三角形，故③正确；
两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则()21211x ++()2
2433
x =--，解得11x =，237x =，所以当137x <<时，12y y >.
11.答案：A
解析：
抛物线的解析式为22y ax x =-+．
观察图象可知当0a <时，1x =-时，2y ≤时，满足条件，即32a +≤，即1a ≤-； 当0a >时，2x =时，1y ≥，且抛物线与直线MN 有交点，满足条件，
14
a ∴≥
， 直线MN 的解析式为15
33
y x =-+，
由215332y x y ax x ⎧
=-+⎪⎨⎪=-+⎩
消去y 得到，23210ax x -+=，
0∆>，
13
a ∴<
， 11
43
a ∴≤<满足条件， 综上所述，满足条件的a 的值为11143
a a ≤-≤<或，
故选：A ．
12.答案：D 解析：如图，
二次函数2y x mx =-+的对称轴为2x =，
()
221m ∴-=⨯-解得4m =， ∴二次函数解析式为24y x x =-+，
∴当1x =时，143y =-+=，
当5x =时，2520 5.y =-+=-
由图象可知关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，直线y t =在直线5y =-和直线4y =之间，包括直线4y =，所以54t -<≤.故选:D
13.答案：B
解析：本题考查抛物线与x 轴的交点、一元二次方程的根的判别式.选项A ，因为12M =，
22M =，所以224,8a b >>.因为2b ac =，设46a b ==，，则9c =，此时24140c -⨯⨯>，所以
32M =，故选项A 不正确；选项B ，因为121,0M M ==，所以224110,4120a b -⨯⨯=-⨯⨯<，所
以2a =（舍负），28b <.因为2b ac =，所以212
c b =，此时2414144c b -⨯⨯=-()()()4221116648844
b b b =-=+-.因为28b <，20b >，所以()()2218804
b b +-<，所以241
c -⨯⨯340,0M <=，故选项B 正确；选项C ，因为10M =，22M =，所以224,8a b <>.因为2b ac =，设1a =，3b =，则9c =，此时24140c -⨯⨯>，所以
32M =，故选项C 不正确；选项D ，因为120,0M M ==，所以224,8a b <<.因为2b ac =，设
12a b ==，，则4c =，此时24140c -⨯⨯=，所以31M =，故选项D 不正确，故选B.
14.答案：D
解析：二次函数2
(2)3y x a x =+-+的图象与一次函数(12)y x x =≤≤的图象有且仅有一个交点，可转化为方程2(3)30x a x +-+=在12x ≤≤上有且只有一个解
（1）当0∆=时，即2(3)120a --=，所以3a =±
①当3a =+2
30x ++=
解得12x x ==
②当3a =-时，方程230x -+=
解得12x x =
（2）当0∆>时，令2(3)3y x a x =+-+
令1x =，则1331y a a =+-+=+
令2x =，则42(3)321y a a =+-+=+，
则(1)(21)0a a ++≤，解得112a -≤≤-
①当1a =-时，令2430y x x =-+=，解得121,3x x ==，符合题意. ②当12a =-时，令27302y x x =-+=，解得1232,2x x ==，不符题意，故12
a ≠- 所以112a -≤≤-
综上所述，当3a =-或112a -≤≤-
时满足题意.故选D. 15.答案：(1)抛物线24y x x m =-+经过点0(1)A ,，
014m ∴=-+，3m ∴=，
∴抛物线解析式为243y x x =-+，
∴点C 坐标(0)3,，
对称轴2x =，B C ,关于对称轴对称，
∴点B 坐标(4)3,，
y kx b =+经过点A B ,，
043k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩
， ∴一次函数解析式为1y x =-；
(2)由图象可知，满足24kx b x x m +≥-+的x 的取值范围为：14x ≤≤；
(3)存在，
点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，
∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，
则PA PC +最小值AB =，
AB ∴=
把2x =代入1y x =-得，1y =，
1()2P ∴,，PA PC +最小值=
解析：
16.答案：(1)抛物线2
24y mx mx m =-++与y 轴交于点()0,3A ， 4 3.m ∴+=
1.m ∴=-
∴抛物线的表达式为22 3.y x x =-++.
抛物线2
23y x x =-++与x 轴交于点,B C ， ∴令0y =，即2230.x x -++=
解得121, 3.x x =-= 又点B 在点C 左侧，
∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0);
(2)2223(1)4y x x x =-++=--+
∴抛物线的对称轴为直线1x =.
抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，
∴点D 的坐标为(1,0).
直线y kx b =+经过点(1,0)D 和点(1,2)E --，
02.k b k b +=⎧∴⎨-+=-⎩解得11.
k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线DE 的表达式为1y x =-;
(3)如图，当P 点在,D B 两点之间时，,M N 都在x 轴上方，
∴点,M N 至少有一个点在x 轴下方的t 的范围为:1t <或3t >.
解析：
17.答案：6
解析：∵抛物线2
3y ax =+与y 轴交于点A ,∴A 点坐标为()0,3. 当3y =时,2133
x = ,解得3x =±. ∴B 点坐标为()3,3﹣,C 点坐标为()3,3.
(3)36BC ∴-=-=.
18.答案：1x <-或4x >
解析：由函数图象可知，在点A 的左侧和点B 的右侧，一次函数的函数值都大于二次函数的函数值.(1,),(4,)A p B p -，∴关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是1x <-或4x >.
19.答案：122
k -<< 解析：由图可知，45AOB ∠=°,∴直线OA 的解析式为y x =，联立212
y x y x k =⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得22220,(2)4120x x k k -+=∆=--⨯⨯=，解得12k =，即12k =时，抛物线与OA 有一个交点，该交点的横坐标为 1.点B 的坐标为()2,0,2,AO ∴=∴点A
的坐标为，∴交点在线段AO 上;当抛物线经过点(2,0)B 时，合1402
k ⨯+=，解得2k =-.∴要使抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是122
k -<<. 20.答案：3m ≤或4m ≥
解析：把(4,4)A 代入抛物线23y ax bx =++得：16434a b ++=
1641a b ∴+=，144
a b ∴+= 对称轴2b x a
=-，(2,)B m ，且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足01d <≤ 02()12b a ∴<--≤，4012a b a
+∴<≤，118a ∴≤ 18a ∴≥或18
a ≤- 把(2,)B m 代入23y ax bx =++得：423a
b m ++=
2(2)3a b m ++=
12(24)34
a a m +-+= 784
m a ∴=- 71848m ∴-≥或71848
m -≤- 3m ∴≤或4m ≥，故答案为3m ≤或4m ≥.
21.答案：122,1x x =-= 解析：抛物线2
y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -，
∴方程组2y ax y bx c
⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩或2211x y =⎧⎨=⎩， 即关于x 的方程20ax bx c --=的解为122,1x x =-=.
22.答案：①③
解析：本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系.抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过(2,0),(4,0)A B -两点，∴当0y =时，方程20ax bx c ++=的两个根为122,4x x ==-，故①正确；该抛物线的对称轴为2(4)12
x =+-=-，函数图象开口向下，若点()()125,,π,C y D y -在该抛物线上，则12y y >，故②错误；当1x =时，函数取得最大值a b c -+，
故对于任意实数t ，总有2at bt a b +-，即对于任意实数t ，总有2at bt a b +-，故③正确；对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则两个根为3-和1或2-和0或1-和1-，故p 的值有三个，故④错误，故正确的结论是①③.
23.答案：②④ 解析：①由图像知对称轴122
b x a =-<，且开口向上可知0a >，所以a b >-. 当1x =-时，由图像知0y >，所以0a b
c -+>，
所以0a a c a b c ++>-+>，所以20a c +>，故①错误； ②若13(,)2y -，21(,)2y -，31(,)2
y 在抛物线上，由图像可知123y y y >>.故正确； ③若抛物线与直线y t =有交点，即2y ax bx c y t
⎧=++⎨=⎩有解，所以2ax bx c t ++=有解， 所以直线y t =一定过点P 或在点P 上方，所以t n ≥.
因为关于x 的方程20ax bx k ++=有实数解，所以2ax bx c c k ++=-有实数解. 即抛物线2
y ax bx c =++与直线y c k =-有交点
即直线y c k =-一定过点P 或在点P 上方，
所以c k n -≥，所以k c n ≤-，故③错误；
④如图所示，连接,PA PB ,设对称轴交x 轴于点H
2414ac b n a a
-==-，244b ac ∴-=即0∆>。

抛物线与x 轴交点横坐标222b b x a a --±=
= 因为B 在A 左侧，所以22(
,0),(,0)22b b B A a a ---+ 所以22222A B b b AB x x a a a -+--=-=-= 因为1n a =-，所以110()H P PH y y a a
=-=--= 所以2AB PH =
由对称性可得12AH BH AB ==,所以12
AH BH PH AB === 由三角形一边上的中线等于这条边的一半知PAB △是直角三角形. 因为PA PB =,所以PAB △是等腰直角三角形.故正确.故填②④.。