甘肃省张掖市临泽县第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题(解析版)

临泽一中2018-2019学年第二学期期末试卷
高二文科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知i 为虚数单位，则复数5
12i
=+（ ） A. 2i + B. 12i --
C. 1-2i
D. 2i -
【答案】C 【解析】 【分析】
由复数的除法运算化简求解即可
【详解】
()()()
512512121212i i i i i -==-++- 故选C
【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，是基础题
2.设集合{}
2
60A x x x =--≥，集合{}01
234B =，，，，，则A B I =（ ）.
A. {}4
B. {}34，
C. {}234，
， D. {}0,1
234，，， 【答案】B 【解析】 【分析】
由集合的交集运算得解
【详解】{
}{
}
2
|60|32A x x x x x x =--=≤-或厖
，由此{3,4}A B ⋂=，故选B ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题． 3.双曲线2
2
941y x -=的渐近线方程为（ ） A. 4
9
y x =±
B. 94
y x =±
C. 23
y x =±
D. 32
y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得a 、b 的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．
【详解】根据题意，双曲线22941y x -=的标准方程为22
1
11
94y x -=， 其焦点在y 轴上，且13a =，1
2b =， 则其渐近线方程为2
3
y x =±；
故选C ．
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题
4.已知直线1y kx =-与圆22
230x y y ++-=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）
A. 2
B. 4
C. D. 与k 的取值有关
【答案】B 【解析】 【分析】
由圆的方程可得圆心为（0，-1）,半径r=2，直线恰好过圆心，可得|AB|=2r. 【详解】由圆2
2
230x y y ++-=，得圆心（0，-1），半径r ＝2， 又直线1y kx =-恒过圆心（0，-1）， 则弦长|AB|=2r=4， 故选B ．
【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，考查直线过定点问题和弦长问题，属于简单题. 5.等差数列{}n a 的公差为1，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =（ ） A. 110 B. 90 C. 55 D. 45
【答案】C 【解析】 【分析】
由248a a a ，，成等比数列，所以()()()2
11137a d a d a d +=++ ，又1d = ，解得：1a ，再利用求和公式即可得出．
【详解】解：∵248a a a ，， 成等比数列，
∴2
428a a a =，可得()()()2
11137a d a d a d +=++ ，又1d = ，
化简得：1101,10a a == ， 则{a n }的前10项和()101101055.2
S +⨯== ．
故选C ．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.若4
sin()6
5
x π
-=
，则sin(2)6x π+的值为（ ）
A.
725
B. 7
25- C. 2425
D. 24
25
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据诱导公式化简sin(2)6
x π
+，再根据二倍角余弦公式得结果.
【详解】∵4sin()6
5
x π
-
=
，∴2327sin(2)cos 212sin 16362525x x x πππ-⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力,属基础题.
7.记[]m 表示不超过m 的最大整数.若在11
(,)82
x ∈上随机取1个实数，则使得2[log ]x 为偶数的概率为（ ） A.
23
B.
12
C.
13
D.
14
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意得到[
)2log 2,1x ∈--.所以11,
42x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，再由几何概型的长度模型得到结果. 【详解】若11,
82x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2log 3,1x ∈--.要使得[]2log x 为偶数，则[)2log 2,1x ∈--.所以11,42x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，
故所求概率
11
2
24
113
28
P
-
==
-
.
故答案为A.
【点睛】本题考查了对数不等式的解法，以及几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
8.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）
A.
3
6
B.
3
C.
3
D.
1
3
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过三视图找到几何体原图，再利用锥体的体积公式求体积.
【详解】
由题得几何体是如图所示的正四棱锥，底面是边长为1的正方形，斜高PH=PG=1,
所以几何体的高为2213
1()2-=
. 所以几何体的体积为2133
1=
3V =⨯⨯（）. 故选A
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.函数()ln x
f x x
=
的大致图象为（ ） A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
首先利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，再根据1x >时，()0f x >，即可得出结果. 【详解】由()ln x
f x x
=
，定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 又()()ln x
f x x x
f -=
=---，所以函数为奇函数，故排除B 、C ， Q 1x >时，∴()ln 0x
f x x
=
>，故排除D ， 故选：A
【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的应用，属于基础题. 10.将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6
π
个单位长度可得函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则||ϕ的最小值为（ ） A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 【答案】A
【分析】
求出平移后函数解析式，由图象关于原点对称，即函数为奇函数，结合诱导公式可得ϕ，从而得出结论． 【详解】平移后解析式为()cos[2()]cos(2)6
3
g x x x π
π
ϕϕ=-
+=-
+，其图象关于原点对称，则
,3
2
k k Z π
π
ϕπ-
=+
∈，56k πϕπ=+
，k Z ∈，易知ϕ最小时6
π
ϕ=-．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的奇偶性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量x 而言．
11.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数
()1
x g x e
--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）
的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解. 【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-， 可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称， 函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，
函数()y f x =的图像与函数()1
x g x e
--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，
可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称， 则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4.
【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.
12.在三棱锥D-ABC 中，AC=BC=BD=AD=
CD ，并且线段AB 的中点O 恰好是其外接球的球心.若该三
） A. 64π B. 16π
C. 8π
D. 4π
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意先求出AB 与AD 关系，取OC 中点为E ，进而确定DE OC ⊥，求出DE 的长，即是三棱锥的高，再由三棱锥的体积求出外接球半径，即可求出外接球的表面积.
【详解】设外接球半径为R ，因为线段AB 的中点O 恰好是其外接球的球心，所以OB=OC=OD ，
由BD=AD 可得OD OB ⊥，所以AC BC AD BD =====，所以CD R =， 所以OCD n 为等边三角形；
又AB OC ⊥，AB OD ⊥，所以AB ⊥平面OCD ，所以平面ABC ⊥平面OCD ；
取OC 中点为E ，连结DE ，则DE OC ⊥，故DE ⊥平面ABC ，所以DE 为三棱锥D-ABC 的高，
又在等边三角形OCD n 中，DE 22
OC R =
=，
所以3D ABC 111DE 2332ABC V S R R -=
=⨯⨯⨯==
n n 三棱锥，解得2R =， 所以2
416S R ππ==球. 故选B
【点睛】本题主要考查棱锥外接球的表面积，根据题意求出球的半径，即可求解，属于常考题型.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知12,e e u r u u r
是夹角为60°
的两个单位向量，若向量1223a e e =-r u r u u r ，则a =r ______.
【解析】
由题意可得22121,1e e ==u r u u r ，1212e e ⋅=
u r u u r ，代入可得2
a r ，求其算数平方根可得.
【详解】由题意可得22
121,1e e ==u r u u r ，1212
e e ⋅=u r u u r ，
所以()
2
212234697a e e =-=-+=r u r u u r ，
所以7a =r . 故答案为：7
【点睛】本题主要考查了向量模的运算以及向量的数量积，属于基础题.
14.若x ，y 满足约束条件2
12
x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，则1
2x y +的最小值为______________．
【答案】1 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得到答案． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
令1
2
z x y =+
，即22y x z =-+， 易知当直线22y x z =-+经过点A 时，1
2
z x y =+
取得最小值． 由22
y x y =⎧⎨+=⎩可得(0,2)A ，故min 10z =⨯+1212⨯=．
【点睛】本题考查简单线性规划问题，关键是正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值，考查了数形结合的思想，属于基础题．
15.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 外一点P 满足212PF F F ⊥，
且212PF F F =，线段1PF 、2PF 分别交椭圆C 于点A 、B ，若1PA AF =，则
22
BF PF =_______．
【答案】2
4
【解析】 【分析】
作出图形，由题意得出A 为线段1PF 的中点，可得出2a c =，且有b c =，并计算出点B 的坐标，即可得
出
22
BF PF 的值.
【详解】如下图所示，设椭圆的焦距为()20c c >，则2122PF F F c ==，
1PA AF =Q ，A ∴为1PF 的中点，
12AF AF ∴=，且21AF PF ⊥，由椭圆的定义得122AF AF a +=，12AF AF a ∴==，
由勾股定理得2
2
212
12AF AF F F +=，即()2
222a c =，可得2a c =，则22b a c c =-=，
椭圆的标准方程为222212x y c c +=，设点B 的坐标为(),c t ，则222212c t c c
+=，2
212t c ∴=，
则22
BF t c ==，因此，222
2224
c BF PF c ==.
故答案为：
2.
【点睛】本题考查椭圆中线段长度的比值问题，解题时要确定a 、b 、c 的等量关系，并求出相关点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.
16.数列{}n a 的前n 项和为1121,2,1,log 2n n n n
n n S a S a b a +⎛
⎫==-= ⎪⎝⎭ ，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T =_____．
【答案】
1
n
n + 【解析】 【分析】 解：111111,21,22n n n n
n
n S a n S a +--⎛⎫⎛⎫=-
≥=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭时， 两式作差，得()12,2n n
a n a +=≥ ，经过检验得出数列{}n a 的通项公式，进而求得,n n
b
c 的通项公式， 裂项相消求和即可．
【详解】解：111111,21,2
2n n n n n
n S a n S a +--⎛
⎫⎛
⎫=-≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 时， 两式作差，得()111111,222n n n n
n a a a n +-⎛
⎫⎛
⎫=-
--≥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
化简得()1
2,2n n
a n a +=≥ ， 检验：当n=1时，211221
1
2,4,22a S a a a a ==
⨯=== ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列；2n
n a = ，22log log 2n n n b a n ===，
令()11111
,11
n n n c b b n n n n +=
==-++ 1111111111.22334111n n
T n n n n =-+-+-+⋯+-=-=+++
故填：
1
n
n + ． 【点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，解题过程中需要注意n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且=2a b tanA sinB
． （Ⅰ）求角A 的值；
（Ⅱ）若6a =,2b c =，求ABC ∆的面积．
【答案】（Ⅰ）3
A π
=；（Ⅱ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用切化弦和正弦定理可得1
cos 2
A =，从而求得A ；（Ⅱ）利用余弦定理构造方程求得c ，代入三角形面积公式求得结果.
【详解】（Ⅰ）由
=tan 2sin a b A B 得cos sin 2sin a A b A B
= sin sin a b A B
=Q 1
cos 2A ∴=
()0,A π∈Q 3
A π
∴=
（Ⅱ）6a =Q ，2b c = 2222cos a b c bc A ∴=+-
整理可得2223642c c c =+-，解得c =
11
sin 222
ABC S bc A ∆∴==⨯=【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于常规题型.
18.作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行频有发生，带来了较大的交通安全隐患.在某十字路口，交警部门从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，得到不完整的22⨯列联表如图所示：
（1）将22⨯列联表补充完整；
（2）是否有99.9%的把握认为行人是否闯红灯与年龄有关.
参考公式及数据：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
0k
2.
072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）见解析；（2）有99.9%的把握认为行人是否闯红灯与年龄有关. 【解析】 【分析】
（1）由抽取的人数为200人以及表中数据即可求解.
（2）由列联表计算出观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】（1）补充完整的22⨯列联表如下： 年龄低于30岁 年龄不低于30岁 合计 闯红灯
20
60 80 未闯红灯 80 40 120 合计 100
100
200
（2）2K 的观测值()2
2006080402010033.33310.828100*********
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯
所以有99.9%的把握认为行人是否闯红灯与年龄有关.
【点睛】本题主要考查了独立性检验的基本思想，考查了学生的数据分析能力，属于基础题.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q M ，分别为AD PC ，的中点，2PA PD ==，1
12
BC AD =
=，3CD =.
（I）求证：平面PBC⊥平面PQB；（II）求三棱锥P QMB
-的体积.
【答案】（I）详见解析；（II）1
4
.
【解析】
【分析】
（I）由AD BC
∥，Q为AD
的中点，得BC QD=，进而得出BC BQ⊥，又由等腰三角形的性质和面面垂直的性质，证得PQ BC
⊥，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定，即可证得平面PBC⊥平面PQB.
（II）由（I）连接QC，利用等体积法
1
2
P QMB M PQB C PQB
V V V
---
∴==
三棱锥三棱锥三棱锥
，即可求解.
【详解】（I）因为AD BC
P，Q为AD的中点，
1
2
BC AD
=，BC QD
∴=，
∴四边形BCDQ为平行四边形.
因为90
ADC
∠=o，BC BQ
∴⊥.因为,
PA PD AQ QD
==，PQ AD
∴⊥.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD AD
=，
PQ
∴⊥平面ABCD，PQ BC
∴⊥，
又PQ BQ Q
⋂=，BC
∴⊥平面PQB.因为BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PQB.
（II）因为在Rt PQB
∆中，PQ==BQ CD
==
13
22
PQB
S PQ QB
∆
∴=⋅=.
由（I）知BC⊥平面PQB，连接QC，则
1131
1
3322
PQB
C PQB
V S BC
∆
-
=⨯=⨯⨯=
三棱锥
.
又M是线段PC的中点，
1111
2224
P QMB M PQB C PQB
V V V
三棱锥三棱锥三棱锥
---
∴===⨯=，
故三棱锥P QMB
-体积为
1
4
.
【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理，以及把握几何体的结构特征是解答的关键，同时注意求解三棱锥的体积时“等体积法”的应用，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
20.已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>，
过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D 、E 两点，且OD OE ⊥.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）2
8y x =；（2）(8,0). 【解析】 【分析】
（1）根据线段AB 的中点的纵坐标为4，直线AB 的斜率为1，利用抛物线的方程，求解4p =，即可得到抛物线的方程；
（2）设直线l ：(0)y kx b b =+≠，联立方程组，利用根与系数的关系，求得128b y y k =，22
2
1212264y y b x x k
==，
再由OD OE ⊥得8b k =-，即可得到结论．
【详解】（1）设A ，B 两点的坐标分别为(),A A x y ，(),B B x y ，
则22A A y px =，2
2B B y px =，两式相减得()()()2A B A B A B y y y y p x x +-=-.
即()2A B
A B A B
y y y y p x x -+⋅
=-，
又线段AB 的中点的纵坐标为4，直线AB 的斜率为1，∴82p =，∴4p =. 即抛物线C 的标准方程为2
8y x =.
（2）设直线l ：()0y kx b b =+≠与抛物线C ：2
8y x =交于点()11,D x y ，()22,E x y ，
则28y kx b y x =+⎧⎨=⎩
，
2880ky y b ⇒-+=，∴064320k kb ≠⎧⎨->⎩
，
∴128b y y k =，22
2
1212264y y b x x k
==，
由OD OE ⊥得12120x x y y +=，即
8b
k
=-，8b k =-，
直线为()8y k x =-，∴l 过定点()8,0.
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
21.已知函数()(x
f x e ax a =-为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．
（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；
（2）设()2
31g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立．
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义是曲线在切点处切线的斜率可得a ＝3，然后根据导函数的符号可得单调区间； （2）将所证不等式转化为e x ﹣x 2﹣1＞0，然后构造函数h （x ）＝e x ﹣x 2﹣1（x ＞0），通过两次求导可证不等式．
【详解】(1)令0x =得1y =，则()0,1A
()'x f x e a =-Q ，()'012f a ∴=-=-，解得3a =， ()'3x f x e ∴=-
当ln3x >时，()'0f x >，()f x 单调递增； 当ln3x <时，()'0f x <，()f x 单调递减．
()f x ∴的单调递增区间为()ln3,+∞，单调递减区间为(),ln3-∞
(2)证明：当0x >时，()()2
10x
f x
g x e x >⇔-->Q ，
∴令()21(0)x h x e x x =-->，
则()'2x
h x e x =-，
()2x h x e "=-，
当0ln2x <<时，()0h x "<，()'h x 递减； 当ln2x >时，()0h x ">，()'h x 递增，
()()ln2''ln22ln222ln20h x h e ∴≥=-=-> ()h x ∴在()0,+∞上单调递增， ()()01010h x h ∴>=--=，
210x e x ∴-->，
∴当0x >时，()()f x g x >．
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩，其中α为参数，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P
的极坐标为4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，直线l
的极坐标方程为sin 04πρθ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值.
【答案】（1）曲线C ：22
1124
x y +=，直线l ：80x y --=；
（2
）【解析】 【分析】
（1
）将参数方程变为cos 2sin 2
y αα=⎪=⎪⎩，两式平方相加即可；利用两角差的正弦公式展开，再根据
cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，代换即可求解.
（2
）设()
[),2sin ,0,2Q αααπ∈，将点P 的极坐标化为直角坐标为()2,2，利用中点坐标公式可
得)
1,sin 1M
αα++，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）消去参数a ，可得曲线C 的普通方程为22
1124
x y +=
.
sin 04πρθ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭可化为sin cos 80ρθρθ-+=，
由cos ,sin x y ρθρθ==，可得直线l 的直角坐标方程为80x y --=. （2
）设()
[),2sin ,0,2Q αααπ∈， 将点P 的极坐标化为直角坐标为()2,2， 因为M 为线段PQ
的中点，所以)
1,sin 1M
αα++，
所以点M 到直线l
的距离2sin 823πd α⎛
⎫=
=
-+≤ ⎪⎝
⎭ 当且仅当sin 13πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，即56πα=
时取等号， 所以点M 到直线l
的距离的最大值为【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与普通方程的互化以及点到直线的距离公式、辅助角公式、三角函数的性质，属于基础题. 23.已知关于x
的
函数()f x =|1|||x x m ++-．
（Ⅰ）若()3f x ≥对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2
()2f m m x x -≥-的解集非空，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）(,4][2,)-∞-+∞U （Ⅱ）5
(,]4
-∞ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值1m +，解不等式13m +≥即可；（Ⅱ）等价于
(
)
2min
12m m x x
+-≥-，即1124m m +≥-，分为18m <和1
8
m ≥两种情形讨论即可. 【详解】（Ⅰ）()113f x x x m m =++-≥+≥，
∴13m +≥或13m +≤-， ∴2m ≥或4m ≤-.
故m 的取值范围为][()
,42,-∞-⋃+∞.
（Ⅱ）∵()2
2f m m x x -≥-的解集非空，∴()
2
min
12m m x x
+-≥-，
∴1124
m m +≥-， ①当18m <
时，1204m -<，1124m m +≥-恒成立，即1
8m <均符合题意； ②当18m ≥时，1
204
m -≥，10m +>，
∴不等式1124m m +≥-可化为1124m m +≥-，解之得15
84m ≤≤.
由①②得，实数m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，转化与化归思想，属于中档题.。