湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)Word版含答案

衡阳市八中2014年下期期中考试
高二数学（文）答案
命题人 谷中田、廖洪波 审题人 钟小霖
时量 120分钟 满分 100分
一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、 “0＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( )．A A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不
必要条件
2、全称2
"x R,x x 10"∃∈+->命题：的否定为（） B A. 0
1x x R x 2<-+∈∀, B. 0
1x x R x 2≤-+∈∀,
C. 01x x R x 2=-+∉∃,
D. 01x x R x 2≤-+∈∃,
3、双曲线221169
x y -=的渐近线方程为（ ）A
A. x y 43±
= B. x y 34±= C. x y 916±= D. x y 16
9±= 4、将曲线01sin 2cos =-+θρθρ的极坐标方程化为直角坐标方程为（ B ）
A. 012=-+x y
B. 012=-+y x
C. 01222=-+y x
D. 0122
2=-+x y 5、如果命题“p q ∨”为假命题，则（ ）A
A ．,p q 均为假命题
B ．,p q 中至少有一个真命题
C ．,p q 均为真命题
D ．,p q 中只有一个真命题 6、抛物线2
8y x =的准线方程是 ( A )
A ．2x =-
B ．x=2
C ． y=2
D ．2y =-
7、极坐标方程cos ρθ=和参数方程1()2x t t y t =--⎧⎨=+⎩
，
为参数所表示的图形分别是(D)
A. 直线、直线
B. 直线、圆
C. 圆、圆
D. 圆、直线
8、设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
(1,0)，则此椭
圆的方程为( C )
A. 22165x y +=
B. 22175x y +=
C. 22132x y +=
D. 22
143x y += 9、双曲线)
0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别是21,F F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交
双曲线右支于
点，若2MF 垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）B
A ．
B ．
C ．
D ．
3
3
10．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个
公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2
212
2
21)
(e e e e +的值为( D ) A ．21
B ．1
C ．3
1 D ．2
二.填空题(每小题3分,共15分)
11、曲线C 的参数方程为为参数）
θθ
θ
(sin 3cos ⎩⎨
⎧==y x
12、若抛物线2
4y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标为 ．3 13．若直线1y kx =-与双曲线2
2
4x y -=始终有公共点，则k 取值范围是。

k ≤≤
14．命题“2230ax ax --≤恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。

30a -≤≤ 15. 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是
双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →
)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1
＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 标准方程 16、（8分）（1）已知抛物线过点A （1，2），求抛物线的标准方程；
221
,42
x y y x =
=或 （2）已知双曲线的一个焦点与抛物线2
8y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，求
双曲线的标准方程 2
2
13
y x -=
17、（8分）设命题p ：实数x 满足0)3)((<--a x a x ,其中0a >,命题:q 实数x 满足
302x B x x ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭
.
(Ⅰ)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2,3) (Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. [1,2]
18、（9分）已知实数x,y 满足方程22
4x y +=，求2z x y =+的最值。

min max z z =-=
19、（9分）已知椭圆C 焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率是
3
2。

(1)求椭圆C 的方程；2
214
x y +=
(2)设直线AB 与椭圆C 交于AB 两点，直线AB 的方程是1y x =+，求弦长
|AB| 20、（10分）已知二次函数f (x )=ax 2
+x . 对于∀x ∈［0, 1］，f (x )≤1成立，试求实数a 的取值范围.
．f (x )≤1⇔ax 2
+x ≤1，x ∈[0,1] ……① 当x =0时，a ≠0，①式显然成立; 当x ∈（0，1]时，①式化为a ≤21x -x
1
在x ∈(0,1] 上恒成立. 设t =
x
1，则t ∈[1,+∞),则有a ≤t 2
-t ,所以只须2min ()0a t t ≤-= ⇒a ≤0,又a ≠0,故a ＜0
综上，所求实数a 的取值范围是(,0)-∞
21、（11分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，
Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.
当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：2
2
(3)420m y my +--=. 其判别式2
2
168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12121212222
4212
,,()4333
m y y y y x x m y y m m m --+=
=+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.
所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩
，解得1m =±.
此时四边形OPTQ 的面积
122122||||423
OPTQ OPQ S S OF y y m ==⨯⋅-==+。