浙大版概率论与数理统计习题集和试卷

浙大版概率论与数理统计习题集和试卷第一讲
1.2,？,N1. 由盛有号码为的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码,
求这些号码按严格上升次序排列的概率.
(2)对任意凑在一起的40 人, 求他们中没有两人生日相同的概率.
2r(2r,n)3. 从n 双不同的鞋子中任取只, 求下列事件的概率:
r(1) (1) 没有成双的鞋子; (2) 只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有双
鞋子. 4. 从52 张的一副扑克牌中, 任取 5 张, 求下列事件的概率:
(1)(1) 取得以A为打头的顺次同花色5张；
(3)(2) 有 4 张同花色;
(4)(3) 5 张同花色;
(5)(4) 3 张同点数且另 2 张也同点数.
思考题:
1.( 分房、占位问题) 把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格
子内的概率相同(设格子足够大，可以容纳任意多个球)。

1.I. 若这n 个球是可以区分的，求(1) 指定的n 个格子各有一球的概率;(2)
有
n 个格子各有一球的概率;
若这n 个球是不可以区分的，求(1) 某一指定的盒子中恰有k 个球的概率;(2)
恰好有m个空盒的概率。

2.取数问题) 从1-9 这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概
率: (1) (1) 五个数全不同;(2)1 恰好出现二次;(3) 总和为10.
第二讲
1.在一张打方格的纸上投一枚直径为 1 的硬币, 问方格要多小时才能使硬币
与线不相交的概率小于0.01?
2.在某城市中共发行三种报纸: 甲、乙、丙。

在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%订乙报(记为B)的有35%订内报(记为C)的有30%同时订甲、乙两报(记为D)的有10%同时订甲、丙两报(记为E)的有8%同时订乙、丙两报(记为F)的有5%同时订三中报纸(记为G)的有3%.试表示下列事件，并求下述百分比:(1) 只订甲报的;(2) 只订甲、乙两报的;(3) 只订一种报纸的;(4) 正好订两
种报纸的;(5) 至少订一种报纸的;(6) 不订任何报纸的.
3.在线段[0,1] 上任意投三个点, 求0 到这三点的三条线段能构成三角形的概率.
4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件:
(1)(1) 四个事件至少发生一个;
(2)(2) 四个事件恰好发生两个;
(3)(3) A,B 都发生而C, D 不发生;
(4)(4) 这四个事件都不发生;
(5)(5)这四个事件至多发生一个;
(6)(6)这四个事件至少发生两个;
(7)(7)这四个事件至多发生两个.
m(m,n)n5. 考试时共有张考签, 有个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回求在考
试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.
k(k,n)6. 在?3例5中, 求恰好有个人拿到自己的枪的概率.
p,P(A),q,P(B),r,P(A,B)P(AB)P(AB)7.
给定, 求及. 思考题
l(l,a)1.( 蒲丰投针问题续)向画满间隔为a的平行线的桌面上任投一直径为的
半圆形纸片, 求事件“纸片与某直线相交”的概率;
第三讲
nm1. 件产品中有件废品, 任取两件, 求:
(1)(1) 在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;
(2)(2) 在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.
a(a,3)2. 袋中有只白球, b 只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不
放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.
3.敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中
两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比
假如这三部分面积之比为0.1, 0.2, 0.7. 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.
4.甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且
规定摸到红球的将受罚.
(1)(1) 如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大?
(2)(2) 如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.
(3)(3) 如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.
(4)(4) 乙先摸是否对甲有利?
(5)(5) 如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.
A,B,AB,A,B5. 设事件A, B, C 相互独立, 求证: 也相互独立.
思考题
1.甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。

甲先掷，以后每当某人掷出 1 点时则交
给对方掷，否
An则此人继续掷。

试求事件=｛第n次由甲掷｝的概率.
2( 赌徒输光问题) 两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。

在每一局中甲获胜的概率
为p,乙获胜的概率为q, p+q=1,每一局后，负者要付一元给胜者。

如果起始时甲
有资本a元，乙有资本b元，a+b=c,两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求甲输
光的概率.
第四讲
1)对同一目标进行三次独立射击, 要害各次射击命中率依次为0.4, 0.5 和
0.7. 求: (1) (1) 三次射击中恰好一次击中目标的概率;
2)) (2) 至少一次击中目标的概率.
2.在一电器中, 某元件随机开、关, 每万分之一秒按下面规律改变它的状态:
(1,,)(1) (1) 如果当前状态是开的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于开状态
的概率为,
, 变为闭状态的概率为;
(1,,)(2) (2) 如果当前状态是闭的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于闭状态
的概率为,
, 变为开状态的概率为.
,0,,,1,0,,,1nn 假设, 并且用表示该元件万分之秒后处于闭状态的概率. 请给,n 出的递推公式.
pkmAAA3.在伯努里概型中,若出现的概率为,求在出现次以前出现次的概率
( 可以不连续出现).
4. 甲乙丙三人进行某项比赛, 设三人胜每局的概率相等. 比赛规定先胜三局
者为整场比赛的优胜者. 若甲胜了第一、三局, 乙胜了第二局, 问丙成了整场比赛优胜者的概率是多少？ 5. 一个人的血型为O A B AB型的概率分别为0.46、
0.40、0.11 和0.03. 现任选五人, 求下列事件的概率:
(1) (1) 两人为O 型, 其他三人分别为其他三种血型;
(2)(2) 三人为。

型，两人为A型；
(3) (3) 没有一人为AB型.
第一讲
,,1. 1. 设为重复独立伯努里试验中开始后第一个连续成功或连续失败的次数, 求的分
布.
2.2. 直线上一质点在时刻0 从原点出发, 每经过一个单位时间分别概率或向
左或向右移
S,nnn 动一格, 每次移动是相互独立的. 以表示在时刻质点向右移动的次数,
以表示
S,nnn 时刻质点的位置, 分别求与的分布列.
3.3. 每月电费帐单是由电力公司派人上门抄表给用户的. 如果平均有1%的帐
单与实际
不符, 那么在500 张帐单中至少有10 张不符的概率是多少?
4.4. 某车间有12 台车床独立工作, 每台开车时间占总工作时间的2/3, 开车
时每台需用
电力 1 单位, 问:
(1)(1) 若供给车间9 单位电力, 则因电力不足而耽误生产的概率等于多少?
(2)(2) 至少供给车间多少电力, 才能使因电力不足而耽误生产的概率小于1%?
5.5. 螺丝钉的废品率为0.01. 问一盒中应装多少螺丝钉才能保证每盒有100只
以上好螺
丝钉的概率不小于80%?
6. 6. 某疫苗所含细菌数服从泊松分布, 每一毫升中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入
5 只试管中, 每管 2 毫升, 求:
(1)(1) 5 只试管中都有细菌的概率;
(2)(2) 至少有 3 只试管含有细菌的概率.
第二讲
1.1.在半径为R,球心为。

的球内任取一点P,
,(1)(1) 求=OP勺分布函数；
P(,R,,,R/2)(2) (2) 求.
2.2. 确定下列函数中的常数A, 使它们为密度函数:
2,Ax,1,x,2,
,pxAxx(),,2,,3,,
,,|x| 其他0,.p(x),Ae;,(1) (2)
,3. 3. 某城市每天用电量不超过100 万度, 以表示每天耗电量( 即用电量
/100), 其密度为
2p(x),12x(1,x)(0,x,1). 问每天供电量为80 万度时, 不够需要的概率为多少? 供电量为90 万度呢?
,,,3 假设一块放射性物质在单位时间内发射出的粒子数服从参数为的泊松分
布. 而每个
1,pp, 发射出的粒子被记录下来的概率均为, 就是说有的概率被计数器遗漏. 如
果个粒子
,, 粒子数的分布。

是否被记录是相互独立的, 试求记录下的
,~N(5,4)P(,,a),0.90;P(|,,5|,a),0.01a4. 4. 设, 求, 使(1)(2) .
,~U[0,5]5. 5. 若, 求方程有实根的概率.
第三讲
(,,,)F(x,y)1. 1. 试用的分布函数表示下列概率
,,(1)P(a,,b,,y);
,,(2)P(,a,,y);
(3)P(,,,,,,, ，,).
(,,,)2 设二维随机向量的密度函数为
,2(x ，y),,x0,y0,Ae,p(x,y),, 其它.0,,
F(x,y),(1) (1) 确定常数A;(2) 求分布函数;(3) 求的边际密度;(4) 计算概率P(,,2,0,,,1)P(, ，,,2);P(,,,);(5) 计算概率(6) .
,P(,,1),P(,,1),p,0P(,,0),,3. 3. 设随机变量与相互独立, 且, 又
P(,,0),1,p, 定义:
,,0, ，为奇数,,,,,1,, ，, 为偶数.,
,,,p 问取什么值能使独立?
第四讲
222(,,,)x ，y,r1. 1. 设服从圆上的均匀分布,
,,,(1) (1) 求各自的密度;
,,(2) (2) 判断与是否相互独立.
(,,,)p(x,y)p(x,y),,2. 2. 设的密度函数为, 求证与相互独立的充分必要条
件为可
p(x,y),g(x),h(y)g(x),h(y) 分离变量, 即. 此时与边际密度有何关系?
,,3. 3. 利用上题的充分必要条件判断与的独立性, 若它们的密度函数为: 4xy,0,x,1,0,y,1,,p(x,y),,0, 其他.,(1)
8xy,0,x,y,1,,p(x,y),,0, 其他.,(2)
第五讲
,,,1. 四张小纸片分别写有数字0, 1, 1, 2. 有放回地取两次, 每次取一张, 以分别记两次取
得的数字, 求各自的分布以及的分布
,,,,,122. 2. 设是独立随机变量, 分别服从参数为及的泊松分布, 试直接证:
, ，,,,12(1) 服从参数为+的泊松分布;
,,kkn,k12,,,P(,k| ，,n),C()(),k,0,1, ？,n.n, ，,, ，,1212(2)
[,,/2,,/2],,tan,,,,3. 3. 若服从上的均匀分布, 求的密度.
[0,1],,, ，,,,,4. 4. 设独立同分布，且都服从上的均匀分布，求的密度函
数. ,,,N(0,1),,,/,5. 设独立同分布, 且都服从分布，求的分布密度.
第六讲
(0,a)1. 在线段上随机投掷两点, 求两点间距离的密度函数.
U,, ，,V,,/,,,,2. 设相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，求与的联合密度,
U,, ，,V,,/, 与的密度. 并分别求出
(,,,)3. 设的联合密度为:
4xy,,0,x,1,0,y,1,,p(x,y),,0, 其他., 22(,,,) 求的联合密度.
22(,,,), ，,,,,N(0,0,,,,,r).4. 设服从二元正态分布求与相互独立的充分必
要条12
件.
第一讲
nn1. 1. 某人有把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的数学期望. 假设:
(1)(1) 每次使用过的钥匙不再放回;
(2)(2) 每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
E,,2. 2. 设随机变量分别具有下列密度, 求:
xx,0,,1,,
,pxxx(1)(),2,,1,,2,,
,0, 其他.,
2,2,x,x,cos,,/2,,/2;px(2)(),,,
,0, 其他,
3.3. 设分子的速度的分布密度有马克斯韦尔分布律给出:
22,4xx,xexp(,),,0,23px(),,aa,,x0,,0.,
m分子的质量为,求分子的平均速度和平均动能.
第二讲
p,in1. 1. 设事件A在第次试验中出现的概率为,是在次独立试验中A出现的次数, E, 求.
nn2. 某人有把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这把钥匙时, 求打
开家门时已被使用过的钥匙数的方差. 假设:
(1)(1) 每次使用过的钥匙不再放回;
(2)(2) 每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
(3)某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量. 他们估计出售
该产品一件可
,,mn 获利元, 而每积压该产品一件导致元的损失。

另外，该产品的销售量预测
服从参数的指数分布。

问若要获得最大利润，应安排生产多少件产品, 2[a,b],Var,,(b,a)/4.4. 4. 设只取值于, 求证
(,,,)5. 5. 设二维随机向量的分布密度为
2,x,y,0,x,1,0,y,1,,p(x,y),,0, 其他.,
求协方差矩阵.
思考题
E,,1.设袋中装有m只颜色各不相同的球.有返回地摸取n次，摸到种颜色的
球. 求.
第三讲
U,a, ，b,V,c, ，d,a,b,c,dU,Va,c1. 1. 设为常数, 同号, 求证的相关系数等
于
,,, 的相关系数.
,,,, ？,,122n2. 2. 设随机变量的数学期望都为0, 方差都为1, 两两间的相
关系数都为
,,, ，？，,,,, ，？，,,1nn ，12n, 求与之间的相关系数.
,,,3. 3. 设都是只取两个值的随机变量, 求证: 如果它们不相关, 则它们独
立. 思考题
Emax(,,,),(1,r)/,.(,,,)~N(0,0,1,1,r)1. 1. 设, 求证:
E,,E,,0,Var,,Var,,1,Cov(,,,),,2. 2. 设. 证明:
222Emax(,,,),1 ，1,, .
第四讲
1. 1. 求下列分布的特征函数:
k,1P(,,k),pq,k,1,2, ？,q,1,p;(1)
[,a,a],(2) 服从上的均匀分布;
,,(3) 服从参数为的指数分布.
,(t)2. 2. 设是特征函数, 求证下列函数也是特征函数:
sinatn ，(1)[,(t)](n,Z);(2),(t)(a,0).at
3. 3. 证明下列函数是特征函数, 并找出相应的分布.
sint222,1(1)cost;(2)();(3)(1
t).t
思考题
t,01. 1. 试举例说明在逆极限定理中, 在处连续这一条件不能少.
,,,2. 2. 当独立时, 则有
第一讲
1. 1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数?
0,x,,1/n,,(1)F(x),,n1,x,,1/n.,
0,x,,n,,
,(2)F(x),(x ，n)/2n,,n,x,n,,n
,1,x,n.,
,11,,,,,,{,}{,}0.50.5nn,,2. 2. 设为独立同分布随机变量序列, 的分布列
为,
nk,,,/2{,},nkn,k1. 求证的分布收敛于[-1,1] 上的均匀分布.
第二讲
1.1. 设某车间有200台同型机床，工作时每台车床60%的时间在开动, 每台
开动时耗电
1千瓦. 问应供给该车间多少千瓦电力才能有0.999 的把握保证正常生产, 2.
2.一家火灾保险公司承保160 幢房屋, 最高保险金额有所不同, 数值如下表所示
10 20 30 50 100 最大保险金额(万元)
80 35 25 15 5 投保房屋数
假设: (1) 每幢房屋每年一次理陪概率为0.04, 大于一次理陪概率为0;
(2)各幢房屋是否发生火灾相互独立;
(3)如果理陪发生, 理陪量从0 到最高保险金额间的均匀分布.
记N 为一年中理陪次数, S 为理陪总量,
a.计算N 的数学期望和方差;
b. b.计算S的数学期望和方差；
,,,c. c. 确定相对保证附加系数,即(每份保单保费收入-平均理陪量)/平
均理陪量,
以确保保险公司的保费收入大于理陪总量的概率等于0.99.
{,}n3. 3. 设为独立同分布, 其分布列为泊松分布. 记
nn,,(,,E,)/Var,,,nkkk,,,11kkn, ，,n 计算的特征函数,并求时的极限, 从
而验证林德贝格-勒维定理在这种情况成立.
2E,,0,E,,1,P{,,,1},1/2{,},{,}nnnnn4. 4. 设各自独立同分布, 也相互独
立. .
1nS,,,,nkk,1kN(0,1).n 求证: 的分布函数弱收敛于思考题1. 利用中心极限定理证明
:
knn,ne,1/2,n,,.,,0kk! 第三讲
,(x,a),e,x,a,,p(x),0,x,a.,,min{,, ？,,}{,},n1nn1. 设独立同分布, 密度
为, 令, 求证:
P
,,an.
PPP
,,,,,,,,,,,,,.nnnn3. 3. 求证: (1) 若,, 则
PPP
,,,,,,,,,,,.nnnn (2) 若,, 则
n1/n,,(,){,},nkn,k14. 4. 设独立同分布, 都服从[0,1] 上的均匀分布, 令,
求证:
,,c,cn 并求出常数.
思考题
f(x)1. ( 蒙特卡罗方法) 设是定义在[0,1] 上的连续函数, 且取值于[0,1]. 现在平面的正方形
f(A){(x,y):0,x,1,0,y,1}nA, 上做随机投点试验, 记为所投点落在区域
f{(x,y):0,x,1,0,y,f(x)}n 内的频率. 试说明当投点次数充分多时, 可充分接近
1f(x)dx.,0 积分值概率论试卷( 一)
一、填充题( 每空格 3 分)
AB,,1. 若, 则P(A?B) ___ P(B).
2.设士服从参数为人的普阿松分布，P(七=1)=P(七=3),则入=.
2,,,,, ? ,i1n3.设,N(0,1),i=1,2, …,n;相互独立.则,(n)分布.4.设
士,“互不相关，贝U Var(2己-4)=.
5.参数人=1的指数分布的特征函数是.二、是
非题( 每小题 3 分)( 先回答‘对’或‘错’再简述理由)
1.设(己，“)为连续型随机向量，如果联合密度等于各自边际密度的乘积，则
七,4相互独立.2.随机变量七,“相互独立的充分必要条件是E(己“)二E己？E「n1,,i22,,,,n,,n1i,13. 设{} 为独立同分布随机变量序列,,N(a,),=, 则也服从
N(a,). P,ft()ft(),,,,,nnnn4. 设随机变量与己的特征函数分别为与f (t). 若?f (t),(n??), 则.
,x,ex,,0,00,x,, 三、(16分)设士，”相互独立，均服从p(x)=.
⑴求U=E +“与V=E /(己+“)的联合密度；
(2)判断U与V是否独立；
(3)求V的密度函数.它服从怎样的分布，
,,22123412,,/),,, , ,,,,),1232 四、(16 分)已知(,N(1,0;.
,,(1)写出的特征函数与密度；(2)求E,Vas;
,,,,11(3) 求Cov(); (4)与“相互独立吗，为什么，五、(10分)某商店某种食
品一块从上柜到销售出去时间(天)服从参数为入=1/3的指数
分布.若一块这种食品六天内卖不出去，就要另行处理，不能再卖.该店每天新上柜这种
食品100块，求(六天后)平均每天另行处理的这种食品的数量.
kkkk, , ()21, , ()21,,,,,22},,,22}kkk 六、(8 分)设{}相互独立,P{, P{,
n1d,,,,0,kk,2,,,,012}n,1kkP{, k=1,2, ….求证：.
Pd,,,,,,,,,,nn 七、(15 分)(1)设，求证：.
dp,,,,c,,,,cnn (2) 设(常数)，求证.
np(x),nd22,,,,,0.,(1 , nx)2, ? ,nn 的密度为，n=1,求证:八、(8 分)设
概率论试卷(二)
一、填充题(每空格3分)
1.古典概型是具有条件____________________________________________ _
验模型.
(0,1;1,4,0.5)，则E,4分别服从. 2. 设(C),N
,,,ftft(),(),,,,,,121212123. 设的特征函数分别为，相互独立.则()的特征函数为
4.从1,2,3,4,5 五个数字中任取三个，所得号码中最大的为己，则己的分布列为
二、是非题( 每小题 3 分)( 先回答‘对’与‘错’，再简述理由)
201xx,,,,,0, 其它，(1)设随机变量己的密度函数为p(x)=,则“=1-2己的密
度为
1,y,,10,,y,,1,2
,0, 其它,q(y)=.
(2)Var 己=1,Var 4=4,则Var(2 己十刀尸8.
, (3)(t)=sint 是某随机变量的特征函数.
WFx()ft()FxFx()(),,,,nnn (4) 设分布函数与F(x) 对应的特征函数分别为与 f (t) ，若则
ft()n?f (t).(n??).
pp,12 三、(12 分)甲乙两厂独立生产同类产品，生产一级品的概率各为. 某店分别有甲乙
两厂的该类产品 3 件与7 件.
(1)求它们都是一级品的概率;
(2)在这10 件中任取一件，求它是一级品的概率;
(3)在这10 件中任取一件，发现是一级品，求它是甲厂生产的概率.
k, 14四、(10分)随机变量己的分布列为P(E=2k)=3 /,k=0,1,2, ….
(1)求EE ;(2)求己的特征函数.
,,xx12,exx,,,,0012,0, 其它,,,xx,,1212 五、(17 分)() 的联合密度为p()=.
,,,, ，,,,,/,,,,/112212212 求:(1) 与的联合密度;(2) 的密度;
,,/2,,/211ee (3)E(); (4)Var().
2,,,, ? ,,,1n六、(12分)设相互独立，都服从正态分布N().
(1)写出其联合分布的密度函数
n
,,i2,,,n1i,(2) 求证：服从正态分布N(n);
,,,,)? ,1n(3)求证：对任意正交变换U,4=UE (其中”()各分量也相互独
立，同
方差.
七、(15分)(1)正确叙述并证明林德贝格一勒维中心极限定理.
,1)(2)某种电子元件使用寿命服从入=0.1(单位(小时)的指数分布.一个元件损
坏后
第二个接着使用.求100个这类元件总计使用时间超过900小时的概率.
,n八、(10分)设{}为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理.则它服从大数定律
n2[var()]/,n,kk,1 的充分必要条件是=o(1),试证明之.
囹
概率论试卷(三)
一、填充题(每空格3分)
(1)若P(A)=0.5, P(A?B)=0.8, 则当A与B相互独立时，P(B尸, P(A-- B).
r,,,,,,, (2) 设Var=4, Var=9, 相关系数=1/4,贝U Var(2+5)=.
,,(3) 设,B(n,p),则的特征函数为.
2{},,,,nnn (4) 独立同分布，E=a,Var=,则林彳惠贝格一勒维中心极限定理是说、是非题(每小题3分)(先回答“？”或"X”，再简述理由)
,,(1)设随机变量的分布函数为F(x),则对任意常数a, P(=a)=0. 设随机变量，的特征函数分别为,.若随机向量(,)的
ft()ft(),,1212 f(t,t 尸， 则，相互独立.
ft(),,Fnnn (4) 设随机变量，的分布函数分别为(x)与F(x),特征函数分别为与 f(t).
Wft()FxFx()(),,,nn 若？f(t), (n??), 则.
222,,,k,,k, 三、(10 分)随机变量，N(a,). (1) 求证+b,N(ka+b,) , (k?0); 2,,, (2) 求的密度函数.
01,,,,,xxyx,32x/,,,0,,,, 其它，四、(17 分)()的联合密度为 p(x,y 尸, ,,,,,(1) 求边际密度；(2)求E,E 及COV().
，五、(8分)某人每月收入服从[600,1200]上的均匀分布.当月收入超过800元 时应交个
人收入调节税.问此人平均每年有几个月要交该项税款，
k, 1,,3六、(8分)随机变量的分布列为 P(=k)=2/,k=0,1,2, ….
,,(1)求E; (2)求的特征函数. dP{},{},,,,,,,,,,,(,,cnnnn
七、(10分)设为两列随机变量，0).求证
d,,,//,,,cnn . {},n 八、(20分)设为独立同分布的随机变量序列，都服从 U[-1,1].
求证:
n
3/n,,kk,1 (1) 依分布U ^敛于 N(0,1); nn2n/()/()3,,,,kk,,kk11 (2)
依分布U ^敛于 N(0,1).
浙江大学2003 - 2004学年第一学期期末考试
,,,,),,,,121212 (2)
,,ft()ft(),,121212 (3)
若Var(Var+Var ,则与不独立
《概率论》课程试卷
开课学院: ______________________________ 任课教
师: __________________________
姓名: ____________ 专业: __________ 学号: ________________ 考试时
间: ___ 分钟题序一二三四五六七总分
得分
评卷人签名
一、(15 分) 给出下列定义
1( 1( 概率的公理化定义
P
A(,,),P(A),,, 答: 为样本空间，为事件域。

概率是定义在上的实值集函数:,
并且满足下列条件:
A,,,P(A),0(1)( 非负性)对任一;
P(,),1(2)( 规范性);
A,A, ？,A, ？12n,(3)( 可列可加性)若是中两两互不相容的事件，则
,,P(A),P(A),,nnnn11,, 。

-------------- (5 分)
2( 2( 随机变量
,(,)(,,,,P)RB 答: 设是定义在概率空间上的单值实函数，且对于上的任一波雷
尔集有
,1,(B),{,:,(,),B},,,
,(,) 就称为随机变量。

-------------------------- (5 分)
3(( 弱) 大数定律
{,}{a}{b}(,,,,P)nnn 大: 设是定义在概率空间上的随机变量列，如果存在常数列和使得
P1n,,b,0(n,,),,kn,1kan
{,}n 则称服从(弱)大数定律。

--------------------- (5
分)
n 二、(14 分)投掷次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。

nn 解若为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能相等, 故所求概率为0; 若为偶数, “出现
n/2n 正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各次”，投掷次均匀硬币，
可以看作伯努
,,,,,,,0,n 为奇数,2 分,1n/2n,n/2,nC()nC2,n 为偶数.12 分,,,,,,n,2 里概型，故这时概率为: 。

故所求为:。

,p(x)p(x),p(,x) 三、(15 分)设随机变量具有对称的分布密度函数，即，记它
的分布
F(x)a,0 函数为。

证明对任意的，有
a1F(,a),1,F(a),,p(x)dx,02(1);
P(|,|,a),2F(a),1(2);
P(|,|,a),2(1,F(a))(3) 。

p(x),p(,x) 解(1) 由于, 故
010,a,ap(x)dx,,p(x)dx,p(x)dxp(x)dx,p(x)dx,,,,,,,,0,,aa2 ，，因而
, ，, ，,aaF(,a),p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,1,F(a),,,,,,,,,,a ，
,a00a1F(,a),p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,,p(x)dx,,,,,,,,,a02 ，
即证(1) 式; --------------------------------- (7 分) P(|,|,a),P(,a,,,a),F(a),F(,a),2F(a),1(2) 由(1) 式，，即得(2)
式; ------------------------------------ (4 分) P(|,|,a),1,P(|,|,a),1,(2F(a),1),2(1,F(a))(3)
(2) 式，即得(3) 式。

(4 分)
,inAA 四、(14 分)设为次独立试验中事件出现的次数，若已知第次试验时事件
出现的
p(i,1,2, ？,n)E,,D,i 概率为，求。

1,若第i次试验A发生,,,,,i0, 若第i次试验A不发生.i,1,2, ? ,n,解记，
n,,,,i,i1 则由题意，。

--------------- (6 分)
22E,,p,E,,piiii 显然: ，由期望，方差性质:
nn,,E,E,p,,,ii,1,1ii
nnn2Var,,Var,,(p,p),p(1,p).,,,iiiii,1,1,1iii ---- (8
---------------------------------------------------- 分)
,,,,,a, ，b,,c, ，d11 五、(14 分)已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系
a,b,c,da,c 数，其中均为常数，皆不为0。

解由于
,,,,Cov(,),Cov(a ，b,c，d)11
,,,,,Cov(a,c) ，Cov(b,c) ，Cov(a,d) ，Cov(b,d)
,acCov(,,,), ------ (6 分)
22Var,,Var(a, ，b),aVar,,Var,,Var(c, ，d),cVar,. ----------- (4 分) 11
,,, 注意到与的相关系数为，故
,1,,,ac 异号,,,Cov(,)ac11,,,,,,,,11||ac1a,c 同号.VarVar,,,12 ---
--------------------- (4 分)
221,(x,2xy ，y)(,)pxy,e(,,,)U,, ，,2, 六、(14 分)设的联合概率密度函数为，记，V,,,,UV ，求与的联合密度，并证明它们之间相互独立。

x,(u ，v)/2,u,x ，y,1/21/2,,J,,,1/2,,v,x,y.y,(u,v)/2.1/2,1/2,, 解作变换，得，其雅可比行列式为，
------------- (4 分 )
(U,V) 则的联合概率密度函数为
22,,1(u ， v)2(u ， v)(u,v)(u,v)1,,p(u,v),exp,(, ， ,,,,44422,,
12,22， 222,exp(,u)exp(,v).44,22 --------- (8
分 ) UV 为可分离变量，故与相互独立。

--------- (2 分)
,,n,1,n 七、 （14 分 ）设是相互独立的随机变量序列，都服从参数为的指数分 布。

记
n,,E(,),kk,1k,,nnVar,,k,1k
,,nn 通过计算的特征函数证明服从中心极限定理。

,,n,1,n 证 : 由于是相互独立的随机变量序列，都服从参数为的指数分布，故
根据级数展开，可得
itn,n,itn,,,((t)),(1,),e,1nn
, ， o(),1,, ， o(),e,,,,nn2nnnn,,,,
由逆极限定理，证毕。

(4
概率论试卷 （ 五 ）
一、填充题 （ 每空格 3 分 ）
（1） 概率论的公理化定义中，概率是
,,,,,, (2) 设 (),N(0,1;1,4,1/2) ，则 COV()= _________________ .
it,1,(),(1,).t2,1E,,1/,,Var,,1/,,, 其特征函数为 (4 11
E,,,,111,,,1nnnVar,,k,k1
it,it,1,n(t),(1,,),e,1,n
itn,n,itn,,(,(t)),(1,),e,1n,nn 故的特征函数为 : (4
2nnt22,,,,,itt1itt12,,,,,1
, (3) 设营业员在单位时间接待顾客数服从参数为的普阿松分布，则该营业员
在接待两位顾客之间的“等待时间”服从_________________分布.
,,//n (4) 设__________________________, 则t=,t(n) 分布.
二、是非题(每小体3分)(先回答“？”或"X”，再简述理由).
(1)若一次试验中事件A发生的概率为p,则5次重复独立试验中事件A至少发
生两次
223Cpp()1,5 的概率为.
,,,,,, ？12n (2) 设相互独立，则它们两两不相关.
2,t) (3)f(t)=1/(1 是某随机变量的特征函数.
,,,,,,,,, (4) 设,N(0,1), ,N(1,4) ，相关系数=1/2，则(),N(0,1;1,4,1/2).
1,||xe,2 三、(18 分) 随机变量的密度函数为p(x)=, ,,,,,x.
2,,, ，/21,,, (1) 求的密度;(2) 求的密度;
,, (3) 求E; (4) 求Var;
Var,, (5) 求概率P(<).
四、(10 分)5 张卡片上各写号码1,2,3,4,5. 有放回地抽出3张卡片，求其上
号码总和的数
学期望和方差
,,, 五、(12 分)设随机向量() 的联合密度为
1122exp{,(xrxyy, ，222(),r21,,,,,xy,,,r21 p(x,y)=)}, .
,,,,,,,,, ，(1) 求证与相互独立;
,,, (2) 判断各自服从什么分布(密度，名称),
六、(8 分) 某计算机系统有60 个终端，每个终端有40%的时间在试用; 若各终端使用与
否是相互独立的，求同时有多于40 个终端在使用的概率. 已知:
x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.0 2.5 3.0
①(x) 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.977 0.994 0.999
22ft()| 七、(8 分) 设f(t) 是特征函数，求证与|f(t) 也是特征函数.
,,()xa,e,xa,,0,,,,,min{,,} ？{},xa,nnn1, 八、(8 分) 设独立同分布，密度为
p(x)= ，.
P,,,,an 求证:.
{},,n 九、(12 分)设和是一列随机变量，求证:
dPPd,,,,,,,,,,,,,,c,,,,cnnnn (1) 如果，则;(2) 如果，(c 为常数)，则. 概
率论试卷(六)
一、填充题( 每空格 3 分)
,(1)设事件ABC 则P(A)+P(B)1+P(C).
,, ，b,,,, (2) 若Cov() 存在，则对任意常数
a,b ，Cov(a)= _______________ .
n1,,,,i2,,,n,n1,1i (3) 设{} 为独立同分布随机变量序列，,N(a, ),.
则, _______ .
, (4) 关于的方差和数学期望之间的关系式—切贝晓夫不等式是指
(5) 在1500 件产品中设有100 件次品，任取10 件，则抽到次品数的数学期望
为
二、是非题(每小题3分)(先回答“？”或"X”，再简述理由)
. 则他射击次数(1) 某人射击，每次中标的概率为p. 连续射击，击不中即
停，限射 5
, 服从参数为p 的几何分布.
,,,,,,121212 (2)Var(--)=Var+Var 的充分必要条件是与互不相关.
,,ff1211 (3) 设, 的特征函数分别为(t) 与(t) ，且它们联合分布的特征函数ttftft,)()(),,,,12112212 f( ，则, 相互独立.
wFx(),,Fx(),,,nnn (4) 设随机变量, 的分布函数分别为与F(x) ，若F(x) ，则P,,,,,n .
,,12 三、(21 分)设, 相互独立，都服从参数为 1 的指数分布.
,,,,1122 (1) 写出(,) 的联合密度和联合分布函数;(2) 计算P(+<1);
,/2,/2,11,12ee (3) 求刀=max(,)的密度;(4) 计算E; (5)计算Var();
,,12n四、(7分)设，…，的数学期望都为0,方差都为1,两两间相关系数都为P .
2nn,,,,,,,j,i, ，jn1i,1 求与的相关系数.
1122()xrxyy,, , 222()r21,,,r21 五、(13 分)设(己，“)的联合密度为
p(x,y)=exp{},
--?<x,y<?.
,,,,,,,,, ，,,, (1) 求与的联合密度;(2) 判断是否相互独立;
,,, (3) 各自服从什么分布( 密度，名称),
六、(7分)设七为随机变量，f(x)是(0,?)上非负单调不减函数，求证：
Ef(||)己，仅() 对任意x>0, P(| 己|>x).
七、(15 分)(1) 正确叙述并证明林德贝格—勒维中心极限定理;
(2) 某校共学生1200 名，假定一学生连续不断用水一小时需水1/2 吨. 问每天用水高峰时每小时要供应多少吨水才能有95%的把握保证学生用水,( 已知
(1.65)=0.95)( 最后
结果保留一位小数).
{},{},{}annn 八、(10分)随机变量序列，相互独立，都服从N(0,1)分布，为常数列.求
nnnP22口/an,, , ,,,0an/,0,,,kkkk,1,1,kkk1 证：的充分必要条件是. 画
概率论试卷(七)
一、填充题(每空格3分)
(1)同类产品10件，内含3件次品.从中任取5件，得次品数为2的概率是
(2)设VarE =Va5 =Var( E -- 24)=1,则COV(,4)=.
ite (3) 设f(t尸q+p , (q=1--p,0<p<1). 则f(t)是分布
____________________________________ 的特征函数.
{},n (4)对随机变量序列，如果
{},n,就称服从中心极限定理.
二、是非题(每小题3分)(先回答“？”或"X”，再简述理由)
21,x/2e2,,2 (1) 设随机变量己的密度函数为p(x)=,则的密度为
11,,y/2y,0e,,,y22,
,,0 其它.，q(y)=
,,,,,,1212 (2) 若互不相关，则相互独立.
(3)若f(t)是实的特征函数，则f⑴ 一定是偶函数.
Pft()ft(),,,,,,,,,nnnn (4) 设的特征函数分别为与f(t). 若，则？f(t), (n??).
(5)设己，刀为任意两个随机变量，则E(己“尸E己？E「
,,()xy,02,,xyAe,,0, 其它，三、(16分)设(士，刀)联合密度为p(x,y)=,
(1)求常数A; (2)求边际密度函数；
(3)判断七,“是否独立；(4)求P(E ＜刀).
,,四、(8分)随机变量七服从[--1/2,1/2] 上的均匀分布，刀=sin.求
E” ,Var ”.
(,,),,,,,,,,1231231 五、(12 分)随机向量服从联合正态，E= E=0,
E=1,Var=4,
,,rrr,,,,,,23121323112223 Var= Var=1, =1/2, =--1/2, =0. 又设=--,=+ ，求:
,,,,,,,,)),,121212 (1) ( 的分布; (2) ( 的分布; 并问, 是否独立,
,1 (3) 的密度函数.
六、(10 分)设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时一天全
部停止工
作. 若一周 5 个工作日里无故障，可获利润
10 万元; 发生一次故障，只能获利 5 万元; 发生二次故障则获利0 元; 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元. 求一周内期望利润是多少,
212212//,,()()EE,, 七、(6分)设士，刀为两个随机变量，求证:|E七”|.
八、(12 分)(1) 正确叙述并证明辛钦大数定律;
21k()),k{},,3nn2 (2) 随机变量序列相互独立，P(=,k=1,2,….求
n1d,,,,c,ini,1 证:; 并求出常数 c.
{}a{}b{}Fannnn 九、(9分)设和是两列常数，F和是分布函数列，如
果?a(?0) ，
wwbF,,,FaxbFaxb()() ，,,, ，nnnnn?b, F,(n??), 求证:。