二次函数与二次方程

二次函数与一元二次方程
知识要点梳理： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：
(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根
△=b2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，
(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根
△=b2-4ac<0.
(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况
方程ax2+bx+c=h的根的情况。

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况
方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。

典例精讲
例1（2008枣庄）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次
函数
的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且
．
（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐
标．
例2已知二次函数y=x2-〔m2＋8〕x＋2〔m2＋6〕,
⑴求证;不论m取任何实数，此函数图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半轴上。

⑵设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点，问是否存在实数M,使三角形ABC为等腰直角角形？如果存在，求出M的值；如果不存在，请说明理由。

例3（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使
PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
基础练习
1.不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（
）。

A.a＞0，b2-4ac＜0 B .a＞0，b2-4ac＞0 C. a＜0，b2-4ac＜0
D. a＜0，b2-4ac＞0
2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1，且二次函数
y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）。

3.已知二次函数y=-x2+（3-k）x+2k-1的图像与y轴的交点位于（0,1）的
上方，则k的取值范围（）。

对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于A n、B n两点，以表示这两点间的距离，则的值是（）。

A． B． C． D．
5.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x轴交于
A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=　_________　．
6．（2010包头）已知二次函数
的图象与
轴交于点
、
，且
，与
轴的正半轴的交点在
的下方．下列结论：①
；②
；③
；④
．其中正确结论的个数是个．
7. （2010自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取
值范围是
1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）。

A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
8.（2008武汉）下列命题：①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（ ）．
Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②
能力提升
1、（2011•荆州）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y
轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx﹣1的图象平分它的面积，关
于x的函数y=mx2﹣（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．
2、（2011•南京）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
3、（2011•新疆）已知抛物线y=﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），顶点为P．
（1）求A、B、P三点的坐标；
（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x取何值时，函数值大于零；
（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式．
x
y
4、（2010•镇江）已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．
（1）求C1的顶点坐标；
（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n 的取值范围．
5、（2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．
（1）证明4c=3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．
6、（2010•十堰）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．
7、（2010•汕头）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
8、（2010•娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2﹣10x+24=0的两个根．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．
9、（2009•肇庆）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．
10、（2009•黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．
11、（2009•宁夏）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12、（2008•长春）已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1=a（x﹣
k）2+2（k＞0），y1+y2=x2+6x+12；当x=k时，y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=﹣1．
（1）求k的值；
（2）求函数y1，y2的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由．
13、（2009•黄石）已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．
14、（2009•娄底）已知关于x的二次函数y=x2﹣（2m﹣1）
x+m2+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．
15、（2008•北京）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）
x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m 的函数，且y=x2﹣2x1，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．
16、（2009孝感）已知抛物线（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值．
17、. 已知：二次函数的图像与x轴交于A（，0）、B（，0），＜0＜，与y
轴交于点C，且满足
⑴ 求这个二次函数的解析式；
⑵ 是否存在着直线y＝kx＋b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面
积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．
18、（2008北京）．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在
点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
（3）连结，求与两角和的度数
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
19、 （2010厦门）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点 。

连结，将线段绕点按逆时针方向旋转
90°得到线段，且点是抛物线的顶点
（
1）若，抛物线经过点（2，2），当时，求的取值范围；
（2）已知点（1，0），若抛物线与轴交于点，直线与抛物线有且只有一
个交点，请判断的形状，并说明理由。