天津市河北区2020届高考二模数学试题(解析版)

河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ） 球的表面积公式 S ＝24R π
球的体积公式 V ＝3
43
R π
其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{1234}U =,,,，集合{13}A =,，{4}B =，则()U A B =I ð（ ）
A. {2}
B. {4}
C. {24},
D. {134},,
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据补集的定义求出U C A ，再根据交集的定义求出()U A B I ð即可. 【详解】解：因为{1234}U =,
,,，{13}A =,， 所以{}2,4U C A =，又因为{4}B =，
所以{}()4U A B =I ð. 故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集的运算，考查学生的计算能力，属于基础题. 2.命题“0
00,1x x R e
x ∃∈>+”的否定是（ ）
A. ,1x x R e x ∀∈<+
B. 0
001x x R e x ∃∈<+, C. ,1x x R e x ∀∈≤+ D. 0
001x x R e
x ∃∈≤+,
【答案】C 【解析】 【分析】
根据特称命题的否定是全称命题求解. 【详解】因为命题“0
00,1x x R e x ∃∈>+是特称命题，
所以其否定全称命题，即为命题：,1x
x R e x ∀∈≤+.
故选：C
【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3.若复数()122ai
a R i
+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A. 1
B. 1-
C. 1
6
D. 16
-
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值．
【详解】∵复数
()()()()
12212221422255ai i ai a a
i i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴
221455a a -+=，解得a 16
=． 故选C ．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
4.袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是（ ）
A. 3
5 B.
45 C. 720
D. 1320
【答案】D 【解析】 【分析】
从6个球中取三个球可能的情况三类，一类恰有一种颜色，二类恰有两种颜色，三种恰有三种颜色，即可求得恰有两种颜色的概率.
【详解】由题可得，从中任取三个球一共有3
620C =种可能的情况，
恰有一种颜色的情况有1种，即三个全是蓝球， 恰有三种颜色的情况有1236⨯⨯=种，
所以恰有两种颜色的情况共13种情况，所以其概率为1320
. 故选：D
【点睛】此题考查求古典概型，当正面分类计算比较麻烦的情况可以考虑利用对立事件求解概率. 5.某班同学进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（ ）
A. 0.79，20
B. 0.195，40
C. 0.65，60
D. 0.975，80
【答案】C 【解析】 【分析】
根据表格求出第一组人数，结合频率分布直方图求出总人数，分别求解每组人数即可得解. 【详解】第一组人数
1200.6=200÷人，由频率分布直方图可得第一组频率为50.4=0.2⨯，
所以200
10000.2
n =
=， 所以第三组200人，第四组50.031000150⨯⨯=人，第五组100人，第六组50人， 所以第二组300人，195
0.65,1500.460300
p a ===⨯=. 故选：C
【点睛】此题考查频率分布直方图和频率与频数的关系，关键在于熟练掌握频率分布直方图的性质准确计算求解，属于中档题.
6.双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153
x y +=，若过C 的左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双
曲线C 的离心率为 A.
5
4
B.
53
C.
43
D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
利用两条直线平行的判定定理，可得到,b c 之间的关系，化简整理为,a c 的关系，即可求出离心率. 【详解】过C 的左焦点和点()0,b -的直线可写为：:
1x y l c b
+-'=-，即0bx cy bc ++= l '与l 平行 11053c b ⇒-= 3
5
b c ⇒=
又222b c a =- 222925c c a ⇒=- 221625
a c ⇒=
5
4
c e a ∴=
== 本题正确选项：A
【点睛】本题考查直线平行的判定定理以及双曲线离心率的求解，关键在于通过直线平行12210A B A B -=得到,a c 的关系.
7.已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，直线()2
p
y k x =-
交抛物线于A ，B 两点，过点A
作准线l 的垂线，垂足为E ，若等边三角形AFE 的面积为，则BEF ∆的面积为（ ）
A. B. C. 16
D. 【答案】B
【解析】 【分析】
由AFE ∆
为等边三角形，得k =
AFE ∆边长为2p ，结合条件中的面积可得p ，进而由直线与抛物线
联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可.
【详解】
因为AFE ∆
为等边三角形，所以60,EFO AFE AFx k ∠=∠=∠=︒=
，AFE ∆边长为2p ，
由
1222p p ⨯⨯=，得6p =，抛物线方程为212y x =，
联立)2
312y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
，得21090x x -+=，所以91A B x x =⎧⎨=⎩， 所以4BF =，12AF =.
故14122BEF S ∆=⨯⨯=故选B
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题.
8.
已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 的图象关于点(,0)12
π
-
对称
C. ()f x 的最大值为2
D. ()f x 的图象关于直线6
x π
=
对称
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：2111()cos cos sin 2cos 2sin(2)22262
f x x x x x x x π=+=++=++ 对于A 选项，因为22
T π
π=
=，故A 不正确； 对于B 选项，因为111
()sin 2sin 00121262
22f π
ππ⎛⎫⎛⎫-
=⨯-++=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确； 对于C 选项，因为当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭时，()max 13122f x =+=，故C 不正确；
对于D 选项，因为1
13
()sin 2sin 6
6
62222
f π
π
ππ⎛⎫=⨯
+
+=+= ⎪⎝
⎭，是()f x 的最大值， 所以()f x 的图象关于直线6
x π
=对称，故D 正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
9.已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，下列选项中不正确的是（ ） A. 1m <-
B. 12
12
x x x e
x -=
C. 101x <<
D. 122x x +≤
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意求出函数()f x 的导函数()'
f
x ,判断出函数()f x 的单调性，进而求出函数()f x 的最值,根据函数
零点的概念作出函数()f x 的图象,逐个判断每个选项的结论正确与否即可. 【详解】因为函数()ln ()f x x x m m =-+∈R , 所以11()1x f x x x
'
-=-
=,其定义域为()0,∞+, 令()0f x '=，解得1x =， 所以当01x <<时,()'
0f
x <；当1x >时,()'0f x >;
故()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 因为函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <,
所以函数()f x 的图象如图所示：
故min ()(1)10f x f m ==+<，
即1m <-，并且101x <<，故选项A 、C 正确；
由于12x x ⋅为()f x 的零点，故有112
2ln 0
ln 0x x m x x m -+=⎧⎨-+=⎩，
两式相减得1122ln
x x x x -=，即12
12
x x x e
x -=，故选项B 正确； 因为1m <-,所以当2ln2m ≤-+时，22x ≥， 所以122x x +>，故选项D 不正确. 故选: D
【点睛】本题考查利用函数的导数判断函数的单调性和最值,根据函数的零点求参数的范围;函数()f x 单调性的正确判断和最值的正确求解及零点概念的应用是求解本题的关键;属于难度大型、综合型试题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10.6
x ⎛
- ⎝
的二项展开式中的常数项为________．
【答案】15 【解析】
试题分析：展开式的通项公式为()362
1
6
1r r
r
r T C x
-+=-，令36042
r r -
=∴=，常数项为()446115C -= 考点：二项式定理
11.圆心在直线
30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为______________.
【答案】22(1)(3)9x y -+-=或22
(1)(3)9x y +++= 【解析】 【分析】
设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据圆心在直线30x y -=，得到3b a =，再根据圆与x 轴相切，得出圆的方程为222()(3)9x a y a a -+-=，结合圆的弦长公式，求得a 的值，即可求得圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，可得圆心坐标为(,)a b ，半径为()0r r >， 由圆心在直线30x y -=，可得30a b -=，即3b a =， 又由圆与x 轴相切，可得3r b a ==， 所以圆的方程为2
2
2
()(3)9x a y a a -+-=，
则圆心到直线的距离为d =
=
，
根据圆的弦长公式，可得22
2(
92
a +=， 化简得21a =，解得1a =±，
所以所求圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=或22
(1)(3)9x y +++=. 故答案为：22(1)(3)9x y -+-=或22
(1)(3)9x y +++=.
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中设出圆的标准方程，数练应用圆的弦长公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12.曲线1
x
y e x
=-
在点(1,(1))f 处的切线的斜率为_______，在该点处的切线方程为______. 【答案】 (1). 1e + (2). (1)2y e x =+- 【解析】 【分析】
求出函数的导数，代入1x =，得到切线的斜率，1x =代入函数解析式可得切点，点斜式即可得出结果．
【详解】曲线1x
y e x =-，可得x
21e y x
'=+， 所以曲线1
x
y e x
=-
在点()()1,f 1处的切线的斜率为：(1)1f e '=+． 因为(1)1f e =-，即切点为()1
e ，-1，所以在切点处的切线方程为：()()()111y e e x --=+-，即(1)2y e x =+-
故答案为：1e +；(1)2y e x =+-．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法及切点处的切线方程，考查计算能力，属于基础题．
13.已知0,0a b >>，且33+
12
2
a b =++，则2+a b 的最小值为______________.
【答案】3 【解析】 【分析】
先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案. 【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++，
又由()32336(2)[(2)2(2)](
)9992222a b a b a b a b +++++⋅+=++≥++++++
当且仅当
()326(2)=
22
a b a b ++++时，即22)a b +=+时等号成立，
即z 的最小值为9+2+a b 的最小值是3.
故答案为3.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
14.在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r ，
则AE AF ⋅=u u u r u u u r
_______.
【答案】5
2
【解析】
【分析】
设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r
，则2,1a b ==r r ，得到12AE b a =+u u u r r r ，2133
AF a b =+u u u r r r ，利用向量的数量积的运算，
即可求解．
【详解】由题意，如图所示，设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r
，则2,1a b ==r r ， 又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r
，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，
则12AE b a =+u u u r r r ，221()333AF b a b a b =+-=+u u u r r r r r r ，
所以22
121151()()233363
AE AF a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+u u u r u u u r r r r r r r r r
221515
212cos6013632
=⨯+⨯⨯+⨯=o ． 故答案为：
5
2
【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，
以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
15.已知函数21,1
()242,1x
x f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪-+->⎩
，若关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围是_______. 【答案】1
02
a <<或12a ≤< 【解析】 【分析】
根据解析式作出图象，将关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，转化为()y f x =与
()a R y a ∈=的图象有两个不同的交点，由临界点位置即可得出结果.
的
【详解】作出21,1
()242,1x
x f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪-+->⎩
和()()f x a a R =∈的图象如图， 因为关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，
所以()y f x =与()a R y a ∈=的图象有两个不同的交点，由图象可知1
02
a <<或12a ≤<. 故答案为：1
02
a <<
或12a ≤<,
【点睛】本题考查在函数与方程的数学思想在解决函数图象的交点问题中的应用，考查数形结合的思想，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2
2
2
(cos cos )b c a c a C c A +-=+.
（1）求角A 的大小； （2
）若cos B =
sin(2)B A +的值； （3）若ABC V
，3a =，求ABC V 的周长. 【答案】（1）3π；（2
；（3）8 【解析】 【分析】
（1）根据余弦定理，将题中条件进行转化，化简得到222b c a bc +-=，进一步应用余弦定理得到1
cos 2
A =，结合三角形内角的取值范围，得到角A 的大小； （2
）利用同角三角函数关系式，得到3
sinB =
，之后应用余弦倍角公式和正弦和角公式求得结果；
（3）利用三角形面积公式得到16
3
bc =
，结合余弦定理求得5b c +=，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）∵222
(cos cos )b c a c a C c A +-=+，
由余弦定理得，222
222
222
()22a b c
b c a
b c a c a
c
ab
bc
+-+-+-=+.
化简得，222b c a bc +-=.
∴2221
cos 22
b c a A bc +-=
=. 又0A π<<， ∴3
A π
=
.
（2）由已知得，sin B =.
∴sin 22sin cos B B B =， 21
cos 22cos 13
B B =-=-.
∴sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 333
B A B B B πππ
⎛⎫
+=+
=+= ⎪⎝
⎭
（3）∵11sin 22S bc A bc ===
∴163
bc =
. 由余弦定理得，2
2
2
2
2cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A . 即2
169()33
b c =+-⨯， 解得5b c +=.
∴ABC ∆的周长为8a b c ++=.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，属于简单题目.
17.如图，直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.
（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；
（2）求直线AB 与平面1A BD 所成角的正弦值； （3）求二面角11B A D B --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2；（3 【解析】 【分析】
（1）取11A C 的中点G ，连接DG ，以D 为坐标原点，以DG ，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得1AE DA DB u u r u u u r u u u r
,，，证得1AE DA ⊥，AE DB ⊥，即可求解；
（2）由（1）得到(1,2,0)n =-r
，即为平面1A BD 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）求得平面11A B D 的法向量m u r
，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）如图所示，取11A C 的中点G ，连接DG ，
由直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D 是AC 中点，BD AC ⊥，
又平面ACB ⊥平面11ACC A ，平面ACB I 平面11ACC A AC =，BD ⊂平面ABC ， 所以BD ⊥平面11ACC A ，
由,D G 分别为11,AC A C 的中点，可得DG AC ⊥,可得DG ，DA ，DB 两两垂直.
以D 为坐标原点，以DG ，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,0)D ，(0,1,0)A ，1(2,1,0)A ，(1,1,0)E -，B ，1(20B ,
，
可得1(120),(210)AE DA =-=u u r u u u r
,,,,，DB =u u u r
，
∵1
0AE DA ⋅=u u u r u u u u r ，0AE DB ⋅=u u u r u u u r ，∴1AE DA ⊥，AE DB ⊥，
又1DA DB D =I ，∴AE ⊥平面1A BD .
（2）由（1）可得AE ⊥平面1A BD ，则(1,2,0)n AE ==-r u u u r
，即为平面1A BD 的一个法向量，
又由(0,AB =-u u u r
，
设直线AB 与平面1A BD 所成的角为α，
可得sin cos ,AB n αAB n AB n ⋅====⋅u u u r r u u u r r u u u r r 所以直线AB 与平面1A BD
. （3）设平面11A B D 的法向量(,,)m x y z =u r
，
因为11(2,1,0),DA DB ==u u u r u u u r ，可得1100m DA m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v
，即2020x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩
，
不妨取x
2)m =--u r
.
设二面角11B A D B --的平面角为θ，
由cos cos ,m n θm n m n
⋅====⋅u r r u r r u r r 所以二面角11B A D B --
.
【点睛】本题考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及利用空间向量求解线面角与二面角，着重考查了推理与运算能力.
18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-.
（1）证明：数列{2}n a -为等比数列； （2）若()()12
11n n n n a b a a +-=
--，求数列{}n b 的前n 项和n
T .
【答案】（1（详见解析（2（11
4232n n n
T =-
⨯+ 【解析】 【分析】
（1）由2347n n S a n =+-可得1123411
?2n n S a n n --=+-≥（）（两式作差整理即可得到()1232n n a a --=-，从而可得数列{}2n a -为等比数列；
（2）先由（1（写出1
32n n a -=+（从而可得
()()()()
11112311111231313131n n n n n
n n n n a b a a ---+-⎛⎫
===- ⎪--++++⎝⎭
，进而可直接求出数列{}n b 的前n 项和n T .
【详解】解：（1）当1n =时，11233a a =-，则13a =.
当2n ≥时，因为2347n n S a n =+-，所以1123411n n S a n --=+-（ 则()1234n n n a a a -=-+，即134n n a a -=-.
从而()1232n n a a --=-，即
12
32
n n a a --=-. 因为13a =，所以121a -=.
所以数列{}2n a -是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可得123n n a --=，即1
32n n a -=+.
因为()()12
11n n n n a b a a +-=--，所以()()1113111231313131n n n n
n n b ---⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
. 则011221111111111123131313131313131n n n n n T ---⎛⎫=
⨯-+-+⋯+-+- ⎪++++++++⎝⎭（ 故0111111112313122314232
n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=
⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⨯+⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题第一问主要考查等比数列的证明，只需数列的第n 项与第n -1项之比为非零常数即可;第二问
主要考查裂项相消的方法求数列的前n 项和;属于基础试题.
19.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
的短轴长为，离心率为13．
（1）求椭圆C 的标准方程;
（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程.
【答案】（1）22
198x y +=（2
）0y -+=
【解析】 【分析】
（1）由题意可得：2b ＝
，c 1a 3
=
，a 2＝b 2+c 2
．联立解出即可得出椭圆C 的标准方程．（2）A （﹣3，0），B （3，0），F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设F 1M 的方程为：x ＝my ﹣1，M （11x ,y ），（1y ＞0），直线F 1M 与椭圆的另一个交点为M ′（22x ,y ）．由12F M //F N 根据对称性可得：()22N x ,y --.直线方程与椭圆方程联立化为：（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，根据根与系数的关系及其123k 2k 0+=，得12
123y 2y my 2my 2
+=
++0，联立解得m ．
【详解】（1
）由题意，得2b =c 1a 3
=. 又222a c b -=，∴a 3=
，b =，c 1=.
∴椭圆C 的标准方程为22
x y 198
+=
（2）由（1），可知()A 3,0-，()B 3,0，()1F 1,0-. 据题意，直线1F M 的方程为x my 1=-
记直线1F M 与椭圆的另一交点为M '，设()()111M x ,y y 0>，()22M x ,y '. ∵12F M //F N ，根据对称性，得()22N x ,y --.
联立228x 9y 72
1x my ⎧+=⎨=-⎩
，
消去x ，得(
)
2
2
8m 9y 16my 640+--=，其判别式Δ0>， ∴12216m y y 8m 9+=
+，12
264
y y 8m 9
=-+.① 由123k 2k 0+=，得12
123y 2y 0my 2my 2
+=++，即12125my y 6y 4y 0++=.②
由①②，解得12128m y 8m 9=
+，2
2112m
y 8m 9
-=+ ∵1y 0>，∴m 0>. ∴()
()
122
2
2128m?112m 64y y 8m 98m 9--=
=
++
.∴m =. ∴直线1F M
的方程为x 1=
-
，即y 0-+=. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.已知函数1ln ()12x f x ax a x
=
-+-，其中a R ∈. （1）若()f x 为单调递减函数，求a 的取值范围； （2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
；（2）(2,)+∞ 【解析】 【分析】
（1）求出导函数211ln ()2x f x a x '
-=
-，使()0f x '
≤，分离参数可得222ln x a x -≤，设2
22ln ()x g x x
-=，利用导数求出()g x 的最小值即可求解.
（2）2
1(1)ln 2()ax a x x
f x x
---=，设21()(1)ln 2
h x ax a x x =---，函数()f x 有两个不同的零点等价于函数()h x 有两个不同的零点，求出(1)(1)()x x h x x
α'
+-=，分类讨论当0a ≥、1a =-、10a -<<或
1a <-时，利用导数判断函数的单调性即可得出函数的零点个数，进而确定a 的取值范围.
【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ∵1ln ()12x
f x ax a x
=
-+-，
∴2
11ln ()2x
f x a x '
-=
-
. 若函数()f x 为单调递减函数，
则()0f x '
≤
∴2
22ln x
a x -≤ 对(0,)x ∈+∞恒成立. 设2
22ln ()x
g x x -=
. 令3
4ln 6()0x g x x '
-==， 解得3
ln 2
x =.
∴3
2x e =.
令3
4ln 6
()0x g x x '
-=
>，解得32x e >， 令34ln 6()0x g x x
'
-=<，解得320x e <<， ∴函数()g x 在320,e ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，在3
2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，
∴函数()g x 的最小值为3231
g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
∴31a e ≤-
，即a 的取值范围是31,e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
.
（2）由已知，2
1(1)ln 2()ax a x x
f x x
---=
. 设2
1()(1)ln 2
h x ax a x x =---，
则函数()f x 有两个不同的零点等价于函数()h x 有两个不同的零点.
∵21(1)1(1)(1)
()(1)ax a x x x h x ax a x x x
α'
---+-=---==
， ∴1o 当0a ≥时，
函数()h x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增. 若函数()h x 有两个不同的零点， 则1
(1)102
h a =-
+<，即2a >. .
当2a >时，
当(1,)x ∈+∞时，(2)22(1)ln 22ln 20h a a =---=->. 当(0,1)x ∈时，()
21
()2ln 2
h x a x x x x =-+-， ∵2120x x -<-<， ∴1
()ln 2
h x a x x >-
+-. ∴1111
22221
ln 02a a a a h e a e e e ----⎛⎫>-+-=> ⎪⎝⎭
.
∴函数()h x 在(0,1)，(1,)+∞上各有一个零点. 故2a >符合题意.
2o 当1a =-时，
∵函数()h x 在(0,)+∞单调递减， ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意.
3o 当10a -<<时，
∵函数()h x 在(0,1)单调递减，在11,a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递减， ∴函数()h x 的极小值为1
(1)102
h a =-
+>. ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意.
4o 当1a <-时，
∵函数()h x 在10,a ⎛⎫-
⎪⎝
⎭单调递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
单调递增，在(1,)+∞单调递减， ∴函数()h x 的极小值为111ln()02h a a a ⎛⎫-=-+-> ⎪
⎝⎭
. ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意. 综上，a 的取值范围是(2,)+∞.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点个数，考查了分类讨论的思想，属于难题.。