江苏省扬州市田家炳实验中学2017届高三数学一轮复习学
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第2课 等比数列
一、教学目标
1.理解等比数列的概念;
2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式,体会基本量的方法与方程的思想;
3.能在具体问题情境中发现等比关系,并能用有关知识来解决问题; 4. 理解等比数列与函数的关系。
二、基础知识回顾与梳理
1、观察以下数列,判断它是否是等比数列,若是,写出公比;若不是,说出理由.
111
.1.1248.1248248
.1111.1010.0101⑴,,,,;⑵-,-,-,-,;⑶-,,-,,;
⑷-,-,-,-,;⑸,,,,;⑹,-,,-,.
【教学建议】本题是课本习题的变式,本题主要是帮助学生复习、理解等比数列的概念. (1)教学时,教师可让学生说明理由.结合本题,强调定义中的关键词“每一项”,通过每小题的说理,不断强化等比数列的定义.
(2)让学生树立这样的意识,判断是否为等比数列,一定要严格按照定义来判断. 2
、x =a x b ,,成等比数列的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【教学建议】这是一题易错题,选A 、B 、C 的学生都会有,原因是等比数列
中要求每
一项及公比都不为零.让学生知道它们为什么是错的,要求学生考虑问题要全面.
3、某厂去年的产值记为1,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年到第五年这个厂的总产值为( )
41.1A
51.1B 511(1.11)C ⨯- 610(1.11)D ⨯-
【教学建议】本题选自课本习题.目的是考查学生的审题能力和复习等比数列前n 项和的公式. 三、诊断练习
题1:等比数列,33,66,
x x x ++的第四项等于 . 答案:
24.- 【分析与点评】本题考查了等比数列的两个方面内容:基本定义、通项公式.
解题思路:首先从条件中能得到数列的特征,可求出此数列中的,x 再根据公比求第4项. 题2.若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=,则公比q = ,前n 项 和n S = . 答案:12,2 2.n +-
【分析与点评】此题学生可以有两个基本解题途径:一是由已知条件列方程组,求出数列的基本量;二是由等比数列的性质直接求出公比. 题3.已知等比数列}{n a ,233=
a ,2
1
43=S ,则公比=q ; 【分析与点评】此题考查了等比数列的通项公式和求和公式,属于基本题,由
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=⋅214
)1(23212
1q q a q a 即可得到答案,对2
1
43=S 也可利用求和公式求解,但要注意对1=q 情
况的讨论。
本题答案为:1或2
1-
题4.若等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则当实数a = 时,{}n a 是等比数列.
【分析与点评】此题有两种方法.方法一:求数列的通项公式,根据等比数列的通项公式的特点求值;方法二:直接根据等比数列前n 项和公式的特点求值.答案:1a =-. 3、要点归纳
(1)强调等比数列的定义以及基本方法的应用; (2)注意两项的等比中项可能有两种情况;
(3)用等比数列前n 项和公式求和一定要看公比是否为1,渗透分类讨论思想. 四、范例导析
例1、在等比数列{}n a 中,S 4=1,S 8=17.
(1)求n a ; (2)求a 17+a 18+a 19+a 20的值.
【教学处理】可让学生先板演,教师再作点评,特别注意解题过程的规范性. 【引导分析与精讲建议】
1、第(1)题分析时,先提出以下问题
问题1:求等比数列的通项公式应想办法求出什么基本量? 问题2:能否直接用等比数列前n 项的和的公式?
2、第(2)题,有可能有学生会逐项求出,要求学生注意整体,所求四项之和实际上和S 4有关.
【说明】第(1)小题采取的是基本量的方法,即转化为关于1,a q 的方程组来处理,体现了方程的思想;第(2)小题体现了整体的思想.
例2、已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0.
(1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=31
32
,求λ.
[解] (1)证明:由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故λ≠1,a 1=1
1-λ,故a 1≠0.
由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1得a n +1=λa n +1-λa n ,即a n +1(λ-1)=λa n . 由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以
a n +1a n =λ
λ-1
. 因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =
1
1-λ
⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ-1n -1
.
(2)由(1)得S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n .由S 5=3132得1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=3132,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=1
32. 解得λ=-1.
练习题:设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知111,42n n a S a +==+, (1)设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式. 五、解题反思
(1)直接根据等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式思考并解决有关等比数列的问题是最基本的解题方法,也是十分重要的解题方法,学生要熟练掌握.
(2)注意灵活选设未知数.例如,当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为 . (3)在要求的几个数中,若有若干个数成等差数列,若干个数成等比数列,应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数.
(4)在解题过程中注意方程思想和整体思想等数学思想的运用.
,,a a aq
q
六、课后训练:
1、等比数列{a n }中,a n >0,a 1+a 2=6,a 3=8,则a 6=
设等比数列的首项为a 1,公比为q ,则由⎩⎪⎨⎪⎧
a 1+a 2=a 1+a 1q =6,
a 3=a 1q 2
=8,
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1=2,
q =2
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1=18,q =-2
3(舍去),所以a 6=a 1q 5
=64
2、在等比数列{a n }中,a 3=7,前3项和S 3=21,则公比q 的值为
根据已知条件得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q 2
=7, ①
a 1+a 1q +a 1q 2
=21, ②②÷①得1+q +q
2
q
2
=3. 整理得2q 2
-q -1=0,解得q =1或q =-12
.
3、在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a m +1·a m -1=2a m (m ≥2),数列{a n }的前n 项积为T n ,若T 2m -1=512,则m 的值为
由等比数列的性质可知a m +1·a m -1=a 2
m =2a m (m ≥2),所以a m =2,即数列{a n }为常数列,a n =2,所以T 2m -1=22m -1
=512=29
,即2m -1=9,所以m =5
4、在正项等比数列{a n }中,a 1 008·a 1 009=
1
100
,则lg a 1+lg a 2+…+lg a 2 016= lg a 1+lg a 2+…+lg a 2 016=lg a 1a 2…a 2 016=lg(a 1 008·a 1 009)1 008
=lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫1100 1 008=lg ()10-2 1 008=-2 016,
5、设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明:由a 1=1及S n +1=4a n +2, 有a 1+a 2=S 2=4a 1+2. ∴a 2=5,∴b 1=a 2-2a 1=3.
又⎩
⎪⎨
⎪⎧
S n +1=4a n +2, ①S n =4a n -1+2n ≥2, ②
①-②,得a n +1=4a n -4a n -1(n ≥2), ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1)(n ≥2). ∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1(n ≥2),
故{b n }是首项b 1=3,公比为2的等比数列. (2)由(1)知b n =a n +1-2a n =3·2n -1
,
∴
a n +12
n +1
-a n 2n =3
4
, 故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12,公差为3
4的等差数列.
∴a n 2n =12+(n -1)·34=3n -1
4
, 故a n =(3n -1)·2n -2
.。