高数强化第三章《一元函数积分学》(思维导图)

第三章
一元函数微分学
不定积分
基本概念
原函数
不定积分
原函数的存在性
连续函数一定有原函数
区间上有第一类间断点，在该区间没有原函数
存在第二类间断点，可能有，可能无
不定积分的性质基本积分公式
三种主要积分法
第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法
分部积分法
三种常见可积函数积分
有理函数积分
三角有理式积分①万能代换（一般法）
②三角变形，换元，分部（特殊法）
简单无理函数积分
令根号下的一堆=t
反常积分（广义积分）
无穷区间上的反常积分
定义
定理
1)比较判别法
2）比较法的极限形式3）P积分
无界函数的反常积分
定义
定理
1)比较判别法
2）比较法的极限形式3）P积分
定积分应用几何应用
平面图形的面积
直角坐标系极坐标系
空间体体积
旋转体体积
二重积分、元素
横截面面积的体积
常用曲线：双纽线摆线星形线
心形线（数三）
经济学中的应用常见函数
边际函数、边际分析弹性函数、弹性分析
注意需求价格弹性的正负！
定积分
概念
分匀合精
几何意义
一重：线与坐标轴围成的面积
二重：线与线围成的面积
有正负
可积性（存在）
充分条件
函数在[a,b]连续，积分存在
在[a,b]有界，且只有有限个间断点，积分存在在[a,b]上只有有限个第一类间断点，积分存在
必要条件积分存在，函数在[a,b]有界
计算（值）
牛顿莱布尼茨公式
换元积分
分部积分
利用奇偶性、周期性公式
点火公式
∫(0,π)xf（sinx）dx＝π/2∫(0,π)f（sinx）dx
变上限积分
定积分性质
不等式
积分中值定理
积分中值定理、广义积分中值定理
常见题型
不定积分
计算不定积分
不定积分杂例多做，积累题型
定积分
概念、性质、存在准则
定积分概念、性质、几何意义连乘形式：①夹逼②取对数
也有不等式和积分中值定理的使用
定积分计算
先考虑下奇偶性，但有些题可能直接做更简便总结计算方法
变上限积分函数及其应用
连续性：f（x）在[a,b]可积，则变上限积分在[a,b]连续
可导性：变上限积分在区间除x0点外均连续，则在x0处①连续②可去③跳跃的可导性及值
理解！！记住！P112
奇偶性：第一章函数奇偶性
处理变上限积分常用:洛必达、等价无穷小代换、积分中值定理
积分不等式
定积分不等式性质变量代换积分中值定理
变上限积分
可以将f（x）与其导数联系起来
柯西积分不等式
反常积分
反常积分的敛散性
1)比较判别法
2）比较法的极限形式3）P积分反常积分计算
核心用法：换元、分部要积累！定积分应用几何应用
先画草图！
经济学中的应用
关联。