人教版九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 传播问题与一元二次方程教案

22．3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际
问题中变量之间的二次函数关系．
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值
或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决图形中最大
面积问题．
一、情境导入
孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边
利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .
设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大
值．
二、合作探究 探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积
小李想用篱笆围成一个周长为60米
的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形
一边长x (单位：米)的变化而变化．
(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自
变量x 的取值范围；
(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？
最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x
2，
从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．
解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2
·x ＝－x
2
＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.
(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2
＋225，∵a
＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，
S 最大值＝225平方米．
方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．
【类型二】利用二次函数判断面积取值成
立的条件
(2014·江苏淮安)用长为32米的篱
笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x
米，面积为y 平方米．
(1)求y 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60
平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理
由．
解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)
求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判
断．
解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2
＋16x (0＜x ＜
16)；
(2)当y ＝60时，－x 2
＋16x ＝60，解得x 1
＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡
场的面积为60平方米；
(3)方法一：当y ＝70时，－x 2
＋16x ＝70，
整理得：x 2
－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280
＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围
成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－
x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大
值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方
米，所以不能围成70平方米的养鸡场．
方法总结：与面积有关的函数与方程问题，
可通过面积公式列出函数关系式或方程．
【类型三】最大面积方案设计
施工队要修建一个横断面为抛物线
的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
解：(1)M (12，0)，P (6，6)．
(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2
＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2
＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的
函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x
2
＋2x .
(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m
2
＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2
＋2m .根据抛物线的
轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2
＋
2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－1
3(m
－3)2
＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根
木杆长度之和l 的最大值为15米．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。