2020-2021学年杭州市七县区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年杭州市七县区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若二次函数y=a2x2−bx−c的图象，过不同的六点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)、D(4,y1)、
E(√2,y2)、F(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是()
A. y1<y2<y3
B. y1<y3<y2
C. y3<y2<y1
D. y2<y1<y3
2.下列事件是必然事件的是()
A. 人掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上
B. 从一副扑克牌中抽出一张恰好是黑桃
C. 任意一个三角形的内角和等于180°
D. 打开电视，正在播广告
3.已知3x=4y(x≠0)，则下列比例式成立的是()
A. x
3=y
4
B. 3
y
=4
x
C. 3
y
=x
4
D. x
y
=3
4
4.等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，则它的周长是()
A. 15cm
B. 20cm
C. 25cm
D. 20cm或25cm
5.如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、
DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=1
2
DH；
④S△ABE=3S△AGE.其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.下列关于二次函数y=x2−3的图象与性质的描述，不正确的是()
A. 该函数图象的开口向上
B. 函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C. 该函数图象关于y轴对称
D. 该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到
7.下列说法错误的是()
A. 无理数的相反数还是无理数
B. 无限小数都是无理数
C. 有理数和无理数统称为实数
D. 实数与数轴上的点一一对应
8.在△ABC中，(√3tanA−3)2+|2cosB−√3|=0，则△ABC为()
A. 等腰直角三角形
B. 有60°角的直角三角形
C. 等边三角形
D. 顶角为120°的等腰三角形
9.如图，矩形ABCD中，AB=4，以顶点A为圆心，AD的长为半径作弧
交AB于点E，以AB为直径作半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为()
A. 2
3
π−√3
B. 2
3
π+√3
C. 2
3π+√3
2
D. 2π−√3
10.已知二次函数y=mx2+x+m(m−3)的图象经过原点，则m的值为()
A. 0或3
B. 0
C. 3
D. 无法确定
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.在△ABC中，若|sinA−√3
2|+|cosB−1
2
|=0，则∠C=______．
12.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，每次从袋子中随即
摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.6附近，则袋子中的红球约有______个．
13.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上
一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD=√3，
∠ADC=60°，则劣弧CD⏜的长为______．
14.已知AB是⊙O的弦，P为AB的中点，连接OA，OP，将△OPA绕点O旋
转到△OQB，设⊙O的半径为1，∠AOQ=135°，则AQ的长为______．
15.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,2)和B(−3,0)，则关于x的
一元一次方程kx+b=0的解为______ ．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC，则∠1的度数是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
17.文具店有三种品牌的6个笔记本，价格是4，5，7(单位：元)三种，从中随机拿出一个本，已知P(
．
一次拿到7元本)=2
3
(1)求这6个本价格的众数．
(2)若琪琪已拿走一个7元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．
①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿
到7元本的概率．
18.如图，▱ABCD的边AB与经过A、C、D三点的⊙O相切．
(1)求证：AC=AD；
(2)如图2，延长BC交⊙O于点E，连接DE.若sin∠ADE=24
，求tan∠DCE
25
的值．
19.图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去(如图2)，它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下
的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B、C在⊙O上)，其中BC//EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．
(1)已知⊙O的半径为2.6cm，BC=2cm，AB=3.02cm，EF=3.12cm，求香水瓶的高度ℎ．
(2)用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积
为S MNPQ=9cm2的有盖盒子(接缝处忽略不计).请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．
20.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销
售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求：
(1)该种药品平均每次降价的百分率．
(2)若按(1)中的百分率再降一次，则每瓶的售价将为多少元？
21.如图，已知正方形OABC的两个顶点坐标分别是A(2,0)，B(2,2).抛物线y=1
2x2−mx+1
2
m2(m≠
0)的对称轴交x轴于点P，交反比例函数y=k
x
(k>0)图象于点Q，连接OQ．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当m=1
2
k=2时，求证：△OPQ为等腰直角三角形；
(3)设反比例函数y=k
x
(k>0)图象交正方形OABC的边BC、BA于M、N两点，连接AQ、BQ，有S△ABQ= 4S△APQ．
①当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B吗？为什么？
②连接OM、ON、MN，试分析△OMN有可能为等边三角形吗？若可能，试求m+2k的值；若不可
能，请说明理由．
22.已知，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且AB=4，顶点P(3,−4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且△MAB的面积为24，求M点的坐标．
23.如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于
点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．
(1)求证：DP是⊙O的切线；
(2)若tan∠PDC=1
，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的
2
长．
参考答案及解析
1.答案：C
解析：解：由二次函数y=a2x2−bx−c可知，抛物线开口向上，
∵A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)、
∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为2<x<2.5，
∴y1>y3，
∵点E到对称轴的距离小于2−√2，点D到对称轴的距离大于4−2.5=1.5，
∴y3<y2<y1，
故选：C．
由解析式可知抛物线开口向上，点A(−1,n)、B(5,n−1)、C(6,n+1)求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
2.答案：C
解析：解：A、人掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上是随机事件；
B、从一副扑克牌中抽出一张恰好是黑桃是随机事件；
C、任意一个三角形的内角和等于180°是必然事件；
D、打开电视，正在播广告是随机事件；
故选：C．
根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.答案：B
解析：解：A、由x
3=y
4
得4x=3y，故本选项错误；
B、由3
y =4
x
得3x=4y，故本选项正确；
C、由3
y =x
4
得xy=12，故本选项错误；
D、由x
y =3
4
得4x=3y，故本选项错误；
故选：B．
根据两內项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．
本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．
4.答案：C
解析：
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，注意分类讨论思想的应用．分两种情况讨论：5cm为腰或底，再根据三角形的三边关系定理即可得出答案．解：当5cm为腰长时，三角形的三边为5cm，5cm，10cm，则不能构成三角形；当5cm为底边时，三角形的三边为5cm，10cm，10cm，则能构成三角形，
三角形的周长为5+10+10=25cm．
故选：C．
5.答案：D
解析：解：如右图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，BE=DF，选项①正确；
∵E、F是AD、BC中点，
∴DE=1
2AD，BF=1
2
BC，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE//DF，BE=DF，
∴∠AEG=∠ADH，∠AGE=∠AHD，
∴△AEG∽△ADH，又AE：AD=1：2，
∴AG：AH=1：2，即G为AH中点，
∴EG为△ADH的中位线，
∴EG=1
2
DH，选项③正确；
同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线，∴AG=GH=CH，选项②正确；
又AD//BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠GBC，
∴△AEG∽△BCG，又AE：BC=1：2，
∴EG：GB=1：2，
∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同，
∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S△ABG=S△AGB，
∴S△ABE=3S△AGE，选项④正确，
则正确的结论有4个．
故选：D．
由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到AD与BC平行且相等，又E和F 分别为AD与BC的中点，利用等量代换得到ED与BF相等，且平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到DEFB为平行四边形，从而得到对边DF与BE相等，选项①正确；由DF与EB平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AEG与三角形ADH相似，且相似比为1：2，故得到G为AH中点，同理得到H为CG中点，即可得到AG=GH=HC，选项②正确；从而得到EG为三角形ADH的中位线，根据中位线性质得到EG等于DH的一半，选项③正确；由AD与BC平行得到两对内错角相等，从而得到三角形AEG与三角形GCB相似，且相似比为1：2，得到EG与GB之比为1：2，根据三角形AEG与三角形AGB底边分别为EG与GB时，高相同，故两三角形面积之比为1：2，从而得到S△ABE=3S△AGE.故选项④正确，从而得到正确选项的个数为4个．
此题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，本题属于结论开放型题，由已知一定的条件，需探求问题的结论，解题的方法也多样化，解决此类问题往往采用执因索果，逐步推理的方法．
6.答案：B
解析：解：A、由a=1>0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x>0时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误；由y=−x2+2x=−(x−1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1,1)，此选项错误；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D、该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；
故选：B．
根据二次函数的性质逐一判断即可得．
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
7.答案：B
解析：解：A、无理数的相反数还是无理数是正确的，如√2的相反数是−√2也是无理数，π的相反数−π，也是无理数等，不符合题意；
B、无理数就是无限不循环小数，原来的说法是错误的，符合题意；
C、有理数和无理数统称为实数是正确的，不符合题意；
D、实数与数轴上的点一一对应是正确的，不符合题意．
故选：B．
A、根据无理数的定义和相反数的定义即可判断；
B、根据无理数的定义进行判断；
C、根据实数的分类进行判断；
D、根据实数与数轴的关系进行判断．
本题考查了实数，无理数是指无限不循环小数，a的相反数是−a，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
8.答案：B
解析：解：因为(√3tanA−3)2+|2cosB−√3|=0，
所以√3tanA−3=0，2cosB−√3=0，
，
所以tanA=√3，cosB=√3
2
所以A=60°，B=30°，
则△ABC为有60°角的直角三角形．
故选：B．
根据非负数的性质和特殊角的三角函数值即可进行判断．
本题考查了等腰直角三角形、非负数的性质、等边三角形的判定、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9.答案：B
解析：
如图，连接AG、EG、由题意易知△AEG是等边三角形，根据S阴=S半圆−S扇形AEG−S弓形AMG计算即可解决问题．
本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
解：如图，连接AG 、EG ．
由题意易知△AEG 是等边三角形，
S 阴=S 半圆−S 扇形AEG −S 弓形AMG
=2π−60π⋅22360−(60π⋅22360−√34
⋅22) =√3+23
π. 故选：B ．
10.答案：C
解析：本题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意．
根据题意得：m(m −3)=0，
∴m =0或m =3，
∵二次函数的二次项系数不为零，
∴m =3．
故选C ．
11.答案：60°
解析：解：根据题意得：{sinA −√32=0…①cosB −12=0…②
， 则sinA =√32，cosB =12， 则∠A =60°，∠B =60°，
∠C =180°−∠A −∠B =60°．
故答案是：60°．
根据非负数的性质，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，以及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B的度数，然后利用三角形的内角和定理求解．
本题考查非负数的性质以及特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．12.答案：2
解析：解：设袋中红球有x个，
=0.6，
根据题意，得：3
3+x
解得：x=2，
经检验：x=2是分式方程的解，
所以袋中红球有2个，
故答案为：2．
根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用白在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
π
13.答案：4
3
解析：解：连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF=90°，
∵∠ADC=60°，∠A=90°，
∴∠ACD=30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF=30°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30°，
∴∠COD=120°，
在Rt△CAD中，CD=2AD=2√3，
在Rt△FCD中，CF=
CD
cos30∘
=2√3
√3
2
=4，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧CD⏜的长=120π×2
180=4
3
π，
故答案为4
3
π.
连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠CDF=90°，根据三角形的内角和得到∠COD=120°，根据三
角函数的定义得到CF=CD
cos∠DCF
=4，根据弧长的计算公式即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
14.答案：√10
2
解析：解：如图，
∵OA=OB，P为AB的中点，
∴OP⊥AB，∠AOP=∠BOP，
∵将△OPA绕点O旋转到△OQB，
∴∠BOQ=∠AOP，QB=AP，
∴∠AOP=∠BOP=∠BOQ，
∵∠AOQ=135°，
∴∠AOP=∠BOP=∠BOQ=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AP=OP=BQ=1
2
AB，∠OAP=∠ABO=∠OBQ=45°，
∴∠ABQ=90°，
∵OA=OB=1，
∴AB=√2，
∴BQ=√2
2
，
∴AQ=√AB2+BQ2=√10
2
，
故答案为：√10
．
2
根据等腰三角形的性质得到OP⊥AB，∠AOP=∠BOP，根据旋转的性质得到∠BOQ=∠AOP，QB= AP，推出△AOB是等腰直角三角形，求得∠ABQ=90°，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15.答案：x=−3
解析：
此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k,b为常数，k≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．所求方程的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
解：方程kx+b=0的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=kx+b过B(−3,0)，
∴方程kx+b=0的解是x=−3．
故答案为x=−3．
16.答案：72°
解析：解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°−36°)÷2=72°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=36°，
∴∠1=72°，
故答案为：72°．
由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
=4本，因此单价为7元有4本，
17.答案：解：(1)6×2
3
这6本的价格为4元、5元、7元、7元、7元、7元，
因此这6个本价格的众数是7元．
(2)①相同；
原来6本价格为：4元、5元、7元、7元、7元、7元，价格的中位数是7+7
2
=7元，后来5本价格为：4元、5元、7元、7元、7元，价格的中位数是7元，
因此相同；
②用列表法列举出所有等可能出现的情况如下：
共有20种等可能的情况，其中两次都是7的有6种，
∴P
(两次都为7)=6
20
=3
10
．
解析：本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
(1)根据6个笔记本，价格是4，5，7(单位：元)三种，从中随机拿出一个本，P(一次拿到7元本)=2
3
.可求出单价为7元的笔记本的本数，进而得出众数；
(2)①求出原来6本价格、后来5本价格的中位数，进行判断即可；
②用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
18.答案：(1)证明：连接AO并延长交CD于F，如图，
∵AB为切线，
∴AF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴AF⊥CD，
∴CF=DF，即AF垂直平分CD，
∴AC=AD；
(2)解：过A点作AH⊥BC，如图，
∵∠ACB+∠ACE=180°，∠ADE+∠ACE=180°，∴∠ACB=∠ADE，
∴sin∠ACB=sin∠ADE=24
25
，
在Rt△ACH中，∵sin∠ACH=AH
AC =24
25
，
∴设AH=24x，AC=25x，
∴CH=√(25x)2−(24x)2=7x，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，AB//CD，
而AD=AC，
∴BC=AC=25x，
∴BH=CB−CH=25x−7x=18x，
在Rt△ABH中，tanB=AH
BH =24x
18x
=4
3
，
∵AB//CD，
∴∠DCE=∠B，
∴tan∠DCE=4
3
．
解析：(1)连接AO并延长交CD于F，如图，根据切线的性质得到AF⊥AB，再利用平行四边形的性质得到AB//CD，所以AF⊥CD，根据垂径定理可判断AF垂直平分CD，从而得到结论；
(2)过A点作AH⊥BC，如图，先根据圆内接四边形的性质得到∠ACB=∠ADE，在Rt△ACH中利用正
弦的定义得到sin∠ACH=AH
AC =24
25
，则可设AH=24x，AC=25x，所以CH=7x，所以BC=AD=
AC=25x，BH=18x，接着根据正切定义得到tanB=4
3
，然后证明∠DCE=∠B，从而得到tan∠DCE 的值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形．
19.答案：解：(1)作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF//BC，∴OH⊥EF，
∴BG=1
2BC，EH=1
2
EF
∴GO=√2．62−12=2.4；OH=√2．62−1.562=2.08，
∴ℎ=2.4+2.08+3.02=7.5cm．
(2)设盒子的高为xcm．
由题意：(22−2x)⋅19−2x
2
=9
解得x=8或12.5(舍弃)，
∴MQ=6，MN=1.5
∵2.6×2=5.2<6；1.3<1.5；7.5<8，
∴能装入盒子．
解析：(1)作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO.解直角三角形分别求出OG，OH即可解决问题；
(2)设盒子的高为xcm.根据S MNPQ=9，构建方程即可解决问题；
本题考查垂径定理，勾股定理，翻折变换，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.答案：解：(1)设该种药品平均每次降价的百分率是x，依题意得：
200(1−x)2=98
解得：x1=0.3，x2=1.7(不合题意舍去)
∴取x=0.3=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
(2)98(1−30%)=68.6(元)
答：若按(1)中的百分率再降一次，则每瓶的售价将为68.6元．
解析：(1)设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200(1−x)2，据此列出方程求解即可；
(2)用连续两次降价后的价格继续下降30%后即可求得答案．
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
21.答案：
解：(1)∵y=1
2x2−mx+1
2
m2=1
2
(x2−2mx)+1
2
m2=1
2
(x−m)2，
∴顶点为(m,0)；
(2)∵m=1
2
k=2，
∴k=4，
∴y=1
2
x2−2x+2；
y=4
x
，
如图1，抛物线对称轴为x=2，
∴点P(2,0).∴Q(2,2)，
连结OQ，∵OP=PQ=2，
∴△OPQ是等腰直角三角形；
(3)①如图2，
∵正方形OABC，顶点A(2,0)，B(2,2)，∴OA=AB=BC=2．
∵M为BC中点，
∴CM=1，M(1,2)．
∴y=2 x
∵S△ABQ=4S△APQ
∴12AB ⋅AP =4×12AP ⋅PQ ，即AB =4PQ ，
∴PQ =14AB =14×2=12
， ∴点Q 的纵坐标为12或−12(负值舍去)，
∴P(4,0)，代入y =12x 2−mx +12m 2
解得：m =4，
∴抛物线解析式为y =12x 2−4x +8．
将B(2,2)代入y =12x 2−4x +8，成立．
∴当M 为BC 边的中点时，抛物线能经过点B ，
(其它方法可酌情给分)
②有可能
如图3所示，当△OMN 为等边三角形时，∠MON =60°，OM =ON ，
在Rt △COM 和Rt △AON 中
{MO =ON CO =OA
， ∴Rt △COM≌Rt △AON ，
∴∠COM =∠AON ，
又∵∠COA =90°，∴∠COM +∠AON =30°，
∴∠COM =∠AON =15°．
作线段ON 的垂直平分线，交x 轴于点D ，连结DN ，
则DO =DN ．
∴∠DNO =∠DON =15°，∠DNA =30°．
设N(2,t)，则DO =DN =2t ，AD =√3t.
∴OA =DO +DA =2t +√3t =2，
解得：t =4−2√3，
∴N(2,4−2√3)，
∴k =2(4−2√3)=8−4√3，
∴反比例函数解析式为y =
8−4√3x ， 由①知，点Q 的纵坐标为12或−12．
当y =12时，如图4，8−4√3x =12， 解得：x =16−8√3，
即m =16−8√3，
∴m +2k =16−8√3+2(8−4√3)=32−16√3，
当y =−12时，如图5，8−4√3x =−12， 解得：x =−16+8√3，
即m =−16+8√3，
∴m +2k =−16+8√3+2(8−4√3)=0．
解析：本题主要考查二次函数的综合题，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
(1)利用配方法求出顶点坐标即可；
(2)利用m =12k =2得出k 的值，进而得出P ，Q 点坐标，即可得出△OPQ 是等腰直角三角形；
(3)①根据S△ABQ=4S△APQ得出1
2AB⋅AP=4×1
2
AP⋅PQ，即AB=4PQ，进而得出点Q的纵坐标为1
2
或
−1
2
(负值舍去)，再求出m的值，将B点代入即可；
②首先判断得出Rt△COM≌Rt△AON，进而得出∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°，求出N点坐标，得出反比例函数解析式，进而得出m的值．
22.答案：解：(1)∵顶点P(3,−4)，故函数的对称轴为直线x=3，
又∵抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，
∴点A、B到对称轴的距离均为2，
故点A、B的坐标分别为：(1,0)、(5,0)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−3)2−4，
将点B的坐标代入上式得：0=a(5−3)2−4，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=(x−3)2−4=x2−6x+5；
(2)设点M的坐标为：(m,m2−6m+5)，
△MAB的面积=1
2×AB×|y M|1
2
×4×|m2−6m+5|=24，
解得：x=7或−1(不合题意的值已舍去)，
故点M的坐标为：(−1,12)或(7,12)．
解析：(1)由对称轴为直线x=3，求出点A、B的坐标即可求解；
(2)设点M的坐标为：(m,m2−6m+5)，则△MAB的面积=1
2×AB×|y M|=1
2
×4×|m2−6m+5|=
24，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
23.答案：(1)证明：连接OD，
∵正方形ABCD中，CD=BC，CP=CP，∠DCP=∠BCP=45°，
∴△CDP≌△CBP(SAS)，
∴∠CDP=∠CBP，
∵∠BCD=90°，
∴∠CBP+∠BEC=90°，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∠OED=∠BEC，
∴∠BEC=∠OED=∠ODE，∴∠CDP+∠ODE=90°，∴∠ODP=90°，
∴DP是⊙O的切线；
(2)解：∵∠CDP=∠CBE，
∴tan∠CBE=tan∠CDP=CE
BC =1
2
，
∴CE=1
2
×4=2，
∴DE=2，
∵∠EDF=90°，
∴EF是⊙O的直径，∴∠F+∠DEF=90°，∴∠F=∠CDP，
在Rt△DEF中，DE
DF =1
2
，
∴DF=4，
∴EF=√DE2+DF2=√42+22=2√5，
∴OE=√5，
∵∠F=∠PDE，∠DPE=∠FPD，∴△DPE∽△FPD，
∴PE
PD =PD
PF
=DE
DF
，
设PE=x，则PD=2x，∴x(x+2√5)=(2x)2，
解得x=2
3
√5，
∴OP=OE+EP=√5+2√5
3=5√5
3
．
解析：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．
(1)连接OD，可证△CDP≌△CBP，可得∠CDP=∠CBP，由∠CBP+∠BEC=90°，∠BEC=∠OED=∠ODE，可证出∠ODP=90°，则DP是⊙O的切线；
(2)先求出CE长，在Rt△DEF中可求出EF长，证明△DPE∽△FPD，由比例线段可求出EP长，则OP 可求出．。