高中物理选修3-3第八章 3理想气体的状态方程

3 理想气体的状态方程
[学科素养与目标要求]
物理观念：1.了解理想气体的模型，并知道实际气体看成理想气体的条件.2.理解理想气体状态方程的内容和表达式．
科学思维：1.掌握理想气体状态方程，知道其推导过程.2.能利用理想气体状态方程分析、解决实际问题．
一、理想气体
1．理想气体：在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律的气体． 2．理想气体与实际气体
(1)实际气体在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍时，可以当成理想气体来处理．
(2)理想气体是对实际气体的一种科学抽象，就像质点、点电荷模型一样，是一种理想模型，实际并不存在． 二、理想气体的状态方程
1．内容：一定质量的某种理想气体，在从一个状态(p 1、V 1、T 1)变化到另一个状态(p 2、V 2、T 2)时，尽管p 、V 、T 都可能改变，但是压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变． 2．表达式：p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2或pV
T ＝C .
3．成立条件：一定质量的理想气体．
1．判断下列说法的正误．
(1)理想气体在超低温和超高压时，气体的实验定律不适用了．( × )
(2)能用气体实验定律来解决的问题不一定能用理想气体状态方程来求解．( × ) (3)对于不同的理想气体，其状态方程pV
T
＝C (恒量)中的恒量C 相同．( × )
(4)一定质量的理想气体温度和体积均增大到原来的2倍，压强增大到原来的4倍．( × ) 2．一定质量的某种理想气体的压强为p ，温度为27 ℃时，气体的密度为ρ，当气体的压强增为2p ，温度升为327 ℃时，气体的密度是________． 答案 ρ
一、对理想气体的理解
为什么要引入理想气体的概念？
答案由于气体实验定律只在压强不太大，温度不太低的条件下理论结果与实验结果一致，为了使气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律，引入了理想气体的概念．
理想气体的特点
1．严格遵守气体实验定律及理想气体状态方程．
2．理想气体分子本身的大小与分子间的距离相比可忽略不计，分子不占空间，可视为质点．3．理想气体分子除碰撞外，无相互作用的引力和斥力．
4．理想气体分子无分子势能的变化，内能等于所有分子热运动的动能之和，只和温度有关．例1(多选)下列对理想气体的理解，正确的有()
A．理想气体实际上并不存在，只是一种理想模型
B．只要气体压强不是很高就可视为理想气体
C．一定质量的某种理想气体的内能与温度、体积都有关
D．在任何温度、任何压强下，理想气体都遵从气体实验定律
答案AD
解析理想气体是一种理想模型，温度不太低、压强不太大的实际气体可视为理想气体；理想气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律，选项A、D正确，选项B错误．一定质量的理想气体的内能只与温度有关，与体积无关，选项C错误．
二、理想气体的状态方程
如图所示，一定质量的某种理想气体从状态A到B经历了一个等温过程，又从状态B到C 经历了一个等容过程，请推导状态A的三个参量p A、V A、T A和状态C的三个参量p C、V C、T C之间的关系．
答案从A→B为等温变化过程，根据玻意耳定律可得p A V A＝p B V B①
从B→C为等容变化过程，根据查理定律可得
p B
T B＝
p C
T C②
由题意可知：T A＝T B③
V B＝V C④
联立①②③④式可得
p A V A
T A＝
p C V C
T C.
1．对理想气体状态方程的理解
(1)成立条件：一定质量的理想气体．
(2)该方程表示的是气体三个状态参量的关系，与中间的变化过程无关．
(3)公式中常量C仅由气体的种类和质量决定，与状态参量(
p、V、T)无关．
(4)方程中各量的单位：温度T必须是热力学温度，公式两边中压强p和体积V单位必须统一，但不一定是国际单位制中的单位．
2．理想气体状态方程与气体实验定律
p1V1
T1＝
p2V2
T2⇒
⎩⎪
⎨
⎪⎧
T1＝T2时，p1V1＝p2V2(玻意耳定律)
V1＝V2时，
p1
T1＝
p2
T2(查理定律)
p1＝p2时，
V1
T1＝
V2
T2(盖—吕萨克定律)
例2(2019·清远市高三上期末)如图1所示，一汽缸竖直固定在水平地面上，活塞质量m ＝4 kg，活塞横截面积S＝2×10－3 m2，活塞上面的汽缸内封闭了一定质量的理想气体，下面有气孔O与外界相通，大气压强p0＝1.0×105 Pa.活塞下面与劲度系数k＝2×103 N/m的轻弹簧相连，当汽缸内气体温度为T1＝400 K时弹簧为自然长度，此时缸内气柱长度L1＝20 cm，g取10 m/s2，活塞不漏气且与缸壁无摩擦．
图1
(1)当弹簧为自然长度时，缸内气体压强p1是多少？
(2)当缸内气柱长度L2＝24 cm时，缸内气体温度T2为多少K?
答案(1)8×104 Pa(2)720 K
解析(1)当弹簧为自然长度时，设封闭气体的压强为p1，对活塞受力分析得：
p1S＋mg＝p0S
代入数据得：p 1＝8×104 Pa
(2)当缸内气柱长度L 2＝24 cm 时，设封闭气体的压强为p 2，对活塞受力分析得： p 2S ＋mg ＝p 0S ＋F 其中：F ＝k (L 2－L 1) 联立可得：p 2＝p 0＋F －mg
S
代入数据得：p 2＝1.2×105 Pa 对缸内气体，根据题意得：V 1＝20S V 2＝24S T 1＝400 K
根据理想气体状态方程，得：p 1V 1T 1＝p 2V 2
T 2
解得T 2＝720 K.
例3 如图2所示，U 形管左端封闭，右端开口，左管横截面积为右管横截面积的2倍，在左管内用水银封闭一段长为26 cm 、温度为280 K 的空气柱，左右两管水银面高度差为36 cm ，外界大气压为76 cmHg.若给左管的封闭气体加热，使管内空气柱长度变为30 cm ，则此时左管内气体的温度为多少？
图2
答案 420 K
解析 以封闭气体为研究对象，设左管横截面积为S ，当左管封闭的空气柱长度变为30 cm 时，左管水银柱下降4 cm ；右管水银柱上升8 cm ，即两端水银柱高度差为：h ′＝24 cm ，由题意得：V 1＝L 1S ＝26S ，p 1＝p 0－p h ＝76 cmHg －36 cmHg ＝40 cmHg ，T 1＝280 K ，p 2＝p 0－p h ′＝52 cmHg ，V 2＝L 2S ＝30S .由理想气体状态方程：p 1V 1T 1＝p 2V 2
T 2
，解得T 2＝420 K.
应用理想气体状态方程解题的一般步骤
1．明确研究对象，即一定质量的理想气体；
2．确定气体在初、末状态的参量p 1、V 1、T 1及p 2、V 2、T 2； 3．由状态方程列式求解； 4．必要时讨论结果的合理性．
例4 (2019·唐山市期末)如图3所示，绝热性能良好的汽缸固定放置，其内壁光滑，开口向右，汽缸中封闭一定质量的理想气体，活塞(绝热)通过水平轻绳跨过滑轮与重物相连，已知活塞的面积为S ＝10 cm 2，重物的质量m ＝2 kg ，重力加速度g ＝10 m/s 2，大气压强p 0＝1.0×105 Pa ，滑轮摩擦不计．稳定时，活塞与汽缸底部间的距离为L 1＝12 cm ，汽缸内温度T 1＝300 K.
图3
(1)通过电热丝对汽缸内气体加热，气体温度缓慢上升到T 2＝400 K 时停止加热，求加热过程中活塞移动的距离d ；
(2)停止加热后，在重物的下方加挂一个2 kg 的重物，活塞又向右移动4 cm 后重新达到平衡，求此时汽缸内气体的温度T 3. 答案 (1)4 cm (2)375 K
解析 (1)加热前p 1S ＋F T ＝p 0S ，F T ＝mg 加热后p 2S ＋F T ＝p 0S ，F T ＝mg ， 所以p 1＝p 2＝0.8×105 Pa ，
加热过程为等压变化，故有L 1S T 1＝(L 1＋d )S T 2
代入数据解得d ＝4 cm.
(2)加挂重物后p 3S ＋F T ′＝p 0S ，F T ′＝(m ＋m ′)g 由理想气体状态方程p 1L 1S T 1＝p 3(L 1＋d ＋d ′)S
T 3
代入数据解得T 3＝375 K.
1．(理想气体状态方程的应用)用固定的活塞把容器分成A 、B 两部分，其容积之比V A ∶V B ＝
2∶1，如图4所示．起初A 中空气温度为127 ℃，压强为1.8×105 Pa ，B 中空气温度为27 ℃，压强为1.2×105 Pa.拔去销钉，使活塞可以无摩擦地移动(不漏气)，由于容器缓慢导热，最后都变成室温27 ℃，活塞也停止移动，求最后A 中气体的压强(T ＝t ＋273 K)．
图4
答案 1.3×105 Pa
解析 设开始时气体A 和B 的压强、体积、温度分别为p A 、V A 、T A 和p B 、V B 、T B ，最终活塞停止时，两部分气体压强相等，用p 表示，温度相同，用T 表示，A 和B 的体积分别为V A ′和V B ′.根据理想气体状态方程可得 A 部分气体：p A V A T A ＝pV A ′T ①
B 部分气体：p B V B T B ＝pV B ′
T
②
活塞移动前后总体积不变，则V A ′＋V B ′＝V A ＋V B ③ 联立①②③和V A ＝2V B 可得
p ＝T (2p A 3T A ＋p B 3T B )＝300×(2×1.83×400＋ 1.2
3×300
)×105 Pa ＝1.3×105 Pa.
2．(理想气体状态方程的综合应用)(2019·济宁一中高三开学考试)图5为一上粗下细且下端开口的薄壁玻璃管，管内有一段被水银密闭的气体，下管足够长，图中管的横截面积分别为S 1＝2 cm 2，S 2＝1 cm 2，管内水银长度为h 1＝h 2＝2 cm ，封闭气体长度l ＝10 cm ，大气压强p 0相当于76 cm 高水银柱产生的压强，气体初始温度为300 K ，若缓慢升高气体温度．试求：(g 取10 m/s 2)
图5
(1)当粗管内的水银刚被全部挤出时气体的温度；
(2)当气体温度为525 K 时，水银柱上端距玻璃管最上端的距离． 答案 (1)350 K (2)24 cm
解析 (1)选择封闭气体作为研究对象，设末态粗管内的水银刚被全部挤出时水银的总长度为h ′，
根据水银的总体积保持不变可得：h 1S 1＋h 2S 2＝h ′S 2，可得：h ′＝6 cm 初态：压强p 1＝p 0－p h 1－p h 2＝72 cmHg ， 体积V 1＝lS 1＝20 cm 3，温度T 1＝300 K 末态：压强p 2＝p 0－p h ′＝70 cmHg ， 体积V 2＝(l ＋h 1)S 1＝24 cm 3，温度为T 2 根据理想气体的状态方程可得p 1V 1T 1＝p 2V 2
T 2
解得粗管内的水银刚被全部挤出时气体的温度： T 2＝350 K.
(2)设温度为525 K 时水银柱上端距离玻璃管最上端的距离为H ， 初态：压强p 2＝70 cmHg ， 体积V 2＝24 cm 3，温度T 2＝350 K
末态：压强p 3＝70 cmHg ，体积V 3＝(l ＋h 1)S 1＋(H －l －h 1)S 2，温度T 3＝525 K 这个过程是等压变化，根据盖—吕萨克定律可得：V 2T 2＝V 3
T 3
解得气体温度为525 K 时，水银柱上端距离玻璃管底部的距离：H ＝24 cm.
一、选择题
考点一 理想气体及理想气体状态方程的理解
1．(多选)关于理想气体的认识，下列说法正确的是( ) A ．它是一种能够在任何条件下都能严格遵守气体实验定律的气体 B ．它是一种从实际气体中忽略次要因素，简化抽象出来的理想化模型 C ．在温度不太高、压强不太低的情况下，气体可视为理想气体 D ．被压缩的气体，不能视为理想气体 答案 AB
2．对于一定质量的理想气体，下列状态变化中可能实现的是( ) A ．使气体体积增加而同时温度降低
B ．使气体温度升高，体积不变、压强减小
C ．使气体温度不变，而压强、体积同时增大
D ．使气体温度升高，压强减小，体积减小 答案 A
解析 由理想气体状态方程
pV
T
＝C 得A 项中若使压强减小就有可能，故A 项正确；体积不变，温度与压强应同时变大或同时变小，故B 项错误；温度不变，压强与体积成反比，故不能同时增大，故C 项错误；温度升高，压强减小，体积不可能减小，故D 项错误． 3．关于气体的状态变化，下列说法中正确的是( )
A ．一定质量的理想气体，当压强不变而温度由100 ℃上升到200 ℃时，其体积增大为原来的2倍
B ．气体由状态1变化到状态2时，一定满足方程p 1V 1T 1＝p 2V 2
T 2
C ．一定质量的理想气体体积增大到原来的4倍，则气体可能压强减半，热力学温度加倍
D ．一定质量的理想气体压强增大到原来的4倍，则气体可能体积加倍，热力学温度减半 答案 C
解析 一定质量的理想气体压强不变，体积与热力学温度成正比，温度由100 ℃上升到200 ℃时，体积增大为原来的1.27倍，故A 错误；理想气体状态方程成立的条件为气体可看做理想气体且质量不变，故B 错误；由理想气体状态方程pV
T ＝C 可知，C 正确，D 错误．
考点二 理想气体状态方程的应用
4.如图1所示为伽利略设计的一种测温装置示意图，玻璃管的上端与导热良好的玻璃泡连通，下端插入水中，玻璃泡中封闭有一定质量的空气．若玻璃管中水柱上升，则外界大气的变化可能是( )
图1
A ．温度降低，压强增大
B ．温度升高，压强不变
C ．温度升高，压强减小
D ．温度不变，压强减小
答案 A
解析 由题意可知，封闭空气温度与大气温度相同，封闭空气体积随水柱的上升而减小，将封闭空气近似看作理想气体，根据理想气体状态方程
pV
T
＝常量，若温度降低，体积减小，则压强可能增大、不变或减小，A 正确；若温度升高，体积减小，则压强一定增大，B 、C 错误；若温度不变，体积减小，则压强一定增大，D 错误．
5．已知湖水深度为20 m ，湖底水温为4 ℃，水面温度为17 ℃，大气压强为1.0×105 Pa.当一气泡从湖底缓慢升到水面时，其体积约为原来的(取g ＝10 m/s 2，ρ水＝1.0×103 kg/m 3)( ) A ．12.8倍 B ．8.5倍 C ．3.1倍 D ．2.1倍 答案 C
解析 湖底压强为p 0＋ρ
水
gh ＝3.0×105 Pa ，即3个大气压强，由理想气体状态方程可得
3p 0V 1(4＋273.15) K ＝p 0V 2(17＋273.15) K
，即V 2＝290.15
277.15×3V 1≈3.14V 1.所以当一气泡从湖底缓慢升到
水面时，其体积约为原来的3.1倍，C 正确．
6．一定质量的理想气体，经历了如图2所示的状态变化过程，则此三个状态的温度之比是( )
图2
A ．1∶3∶5
B ．3∶6∶5
C ．3∶2∶1
D ．5∶6∶3
答案 B
解析 由理想气体状态方程得：pV
T ＝C (C 为常数)，可见pV ＝TC ，即pV 的乘积与温度T 成
正比，故B 项正确．
7．(多选)一定质量的理想气体处于某一平衡态，此时其压强为p 0，有人设计了四种途径，使气体经过每种途径后压强仍为p 0.下面可能实现的途径是( ) A ．先等温膨胀，再等容降温 B ．先等温压缩，再等容降温 C ．先等容升温，再等温压缩
D ．先等容降温，再等温压缩 答案 BD
解析 由理想气体状态方程
pV
T
＝C 分析．T 不变，V 增大时，p 减小；V 不变，T 变小时，p 仍变小，故A 项错误．T 不变，V 减小时，p 增大；V 不变，T 变小时，p 变小，压强可能回到初态的压强值，故B 项正确．V 不变，T 变大时，p 增大；T 不变，V 减小时，p 增大，故C 项错误．V 不变，T 变小时，p 减小；T 不变，V 减小时，p 增大，压强可能回到初态的压强值，故D 项正确． 二、非选择题
8.我国“蛟龙”号深海探测船载人下潜超过七千米．在某次深潜试验中，“蛟龙”号探测到990 m 深处的海水温度为280 K ．某同学利用该数据来研究气体状态随海水深度的变化，如图3所示，导热良好的汽缸内封闭一定质量的气体，不计活塞的质量和摩擦，汽缸所处海平面的温度T 0＝300 K ，压强p 0＝1 atm ，封闭气体的体积V 0＝3 m 3.如果将该汽缸下潜至990 m 深处，此过程中封闭气体可视为理想气体．求990 m 深处封闭气体的体积(1 atm 相当于10 m 深的海水产生的压强)．
图3
答案 2.8×10－
2 m 3
解析 当汽缸下潜至990 m 深处时，设封闭气体的压强为p ，温度为T ，体积为V ，由题意知p ＝100 atm.
由理想气体状态方程得p 0V 0T 0＝pV T ，代入数据得
V ＝2.8×10－2 m 3.
9.如图4所示，圆柱形汽缸A 中用质量为2m 的活塞封闭了一定质量的理想气体，气体温度为27 ℃，汽缸中的活塞通过滑轮系统悬挂一质量为m 的重物，稳定时活塞与汽缸底部的距离为h ，现在重物m 上加挂一个质量为m
3的小物体，已知大气压强为p 0，活塞横截面积为S ，
m ＝p 0S
g
，不计一切摩擦，求当气体温度升高到37 ℃且系统重新稳定后，重物m 下降的高度．
图4
答案 0.24h
解析 以汽缸内气体为研究对象，初状态下：
p 1S ＋mg ＝p 0S ＋2mg
V 1＝hS ，T 1＝300 K
末状态下：p 2S ＋43
mg ＝p 0S ＋2mg V 2＝(h ＋Δh )S ，T 2＝310 K
由题意知m ＝p 0S g ，解得p 1＝2p 0，p 2＝53
p 0 根据理想气体状态方程：p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2
解得：Δh ＝0.24h .
10.如图5所示，绝热汽缸A 与导热汽缸B 均固定于地面上，由刚性杆连接的绝热活塞与两汽缸间均无摩擦．两汽缸内装有处于平衡态的理想气体，开始时体积均为V 0、温度均为T 0.缓慢加热A 中气体，停止加热达到稳定后，A 中气体压强变为原来的1.2倍．设环境温度始终保持不变，求汽缸A 中气体的体积V A 和温度T A .
图5
答案 76
V 0 1.4T 0 解析 设初态压强为p 0，膨胀后A 、B 中气体压强相等，p A ＝p B ＝1.2p 0，B 中气体始、末状
态温度相等，有p 0V 0＝1.2p 0(2V 0－V A )，所以V A ＝76V 0，A 中气体满足p 0V 0T 0＝1.2p 0V A T A
，所以T A ＝1.4T 0.
11．竖直平面内有一直角形内径处处相同的细玻璃管，A 端封闭，C 端开口，最初AB 段处于水平状态，中间有一段水银将气体封闭在A 端，各部分尺寸如图6所示．初始时，封闭气体
温度为T1＝300 K，外界大气压强p0＝75 cmHg.求：
图6
(1)若对封闭气体缓慢加热，当水平管内水银全部进入竖直管内时，气体的温度是多少；
(2)若保持(1)问的温度不变，从C端缓慢注入水银，使水银与C端管口平齐，需要注入水银的长度为多少．
答案(1)450 K(2)14 cm
解析(1)设细管的横截面积为S，以AB内封闭的气体为研究对象．
初态p1＝p0＋5 cmHg＝80 cmHg，V1＝30S，T1＝300 K
当水平管内水银全部进入竖直管内时，此时：p2＝p0＋15 cmHg＝90 cmHg，体积V2＝40S，
设此时温度为T2，由理想气体状态方程得：p1V1
T1＝p2V2
T2
解得T2＝450 K.
(2)保持温度不变，初态p2＝90 cmHg，体积V2＝40S，末态p3＝p0＋25 cmHg＝100 cmHg 由玻意耳定律得：p2V2＝p3V3
解得V3＝36S
故需要加入的水银长度Δl＝(30＋20－36) cm＝14 cm.。