数学理卷·2019届内蒙古呼伦贝尔市高三模拟统一考试(一)

2018年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(一)
数 学 (理工类)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}
223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =（ ） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．()1,2- D ．(]1,3- 2. 复数12-=
i i
z （i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A. i
B.i -
C.1
D.1-
3. 已知向量(1,2),=a (2,)t =b , 且0⋅=a b ，则=|b |（ ）
B.
C. D.5 4．已知变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5.如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++（其中
0A >,0ω>，
π
π2
ϕ<<），那么12时温度的近似值（精确到1C ︒）是（ ）
A ．25C B.26C C.27C D.28C
6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
正视
侧视 视视
俯视
A ．12
B ．18
C ．24
D ．36
7.已知O 为坐标原点,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ,B 两点,则的值是（ ）
A. B.
C. 3
D. 3
8．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中
的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ” 表示m 除以n 的余数），若输入的m ,n 分别为6105，2146， 则输出的m =（ ） A. 0B.31 C. 33 D. 37 9.已知函数
是定义在
上的奇函数，当0x <时，
()x f x xe =，给出下列命题： ①当0x >时，()x f x xe -=-； ②函数
的单调递减区间是(,1),(1,)-∞-+∞；
③ 对12,x x R ∀∈，都有122
|()()|f x f x e
-≤. 其中正确的命题是
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②
10．已知A ()
34,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）.
A.
233 B. 235 C. 211 D. 2
13
11．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC
，1,AC BC AC BC PA ⊥===，为（ ） A
B ．7
2
π
C ．5π
D ．20π
12.设函数()f x 定义域为R ，且满足f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),当[]0,1x ∈时,f(x)=2x -1, 则函数
()()()c o s
g x x f x π=-在区间13,22⎡
⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的所有零点的和为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2D . 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. (1＋x )7(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是
_________.
14.某次考试中，小丽、小东和小欣三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下，小丽
说：小欣没有考满分；小东说：是我考的；小欣说：小丽说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．
15.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝_______.
16.已知点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且
c PF 2||21=+，△PF 1F 2的面积为ac ，则双曲线的离心率是___________.
三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；
(2)设S n =a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2，求使S n >0的n 的最大值。

18.(12分)
在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点. （1）当1A M MC +取得最小值时，求证：1B M ⊥平面MAC ； （2）若DD 31=,求二面角B-B 1C-M 的正弦值.
19．(12分)
考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为i
i R P N
=
，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；
（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度．定
义统计量22
2
11221
[()()()]n n S P P P P P P n
'''=-+-+
+-，考试评价规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估
合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．
20．（12分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为
，四个顶点构成的四边形的面积是4；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 、B 是椭圆上、下两个顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，
E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，求O
E G ∠的大小．
21.（12分）
已知函数()ln e x f x x λ-=-（λ∈R ）．
（1）若函数()f x 是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当120x x <<时，都有2
1
112
1
e e 1x x x x --->-
． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分）
在极坐标系中，点M 的坐标为3,2π⎛⎫
⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；以极点为坐标原点，极
轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点M ． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.
（1）若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；
(2)若 4a ＋1
b
≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围．
2018年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(一) 答案
数 学 (理工类)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一．选择题：
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 126 14．小丽 15.216.
2
5
1+ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；
(2)设S n =a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2，求使S n >0的n 的最大值。

17．解：（1）设{a n }的公差为d.由题意，a 2
11＝a 1a 13，
即(a 1＋10d)2
＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.
又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.…………………6分 (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而
S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2
(－6n ＋56)＝－3n 2
＋28n.
使S n >0的n 的最大值n=9 …………………12分
18.(12分)
在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点. （1）当1A M MC +取得最小值时，求证：1B M ⊥平面MAC ；
（2） 若DD 31=,求二面角B-B 1C-M 的正弦值。

18解：(1)将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开与侧面11ADD A 共面，当1,,A M C 共线时，1A M MC +取得最小值.由11,2AD CD AA ===,得M 为1DD
的中点， 连接1C M 在1C MC ∆
中，2
2
1112,C M MC C C C C MC ==∴+=212MC MC +， 得190CMC ∠=，即1CM C M ⊥，又11B C ⊥平面11CDD C ，
11B C CM ∴⊥又1111,B C C M C CM ⋂=∴⊥平面11B C M ，1CM B M ∴⊥，
同理可证，1B M AM ⊥，又1,AM MC M B M ⋂=∴⊥平面MAC . …………………6分
(2)设所求二面角为α，以点A 为原点， AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系0-xyz ，则点C （1,1,0），点B 1（1,0,2），点M （0,1，
3
2
） 设平面B 1CM 的一个法向量为),,(z y x =,则
⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙001CM m B ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-∙=-∙⇒0)32,0,1(),,(0)2,1,0(),,(z y x z y x ⎩⎨
⎧=-=-⇒02302z x z y 不妨设z=3则)3,6,2(=
又平面BB 1C 的一个法向量)0,0,1(= 所以7
2
|1
362)0,0,1()3,6,2(|
|,cos |222=
⨯++∙=><n m ∴7
5
3sin =
α…………………12分 19．(12分)
考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为i
i R P N
=
，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，随机抽取了20
名学生的答题数据进行统计，结果如下：
（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；
（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i
P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度．定义统计量22
2
11221[()()()]n n S P P P P P P n
'''=-+-++-，考试评价规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合
理．判断本次测试对难度的预估是否合理．
19解：（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为
4
0.220
=． 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题． ……………4分
（2）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此这2名学生中至少有1人答对第5题的概率为
p=1-220
216C C =197 …………………8分
（3）222221
[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5
S =-+-+-+-+-0.012=．
因为0.0120.05S =<
， 所以，该次测试的难度预估是合理的．…………………12分
20．（12分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率为
，四个顶点构成的四边形的面积是4；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 、B 是椭圆上、下两个顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，求OEG ∠的大小． 20．解：（1）由题设知，
，
，又a 2
﹣b 2
=c 2
，解得a=2，b=1．
故所求椭圆C 的方程是． …………………4分
(2)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 0
0(
,)2
x y ． 因为点M 在椭圆C 上，所以2
20014
x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为00
2(1)
1y y x x --=
． 令1y =-，得C 00(
,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 0
0(,1)2(1)
x y --． 所以00(
,)2x OE y =，0000(,1)22(1)
x x GE y y =-+-． 因为000
000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-2220000044(1)
x x y y y =
-++- 20004414(1)
y y y -=-+-0011y y =--+0=，
所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒．……………………12分
21.（12分）
已知函数()ln e x f x x λ-=-（λ∈R ）．
（1）若函数()f x 是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当120x x <<时，都有21112
1
e e 1x x x x --->-
． 21．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln e x f x x λ-=-， ∴e ()e
x
x
x f x x
x
λ
λ--+'=
+=
，
∵函数()f x 是单调函数，∴()0f x '≤或()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， ①∵()0f x '≤，∴e 0x
x x
λ-+≤，即e 0x x λ-+≤，e e x x
x
x λ--=-
≤， 令()e x x x ϕ=-
，则1
()e
x
x x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>． 则()x ϕ在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增，∴min 1()(1)x e ϕϕ==-，∴1
e
λ-≤；
②∵()0f x '≥，∴
e 0x x x λ-+≥，即e 0x x λ-+≥，e e x x x
x λ--=-≥， 由①得()e
x x
x ϕ=-在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增，
又(0)0ϕ=，x →+∞时()0x ϕ<， ∴0λ≥；
综上①②可知，1e
λ-≤或0λ≥；…………………6分
(2)由（1）可知，当1e λ-=时，1()ln e e
x f x x -=--在(0,)+∞上递减，∵120x x <<， ∴12()()f x f x >，即121211ln e ln e e e
x x x x ---->--，∴211112e e ln ln x x x x --->-， 要证211121e e 1x x x x --->-
，只需证2121ln ln 1x x x x ->-，即证1221
ln 1x x
x x >-，
令12x t x =
，(0,1)t ∈，则证1ln 1t t >-，令1()ln 1h t t t =+-，则21
()0t h t t
-'=<， ∴()h t 在(0,1)上递减，又(1)0h =，∴()0h t >， 即1
ln 1t t
>-，得证． …………………12分
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【选修4—4：坐标系与参数方程】 (10分） 在极坐标系中，点M 的坐标为3,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，曲线C
的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的
正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点M ． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值． 22.解：（1）∵在极坐标系中，点M
的坐标为，
∴
x=3cos
=0，
y=3sin
=3，∴点M 的直角坐标为（0，3），
∴直线方程为y=﹣x+3，
由
，得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0，
即（x ﹣1）2
+（y ﹣1）2
=2 …………………5分
(2)圆心（1，1）到直线y=﹣x+3
的距离，
∴圆上的点到直线l
的距离最大值为，
而弦
.
∴△PAB
面积的最大值为
．…………………10分
23.【选修4—5：不等式选讲】（10分）
已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.
（1）若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；
(2)若 4a ＋1
b
≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围．
解：（1）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，
∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
＝14
，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立， 由ab ≤m 恒成立，故m ≥1
4；. …………………5分
(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋a
b
≥9，
故4a ＋1
b
≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，不等式化为1－2x ＋x ＋2≤9，解得－6≤x ≤－2， 当－2＜x ＜12，不等式化为1－2x －x －2≤9，解得－2＜x ＜1
2，
当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －2≤9，解得1
2≤x ≤12，
综上所述x 的取值范围为[－6，12]. (10)。