专题 空间几何体的表面积与体积 课后练习一及详解
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥， 则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 ， 设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。
试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.2.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，所得圆柱的底面半径和高均为为，所以圆柱的侧面积为，选A.【考点】旋转体的侧面积.3.三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则________.【答案】【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，【考点】几何体的体积.4.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算5.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.6.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.7.如图：已知长方体的底面是边长为的正方形，高，为的中点，与交于点．（1）求证：平面；（2）求证：∥平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）要证平面，就要在平面内找两条与垂直的相交直线，由于是正方形，因此有，而在长方体中，侧棱与底面垂直，从而一定有，两条直线找到了；（2）要证平面，就应该在平面内找一条直线与平行，观察图形发现平面与平面相交于直线（是与的交点），那么就是我们要找的平行线，这个根据中位线定理可得；（3）求三梭锥的体积，一般是求出其底的面积和高（顶点到底面的距离），利用体积公式得到结论，本题中点到底面的距离，即过到底面垂直的直线比较难以找到，考虑到三棱锥的每个面都是三角形，因此我们可以换底，即以其他面为底面，目的是高易求，由于长方体的底面是正方形，其中垂直关系较多，可证平面，即平面，因此以为底，就是高，体积可得.试题解析：（1）底面是边长为正方形，底面，平面 3分，平面 5分（2）连结，为的中点，为的中点∥， 7分又平面，平面∥平面 10分（3），，，同样计算可得，为等腰三角形， 12分，，等腰三角形的高为14分【考点】（1）线面垂直；（2）线面平行；（3）几何体的体积.8.如图，已知正方形的边长为,点分别在边上,,现将△沿线段折起到△位置，使得．（1）求五棱锥的体积；（2）在线段上是否存在一点,使得平面？若存在，求；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于△沿线段折起到△的过程中，平面平面始终成立.所以平面.又因为，正方形的边长为，点分别在边上，.即可求得结论.(2)因为线段上是否存在一点,使得平面，即相当于过点B作一个平面平行于平面.故只需OM平行于即可.试题解析：（1）连接，设，由是正方形，，得是的中点，且，从而有，所以平面，从而平面平面， 2分过点作垂直且与相交于点，则平面 3分因为正方形的边长为，，得到：，所以，所以所以五棱锥的体积； 6分（2）线段上存在点，使得平面，． 7分证明：，，所以，所以平面， 9分又，所以平面， 10分所以平面平面， 11分由在平面内，所以平面. 12分【考点】1.线面垂直.2.面面垂直.3.五棱锥的体积.4.线面平行与面面平行.9.侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设为正三棱锥为S-ABC，则S在平面ABC内射影为底面中心O(如图为一个轴截面)又底面周长为9，所以底面正三角形的高CD=，∴CO=×=又SC=2，解直角三角形SOC得正三棱锥的高SO=1∴V=××3××1=10.已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点是母线的中点，是底面圆的直径，半径与母线所成的角的大小等于．（1）求圆锥的侧面积和体积．（2）求异面直线与所成的角；【答案】（1）（2）或.【解析】（1）根据圆锥的侧面积即体积公式，可直接求出结果. ，.（2）求异面直线所成角，关键在平移，即将空间角转化为平面角.利用中位线实现线线之间平移. 连，过作，则等于异面直线与所成的角或其补角.又，所以为异面直线OC与PB所成的角或其补角.明确角之后，只需在相应三角形中求解即可.试题解析：（1）圆锥的侧面积．，4分（2）连，过作交于点，连．又，．又．，等于异面直线与所成的角或其补角．，或． 9分当时，．，当时，．，综上异面直线与所成的角等于或． 12分【考点】圆锥的侧面积和体积, 异面直线所成角11.已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA="PD=AB=2," 若点P,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设三角形PAD外接圆圆心为，则半径为矩形ABCD外接圆圆心为半径为球心为半径为则有【考点】球，球的表面积12.如图在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是中点，点是边上的任意一点.（1）当点为边的中点时，判断与平面的位置关系，并加以证明；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析；（3）.【解析】（1）证明直线和平面平行的常用方法有两种：①证明直线和平面内的一条直线平行；②若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面．本题中，易证，进而证明面；（2）要证明直线和直线垂直，往往通过证明直线和平面垂直.本题中，只需证明面，因，故只需证明，进而转化为证明面，因，故只需证明，显然易证；（3）求四面体体积，难点是确定四面体的高，如果高不易求，可考虑等体积转化，本题中三棱锥的体积可转化为的体积来求．试题解析：（1）当点为边的中点时，∵点是中点，∴，又∵面，面，∴面. （2）∵平面，∴，又∵底面是矩形，∴，，∴面，又∵面，∴，又，点是中点，∴，又,∴面．平面，10分 （3）作∥交于，则平面，且三棱锥的体积为.14分【考点】1、直线和平面平行的判定；2、直线和平面垂直的判定和性质；3、四面体的体积.13. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB.(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝，∠CDA ＝45°，求四棱锥P-ABCD 的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE 平面ABCD ，所以PA ⊥CE. 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD.又PA∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面PAD.(2)解：由(1)可知CE ⊥AD.在Rt △ECD 中，DE ＝CD·cos45°＝1，CE ＝CD·sin45°＝1. 因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形． 所以S ABCD ＝S ABCE ＋S △ECD ＝AB·AE ＋CE·DE ＝1×2＋×1×1＝. 又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1， 所以V P-ABCD ＝S ABCD ·PA ＝××1＝.14. 如图所示,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E,F 在棱A 1B 1上,点Q 是棱CD 的中点,动点P 在棱AD 上.若EF=1,DP=x,A 1E=y(x,y 大于零),则三棱锥P EFQ 的体积( )A ．与x,y 都有关B ．与x,y 都无关C ．与x 有关,与y 无关D ．与y 有关,与x 无关【答案】C【解析】三棱锥P EFQ 的体积可以看作是以△PEF 为底面,而△PEF 的底EF=1,高A 1P=,与x 有关,三棱锥P EFQ 的高为点Q 到平面PEF 的距离.∵CD ∥EF,∴CD ∥平面PEF.∴点Q 到平面PEF 的距离等于点D 到平面PEF 的距离,与y 无关,故选C.15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为.【答案】【解析】由对称性知正方体对角线即其外接球直径,设球半径为R,正方体棱长为a,则πR3=,R=,则=3,得a=.16.已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为________．【答案】【解析】根据球的体积计算公式，该球的半径是 2.设三棱柱的高为2a，根据题意，得a2＋1＝4，得a＝，故这个三棱柱的高是2，其体积是×()2×2＝.17.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝______.【答案】1∶24【解析】设三棱锥F－ADE的高为h，则＝＝18.如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点．它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．【答案】3【解析】设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)．故长方体的体积为1×1×3＝3.19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(3)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）3（3）【解析】(1)如图，取AB的中点O，连接CO，A1O.∵CA＝CB，∴CO⊥AB，又∵AA1＝AB，得AA1＝2AO，又∠A1AO＝60°，∴∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，∴AB⊥平面A1OC，又A1C⊂平面A1OC，∴AB⊥A1C.(2)∵AB＝CB＝2＝AC，∴CO＝，又A1A＝AB＝2，∠BAA1＝60°，∴在等边三角形AA1B中，A1O＝，∵A1C2＝A1O2＋CO2＝6，∴∠COA1＝90°，即A1O⊥CO，∴A1O⊥平面ABC，∴VABC－A1B1C1＝×22×＝3.(3)作辅助线同(1)以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，则＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则即所以n＝(，1，－1)，则cos<n，＝＝－，所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.20.已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.【答案】【解析】求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，，，，．【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．21.已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.【答案】【解析】求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，，，，．【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．22.如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．A．圆锥的高等于圆柱高的；B．圆锥的高等于圆柱高的；C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点；D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点．【答案】C【解析】本题考查体积公式与空间想象能力，设圆锥的高为，圆柱的高为，则利用倒置前后水的体积不变这个性质知，化简得，均错，现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半，因此把圆柱的母线贴地，则水面过点，但过点的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分，故错误．【考点】体积公式．23.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,点D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面CA1D；(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1-A1DC的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）由直线和平面平行的判定定理知，要证明面，只需在面内找一条直线平行于即可，连接交于点，连接，由三角形中位线定理，得，进而证明面；（2）由面面垂直的判定定理，只需在一个平面内找另一个平面的一条垂线即可，由已知得面，故平面平面；（3）求四面体体积，关键在于利用等体积转化法，选择合适的底面便于求高，∵，依题意，高为，再求底面的面积，进而求三棱锥的体积.试题解析：（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，则为的中点，又是的中点，，又面，面，面．（2），是的中点，，又面，面，，，面，面，平面平面.（3）解： ,则（2）知CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2, , ．【考点】1、直线和平面平行的判定定理；2、面面垂直的判定定理；3、三棱锥的体积.24.已知正四棱锥的所有棱长均为，则过该棱锥的顶点及底面正方形各边中点的球的体积为 .【答案】【解析】为底面的中心，，，球心仍在高线上，在中，，，，∴，则，∴.【考点】1.四棱锥外接球问题；2.球的体积.25.如图，三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求三棱锥的体积的体积．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要以三棱柱为几何背景考查线面平行、线面垂直和几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据题意作出辅助线，在中，利用中位线的性质得，再由线面平行的判定，得证；第二问，由已知条件可以判断四边形是正方形，所以对角线互相垂直，所以，又由于第一问得，所以，再由已知证即可，由已知边长，得，所以，所以为等腰三角形，而为中点，所以为高，得证，再利用线面垂直的判定即可得证；第三问，利用等体积法将三棱锥进行转化，找到已知条件求体积.试题解析：（1）证明：连结，显然过点∵分别是的中点, ∴，又平面，平面，∴平面，（2）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，，∴四边形是正方形，∴，由（1）知，∴，连结，由，知，∴，又易知是的中点，∴，∴平面.（3）因为，所以三棱锥与三棱锥的体积相等，故.【考点】1.中位线的性质；2.线面平行的判定；3.三角形全等；4.线面垂直的判定；5.等体积法.26.已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.【答案】【解析】如下图所示，连接、交于点，连接，则平面，由于四边形为正方形，且边长为，，，，易知，，，所以球的表面积.【考点】锥体的体积、球的表面积27.在四面体中，AB，AC，AD两两垂直，AB=,AD=2,AC=，则该四面体外接球的表面积为．【答案】【解析】方法一:设为球心，因为所以所在截面圆的直径为，取中点，则为截面圆圆心，所以圆面，又所以圆面，所以∥又所以∥四边形是平行四边形，所以，在直角三角形中，，所以 .方法二：由球的对称性及两两垂直可以补形为长方体,长方体的对称中心即为球心, 所以所以.【考点】球及线面关系的应用.28.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为__________【答案】【解析】先设梯形的上底、下底和高，然后利用圆柱和圆锥的体积公式求出以这三边旋转得到的几何体的体积，联立得到的式子可解出上底、下底和高，结合勾股定理，另一腰也可求出，故梯形的周长可以得到。
空间几何体的表面积与体积习题附答案
空间几何体的表面积与体积习题附答案1.圆柱的侧面积可以通过展开图计算，展开图是一个正方形，边长为2πr，所以侧面积为4πr^2，即4πS，因此选项为A。
2.根据三视图可以看出该几何体由两个同底的半圆锥组成，底面半径为1，高为3，因此体积为2×(1/3)πr^2h=π，因此选项为D。
3.根据三视图可以看出该几何体是一个组合体，由一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱锥组成。
直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，因此梯形的高为2，底边为2和4，面积为(2+4)×2/2=6，共有2个梯形，因此梯形的面积之和为12，因此选项为B。
4.根据三视图可以看出该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，圆锥的高为圆柱高的一半，因此圆锥的高为2，圆柱的底面积为π，侧面积为4π，圆锥的侧面积为2π×5/2=5π，因此表面积为π+4π+5π=9π+5π，因此选项为A。
5.根据三视图可以看出该几何体为一个直三棱柱削去一个同底的三棱锥，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，因此三棱柱的体积为底面积×高=3×4×5=60，三棱锥的体积为1/3×底面积×高=1/3×3×4×3=4，因此该几何体的体积为60-4=56，因此选项为C。
C1F＝4，连接EF，交AD于点G，求三角形AEF和四边形ABCG的面积和长方体ABCD-A1B1C1D1的体积．解：首先可以求出AE＝BF＝6，EF＝8，再根据三角形相似可以求出AG＝12，GD＝4，因此AD＝16，AGD为等腰直角三角形，所以GD＝DG＝4，因此CG＝10，BG＝AB－AG ＝4，所以ABCG为梯形，其面积为(AB＋CG)×4＝56.三角形AEF的面积为1/2×AE×EF＝24.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16×10×8＝1280.题目1：一长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
必修二-1.3-空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案
必修二 -1.3- 空间几何体的表面积和体积同步练习和详尽答案1.3空间几何体的表面积和体积【知识总结】1．多面体的面积和体积公式名称侧面积 (S全面积侧)(S 全)棱柱直截面周长×l棱S 侧+2S 底柱 直棱ch柱棱锥各侧面积之和棱S 侧+S 底锥 正棱1ch ′锥2体 积(V)S 底 ·h=S 直截面· hS 底 ·h1S 底 ·h3棱台各侧面面积之和S 侧+S 上底1h(S+S棱3 上底下1台 正棱+S 下底底+ S 下底 S 下底)2台(c+c ′)h ′表中 S 表示面积， c ′、 c 分别表示上、下底面周长， h 表斜高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式名圆柱称S侧2πrl2πS全r(l+r)πV r 2h( 即πr 2l)圆锥圆台球πrlπ(r1+r2)lππ(r1+r 2)l+π2 r(l+r)(r 21+r22)4πR1π1πr 2h3 4 πR3223h(r1+r 1r 23+r 2)表中 l、h 分别表示母线、高， r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径， R 表示半径。
【知能训练】A：多面体的表面积和体积一．选择题1．如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C1中，A1A=AB=2 ，BC=1 ，∠ABC=90°，若规定主（正）视方向垂直平面ACC 1A1，则此三棱柱的左视图的面积为（）A．B．2C．4D．22．某几何体的俯视图是如下图的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A．80B．24+88C．24+40 D． 1183．一个棱锥被平行于底面的平面所截，假如截面面积与底面面积之比为 1：2，则截面把棱锥的一条侧棱分红的两段之比是（）A．1：4C． 1：D． 1：B．1：2+1）（ -1）（4．正六棱台的两底边长分别为1cm ，2cm ，高是 1cm ，它的侧面积为（）A．2．2 C．cm22 cm B 9cm D． 3 cm5．要制作一个容积为 4m 3，高为 1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是（）A．80 元B．120元C．160元D．240 元6．（文）四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形，锥极点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（ AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥 S-ABCD 的体积=（）A ．24B．18C．D．87．某空间组合体的三视图如下图，则该组合体的体积为（）A ． 48B ． 56C ． 64D ． 728．各棱长均为 a 的三棱锥的表面积为（）A ．4a2．a2．a2B 3C 2D ．a29．已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平搁置的直观图是一个边长为 1的正方形，则此四棱锥的体积为（）A ．B ．6C ．D ．210．如图，在三棱柱 A 1B 1C 1-ABC 中， D ，E ， F 分别是 AB ，AC ，AA 1 的中点，设三棱锥 F-ADE的体积为 V1，三棱柱 A 1B1C1-ABC 的体积为 V2，则 V1：V2=．11．将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起，以A，B ，C，D 为极点的三棱锥的体积最大值等于．12．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=8．若 AA 1B1B 水平搁置时，液面恰巧过AC ，BC ，A1C1，B1C1的中点，则当底面 ABC水平搁置时，液面的高为．13．四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，且 PD 垂直于底面 ABCD ，N 为 PB 中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P-ABCD 的体积比为．14．已知某四棱锥，底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如下图．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．15．如下图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C1中，AB=AC=AA 1=2 ，BC=2 ，且∠ A1AB= ∠A1AC=60°，则该三棱柱的体积是．B：旋转体的表面积和体积1．假如圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．4πB．2πC．2πD．4π2．一圆锥的侧面睁开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的全面积是（）A． 5πB．4πC．3πD．2π3．假如圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：D． 2：4．圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面睁开图圆心角等于（）A．πB．πD．以上都C． 2π不对5．圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为 10，则圆台的侧面积为（）A． 81πB． 100πC． 14πD．169π6．已知球的直径 SC=8 ，A，B 是该球球面上的两点， AB=2，∠ SCA=∠SCB=60° ，则三棱锥 S-ABC 的体积为（）A． 2B． 4C． 6D． 87．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则 S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1 8．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2B．1：4C． 1：8D．1： 169．体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为 S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A． S1＜ S2＜ S3＜S3＜S1DB ． S1＜ S3＜ S2． S2＜ S1＜ S3C． S2二．填空题（共 5 小题）10．圆锥和圆柱的底面半径和高都是R，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为．11．已知一个圆柱的侧面睁开图是一个长和宽分别为 3π和π的矩形，则该圆柱的体积是．12．在如下图的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm ，母线长最短 50cm ，最长 80cm ，则斜截圆柱的侧面面积 S=cm 2．13．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于．14．已知一圆柱内接于球 O，且圆柱的底面直径与母线长均为 2，则球为 O 的表面积为．15．已知 A，B，C 是球面上三点，且AB=AC=4cm 到平面 ABC 表面积为，∠BAC=90°，若球心 O 的距离为 2，则该球的3cm ．11．正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 1，此时四周体 ABCD 外接球表面积为．三．解答题（共 3 小题）16．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒构成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长 2cm ．3（1）这类“浮球”的体积是多少 cm（结果精准到 0.1）？（2）要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质，假如每平方米需要涂胶 100克，共需胶多少？17．（文）如图，球O 的半径长为10．（1）求球 O 的表面积；（2）求球 O 的体积；（3）若球 O 的小圆直径 AB=30 ，求 A、B 两点的球面距离．18．设底面直径和高都是 4 厘米的圆柱的内切球为 O．（1）求球 O 的体积和表面积；（2）与底面距离为 1 的平面和球的截面圆为 M，AB 是圆 M 内的一条弦，其长为 2 ，求 AB 两点间的球面距离．参照答案：A：1、A2、B3、C4、A5、C6、D7、C8、D9、D10、11、12、解：不如令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面 AA1B1B水平搁置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形．设△ABC的面积为 S，则 S梯形ABFE= S，V水= S?AA1=6S．当底面 ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为 h ，则有 V 水 =Sh ，∴6S=Sh ，∴ h=6 ．故当底面 ABC水平搁置时，液面高为 6．故答案为：613、1:414、15 、 2B：1、C2、C3、B4、B5、B6、D7、C8、C9、C10、(1+)： 411、12、解：将同样的两个几何体，接柱，柱的面睁开，面展开的面 S=[ （ 50+80 ）×20 π × 2]/2=2600 π cm2．故答案：2600π13、 314 、8π15 、64π16、解：（ 1 ）∵ “浮球”的柱筒直径 d=6cm ，∴半球的直径也是 6cm，可得半径 R=3cm ，∴两个半球的体之和V 球＝πR3＝π ?27＝36πcm3⋯（2分）而 V 圆柱＝πR 2 ?h ＝π× 9×2＝18πcm3⋯（2分）∴“ 浮球” 的体是：V=V球+V圆柱=36π +18π =54π ≈ 169.6cm3⋯ （4分）（2）依据意，上下两个半球的表面是S 球表＝ 4πR 2＝ 4×π×9＝ 36πcm2⋯（6分）而“浮球”的柱筒面：S圆柱侧=2π Rh=2× π × 3× 2=12π cm2⋯ （8分）∴1 个“浮球”的表面S＝＝m2所以，2500 个“浮球”的表面的和2500 S ＝ 2500×m2⋯（10分）＝ 12π∵每平方米需要涂胶 100 克，∴共需要胶的量： 100 × 12 π =1200 π（克）⋯（ 12分）答：种浮球的体169.6cm 3；供需胶 1200 π克．⋯（ 13 分）17 、解：（1）球的表面4 π r 2 =1200 π；⋯（4 分）（2）球的体V ＝πr ＝ 4000π⋯（8分）3；（3）球心O，在△AOB中，球 O的小直径 AB=30，球 O的半径10 ．解得∠AOB＝，所以 A、B两点的球面距离π．⋯（15 分）18、解：（1）∵底面直径和高都是 4厘米的圆柱的内切球为 O，∴球 O 的半径为 2cm ，3，表面积 4π ?22=16π ；∴球 O 的体积为π?2=（2）∵AB是圆 M内的一条弦，其长为 2，∴∠AOB= ，∴AB两点间的球面距离为．。
高中数学必修2 空间几何体的表面积与体积最全试题及答案
空间几何体的表面积与体积一．相关知识点1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。
(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。
(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l。
(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。
2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。
(2)V锥体＝13Sh。
(3)V台体V圆台＝13π(r21＋r1r2＋r22)h，V球＝43πR3(球半径是R)。
一、细品教材1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。
2．(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。
细品教材答案：1．1∶47； 2.3365π cm2二、基础自测1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．72π D．108π3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。
4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。
5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。
基础自测答案1．C；2．B；3．2；4．32；5．94三．直击考点考点一空间几何体的表面积【典例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋2 2 D．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积一、圆柱的体积与表面积问题1：一个圆柱的高度为12 cm，底面半径为8 cm，求其体积和表面积。
解析：首先计算圆柱的体积。
圆柱的体积公式为V = πr²h，其中V 表示体积，π取近似值3.14，r表示底面半径，h表示高度。
代入已知数据，计算得到 V = 3.14 × 8² × 12 = 2419.52 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
圆柱的表面积包括底面积和侧面积两部分。
底面积为圆的面积，即 A₁ = πr²。
侧面积为矩形的面积，即 A₂ = 2πrh。
所以圆柱的总表面积为 A = 2A₁ + A₂ = 2πr² + 2πrh。
代入已知数据，计算得到 A = 2 × 3.14 × 8² + 2 × 3.14 × 8 × 12 = 659.84 cm²。
因此，该圆柱的体积为 2419.52 cm³，表面积为 659.84 cm²。
问题2：一个空心圆柱的高度为10 cm，内半径为4 cm，外半径为6 cm，求其体积和表面积。
解析：首先计算圆柱的体积。
由于是空心圆柱，体积需要减去内部圆柱的体积。
内部圆柱的体积为 V₁ = πr₁²h，外部圆柱的体积为 V₂ =πr₂²h。
所以空心圆柱的体积为 V = V₂ - V₁ = π(r₂² - r₁²)h。
代入已知数据，计算得到 V = 3.14((6²) - (4²)) × 10 = 376.8 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
空心圆柱的表面积也包括底面积和侧面积两部分。
底面积的计算方式与问题1相同。
侧面积为两个圆柱的高度差乘以底面周长，即 A₂ = 2π(r₂ - r₁)h。
高考数学专题《空间几何体的表面积和体积》习题含答案解析
专题8.2 空间几何体的表面积和体积1．（2021·湖南高一期末）已知圆柱1OO 及其展开图如图所示，则其体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】 结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为r ，高为h ，根据展开图得422h r ππ=⎧⎨=⎩，则41h r =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积为22144r h πππ=⨯⨯=， 故选：D.2.（2021·宁夏大学附属中学高一月考）已知圆柱的上、下底面的中心分别为,O O '，过直线OO '的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．12πC ．D ．10π【答案】B【解析】根据圆柱的轴截面面积求出圆柱的底面半径和母线长，利用圆柱的表面积公式，即可求解.【详解】设圆柱的轴截面的边长为x ，因为过直线OO '的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，所以28x =，解得x = 即圆柱的底面半径为r =l =所以圆柱的表面积为222222212S S S r rl πππππ=+=+=⨯+侧底. 练基础故选：B.3．（2021·浙江高二期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．13B．16C．12D．14【答案】D【解析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；如图所示：所以：1111(1)113224V=⨯⨯+⨯⨯=．故选：D．4．（2021·辽宁高一期末）已知一平面截一球得到直径为，则该球的体积为（）3cmA ．12πB ．36πC ．D ．108π【答案】B【解析】 由球的截面性质求得球半径后可得体积．【详解】由题意截面圆半径为r =3R =， 体积为334433633V R πππ==⨯=． 故选：B ．5．（2020·浙江省高考真题）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．73B ．143C ．3D ．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A6.（2018·全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．12πC ．D ．10π【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为的圆，且高为所以其表面积为22212S πππ=+=，故选B.7.（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π9.（2019·北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 10．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面..【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，．1.（2021·浙江高一期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，118826+=x AB BE x ==BC FE G BC H BGE ∆,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==1x ∴==1练提升末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A ．84B ．66C ．126D ．105【答案】A【解析】 由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公式可求得结果.【详解】按照图2中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为7、3，直三棱柱的高为6， 所以，直三棱柱的体积为11736632V =⨯⨯⨯=. 两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，直角梯形的面积为()1272122S +⨯==，四棱锥的高为3h =， 所以，两个四棱锥的体积之和为2121232132V =⨯⨯⨯=， 因此，该“羡除”的体积为1284V V V =+=.故选：A.2.（2021·河北巨鹿中学高一月考）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱1SA =，则该蹴鞠的表面积为（ ）A ．3πB ．6πC ．12πD ．16π【答案】A【解析】 若ASB θ∠=，N 为BC 中点易得AM MN ⊥，再应用余弦定理、勾股定理求得2πθ=，即S ABC -为直三棱锥，即可求外接球半径，进而求表面积.【详解】如下图，若N 为BC 中点，则//MN SB ，又AM SB ⊥，∴AM MN ⊥，又S ABC -为正三棱锥且侧棱1SA =，∴1,2MN AN AB ==，若ASB θ∠=，则25cos 4AM θ=-，222cos AB θ=-， 在Rt AMN △中，222AM MN AN +=，即()33cos 22cos 24θθ-=-，可得cos 0θ=，0θπ<<，∴2πθ=，即S ABC -为直三棱锥，易得外接球半径R ∴该蹴鞠的表面积为243R ππ=.故选：A3．【多选题】（2021·江苏高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为1O ，2O ，半径为2，4，圆台的母线与下地面所成角的正切值为3，P 为12O O 上一点，则（ ）A ．圆台的母线长为6B ．当圆锥的1PO 圆锥2PO 的体积相等时，124PO PO =C ．圆台的体积为56πD ．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为80π【答案】BCD【解析】转化求解圆台的母线长判断Q ；利用比例关系判断B ；求解体积判断C ；取得球的表面积判断D ．【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为1O ，2O ，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，P 为12O O 上一点，3(42)6h =⨯-=，母线l =6矛盾，所以A 错误；1212r r =，124PO PO =，B 正确；16(416)563V πππ=⨯⨯=，C 正确； 设球心到上底面的距离为x ，则22222(6)4x x +=-+，解得4x =，r =80S π=，D 正确；故选：BCD ．4．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯△ABC 设内切圆半径为r ，则： ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯=解得：22r ，其体积：3433V r π==.. 5．（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.【答案】3 9π【解析】如图，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且2PA AB ==，1AD =，所以PB PD ==3PC ===. 最长棱为:3. 该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为1322PC =. 则其外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3；9π.6．（2020·山东省仿真联考3）在三棱锥中，平面，，，，P ABC -PA ⊥ABC 23BAC π∠=3AP =AB =是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】6【解析】 设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，如图所示，则， 所以，则的最小值为，即点到．因为， 所以，所以所以， 所以．取的外接圆的圆心为，则圆的半径连接，作于点， 则点为的中点，所以， 故三棱锥的外接球的表面积．故答案为：6；.Q BCPQ ABC 3πBC =P ABC -57πPQ ABC θP ABC -O R 30sin 2PA PQ PQ θ<==≤PQ ≥PQ AQ A BC 3BAQ π∠=23BAC π∠=3CAQ π∠=AB AC ==2222222cos 23BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅=+-⨯1362⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭6BC =ABC O 'O '1622sin 3r π=⨯=OO 'OM PA ⊥M M PA 2222235724R OA OP ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭P ABC -O 2457S R ππ==57π7.（广东省汕尾市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱表面积（底面和侧面面积之和）为1S ，其外接球的表面积为2S ，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值12S S =________. 【答案】34【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2h r =，上下底面圆圆心连线的中点即为该圆柱外接球的球心，可得外接球的半径R =，再由圆柱的表面积公式和球的表面积公式分别计算1S 、2S 即可得比值.【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，因为圆柱的轴截面是一个正方形，所以2h r =，所以圆柱表面积22212π2π2π2π26πS r r h r r r r =+⋅=+⋅=，其外接球的球心在上下底面圆圆心连线的中点位置， 可知球心到上底面圆的距离为12h r =，由勾股定理可得：外接球的半径R =，所以外接球的表面积)22224π4π8πS R r ===， 所以该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值22126ππ348S r r S ==， 故答案为：34. 8．（2021·重庆市杨家坪中学高一月考）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为在一正三棱柱中挖去一个圆柱后的剩余部分（圆柱的上下两底面圆与三棱柱的底面各边相切），圆柱底面直径为，高为4cm .打印所用原料密度为31g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g. 1.73=，π 3.14=，精确到0.1）.【答案】24.6【解析】由正三棱柱的性质，结合已知求其底面面积，再由棱柱的体积公式求其体积V ，并求圆柱的体积为V '，则模型体积为V V '-，即可求制作该模型所需原料的质量.【详解】由题意，正三棱柱底面(等边三角形)如上图有AE OE AD DC =且2AC AE DC ==，AD AC =，OE ==6AC =，故底面面积1662S =⨯⨯=∴正三棱柱的体积462.3V Sh ===.而圆柱的体积为21237.7V r h ππ'==≈，∴制作该模型所需原料的质量为()124.6V V '-⨯=克.故答案为：24.69．（2021·上海高二期末）五月五是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为8cm ，则现有1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子_______个.【答案】16572【解析】根据题意，利用棱锥的体积公式求得正四面体粽子的体积，进而求得答案.【详解】如图所示，正四面体ABCD 的棱长为8cm ，设底面正三角形BCD 的中心为O ，连接AO ，则AO ⊥平面BCD ，连接BO，则23BO ==AO ==所以一个粽子的体积为：31188)32V cm =⨯⨯⨯=， 由3311000000m cm =16572.8≈ 所以1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子16572个.故答案为：16572.10．（2021·浙江高二期末）在四面体ABCD 中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AB CD ⊥，2BC =，若四面体ABCDABCD 的体积的最大值为___________． 【答案】83【解析】根据题意可以将此四面体放入一个长方体中，则易求四面体高与底面长的关系，再根据体积公式写出其体积表达式，最后利用基本不等式即可.【详解】如图所示，不妨将四面体ABCD 放入下图中的长方体中，则长方体的宽为2，设长方体的长为a ，高为h . 因为四面体ABCD则r==2216a h+=，所以四面体ABCD的体积22111833323BCDa hV S AB ah+=⋅=≤⋅=△，当且仅当a h==面体ABCD的体积最大值为8 3 .故答案为:8 31．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+B．C．563D【答案】D【解析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h练真题下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积((121116433V h S S =+=+= 故选：D.2.（2020·天津高考真题）若棱长为 ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.3.（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积. 【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 2，又球的半径为1， 设O 到平面ABC 的距离为d ，则d ==所以11111332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.4.（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．14B ．12C ．14D ．12【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==， 由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得14b a +=（负值舍去）. 故选：C.5.（2018·全国高考真题（文））设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===2ABC S AB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM 3BE ∴==Rt OMB ∴中，有OM 2==DM OD OM 426∴=+=+=()max 163D ABC V -∴=⨯=故选B.6.（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ． D【答案】D【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥， PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==34433R V R =∴=π==π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =， D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．【答案】.【解析】试题分析:过作，则是的中心，连接,则,,在中，,所以.【考点】多面体的体积.3.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.4. 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C. 【解析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比到内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，即设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为，故，因此选C.【考点】类比推理.5. 如图，四棱锥的底面为一直角梯形，侧面PAD 是等边三角形，其中，，平面底面，是的中点．(1)求证：//平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积．【答案】（1）祥见解析；（2）祥见解析；（3）．【解析】（1）证BE ∥平面PAD ，可先取CD 的中点为M ，构建平面EBM ，证明平面EBM ∥平面APD ，由面面平行，得到线面平行；（2）取PD 的中点F ，连接FE ，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF ⊥平面PDC ，又由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面PDC ； （3）利用等体积法，由V P-ACD =V C-PAD ，即可求三棱锥P-ACD 的体积V ． 试题解析：（1）证明：如图，取PD 的中点F ，连接EF 、AF ，则在三角形PDC 中 ∴EF ∥CD 且，AB ∥CD 且；∴EF ∥AB 且，∴四边形ABEF 是平行四边形， 2分 ∴BE ∥AF ，而BE 平面PAD ，而AF ⊂平面PAD ，∴BE∥平面PAD； 4分（2）证明：在直角梯形中，平面底面，平面底面=AD∴CD⊥平面PAD，，∴CD⊥AF由（1）BE∥AF，∴CD⊥BE 10分（3）解:由（2）知∴CD⊥平面PAD，△PAD是边长为1的等边三角形∴三棱锥的体积= 14分【考点】1．直线与平面平行的判定;2．直线与平面垂直的判定;3．棱柱、棱锥、棱台的体积．6.如图，为圆的直径，为圆周上异于、的一点，垂直于圆所在的平面，于点，于点.（1）求证：平面；（2）若，，求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全,证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；(2)利用棱锥的体积公式求体积.(3)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(4)在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：(1）证明：∵BC为圆O的直径∴CD⊥BD∵AB⊥圆O所在的平面∴AB⊥CD 且AB BD=B∴CD⊥平面ABD又∵BF平面ABD ∴CD⊥BF又∵BF⊥AD 且AD CD="D"∴BF⊥平面ACD 6分（2）法一：∵AB=BC=，∠CBD="45°" ∴BD=CD=∵BE⊥AC ∴E为AC中点又∵CD⊥平面ABD∴E到平面BDF的距离为在Rt△ABD中，由于BF⊥AD 得∴∴ 13分法二：∵AB=BC=，∠CBD="45°" ∴BD=CD=∵BE⊥AC ∴E为AC中点∴E到边AD的距离为在Rt△ABD中，由于BF⊥AD，得，由（1）知BF⊥平面DEF∴ 13分【考点】(1）直线与平面垂直的判定；（2）求四面体的体积.7.将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.【答案】【解析】首先函数的图象为以原点为圆心，为半径的圆在轴上方的半圆，它绕轴旋转一周所形成的几何体是以原点为球心，为半径的球，故体积为.【考点】球及球的体积计算.8.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.9.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的体积为．【答案】.【解析】由三视图可知，原几何体是球体沿其直径切去四分之一部分，所以其体积是四分之三球体积，即，其中【考点】由已知三视图还原为原几何体，球的体积公式.10.两球的体积之比为8:1，则它们的表面积之比为（）A．8:1B．4:1C．:1D．2:1【答案】B.【解析】由两个球的体积之比为及球的体积公式、知，，再由其表面公式、得，即为所求.【考点】球的体积与表面积.11.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 如图，正方体，则下列四个命题： ①在直线上运动时，三棱锥的体积不变； ②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变； ③在直线上运动时，二面角的大小不变； ④是平面上到点D 和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】①∵∥平面，∴∥上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，正确．②在直线上运动时，直线与平面所成角和直线与平面所成角不相等，所以不正确．③当在直线上运动时，的轨迹是平面，即二面角的大小不受影响，所以正确．④∵是平面上到点和距离相等的点，∴点的轨迹是一条与直线平行的直线，而，所以正确,故答案为：C.【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题.2. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是 _________ ．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算3. 已知四边形ABCD 是矩形，AB=，BC=，将△ABC 沿着对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面AB=CD 上射影O 恰落在边AD 上，如图所示． （1）求证：AB 1⊥平面B 1CD ；（2）求三棱锥B 1﹣ABC 的体积V B1﹣ABC ．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）平面ABCD，平面ABCD，所以，又CD AD，AD =O，所以平面，又平面，所以，又，且平面（2）由于平面，平面ABCD，所以在中，，又由得，所以试题解析：（1）平面ABCD，平面ABCD，，又CD AD，AD=O平面，又平面，又，且平面（2）由于平面，平面ABCD，所以在中，，又由得，所以【考点】1.空间线面垂直；2.锥体的体积4.如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）此题是个折叠图形题，平面和立体的互化，分析可知面面；（2）求体积，抓住地面和底面上的高，显然平面面，这个证明很重要，可以确定底面和底面上的高.试题解析：（1）证：面面又面所以平面（2）取的中点，连接平面又平面面所以四棱锥的体积【考点】线面平行的判定，线面垂直的判定.5.将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.【答案】【解析】首先函数的图象为以原点为圆心，为半径的圆在轴上方的半圆，它绕轴旋转一周所形成的几何体是以原点为球心，为半径的球，故体积为.【考点】球及球的体积计算.6.如图水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱平面，主视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为________.【答案】.【解析】由题意得：该三棱柱是正三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为1；该三棱柱的左视图是一个矩形，边长分别为与，所以该三棱柱的左视图面积为.【考点】空间几何体的三视图.7.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
第十八讲空间几何体表面积和体积解析版
第十八讲：空间几何体的表面积及体积【考点梳理】空间几何体的表面积与体积公式表面积体积=+2S S S 表面积侧底 =Sh V=+S S S 表面积侧底1=Sh 3V =++S S S S 下上表面积侧1=(S +S 3V 下上2=4S R π表面积34=3V R π 【典型题型讲解】考点一：空间几何体的表面积【典例例题】例1．（2022·广东深圳·一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A ．8π B ．4π C ．8 D ．4【答案】．A【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径r =2，高h =2，故其侧面积为=22228S r h πππ⨯=⨯⨯=. 故选：A例2．（2022·广东韶关·一模）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为（ ） AB ．1CD 【答案】D【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则21222l r l r ππππ=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得221,4r l ==，则圆锥的高h 故选：D.例3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4π，圆台上､下底面圆的半径分别为1r ，2r （12r r <），则2221r r -=___________.【答案】2【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环， 所以圆台的母线长为21212π2π22ππr r r r -=-， 圆台的侧面积为()()221221212π2π222π4π2r r r r r r +⨯-=-=， 所以22212r r -=.故答案为：2例4．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O ，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为（ ）A ．3:4B ．1:2C ．D ．不能确定【答案】A【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为r ，其高2h r =，其外接球的半径R =，则圆柱的表面积2212226S r r r r πππ=⋅+⋅=，球O 的表面积22248S R r ππ==，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为3:4，故选：A .例5．（2022·广东潮州·高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】．C【详解】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍， 所以22Rl R ππ=， 解得2l R =，设该圆锥的母线与底面所成角α， 则1cos 2R l α==， 所以3πα=．故选：C【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 【变式训练】1．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为___________. 【答案】12π【详解】设圆锥的母线长为l ， 因为圆锥的底面半径3r =，所以圆锥的侧面积S 3rl l ππ==，依题意可得315l ππ=，解得5l =，所以圆锥的高4h ==，所以该圆锥的体积221113412333V Sh r h πππ==⋅=⨯⨯⨯=.故答案为：12π.2．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】8π 【详解】如图所示：设CD =x ，由题意得：C B '=在C BD '中，由余弦定理得：2222cos135C B C D BD C D BD '''=+-⋅⋅，即2222x x ⎛=+- ⎝⎭，即2480x x +-=，解得2x =或4x =-（舍去）， 如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：R所以外接球的表面积为248S R ππ== ， 故答案为：8π3．（2021·广东佛山·一模）（多选）如图，已知圆锥OP 的底面半径r =，内切球的球心为1O ，外接球的球心为2O ，则下列说法正确的是（ ）A ．外接球2O 的表面积为16πB ．设内切球1O 的半径为1r ，外接球2O 的半径为2r ，则213r r =C ．过点P 作平面α截圆锥OPD ．设长方体1AC 为圆锥OP 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为89【答案】．AD【详解】因为S rl l π==，解得2l =，即圆锥母线长为2，则高1h =， 设圆锥外接球半径为2r ，如图，则对2AOO 由勾股定理得22222AO AO OO =+，即()2222221,2r r r =+-=，外接球面积为21416S r ππ==，故A 正确；设内切球1O 的半径为11,r O D 垂直于交PA 于点D ，如图，则对222111,PDO PO DO PD =+，即()222111(2r r -=+，解得13r =，故B 项错误；过点P 作平面α截圆锥OP 的截面面积的最大时，如图，因为h r <，故恰好PAC △为等腰直角三角形时取到，点C 在圆锥底面上，12222PACS =⨯⨯=，故C 项错误；设圆锥OP 有一内接长方体，其中一个上顶点为E ，上平面中心为333,O EO r =，如图，则3333,1PO OO ==，当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大，长方体体积为()22333121,42V r V r ⎛⎫=⋅=- '⎪⎝⎭，当3r ⎛∈ ⎝时，30,V r ⎫'>∈+∞⎪⎭时，0V '<，故2max18129V ⎛=⋅= ⎝， 故D 正确， 故选：AD4.（2022·广东广州·一模）已知三棱锥-P ABC 的棱AP ，AB ，AC 两两互相垂直，AP AB AC ===以顶点P 为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________. 【答案】．43π【详解】由题设，将三棱锥-P ABC 补全为棱长为若2AD AF ==，则4PD PF ==，即,D F 在P 为球心，4为半径的球面上，且O 为底面中心，又2OA =>，4OP =>，所以，面ABC 与球面所成弧是以A 为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为π；面PBC 与与球面所成弧是以P 为圆心，4为半径且圆心角为3π的圆弧，故弧长为43π；面,PBA PCA 与球面所成弧是以P 为圆心，4为半径且圆心角为12π的圆弧，故弧长为3π；所以最长弧的弧长为43π.故答案为：43π. 5.设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.【答案】【解析】设圆锥的顶点为P ，底面圆圆心为点O ，取线段AB 的中点E ，连接OE 、PE 、OA 、OB ，因为PA PB =，OA OB =，则OE AB ⊥，PE AB ⊥，故PE = 因为PO ⊥平面OAB ，OE ⊂平面OAB ，PO OE ∴⊥， 所以，OE 为直线PO 、AB 的公垂线，故1OE =，因为112AE AB ==，OA ∴2PA ==，所以，圆锥PO 2，因此，该圆锥的侧面积为2π=.故答案为：.6.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为210R =，所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为5R =，画出轴截面如图，设圆台上底面圆的半径r ，则4r =所以球心O 到上底面的距离3h =，即圆台的高为3，所以母线长l =所以()12πS r r l =+=侧， 故选：C.考点二：空间几何体体积【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）A B ．83C D ．163【答案】．C【详解】如图，设底面ABCD 中心为O ，连接,CO EO ，由几何关系知，CO EO =212233V =⨯⨯=.故选：C例2.已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】D【解析】解：如图所示：连接11CO DO ，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=， 所以AB ⊥平面1CDO ， 所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯=CDO S AB ， 故选：D例3.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16【答案】C【解析】由题意得12EF AB =，设2EF x =，则4AB x =，BF =.过点E 、F 在平面ABFE 内分别作EM AB ⊥，FN AB ⊥，垂足分别为点M 、N ，在等腰梯形ABFE 中，因为//EF AB ，EM AB ⊥，FN AB ⊥，则四边形MNFE 为矩形， 所以，2MN EF x ==，EM FN =，因为AE BF =，EM FN =，90AME BNF ∠=∠=，所以，Rt AME Rt BNF △≌△，所以，2AB EFAM BN x -===，所以，FN ，所以等腰梯形ABFE 的面积为2242x xS +===，得1x =.所以，22EF x ==，44AB x ==，故方亭的体积为(156241633⨯⨯+=.故选：C.【方法技巧与总结】熟记几何体体积公式，能够画出几何体的直观图 【变式训练】1.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误；圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误． 故选：AC ．2．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为___________. 【答案】12π【详解】设圆锥的母线长为l ， 因为圆锥的底面半径3r =，所以圆锥的侧面积S 3rl l ππ==，依题意可得315l ππ=，解得5l =，所以圆锥的高4h ==，所以该圆锥的体积221113412333V Sh r h πππ==⋅=⨯⨯⨯=.故答案为：12π.3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若12AA AC ==，AB BC ⊥，则此球的体积为__________.【详解】解：设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ，球的半径为R ，球心为O ， 底面ABC 为直角三角形，故其外接圆圆心D 在斜边中点处，则1r =，又1211A O A D ==，在Rt OCD △中，343R V R π====球.. 4．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若12AA AC ==，AB BC ⊥，则此球的体积为__________.【详解】解：设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ，球的半径为R ，球心为O ，底面ABC 为直角三角形，故其外接圆圆心D 在斜边中点处，则1r =，又1211A O A D ==，在Rt OCD △中，343R V R π====球..5.（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，AB CD ==AC BD =BC AD ==则其外接球的体积为______.则四面体A BCD -的外接球即为此长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别x ，y ，z ，外接球半径为R 则2222225,10,13x y y z x z +=+=+=， 所以2222225,10,13x y y z x z +=+=+=,则222214(2)x y z R ++==，解得R =所以343V R π==.6．（2021·广东佛山·一模）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF 则三棱锥A BEF -的体积为（ ）A ．112 B ．14C D ．不确定7．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】8π 【详解】如图所示：设CD =x ，由题意得：C B '=在C BD '中，由余弦定理得：2222cos135C B C D BD C D BD '''=+-⋅⋅，即2222x x ⎛=+- ⎝⎭，即2480x x +-=，解得2x =或4x =-（舍去）， 如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：R所以外接球的表面积为248S R ππ== ， 故答案为：8π8．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，AB CD ==AC BD ==BC AD ==则其外接球的体积为______.【答案】则四面体A BCD -的外接球即为此长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别x ，y ，z ，外接球半径为R 则2222225,10,13x y y z x z +=+=+=， 所以2222225,10,13x y y z x z +=+=+=,则222214(2)x y z R ++==，解得2R =，所以343V R π==.9．（2022·广东清远·高三期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4AB AD AA ===，P 为1DD 的中点，过PB 的平面α分别与棱11,AA CC 交于点E ，F ，且∥AC α，则平面α截长方体所得上下两部分的体积比值为_________；所得的截面四边形PEBF 的面积为___________．【答案】3 【详解】如图，过点B 作AC 的平行线分别与,DA DC 的延长线交于G ，H ，连接,PG PH ，并分别与11,AA CC 交于E ，F ，因为AC ∥GH ，且AC ⊄平面PGH ，GH 平面PGH所以AC ∥平面PGH ， 所以平面PGH 即平面α．因为12,4AB AD AA ===，所以1AE =，所以1(12)222442224,3324-+⨯⨯⨯-==⨯⨯⨯===上下下B ADPE V V V V ．因为四边形PEBF 为菱形，且==EF PB所以12=⨯=PEBF S EF PB故答案为：3；【巩固练习】 一、单选题1．已知圆锥的高为1 ）A ．2B ．52CD ．3【答案】D【解析】如图ABC 是圆锥的轴截面，由题意母线=BC 1CO =，则1sin 2CBO ∠=<，CBO ∠是锐角， 所以30CBO ∠<，于是得轴截面顶角12090ACB ∠>>， 设截面三角形的顶角为θ，则过此圆锥顶点的截面面积21sin 2S θ=⨯，当两条母线夹角为90θ=时，截面面积为2132S =⨯=为所求面积最大值，故选：D.2．若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ） A．B．C．(2D．(2【答案】C【解析】根据题意过顶点S 和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示： 所以4SE SF EF ===，60E F ∠=∠=，所以2EO =，SO 11A ACC 为矩形，设1AA x =，所以11AC AC =，所以11A O =所以111AO SO EO SO =，即111AO SO AA EO SO-=，即22=，解得(2x =. 故选：C.3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）A ．43B ．43πC ．83D ．83π【答案】D【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为2，所以圆锥的体积为2182233ππ⨯⨯⨯=.故选：D4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 【答案】D【解析】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r ，()R r R <， 则21r π=π⨯，24R π=π⨯，解得12r =，2R =． 所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1cm 和4cm ，腰长为3cm ， 即1,4,3AD BC AB ===,过点A 作AH BC ⊥,H 为垂足，所以32BH =，AH =， 故选：D ．5．已知某圆锥的侧面积为 ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】B【解析】设该圆锥底面圆的半径为r ，则π=，故()223108r r +=，即()()229120r r -+=，解得3r = 故选：B6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56BC ．D ．563【答案】B【解析】如图所示，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，点1,O O 分别为上、下底面的中心，连接111,,OA O A OO ，则由题意可知1O O ⊥底面ABCD ，11OA O A ==1A 作11//A E OO 交AO 于点E ，则AE ⊥底面ABCD ，四边形11OEA O为矩形，11OE O A =AE =12AA =，所以11A E O O ==，(221423V =⨯+=故选：B.7．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约为2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯ C ．931.410m ⨯ D ．931.610m ⨯【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ． 棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯+'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ． 二、多选题8．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 【答案】BCD【解析】对于A ，当1BP A D ⊥时，BP 最小，由于11A B BD A D ===B ∴到直线1A D 的距离d =A 错误； 对于B ，将平面11DCB A 翻折到平面1ADA 上，如图，连接AC ，与1A D 的交点即为点P ，此时PA PC +取最小值AC ，在三角形ADC 中，135ADC ∠=,cos1352AC ==B 正确； 对于C ，由正方体的性质可得11//A D B C ，1A D ⊄平面1AB C ，1//A D ∴平面1AB C ，P ∴到平面1AB C 的距离为定值，又1AB C S 为定值，则1P AB C V -为定值，即三棱锥1B ACP -的体积不变，故C 正确；对于D ，由于1BD ⊥平面1AB C ，设1BD 与平面1AB C 交于Q 点，113BQ BD ∴==，设以B 1AB C 交线上任一点为G ，2BG ∴=QG ∴=，G ∴在以Q由于1AB C 13=， 故此圆恰好为1AB C 的内切圆，完全落在面1AB C 内，∴交线长为2π=，故D 正确． 故选：BCD.9．如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD 【解析】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ==，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM SEM FM =⋅=，AC =， 则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD. 10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC 【解析】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误； 圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误． 故选：AC ．。
人教A版高中必修二试题专题讲解+课后训练：空间几何体的表面积与体积课后练习一及详解.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学科：数学专题：空间几何体的表面积与体积题1如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于( ) A.S 2S B.S 2S π C.S 4S D.S 4S π题2一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )A.6π6 B.π2 C.2π2 D.3π2π题3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别绕BC 、AC 、AB 旋转三角形得三个旋转体，其体积V a 、V b 、V c 的大小顺序为________题4如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、BB 1的中点．(1)求三棱锥G －BEF 的体积；(2)若以B 为顶点，求此三棱锥的高．题5已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1，S 2，S 3，则它们之间的关系是________．题6三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、2、3，则此三棱锥的外接球的面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π题7题面：两个球的体积之和是12π，大圆周长之和是6π，这两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D.32题8棱台的体积为76 cm 3，高为6 cm ，一个底面面积为18 cm 2，则另一个底面面积为________．题9正六棱锥P -ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2题10 题面：如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．题11如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧(左)视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )A.36πa 3 B.3πa 3 C.34πa 3 D ．23πa 3题12有一根长为10 cm ，底面半径是0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到0.01 cm)课后练习详解题1答案：D详解:设圆柱的底面半径为r ，则高为2r ，∴S ＝2πr ×2r ＝4πr 2.∴r ＝S 4π.∴V ＝π×r 2×2r ＝π×S 4π×2×S 4π＝S 4·S π. 题2答案：A详解:设正方体的边长为a ，球的半径为R . 根据题意得6a 2＝4πR 2，∴a 2＝23πR 2，即a ＝6π3R .∵V 正方体＝a 3，V 球＝43πR 3. ∴V V 正方体球＝6π6π27R 343πR 3＝6π276π×34π＝6π6. 题3答案：V c <V a <V b .详解:绕BC 旋转三角形得一个圆锥，V a ＝13π×AC 2×BC ＝13π×32×4＝12π. 绕AC 旋转三角形得一个圆锥，V b ＝13×π×BC 2×AC ＝13π×42×3＝16π. 绕AB 旋转三角形得两个圆锥的组合体，V c ＝13π×(125)2×5＝485π.∴V c <V a <V b .题4答案：43；233. 详解: (1)因为S △BEF ＝12BE ·BF ＝12×2×2＝2，BG ＝2，所以三棱锥G －BEF 的体积V ＝13×2×2＝43； (2)若以B 为顶点，则底面为正三角形GEF ，其边长为EF ＝BE 2＋BF 2＝22，所以 S △GEF ＝34×(22)2＝2 3.又因为三棱锥B －GEF 和三棱锥G －BEF 的体积相等，所以当以B 为顶点时，三棱锥的高h ＝4313×23＝233. 题5答案：S 1>S 3>S 2.详解:设正方体的棱长为a ，球半径为r ，圆柱的底面半径为R . 则a 3＝43πr 3＝πR 2·2R ＝2πR 3＝V . ∴a ＝3V ，r ＝33V 4π，R ＝3V 2π. ∴S 1＝6a 2＝623V ，S 2＝4πr 2＝4π233()4V π. S 3＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2＝6π23()2V π. ∴S 1>S 3>S 2.题6答案：A详解:由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它的长、宽、高分别是1、2、3，它的体对角线是球的直径， ∴外接球的直径为2R ＝2221(2)(3)++＝6，面积为6π.题7答案：A详解:设两球半径分别为r 、R ，由题意可得R 3＋r 3＝9，r ＋R ＝3，所以r ＝1，R ＝2. 题8答案：8 cm 2.详解:设另一个底面面积为x cm 2，则由V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)，得76＝13×6×(18＋x ＋18x )，解得x ＝8，即另一个底面的面积为8 cm 2.题9答案：C详解:∵G 为PB 中点，∴V P —GAC ＝V P —ABC —V G —ABC ＝2V G —ABC —V G —ABC ＝V G －ABC又多边形ABCDEF 是正六边形，∴S △ABC ＝12S △ACD .V D —GAC ＝V G —ACD ＝2V G —ABC ∴V D —GAC ∶V P —GAC ＝2∶1.题10答案：1:5详解:长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ， 则截出的棱锥的体积为1111326V abc abc =⨯=． 剩下的几何体的体积21566V abc abc abc =-=，所以，1215V V =∶∶． 题11答案：A详解: 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ，故高h ＝a 2－a 2＝3a ，体积V ＝12×⎝⎛⎭⎫13×πa 2×3a ＝36πa 3.题12答案：27.05 cm.详解:如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .由题意知BC＝10 cm，AB＝2π×0.5×8＝8π cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．10+(8) ≈27.05 cm．∴AC＝22∴铁丝的最短长度约为27.05 cm.。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．【答案】.【解析】设圆锥的底面半径和高为，则其母线长；所以圆锥的侧面积，底面面积，则它的侧面积与底面积的比为.【考点】圆锥的侧面积公式.2.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为 .【答案】【解析】球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1,球的半径为：R= ,所以球的表面积：4πR2=4π×( )2=8π.【考点】球的表面积.3.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若，，PB与底面ABC成60°角，分别是与的中点，是线段上任意一动点（可与端点重合），求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：（1）证明：，，且，而中，（2）解：（2）与底面成角即，在中，，又，在中，分别是的中点，面.【考点】（1）平面与平面垂直的判断；（2）求几何体的体积.4.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．【答案】（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中点，∴，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴，AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．（3）.【解析】（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．（2）根据题中数据，算出，BD=2，，AB=2，从而得到，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．（3）由（2）得到OD为三棱锥D-BOM的高．算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-BOM的体积，即可得到三棱锥B-DOM的体积．试题解析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中点，∴DO=，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=，AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．由OD=2，，所以.【考点】线面平行问题；面面垂直问题；三棱锥的体积.5.四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面（）A．25p B．45p C．50p D．100p【答案】C【解析】作长方体，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，该长方体和四面体有共同的外接球，长方体的对角线长为直径长，，表面积【考点】四面体的外接球的体积.6.如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，是棱的中点。
空间几何体的表面积与体积综合练习题
空间几何体的表面积与体积综合练习题在几何学中，空间几何体的表面积与体积是非常重要的概念。
理解和计算空间几何体的表面积与体积对于解决很多实际问题是至关重要的。
本文将为读者提供一些综合练习题，帮助读者巩固对空间几何体的表面积与体积的理解。
一、长方体1. 一个长方体的长、宽和高分别为12 cm、8 cm和6 cm，求它的表面积和体积。
解析：长方体的表面积公式为S = 2(lw + lh + wh)，其中l、w和h分别代表长方体的长、宽和高。
代入已知数据，可得表面积S = 2(12*8 + 12*6 + 8*6) = 2(96 + 72 + 48) = 2*216 = 432 cm²。
长方体的体积公式为V = lwh，代入已知数据可得体积V = 12 * 8 * 6 = 576 cm³。
2. 一个长方体的表面积为180 cm²，已知它的长和高的比为3:2，求它的长、宽和高。
解析：设长方体的长为3x，宽为x，高为2x。
根据表面积公式S =2(lw + lh + wh)，代入已知数据得到180 = 2(3x*x + 3x*2x + 2x*x) =2(6x² + 6x² + 2x²) = 2*14x² = 28x²。
解得x² = 180/28 = 6.4286，即x≈2.54。
代入x的值可以得到长方体的长约为3*2.54≈7.62 cm，宽约为2.54 cm，高约为2*2.54≈5.08 cm。
二、正方体3. 一个正方体的棱长为10 cm，求它的表面积和体积。
解析：正方体的表面积公式为S = 6a²，其中a代表正方体的棱长。
代入已知数据可得表面积S = 6 * 10² = 600 cm²。
正方体的体积公式为V = a³，代入已知数据可得体积V = 10³ = 1000 cm³。
(完整版)空间几何体的表面积与体积练习题.及答案
For personal use only in study and research; not forcommercial use空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16解析 每个面的面积为：12×2×2×32＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A.1423 B.2843 C.2803D.1403解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843. 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－2π3 B ．8－π3C ．8－2π D.2π3解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π3.5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)．A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝33x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以33x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝13S △ABD ×4＝ 3.二、填空题8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34×22×3＝ 3.9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r＝2πr 3，球的体积是43πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 343πr 3＝3∶2.10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___26_____． 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 11．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR 2____．解析 由球的半径为R ，可知球的表面积为4πR 2.设内接圆柱底面半径为r ，高为2h ，则h 2＋r 2＝R 2.而圆柱的侧面积为2πr ·2h ＝4πrh ≤4πr 2＋h 22＝2πR 2(当且仅当r ＝h 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR 2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR 2.12．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为___13_____cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)． 三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH ，下半部分是长方体ABCDEFGH .图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图． (1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积．解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V ＝V PEFGH ＋V ABCDEFGH ＝13×402×60＋402×20＝64 000(cm 3)．14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2ar π=，底面圆的面积是24a π，于是全面积与侧面积的比是2221222a a a πππ++=， 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248⨯⨯⨯⨯=，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65， 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是 。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案】边长为4，体积为．【解析】由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4．即，三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于∴为中点，为的重心，底面∴，，【考点】图象的翻折，几何体的体积．2.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．【考点】圆柱的侧面积与体积．3.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．4.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以.（1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.5.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.(1)求证:平面PBC⊥面PDC(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB∵DA⊥面ABP,CB∥DA∴CB⊥面ABP CB⊥AB ,∴AB⊥面PBC又DC∥AB,∴DC∥面PBC∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC(2)如图建立空间直角坐标系则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)设E(x,y,z),= (0<<1)则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=设面ABE的法向量为n=(a,b,c),则令c=n=(,0,)同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)∵cos<n,m>====∴=或=1(舍去)∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离∴V=××1××=E-PAB6.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.7.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。
8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)(解析版)
8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）【题组一 多面体表面积】1．（2020·全国高一课时练习）长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( ) A ．12 B ．24 C ．28 D ．32【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==. 故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=. 故选：C.2．（2021·江苏南通市）一个正四棱锥的底面边长为2 A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】B，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B3．（2020·全国高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ） A ．2a B ．212a C ．292a D ．232a 【答案】C【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，12323OD a a =⨯⨯=，111326O D a a =⨯⨯=，116DE OD O D a ∴=-=.在1Rt DED 中，16D E a =，则1D D =a ==. 2193(2)22S a a a a ∴=⨯+=侧.故选：C4．（2020·河北沧州市一中高一月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A ．32 B ．48C ．64D ．323【答案】A 【解析】如图:正四棱锥的高PO ，斜高PE ， 底面边心距OE 组成直角△POE ． ∵OE =2cm ，∠OPE =30°， ∴斜高h ′=PE =4sin 30oOE=，∴S 正棱锥侧=114443222ch =⨯⨯⨯=' 故选：A5．（2020·全国高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）A B ．12C ．8D ．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ， 则SBE △为直角三角形，所以2SE ==，所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△. 故选：B.6．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)81【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高OE h =，由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF故2142h =⨯2=2h +故侧面积为(214448812h ⨯⨯==+=+， 故选：D.7．（2020·山西吕梁市）已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+【答案】A【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S1111222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+故选：A8．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学）长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D9．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ，∴球的直径为正四棱柱的体对角线∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为= ∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，故选：C【题组二 多面体台体积】1．（2021·扶风县法门高中）正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得a =所以该正方体的体积为3V a ==3cm .故答案为：2．（2021·湖南长沙市）如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶4【答案】B【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c 则长方体的体积为1V abc =， 四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：B.3．（2020·浙江高一期末）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =， 所以正四棱锥P ABCD -的体积为311343421809233ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A4．（2020·辽宁沈阳市·沈阳二中高一期末）《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．4003【答案】B【解析】(()2211+=33V S S h a b h '=+⋅ ()2211305545615333=⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．（2021·浙江高一期末）出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =， 底面正方形的面积为234341156S m =⨯=， 则正四棱锥P ABCD -的体积为311115621809233S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A6．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积； （2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【答案】（1）6+；（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为1A AD 、1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积(11123132262A BD A AD A AB ABDS SS S S=+++=⨯+⨯⨯⨯=+（2）正方体的体积为328=，三棱锥1A ABD -的体积为111142223323ABD S AA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420833-=.【题组三 旋转体的表面积】1．（2021·浙江丽水市）经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =，由题可知)2122⨯=，∴2r l ==，侧面积为rl π=， 故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ） A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =则它的母线长510l r ====∴2r，8r '=.∴()(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，22100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧. 故选：C3．（2020·全国高一课时练习）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ） A ．94B ．3C ．12D ．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ， 设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ， ∵圆台的上、下底面互相平行 ∴14l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴3L 4=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3 故选B4．（2020·全国高一课时练习）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( ) A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为(3)4384,7r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.5．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高一期末）圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ） A ．4π B ．3π C ．5πD ．2π【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2， 圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A6．（2021·广西河池市·高一期末）已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________． 【答案】4【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.7．（2021·河南焦作市·高一期末）已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】4π【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r ()02r <<，则由224r a-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()22242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．8．（2020·北京高一期末）将底面直径为8，高为最大值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，4r =，解得2h r =；所以()2224S rh r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为故答案为：. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________. 【答案】4:1【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1【题组四 旋转体的体积】1．（2020·山东菏泽市·高一期末）若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =.故圆锥的高4h =，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C.2．（2021·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.3．（2020·湖南长沙市·高一期末）圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.【答案】3【解析】如图所示，圆锥的母线与其底面所成角的大小为60︒，60SAO ∴∠=︒，由题意设圆锥的底面半径为r ，则母线长为2l r =，高为h =圆锥的侧面积为8π，2228S rl r r r ππππ∴==⋅⋅==侧面积，解得2r ，h =∴圆锥的体积为2211233V r h ππ=⋅⋅=⨯⨯=圆锥．故答案为：3．4．（2020·江苏南京市·高一期末）把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ） A ．23πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切圆半径为1，面积为21ππ⨯=，以此内切圆为底、高为2的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为22ππ⨯=. 故选：C5．（2020·山东日照市·高一期末）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ） A ．61.73 B ．61.71C ．61.70D ．61.69【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则230r π=，所以=5r ， 故221135410033V r h π==⨯⨯⨯=（立方尺）， 因此10061.731.62V =≈（斛）. 故选：A.6．（2020·江苏无锡市·高一期末）某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A ．24π米3 B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【答案】B【解析】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为21614483V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为22618963V ππ=⨯⨯⨯=立方米. 所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米. 故选：B. 【题组五 球】1．（2021·天津滨海新区）在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为外接球的体积为（ ）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则111111B D AC AB AD B C D C ======，由于三棱锥11A B CD -的表面积为所以)121442AB CS S==⨯=a ==，所以正方体的外接球的体积为3463π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．2．（2020·广东高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长， 因为长方体外接球的体积为92π，设外接球半径为R ， 则33924R ππ=，解得32R =，因此2R =22AB BC ==，所以3=12BB =，因此长方体的表面积为：1122248416S AB BC AB BB BC BB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=. 故选：A.3．（2020的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．3【答案】B的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3． 故选：B ．4．（2021·全国高一）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3aC 3aD ．316a π【答案】D【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的12， 所以球的半径为2a ，所以球的体积为334326a a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（2021·湖南邵阳市·高一期末）一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ） A ．12π B ．36πC ．108πD ．4π【答案】B【解析】设球的半径为R ,球的体积为3436=3R ππ,解得3R =,则球的表面积244936R πππ=⨯=， 故选：B6．（2020·浙江高一期末）已知正方体外接球的体积是323π，那么该正方体的内切球的表面积为_____________． 【答案】163π【解析】设正方体棱长为a ，则3432323ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得a =∴内切球半径为23a r ==，表面积为21643S ππ=⨯=⎝⎭． 故答案为：163π．【题组六 组合体的体积表面积】1．（2020·全国高一课时练习）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．【答案】20 323-【解析】由图形观察可知，几何体的面共有2(242)20⨯⨯+=个， 该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积. 两个四棱柱的体积和为222432V =⨯⨯⨯=. 交叉部分的体积为四棱锥S ABCD -的体积的2倍.在等腰ABS 中，SB SB =边上的高为2，则SA =由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD 的菱形. 设AC 的中点为H ，连接,BH SH 易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高，在Rt ABH 中， 2.BH ==又AC SB ==所以 1222ABCDS=⨯⨯=因为BH SH =，所以112233ABCDS ABCD V S -=⨯=⨯=四棱柱所以求体积为3223233-⨯=-故答案为：20；323-2．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.【答案】366π-【解析】因为222345+=，所以底面是直角三角形， 所以上、下底面内切圆半径34512r +-==， 所以剩余部分几何体的体积21346163662V ππ=⨯⨯⨯⨯=-⨯-， 所以剩余部分几何体的体积为366π-.3．（2021·江西九江市）在底面半径为2，高为面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】1)π【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径1r =，若设圆柱的高为h 12=，即h = ∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：2221)S rh r πππ=+=.。
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题1
如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于( ) A.S 2S B.S 2
S π C.S 4S D.S 4S π
题2
一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )
A.
6π6 B.π2 C.2π2 D.3π2π
题3
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别绕BC 、AC 、AB 旋转三角形得三个旋转体，其体积V a 、V b 、V c 的大小顺序为________
题4
如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、BB 1的中点．
(1)求三棱锥G －BEF 的体积；
(2)若以B 为顶点，求此三棱锥的高．
题5
已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1，S 2，S 3，则它们之间的关系是________．
题6
三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、2、3，则此三棱锥的外接球的面积是( )
A ．6π
B ．12π
C ．18π
D ．24π
题7
题面：
两个球的体积之和是12π，大圆周长之和是6π，这两球的半径之差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D.32
题8
棱台的体积为76 cm 3，高为6 cm ，一个底面面积为18 cm 2，则另一个底面面积为________．
题9
正六棱锥P -ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 体积之比为( )
A ．1∶1
B ．1∶2
C ．2∶1
D ．3∶2
题10 题面：
如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．
题11
如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧(左)视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )
A.
36πa 3 B.3πa 3 C.
34πa 3 D ．23πa 3
题12
有一根长为10 cm ，底面半径是0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到0.01 cm)
课后练习详解
题1
答案：D
详解:设圆柱的底面半径为r ，则高为2r ，
∴S ＝2πr ×2r ＝4πr 2.∴r ＝
S 4π.∴V ＝π×r 2×2r ＝π×S 4π
×2×S 4π＝S 4·S π. 题2
答案：A
详解:设正方体的边长为a ，球的半径为R . 根据题意得6a 2＝4πR 2，
∴a 2＝23πR 2，即a ＝6π3R .∵V 正方体＝a 3，V 球＝43
πR 3. ∴V V 正方体球＝6π6π27R 343πR 3＝6π276π×34π＝6π6. 题3
答案：V c <V a <V b .
详解:绕BC 旋转三角形得一个圆锥，V a ＝13π×AC 2×BC ＝13
π×32×4＝12π. 绕AC 旋转三角形得一个圆锥，V b ＝13×π×BC 2×AC ＝13
π×42×3＝16π. 绕AB 旋转三角形得两个圆锥的组合体，V c ＝13π×(125)2×5＝485
π.∴V c <V a <V b .
题4
答案：43；233
. 详解: (1)因为S △BEF ＝12BE ·BF ＝12×2×2＝2，BG ＝2，所以三棱锥G －BEF 的体积V ＝13×2×2＝43
； (2)若以B 为顶点，则底面为正三角形GEF ，其边长为EF ＝BE 2＋BF 2＝22，所以 S △GEF ＝34×(22)2＝2 3.又因为三棱锥B －GEF 和三棱锥G －BEF 的体积相等，所以当以B 为顶点时，三棱锥的高h ＝4313
×23＝233. 题5
答案：S 1>S 3>S 2.
详解:设正方体的棱长为a ，球半径为r ，圆柱的底面半径为R .
则a 3＝43
πr 3＝πR 2·2R ＝2πR 3＝V . ∴a ＝3
V ，r ＝33V 4π，R ＝3V 2π. ∴S 1＝6a 2＝623
V ，S 2＝4πr 2＝4π2
33()4V π. S 3＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2
＝6π2
3()2V π. ∴S 1>S 3>S 2.
题6
答案：A
详解:由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它的长、宽、高分别是1、2、3，它的体对角线是球的直径，
∴外接球的直径为2R ＝6，面积为6π.
题7
答案：A
详解:设两球半径分别为r 、R ，由题意可得R 3＋r 3＝9，r ＋R ＝3，所以r ＝1，R ＝2.
题8
答案：8 cm 2.
详解:设另一个底面面积为x cm 2，则由V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)，得76＝13
×6×(18＋x ＋18x )， 解得x ＝8，即另一个底面的面积为8 cm 2.
题9
答案：C
详解:∵G 为PB 中点，∴V P —GAC ＝V P —ABC —V G —ABC ＝2V G —ABC —V G —ABC ＝V G －ABC
又多边形ABCDEF 是正六边形，
∴S △ABC ＝12
S △ACD .V D —GAC ＝V G —ACD ＝2V G —ABC ∴V D —GAC ∶V P —GAC ＝2∶1.
题10 答案：1:5
详解:长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，
则截出的棱锥的体积为1111326
V abc abc =⨯=．
剩下的几何体的体积21566
V abc abc abc =-
=，所以，1215V V =∶∶． 题11 答案：A
详解: 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上，如图，
由条件知，圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ，
故高h ＝a 2－a 2＝3a ，
体积V ＝12×⎝⎛⎭⎫13
×πa 2×3a ＝36πa 3.
题12
答案：27.05 cm.
详解:如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .
由题意知BC ＝10 cm ，AB ＝2π×0.5×8＝8π cm ，点A 与点C 就是铁丝的起止位置，故线段AC
的长度即为铁丝的最短长度．
∴AC cm ．
∴铁丝的最短长度约为27.05 cm.。