新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)

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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减 区间是(－∞，－3]和[－1，1]．
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(2)函数 f(x)可化为： －2x，x≤－3，
f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝6，－3<x≤3， 2x，x>3.
作出函数 f(x)的图象如图所示．
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金版点睛 抽象函数单调性的判断方法
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－－fx2x2>0. 对单调递减的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不 等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或fxx11－－fx2x2<0.
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第1课时 函数的单调性
(教师独具内容) 课程标准：1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调 区间，判断函数的单调性，会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明 函数的单调性． 教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调 性． 教学难点：用定义证明函数的单调性.
(4)设 D 是函数 f(x)定义域内的某个区间，若∃x1，x2∈D，当 x1<x2 时， 有 f(x1)>f(x2)，则 f(x)在区间 D 上不单调递增．( √ )
(5)对于二次函数 y＝x2－2x＋3，它在(－∞，0]上单调递减，所以它的单
调递减区间是(－∞，0]．( × )
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( × )
(2)函数单调递增(减)定义中的“∀x1，x2∈D”可以改为“∃x1，x2∈ D”Байду номын сангаас( × )
(3)若区间 D 是函数 f(x)的一个单调递增区间，且 x1，x2∈D，若 x1<x2， 则 f(x1)<f(x2)；反之也成立．( √ )
[跟踪训练1] 利用单调性的定义判断函数 f(x)＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上的
单调性． 解 ∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋＋12－xx22＋＋12＝
x1＋x12－xx21＋1. ∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0. ∴x1＋x12－xx21＋1>0， 即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝xx＋＋21在(－1，＋∞)上单调递减.
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(3)下列函数 f(x)中，满足∀x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) 的是________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝1x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案 (1)上升的 (2)(－∞，－1]，(1，＋∞) [－1,1] (3)②
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[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
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题型二 求单调区间 例 2 (1)求函数 y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间； (2)作出函数 f(x)＝ x2－6x＋9＋ x2＋6x＋9的图象，并指出其单调区间．
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[解] (1)令 f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出 f(x)的图象，保留其在 x 轴 上及其上方部分，将位于 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，得到 y＝|x2＋2x －3|的图象，如图所示．
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知识点二
增函数、减函数
当函数 f(x)在它的___□0_1_定__义__域____上_□0_2__单_调__递__增____时，我们就称它是增函
数(increasing function)．
当函数 f(x)在它的__□0_3_定__义__域_____上__□0_4_单__调__递__减___时，我们就称它是减函
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(3)∀x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]， ∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1) －1]． 由(2)知 f(x1)>0，又 x2－x1>0， ∴0<f(x2－x1)<1， 故 f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)是减函数．
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题型一 证明或判断函数的单调性 例 1 证明：函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上单调递增．
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[证明] ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1＝x1－x2x1xx21x2－4. ∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上单调递增．
(2)函数单调性的符号表达
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I：
如果_□0_2__∀_x_1_，__x2_∈__D_，当 x1<x2 时，都有_□_0_3_f_(x_1_)<_f_(x_2_)__，那么就称函数 f(x) 在区间 D 上单调_□_04__递__增__．_____
如果_□0_5__∀_x_1_，__x2_∈__D_，当 x1<x2 时，都有_□_0_6_f(_x_1)_>_f_(x_2_) __，那么就称函数 f(x) 在区间 D 上单调__□0_7__递__减_．_____
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)．
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答案
金版点睛 常用画图象求单调区间
(1) 对 于函数 y＝kx＋bk≠0，y＝ax2＋bx＋ca≠0，y＝kxk≠0 单 调区 间的确定，常借助于函数图象直接写出．
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【知识导学】
知识点一
函数的单调性及其符号表达
(1)函数单调性的概念
_□0_1_函__数__值__随__自__变_量__的__增__大__而_增__大__(_或__减_小__)_的__性_质______叫做函数的单调性．
所以 f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区 间是[－1,1]，[3，＋∞).
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题型三 抽象函数的单调性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的函数，对 m，n∈R，恒有 f(m＋n)＝ f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当 x>0 时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)＝1； (2)∀x∈R，恒有 f(x)>0； (3)f(x)是减函数．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于 图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．
(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函 数的定义域．
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[跟踪训练2] (1)根据下图说出函数的单调递增区间与单调递减区间；
(2)写出 f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间．
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解 (1)函数的单调递增区间是[0,2]，[4,5]，函数的单调递减区间是[－ 1,0]，[2,4]．
(2)先画出 f(x)＝－x2－x22－x－2x3－，3x<，－－1或1≤x>x3≤，3 的图象，如图．
＝f(x)的单调区间．
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【新知拓展】 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对 x1，x2 有下列要求： (1)属于同一个区间 D； (2)任意性，即 x1，x2 是定义域中某一区间 D 上的任意两个值，不能用特 殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值 x1，x2 必须区分大小，一般令 x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如 f(x)＝01，，xx是是奇偶数数，， 它的定义域为 N，但不具有单调性．
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5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接， 而应该用“和”或“，”连接．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋ ∞)上都单调递减，不能认为 y＝1x(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋ ∞)．
6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间 D 而言的．对于单独 的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性 问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函 数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点．