中考数学几何模型专题专题八—圆

专题八圆
性质相关模型
模型35 圆周角定理
模型展现
基础模型
怎么用?
1．找模型
遇到有三个点均在圆上,且三点之间或与圆心连线构成角时,常考虑用圆周角定理求角度
2.用模型
题中往往会结合三角形的内角和求角度或者结合已知需要构造出角
结论分析
结论:
1
2
ACB AOB ∠=∠
证明：如图,连接CO并延长交于⨀O点D，
,2,
2=2,2+21
2
OA OB OC
CAO ACO OCB OBC AOD ACO CAO ACO BOD OCB OBC OCB ACB AO ACB AO B AOD BOD ACO OC B B ∠=∠==∴∠=∠∠=∠∠=∠+∠=∠∠=∠+∠=∠∠∴∠=∠+∠=∠∠∴，，
.
满分技法
圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如ACB ∠ 圆心角:顶点在圆心的角,如AOB ∠.
模型拓展
满分技法
圆周角的概念中,顶点在圆上和两边都与圆相交,这两个条件必须同时具备,缺一不可.
拓展延伸
命题“等弧所对的圆周角相等”是假命题,说等弧的时候一定要加上前提条件“在同圆或等圆中”.
典例小试
例1如图,AC为⨀O的直径,点B为⨀O⨀O上一点, （⨀ACB是AB所对的圆周角,⨀A0B是AB所对的圆心角），连接OB，BC，若⨀AOB=82°,则⨀OBC的度数为（）
A.41°
B.49°
C.33°
D. 36°
考什么?
圆的基本性质,等腰三角形
思路点拨
解决圆周角定理及其推论有关的试题,常常会碰见等腰三角形,他可是帮助你解题的重要人物噢!
例2（2021牡丹江）如图,点A ,B ,C 为⨀O 上的三点，（⨀BAC 是BC 所对的圆周角
⨀BOC 是BC 所对的圆心角）⨀AOB =1
3⨀BOC ，⨀BOC =30°，则⨀AOC 的度数为
（ ）
A .100°
B . 90°
C .80°
D . 60°
考什么?
圆的基本性质,角的关系转换
例3 (2021鞍山)如图，AB 为⨀O 的直径，（直径所对的圆周角为90°,可考虑连接AD 构直角）C 、D 为⨀O 上的两点，若⨀ABD ＝54°（直角三角形两锐角互余），则⨀C （⨀C 和⨀BAD 都是BD 所对的圆周角）的度数为
（ ）
例4如图, ⨀A 经过平面直角坐标系的原点O （∠BOC 为直角可想到连接BC ,得到BC 是OA 的直径）,交x 轴于点B (3,0),交y 轴于点C ,点D 为第一象限内圆上
一点，若sin ∠BDO =３
５（∠BDO 和∠OCB 都是OB 所对的圆周角）,则点C 的坐
标是
（ ）
A.(0,5)
B. (0,4)
C. (0,9
2
) D. (0,3)
考什么?
平面直角坐标系中点的坐标特征,圆的基本性质,解直角三角形
思路点拨
利用圆周角定理的推论找到与已知角相等的角,再通过解直角三角形求解.
实战实演
1. 如图,在⨀O中，弦CD与直径AB相交于点E,连接OC，BD，若∠ABD=25°，∠AED=85°,则∠COB的度数为( )
A.80°
B. 100°
C.120°
D. 140°
2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C和点D，则ADC
tan= .
3.如图，在Rt△ABC中，⨀ABC=90°，⨀A=32°.点B，C在⨀O上，边AB，AC分别交⨀O于D，E两点，点B是CD的中点，则⨀ABE= °.
4.如图，AB为⨀O的弦，D，C为ACB的三等分点，BE//AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:四边形ABEC为平行四边形;
(2)若BC=3，BE=5，求DE的长.
模型36 相交弦定理
模型展现
基础模型
相交弦定理
怎么用?
1．找模型
圆中两条弦相交于一点
2.用模型
圆中两条弦交于圆内一点,考虑相交弦定理
结论分析
结论：ED
EC
EB
EA⋅
=
⋅
证明：如图，连接AC，BD.
⨀ ⨀AEC=⨀DEB，⨀A=⨀D，
⨀ ⨀AEC⨀⨀DEB，
⨀
EB
EC
EC
EA
=，
⨀ ED
EC
EB
EA⋅
=
⋅
拓展延伸
此定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法,因此可结合“专题九相似三角形”巩固学习.
模型拓展
典例小试
例 如图，在⨀O 中，弦AB ⨀弦CD 于点E （点拨：垂直也是相交），连接AD ，BC ，若AD =CD =5，DE CE 4
1
=
（点拨：可分别求出CE 和DE ）
，则弦AB （点拨：AB =AE +BE ）的长为（ ）
A .4
B .313
C .3
14
D .5 考什么?
勾股定理,相似三角形的判定及性质 思路点拨
遇见相交弦,一找相似三角形,二找已知线段，三列比例关系即可求解.
实战实演
1.如图,⨀ABC 内接于一圆中,点D 是BC 的中点,连接AD 交BC 于点E ，若CE =1，BE =3，AE =BD 的长为 .
2.如图,正方形ABCD内接于⨀O，点E是对角线BD上的点，连接AE并延长交
劣弧BC于点F，若OE=EF=1，则DE
BE
的值为.
模型37 切割线定理
模型展现
基础模型 割线定理
切割线定理
怎么用? 1.找模型
圆中一条弦和一条切线所在直线交于一点.
2.用模型
⨀圆中两条弦所在直线交于圆外一点,考虑割线定理;⨀一条弦和一条切线交圆外一点,考虑切割线定理. 结论分析
结论1:EC ED EA EB •=• 证明:方法一:如图⨀,连接AD , BC . ⨀⨀E =⨀E ,⨀A =⨀C , ⨀∆AED ⨀∆CEB , ⨀
EB
ED
EC EA =
⨀EC ED EA EB •=•
方法二:如图⨀,连接BD ,AC . ⨀A ,B ,C ,D 是 O 上的四个点， ⨀⨀C +⨀ABD = 180°
⨀⨀ABD +⨀DBE = 180° ⨀⨀C =⨀DBE , ⨀⨀E =⨀E , ⨀⨀EBD ⨀⨀ECA , ⨀
EA
ED
=
EC EB ⨀EC ED EA EB •=•
拓展延伸
这两个定理的结论证明涉及多种构造相似三角形的方法，因此可结合“专题九相似三角 形”巩固学习。

结论2:AD BD CD •=2 证明:如图⨀，连接AC ,BC . ⨀⨀BCD 是 O 的弦切角, ⨀⨀BCD =⨀A , ⨀⨀D =⨀D ,
⨀⨀ACD ⨀⨀CBD , ⨀
BD
CD
CD AD =
⨀BD AD CD •=2
模型拓展
拓展延伸
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角的度数,如⨀1=⨀2.
满分技法
当讨论的弦恰好是圆的直经时,其结论也成立.
典例小试
例1如图, 在Rt ⨀ACB 中,⨀ACB =90°,O 为AB 上一点,以OA 为半径的 O 与BC 边相切于点D ,与AC 边交于点E ,(点拨：有切线了,也有割线了，直接用切割线定理）与AB 边交于点F ,若CD =2CE =4则OA 的长为( )
A .4
B . 5
C .2
11
D .6
考什么?
切线的性质,矩形的判定及性质,圆的基本性质.
例2如图,AB为 O的直径,(点拨：直径所对圆周角为直角)C,D分别为AB两侧 O上的点,连接CB并延长交AD的延长线于点E，(点拨：两弦交圆外一点,割线定理出现），若AC=3,⨀E=30°,点B为CE的中点，则AD的长为.
考什么? .圆的基本性质,中点的性质,解直角三角形.
思路点拨
在圆的综合题中求线段长,利用垂径定理、勾股定理和解直角三角形等也可求解,但没有切
割线定理快速、有效.
实战实演
1.如图,在⨀ABC中,AB=6,D为AB边的中点,E为AC边上的点,且⨀BDC=⨀BEC,若AE=2,则AC的长为.
2.如图,AB 为 O 的切线,切点为C ,0A ⨀OB ,0A 交 O 于点E ,延长AO 交 O 于点D ,连接CD ,已知AC =9,BC = 16. . (1)求 O 的半径; (2)求tanD 的值.
模型38 垂径定理
模型展现
基础模型
结论分析
结论：CE =DE ，BC
̂=BD ̂，AC ̂=AD ̂ 证明：如图，连接OC ，OD ，则OC =OD
⨀AB ⨀CD ，
⨀⨀OEC =⨀OED =90°
在RtΔOEC 和 RtΔOED 中 {OC =OD
OE =OE
⨀Rt Δ0EC ⨀RtΔOED (HL ), ⨀CE =DE ，⨀BOC =⨀BOD ， ⨀BC
̂=BD ̂ ⨀AB 为⨀O 的直径， ⨀ABC ̂=ADB ̂，AC ̂=AD ̂ 怎么用? 1.找模型
从题中找⨀过圆心；⨀垂直弦；⨀平分弦(不是直径)；⨀平分优弧；⨀平分劣弧，若已知其中的两个，就能推出其余三个，即“知二推三”
B
A
2.用模型
作圆心到弦的垂线或连接过弦端点的半径,构造以半径，弦的一半，圆心到弦的距离为边的直角三角形 满分技法
这里的弦和直径垂直于圆内一点，根据题中条件也可考虑用相交弦定理解题.
典例小试
例1 如图，⨀O 的半径为5,弦AB =8，点C 是AB 的中点，（提示：平分弦（不是直径）
）连接 OC ，（提示：OC 经过圆心）则OC 的长为 ( )
A. 2 B .
2
5
C . 3
D . 4 考什么? 圆的基本性质,勾股定理
思路点拨：看见弦及其中点就有意识的找垂直,再结合勾股定理求解.
例2 (2021凉山州)点P 是⨀O 内一点，过点P 的最长的弦（提示：经过圆心）长为10cm ，最短弦（提示：垂直于直径的弦）的长为6cm ，则OP 的长为( ) A. 3 cm B . 4 cm C . 5cm D . 6 cm 考什么? 圆的基本性质，勾股定理
思路点拨：经过圆中一点最长的弦为直径,最短的弦为垂直经过该点直径的弦. 例3 如图，AB 为⨀O 的直径，（提示：经过圆心）C 为⨀O 上一点，点C 关于AB 的
对称点为D ，（提示：垂直弦）连接AC ，CD ，OD ，CD 交AB 于点E ，若AE =CD =6， 则⨀O 的半径为＿＿＿.
例1题图
考什么? 轴对称的性质，勾股定理
思路点拨：圆具有对称性，对称轴为直径所在的直线，圆上一点关于直径对称的点仍在圆上，且直径垂直平分两个对称点的连线.
实战实演
1.如图，AB 是⨀O 的直径，C ，D 是⨀O 上的点，且在直径AB 的同侧，连接AD ，AC ，BC ，BD ，OD ，OD 交AC 于点E ，若AD = CD ，AC =10，DE =4，则BC 的长为＿＿.
2.如图，已知A ，B ，C ，D 是⨀O 上的点，A 为CD ̂的中点，C 为AB ̂的中点，若AB =8，AE =2，则⨀O 的半径为＿＿＿.
3. 如图，四边形ABCD 内接于⨀O ，AB 为⨀O 的直径，OD //BC ，若AB =10，CD =4，则sinB 的值为_____
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，D (10，0)，以OD 为直径在第一象限作半圆，四边形OABC 是平行四边形，且点A 在x 轴上，点B ，C 在半圆上，若AD =2，则点C 的坐标为＿＿＿.
5.如图，AB 为⨀O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⨀O 相切于点D ，过点B 作BE //CD 交⨀O 于点E ，连接AD ，AE ，⨀EAD =22.5°. (1)求⨀EAB 的度数； (2)若BC =√2 -1，求BE 的长.
例3题图
A
B
第1题图
B
A
第2题图
A 第3
题图
B
A
第4题图
第5题图
模型39 双切线 模型展现
基础模型
已知:P 为⨀O 外一点,P A ,PB 是⨀O 的切线,切点分别为A ,B .
结论:⨀0AP ⨀⨀OBP ,⨀AOB +⨀APB =180°, OP 垂直平分AB 。

怎么用? 1.找模型
过圆外一点引圆的两条切线,简称“双切线”. 2.用模型
由“双切线”可知切线长相等,也叫切线长定理,通过连接圆心和切点,连接圆心和圆外一点,构造全等三角形. 结论分析
结论:⨀OAP ⨀⨀OBP ,⨀AOB +⨀APB =180°,OP 垂直平分AB . 证明:⨀P A ,PB 是⨀O 的切线,切点分别为A ,B , ⨀0A =OB ,⨀OAP =⨀OBP =90°,⨀⨀AOB +⨀APB =180°. 在Rt ⨀OAP 和Rt ⨀OBP 中,
OP OP
OA OB =⎧⎨
=⎩
,⨀Rt ⨀OAP ⨀Rt ⨀OBP (HL )， ⨀P A =PB ,⨀AOP =⨀BOP ,⨀APO =⨀BPO , ⨀OP 平分⨀AOB 和⨀APB . ⨀0A =OB ,P A =PB ,
⨀点O 、P 在AB 的垂直平分线上， ⨀OP 垂直平分AB . 拓展延伸
到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上,有兴趣的同学可以试着去证明!
典例小试
例1（2021 荆门)如图,P A,PB是⨀O的切线,A,B是切点(点拔：连接0A,双切线模型就更清晰了), 若⨀P=70°,则⨀ABO=( )
A.30°
B.35°
C.45°
D.55°
考什么?
切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质
思路点拨
连接0P,结合双切线的结论和同角的余角相等也可求解.
例2(2021福建)如图,AB为⨀O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⨀O相切，切点分别为C,D.(点拔：已知双切线了，连接0C,0D,CD,把模型完整的画出来)若AB=6,PC=4, 则sin⨀CAD等于()
A.3
5
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
考什么?
垂径定理及其推论,解直角三角形
思路点拨
看到切线,先连接圆心和切点,构造直角三角形,在求锐角三角函数时,可考虑将所求角转化到直角三角形中.
双切线的结论里蕴含着垂径定理,仔细回忆一下垂径定理的结论,想一想两者之间有什么联系?
实战实演
1.如图,四边形ABCD为正方形，且边长为4,点E是BC边上一点,以AB为直径的半圆切DE于点F,则BE的长为()
A.2
B.3
2
C.1
D.
1
2
2.如图，已知⨀O的半径为5,A、B是⨀O上的两点, 分别过A,B两点的切线交于点C,若⨀C=60°,则⨀ABC的周长为.
3.如图,在Rt⨀ABC中,⨀ABC=90°,0是AB边上的点,以0为圆心,0B长为半径的圆切AC于点D,交AB于点E,连接CO并延长交⨀O于点F,过点A作AG⨀CF于点G,若BC=BE=4,则AG的长为.
4.如图,在锐角⨀ABC中,AB=AC.
(1)求作⨀O,使⨀O分别与AB,AC边相切于B,C两点;
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，延长BO交⨀O于点D,若BC=6,cos⨀ABC=3
5
,求OA的长.
模型40 三角形外接圆
模型展现
基础模型
结论分析
结论:0A=OB=OC,0为⨀ABC的外心
证明:· 0为⨀ABC的外接圆，
⨀A,B,C均在OO上, ⨀OA=OB=OC，
⨀O为AB,AC,BC垂直平分线的交点，
⨀O为⨀ABC的外心.
怎么用?
1.找模型题中出现三角形的外接圆或圆内接三角形或三角形外心
2.用模型
连接圆心(外心)和三角形顶点,或过圆心(外心)作边的垂线,考虑应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题
模型拓展
拓展延伸
三角形的外心,即三角形三条边的垂直平分线的交点,该交点即三角形外接圆圆心.
典例小试
例1(2021沈阳改编)如图,⨀ABC 是 0的内接三角形（点拨：已知锐角三角形外接圆），（点拨：由弦长想到垂径定理）⨀ACB =60°,（点拨：由圆周角想到利用圆周角定理求圆心角）则B A 的长是（ ）
A .
3π
B .23π
C .π
D .23π 考什么?
圆周角定理,垂径定理,弧长公式 思路点拨
计算弧长时需要知道圆的半径及弧所对圆心角的度数,计算圆的半径时考虑用垂径定理,计算圆心角度数考虑用圆周角定理,三角形外接圆的相关问题往往是和这两个定理紧密关联的.
例2(2021黄冈)如图, 0是Rt ⨀ABC 的外接圆,（点拨：已知直角三角形外接圆）OE ⨀AB 交AB 交 O 于点E ,垂足为点D ,AE ,CB 的延长线交于点F .（点拨：这里垂径定理跑不了）若OD =3,AB =8,则FC 的长是（ ）
A .10
B .8
C .6
D .4
考什么?
垂径定理,三角形中位线的判定及性质
例3(2020贵阳)如图,⨀ABC 是 0的内接正三角形,点o 是圆心,点D ,E 分别在边AC ,AB 上,若DA =EB ,则⨀DOE 的度数是________度 考什么? 圆周角定理,等边三角形的性质,全等三角形的判定
实战实演
1.如图,已知⨀ABC 内接于 0,AB =AC =, BC =8,则 o 的半径为( )
A .4
B .
C .5
D .6
2.如图, 0是⨀ABC 的外接圆,CD 是O 0的直径.若CD =13,弦BC =5,则cosA 的值为( )
A .
1213 B .513 C .5
12
D
3．如图, 0是 Rt ⨀ABC 的外接圆,延长AC 至点D ,使CD =BC ,连接BD 交o 0于点
E ,若BD =,AC =3,则AB 的长为____________.
4．如图,在平面直角坐标系中,A( -2,0),B(4,0), C(0,2),点D为⨀ABC的外心,连接CD 交x轴于点E,则点E的坐标为____________.
模型41 三角形内切圆
模型展现
基础模型
怎么用？
1. 找模型：题干中出现三角形的内切圆或三角形的内心或两条边与圆相切，另外一条边可以证明相切；
2. 用模型：连接圆心(内心)和三角形的三个顶点或者过圆心(内心)作三条边的垂线.
结论分析：
结论：
1. O为⨀ABC的内心；
2. OA,OB,OC分别平分⨀BAC ,⨀ABC ,⨀ACB；
3. 点O到AB , BC ,AC的距离相等，均为⨀O的半径
证明：如图，由⨀O为⨀ABC的内切圆，可设⨀O分别与AB，BC,AC相切于点D,E,F,连接OD,OE,OF ,
⨀AB、AC均为⨀O的切线，
⨀0A平分⨀BAC(双切线定理)，
同理可知OB平分⨀ABC，OC平分⨀ACB，
⨀点O为⨀ABC的内心(三角形角平分线的交点为该三角形的内心)，
⨀OD ⨀AB,OF⨀AC，
⨀OD＝OF(角平分线的性质)，
同理可证OD＝OE＝OF.
拓展延伸：三角形的内心，即三角形三个角的角平分线的交点，该交点即三角形内切圆圆心.
满分技法：出现三角形内切圆，则必有双切线，也可考虑利用双切线的结论解决问题! 模型拓展
拓展延伸：记直角三角形的直角边为a ,b ，斜边为c ，其内切圆半径为r ，则
2
c
b a r -+=
,有兴趣的同学可以试着证明噢! 典例小试 例1
如图，在4x 4的网格中，A ,B ,C ,D ,O 均在格点上，则点O 是（ ）
A . ⨀ACD 的外心
B . ⨀ACD 的内心
C . ⨀ABC 的外心
D . ⨀ABC
的内心 考什么?
三角形内心、外心的区别，网格中利用勾股定理求线段长度
例2如图，在⨀ABC中，⨀A＝80°，点O是⨀ABC的内心(⨀O为⨀ABC的内切圆，有OB,OC分别平分⨀ABC、⨀ACB)，则⨀BOC的度数(利用三角形内角和可求)为（）
A. 150°
B. 140°
C. 130°
D. 120°
考什么?
三角形的内角和，角平分线的性质
思路点拨：本题不用分别计算出⨀ABC和⨀ACB的度数，即利用角平分线性质求出⨀OBC＋⨀OCB的度数. 写出详细过程，慢慢体会噢!
例3如图，在⨀ABC中，⨀C＝90°(直角三角形)，BC＝5,⨀O与⨀ABC的三边分别相切于点D,E,F(⨀O为Rt⨀ABC的内切圆)，若⨀O的半径为2(OD＝OE＝OF ＝CE＝CF＝2)，则⨀ABC的周长(根据勾股定理可求⨀ABC的三边长)为（）
A. 14
B.20
C.24
D.30
考什么?
正方形的判定及性质应用，勾股定理
思路点拨：遇见直角三角形内切圆，常考虑连接圆心和切点，结合双切线的结论找出各条线段之间的关系.
实战实演
1. 如图，在⨀ABC中，AB＝12,BC＝10,⨀O为⨀ABC的内切圆，且半径为7，
15，则AC的长为.
若⨀ABC的面积为7
2. 如图，在⨀ABC中，⨀BAC＝120°,AB＝AC，⨀O是⨀ABC的内切圆，与边BC,AC,AB的切点分别为点D,E,F，若CE＝2 ，则弦EF的长为.
3. 如图，在Rt⨀ABC中，⨀ABC＝90°，⨀O为⨀ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，连接FD并延长，交CB的延长线于点G，若AF＝4，CF＝6，则图中阴影部分的面积为.
隐圆相关模型
模型42 定点定长作圆
模型展现
【基础模型】
怎么用?
1.找模型
若题干出现“定点，定线段长度”或“三条线段相等，且共用一个顶点”或通过已知条件分析出上述结论，考虑用“定点定长作圆”
2.用模型
常以定点为圆心，以定长为半径作圆，再根据已知条件解题
【模型拓展】
满分技法
要解决此类问题，首先要确定两个量：定点、定长，但往往需要我们去理解题意，利用翻折、对称等知识去找到我们所要的长度相等，分析出动点的轨迹，画出隐形圆，将动态问题转化为静态问题.
典例小试
例1 如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD(点拔：线段相等且共顶点，考虑定点定长作圆),⨀BDC=220(点拔：弦BC所对的圆周角和圆心角),则
⨀BAC=_________.
考什么圆周角定理
例2 （2020广东省卷）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，⨀ABC＝90°(点拔：可选连接BE，得到BE的长度为一个定值，考虑定点定长作圆)，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点(点拔：可选连接BE，得到BE的长度为一个定值，考虑定点定长作圆)，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．
考什么？
直角三角形的性质，点圆最值
思路点拨
如图，平面内一定点D和⨀O上运动点E的连线中，当边线过圆心O时，线段DE有最大值（DE）和最小值（DE’）．
例3 （2021嘉兴）如图，在⨀ABC中，⨀BAC＝30°，⨀ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′(点拔：⨀CP A′与⨀CP A关于直线CP对称)，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是(点拔：CA′⨀AB时，距离最大) ；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为(点拔：点A的轨迹是以点B为圆心，AB长为半径的圆弧) ．
考什么?
折叠的性质，扇形的面积公式，等腰直角三角形、直角三角形的性质
实战实演
1．如图，在等腰Rt⨀ABC中，AB＝AC=6，⨀BAC＝120°，AD是⨀ABC的角平
分线，将⨀ABD绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点D的对应点为D，则点D运动的路径长为，E在斜边BC上．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为边CD上一点，将⨀ADE沿AE所在直线翻折，得到⨀AFE，点D的对应点为F．若BC＝3,连接BF，CF取得最小值时，⨀CFB的面积为．
3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，⨀A＝60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，求CN的最小值．
模型43 定弦定角
模型展现
基础模型
O（不与点
的运动轨迹为劣弧ACB
BC）时，点
⨀ACB=1
2
⨀AOB AB为的O直径
1
2
⨀AOB+⨀ACB=180°
怎么用？
1.找模型
当题干出现“定角”且该角度对应的边为“定边”时，先考虑“定弦定角”模型
2.用模型
作含定弦定角的三角形的外接圆，若所求为面积最值，可转化为三角形底边（定弦）上高的最值
结论分析：
结论2：构成等腰三角形（AC=BC）时，点C到AB的距离最大，且此时⨀ABC 面积最大.
证明：如图，作⨀ABC的外接圆O，连接OA,OB,OC，
过点O 作OD ⨀AB 于点D ，过点C 作CE ⨀AB 于点E ，
⨀⨀AOB =2⨀ACB =2α，
⨀⨀AOD =⨀ACB =α ⨀22,.tan sin a a
OD OC ==αα
⨀OC +OD ≥CE ,
⨀当且仅当C ,O ,D 三点共线时，CE 的值最大，即CE =OC +OD =22tan sin .
a a +αα，此时AC =BC ，S ⨀ABC =12AB ∙CE ， ⨀点C 到AB 的距离最大为
22tan sin .a a +αα，此时⨀ABC 面积最大，值为12AB ∙CE =12AB ∙（22tan sin .a a
+αα）=AB ∙（4tan 4sin a a +αα），
满分技法：
解决定弦定角问题的方法：1.确定定角；2.确定定角及其所对的线段；3.画出定角和线段所在的三角形的外接圆；4.确定外接圆圆心；5.根据题意求解.
典例小试
例1 如图，在⨀ABC 中，⨀A =90°（定角度），BC =4（定长即定弦）（点拨：这样定弦定角模型就显而易见了），则⨀ABC 面积的最大值为 .(点拨：利用面积公式表示出来，转化为求线段最值)
考什么？等腰直角三角形的性质
例2 （2021广东省卷）在⨀ABC中，⨀ABC=90°，AB=2（定弦），BC=3，点D 为平面上一个动点，⨀ADB=45°（定角），则线段CD长度的最小值为. 考什么？等腰三角形，直角三角形的性质，勾股定理
思路点拨：
如图，已知O和直线l，点Q为O上一点，当过点O、Q的直线与l垂直时，点Q到直线l的距离有最大值和最小值.
实战实演
1.如图，在⨀ABC中，⨀A=60°，BC=6，则⨀ABC面积的最大值为（）
A.B.C.D.
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC=4，则矩形ABCD周长的最大值为（）
A.B.8 C.D.16
3.如图，在菱形ABCD中，AB=⨀A=60°，点E，F分别在AB,AD上，且AE=DF，连接DE,BF交于点G，则⨀BGD= ，四边形BCDG面积的最大值
为.
4.如图，在四边形ABCD中，⨀ABC=⨀ADC=90°，⨀BCD=75°，BC，CD=20，点P为四边形ABCD内一点，且⨀BPC=135°，E为AD边上一点，则PE的最小值为.
模型44 定角定高
模型展现
基础模型
怎么用？
1．找模型
若题干出现“定角”且该角对应边的高线“定高”，考虑用“定角定高”模型2．用模型
作含定角定高的三角形的外接圆，若所求为面积最值，可转化为求该角对应边长度的最值
结论分析
结论⨀：构成等腰三角形（AB＝AC）时，BC的长最小
证明：如图⨀，作⨀ABC的外接圆⨀O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⨀BC 于点E，设⨀O的半径为r，则⨀BOE＝⨀BAC＝α．
⨀BC＝2BE＝2OB⋅sinα＝2r⋅sinα．
⨀OA＋OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时，等号成立）．
⨀r＋rcosα≥h．
⨀当取等号时r有最小值，此时BC的长最小．
拓展延伸
试一试：自己尝试着证明结论⨀．
结论⨀：构成等腰三角形（AB＝AC）时，⨀ABC的周长最小
证明：如图⨀，延长CB至点E，使得BE＝AB，延长BC至点F，使得CF＝CA，连接AE，AF
⨀⨀ABC的周长为AB＋BC＋CA＝BE＋BC＋CF＝EF，
⨀当EF最小时，⨀ABC的周长最小．
⨀BA＝BE，CA＝CF
⨀⨀BAE＝⨀BEA，⨀CAF＝⨀CF A．
⨀⨀ABC＝2⨀BAE，⨀ACB＝2⨀CAF．
⨀⨀ABC＋⨀BAC＋⨀ACB＝180°，
⨀⨀BAE＋⨀BAC＋⨀CAF＝⨀EAF＝90°＋1
2
⨀BAC＝90°＋
1
2
α．
作⨀AEF的外接圆⨀O，再结合⨀中的过程即可求得EF的最小值，自己试一试吧！满分技法：
1．找定角定高模型，若是题目中没有直接给出，考虑利用现有条件进行转化构造；
2．作定角定的三角形的外接圆，设外接圆的半径为r，用含r的代数式表示圆心距及底边长；
3．根据“半径＋弦心距≥定高”，求r的取值范围；
4．求出底边最小值，计算面积最小值．
典例小试
例1 如图，在⨀ABC中，⨀BAC＝90°（点拨：定角），AD⨀BC（点拨：定高）交BC于点D，若AD＝10（点拨：定高），则BC的最小值为．
考什么？
直角三角形的性质
思路点拨
将线段最值转化为求三角形外接圆半径的最值得以解决．在求半径最值时巧妙构造直角三角形，利用动态的斜边大于直角边思想得以简化．
例2如图，在⨀ABC中，⨀BAC＝60°（点拨：定角），AD⨀BC（点拨：定高）交BC于点D，若AD＝4（点拨：定高），则⨀ABC面积的最小值为．
考什么？
垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理
思路点拨
将求面积最值转化为求线段最值，再结合例1中方法即可求解．
实战实演
1．如图，在□ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且⨀BEC＝45°，则四边形ABCD面积的最小值为．
2．如图，有一块矩形空地ABCD，AB＝120m，BC＝70m，现要对这块空地进行改造，根据设计要求，在AB的中点M处修建一个观景台，AD，BC边上分别修建亭子E，F，且⨀EMF＝120°，并在⨀MAE和⨀MBF区域种植景观树，在矩
形其他区域均委员会花卉，已知种植景观树每平方米需200元，种植花卉每平方米需100元，度求按设计要求，完成景观树和花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留根号）
模型45 最大张角
模型故事
1471年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位,视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目,因为德国数学家米勒曾提出这类问题,因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.
模型展现
基础模型
已知:点A,B是⨀MDN的边DN上的两个定点,点P是
边DM上的动点,则当点Р在何处时,⨀APB最大
结论:当⨀ABP的外接圆与边DM相切于点P时,⨀APB
最大
怎么用?
1.找模型
有“角最大”“视野最好”等字眼,考虑用最大张角模型
2.用模型
确定最大张角模型后,作三角形的外接圆⨀0,当0与动点所在直线相切时,可得到角最大
结论分析
结论:当⨀ABP的外接圆与边DM相切于点Р时,⨀APB最大
证明:如图,作⨀ABP的外接圆⊙O，
设点P'是边DM上不同于点P的任意一点,连接P'A,P'B,P'A与O0交于点C,连接BC，
:⨀ACB>⨀AP'B(三角形的外角性质),⨀APB=⨀ACB(圆周角定理)，
⨀ ⨀APB>⨀AP'B，
⨀当⨀ABP的外接圆与边DM相切于点P时,⨀APB最大.
典例小试
例1如图,⨀O是⨀ABC的外接圆,过点A作⨀0的切线AP ,点D是直线AP上异于点A的一点,则么⨀BAC_______⨀BDC.(填“>”“<”或“=”)
考什么?
三角形的内外角关系,圆周角定理
技巧点拨
掌握圆周角定理和三角形内外角关系是解题的关键.
例2如图,某大楼AC上装有一块矩形广告牌,上下边相距
AB=6 m,下底边距地面的距离BC=10.8 m,小明的眼睛距离地面的高度PE为1.8 m,LAPB是其观察广告牌的视野范围,那么当他站在距离大楼底部
m的地方
看广告牌时,视野最好,效果最佳.
考什么?
垂径定理,勾股定理
实战实演
1.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E是BC边上一点,作EF⨀AE交CD于点F,当⨀AFD最大时,DF的长为________.
2.如图,在矩形ABCD 中 ,AB =6,BC =8,点E 为AD 边上一点,当⨀BEC 最大时, cos
⨀BEC 的值为_________.
模型46 四点共圆
模型展现
基础模型
点C、D在AB的同侧
点C、D在AB的异侧
怎么用?
1.找模型
两个三角形有一个公共边,且这个公共边所对的两个角相等,考虑四点共圆
2.用模型
确定四点共圆模型,常利用同弧所对的圆周角相等或圆内接四边形的对角互补解题
模型拓展
典例小试
例1如图,⨀ABC和⨀ABD均为直角三角形.⨀ADB= ⨀ACB=90°（注：弦AB所对的圆周角为90°,则弦AB为圆的直径）连接CD,若⨀CAB= 35°(注：弦BC所对的圆周角)⨀CDB的度数为（）
A. 35°
B.40°
C. 45°
D.50°
考什么?
圆周角定理思路点拨
利用同弧（同弦)所对的圆周角相等是解题的关键.
例2 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点P 为对角线BD 上一动点，PE ⨀PF 分别交AB ，BC 于点E ，F ，则PE :PF 的值为 ( )
A .34
B . 43
C . 54
D . 4
5
考什么？
矩形的性质，解直角三角形，圆周角定理
思路点拨 也可通过对角互补模型，利用相似三角形的判定及性质求解，详见模型33
实战演练
1.如图，点D ，E 分别是等边⨀ABC 的边BC ，AB 上的点，⨀ADE =60°，点M 在AC 上，且⨀ADM =60°.若BE =3，则CM 的长为 ( )
A .2
B .2.5
C .3
D .3.5
2.如图，在等腰Rt ⨀ABC 中，AB =BC =2，⨀ABC =90°，点D 是BC 的中点，⨀CAD =⨀CBE ，则CE 的长为 ( )。