2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：10.3抛物线及其性质

§10.3 抛物线及其性质考
纲解读
考点考纲内容要求
浙江省五年高考统计
2013 2014 2015 2016 2017
1. 认识圆锥曲线的实质背
1. 抛物线的景 , 认识圆锥曲线在刻画现
15,4 分
9,4 分
实世界和解决实质问题中22( 文 ), 19(1)( 文15,约 4
定义和标准掌握22( 文 ),
的作用 . 约 5 分), 分方程约 5 分
2. 掌握抛物线的定义、几何 6 分
图形、标准方程 .
2. 抛物线的1. 掌握抛物线的简单几何
22( 文 ), 22( 文 ),
5,5 分19(2)( 文
15,约 6 性质 . 掌握20( 文 ), ),
几何性质约 5 分约 6 分分
2. 理解数形联合的思想 . 约 7 分9 分
剖析解读 1. 考察抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.
2.考察直线与抛物线的地点关系 , 以及与抛物线相关的综合问题 .
3. 估计 2019 年高考取 , 抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考察.
五年高考
考点一抛物线的定义和标准方程
1.(2013 课标全国Ⅱ ,11,5 分 ) 设抛物线
2
C:y =2px(p>0) 的焦点为 F, 点 M在 C上 ,|MF|=5, 若以 MF为直径的圆
过点 (0,2), 则 C 的方程为 ( )
A.y 2=4x 或 y2=8x
B.y 2=2x 或 y2=8x
C.y 2=4x 或 y2=16x
D.y 2=2x 或 y2=16x
答案 C
分) 若抛物线 y2=4x 上的点 M到焦点的距离为
2.(2016 浙江 ,9,4 10, 则 M到 y 轴的距离是.
答案9
分 ) 已知 F 是抛物线 C:y 2=8x 的焦点 ,M 是 C 上一点 ,FM 的延伸线交 y 轴于点 N.
3.(2017 课标全国Ⅱ理 ,16,5
若 M为 FN的中点 , 则|FN|= .
答案 6
分 ) 若抛物线 y2=2px(p>0) 的准线经过双曲线x2-y 2=1 的一个焦点 , 则 p=
4.(2015 陕西 ,14,5 .
答案 2
5.(2014 湖南 ,15,5 分) 如图 , 正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 a,b(a<b), 原点 O为 AD的中点 , 抛物
2
.
线 y =2px(p>0) 经过 C,F 两点 , 则 =
答案1+
考点二抛物线的几何性质
1.(2015 浙江 ,5,5 分 ) 如图 , 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 不经过焦点的直线上有三个不一样的点A,B,C, 此中点A,B 在抛物线上 , 点 C 在 y 轴上 , 则△ BCF与△ ACF的面积之比是()
A. B. C. D.
答案 A
2.(2016 |AB|=4 课标全国Ⅰ
,|DE|=2
,10,5分)以抛物线C的极点为圆心的圆交
, 则 C 的焦点到准线的距离为()
C于
A,B
两点,交 C 的准线于D,E 两点 . 已知
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 B
3.(2017 山东理 ,14,5 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 - =1(a>0,b>0) 的右支与焦点为 F 的抛物线
x 2 =2py(p>0) 交于 A,B 两点 . 若 |AF|+|BF|=4|OF|, 则该双曲线的渐近线方程为 .
答案 y=± x
4.(2016 浙江文 ,19,15 分 ) 如图 , 设抛物线 y 2=2px(p>0) 的焦点为 F, 抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 |AF|-1. (1) 求 p 的值 ;
(2) 若直线 AF 交抛物线于另一点 B, 过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于 点 M.求 M 的横坐标的取值范围 .
分析 (1) 由题意可得 , 抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1
的距离 , 由抛物线的定义得 =1,
即 p=2.
(2) 由 (1) 得, 抛物线方程为 y 2=4x,F(1,0), 可设 A(t 2,2t),t ≠ 0,t ≠± 1.
因为 AF 不垂直于 y 轴 , 可设直线 AF:x=sy+1(s ≠ 0), 由 消去 x 得 y 2-4sy-4=0,
故 y 1y 2=-4, 所以 ,B .
又直线 AB 的斜率为 , 故直线 FN 的斜率为 -.
进而得直线 FN:y=-
(x-1), 直线 BN:y=- .
所以N .
设 M(m,0), 由 A,M,N 三点共线得
=
, 于是 m= .
所以 m<0或 m>2. 经查验 ,m<0 或 m>2知足题意 . 综上 , 点 M 的横坐标的取值范围是 (- ∞ ,0) ∪ (2,+ ∞ ). C:x 2=4y 上 ,F 为抛物线 C 的焦点 , 点 M 为 AB 的 5.(2014 浙江文 ,22,14 分 ) 已知△ ABP 的三个极点都在抛物线 中点 ,
=3 .
(1) 若| |=3, 求点 M 的坐标 ;
(2) 求△ ABP 面积的最大值 .
分析 (1) 由题意知焦点 F(0,1), 准线方程为 y=-1.
设 P(x ,y
), 由抛物线定义知 |PF|=y
+1, 获得 y =2,
所以 P(2 ,2) 或 P(-2
,2).
由 =3 ,分别得 M 或M
.
(2) 设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 点 A(x ,y ),B(x ,y ),P(x
0 ,y ).
1 1
2 2 0
由得 x2-4kx-4m=0,
于是 =16k 2 +16m>0,x 1 2 1 2
+x =4k,x x =-4m,
所以 AB 中点 M的坐标为 (2k,2k 2+m).
由 =3 , 得 (-x 0,1-y 0)=3(2k,2k 2+m-1),
所以由=4y0得 k2=- m+.
由 >0,k 2≥0, 得 - <m≤ .
又因为 |AB|=42,
点 F(0,1) 到直线 AB的距离为d=,
所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.
记 f(m)=3m 3-5m2+m+1.
令 f'(m)=9m 2-10m+1=0, 解得 m1= ,m2=1.
可得 f(m) 在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f,
所以 , 当 m= 时,f(m)取到最大值, 此时 k=±.
所以 , △ ABP面积的最大值为.
6.(2013浙江文,22,14分)已知抛物线C 的极点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线 C 的方程 ;
(2) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点 . 若直线 AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
分析(1) 由题意可设抛物线 C 的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C 的方程为x2=4y.
(2) 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 直线 AB的方程为y=kx+1.
由消去 y, 整理得 x2-4kx-4=0,
所以 x1+x2=4k,x 1x2=-4. 进而 |x 1-x 2|=4.
由
解得点 M的横坐标x M===.
同理点 N 的横坐标x N=.
所以 |MN|=|x M-x N|
=
=8
=.
令 4k-3=t,t≠ 0,则k=.
当 t>0 时 ,|MN|=2>2.
当 t<0 时 ,|MN|=2≥.
综上所述 , 当 t=-, 即 k=-时,|MN|的最小值是.
7.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y 2=2px 过点 P(1,1).过点作直线l与抛物线 C 交于不一样的两点 M,N, 过点 M作 x 轴的垂线分别与直线OP,ON交于点 A,B, 此中 O为原点 .
(1)求抛物线 C 的方程 , 并求其焦点坐标和准线方程 ;
(2)求证 :A 为线段 BM的中点 .
分析此题考察抛物线方程及性质, 直线与抛物线的地点关系.
(1) 由抛物线C:y 2=2px 过点 P(1,1),得p= .
所以抛物线 C 的方程为 y2=x.
抛物线 C 的焦点坐标为, 准线方程为x=-.
(2) 由题意 , 设直线 l 的方程为y=kx+ (k ≠ 0),l与抛物线 C 的交点为M(x1,y 1),N(x 2,y 2).
由得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.
则 x1+x2=,x 1x2=.
因为点 P 的坐标为 (1,1),所以直线OP的方程为 y=x, 点 A 的坐标为 (x 1,x 1). 直线 ON的方程为y= x, 点 B 的坐标为.
因为 y1+-2x 1=
=
=
=
=0,
所以 y +
=2x 1 .
1
故 A 为线段 BM 的中点 .
8.(2014 纲领全国 ,21,12 分 ) 已知抛物线 C:y 2=2px(p>0) 的焦点为 F, 直线 y=4 与 y 轴的交点为 P, 与 C 的交 点为 Q,且 |QF|= |PQ|.
(1) 求 C 的方程 ;
(2) 过 F 的直线 l 与 C 订交于 A 、 B 两点 , 若 AB 的垂直均分线 l' 与 C 订交于 M 、 N 两点 , 且 A 、 M 、B 、 N 四点在同一圆上 , 求 l 的方程 .
分析 (1) 设 Q(x 0,4), 代入 y 2=2px 得 x 0= . 所以 |PQ|= ,|QF|=
+x = + .
由题设得 + = 3
,
解得 p=-2( 舍去 ) 或 p=2.
2
分 )
所以 C 的方程为 y =4x.(5 (2) 依题意知 l 与坐标轴不垂直 , 故可设 l 的方程为 x=my+1(m ≠ 0).
2
2
代入 y =4x 得 y -4my-4=0.
+y =4m,y y =-4.
设 A(x ,y
),B(x 2
,y ),
则 y
1
1
2
1
2
1 2
故 AB 的中点为
2
2
D(2m +1,2m),|AB|=
|y -y |=4(m +1).
1
2
又 l' 的斜率为 -m,
所以 l'
的方程为 x=-
2
y+2m+3.
将上式代入 y 2=4x, 并整理得 y 2+ y-4(2m 2 +3)=0.
设 M(x ,y
),N(x ,y ), 则 y +y =- ,y 2
3 4
3
y =-4(2m +3).
3
4 3 4
4
故 MN 的中点为 E ,
|MN|=
|y -y
|=
.(10 分 )
3
4
因为 MN 垂直均分 AB,故 A 、 M 、B 、 N 四点在同一圆上等价于 |AE|=|BE|= |MN|, 进而 |AB| 2+|DE| 2= |MN| 2, 即 4(m 2+1) 2+
+ = .
化简得 m 2-1=0, 解得 m=1或 m=-1.
所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.(12 分) 教师用书专用 (9 — 10)
9.(2013 安徽 ,13,5 分) 已知直线 y=a 交抛物线 y=x 2 于 A,B 两点 . 若该抛物线上存在点 C, 使得∠ ACB 为直角 , 则 a 的取值范围为 .
答案[1,+ ∞ )
10.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F, 其准线与双曲线- =1 订交于 A,B 两点 , 若△ ABF 为等边三角形, 则 p=.
答案 6
三年模拟
A 组2016— 2018 年模拟 2基础题组
考点一抛物线的定义和标准方程
1.(2017 浙江“超级全能生” 联考 (3 月 ),4) 设抛物线的极点在原点, 焦点在 x 轴上 , 若抛物线上的点 A(-1,a)
与焦点 F 的距离为 2, 则 a=( )
A.4
B.4 或-4
C.-2
D.-2 或 2
答案 D
C:y 2=2px(p>0) 的焦点 F, 与抛物线 C 交于2.(2017 浙江杭州二模 (4 月 ),7) 设倾斜角为α 的直线经过抛物线
A,B 两点 , 设点 A 在 x 轴上方 , 点 B 在 x 轴下方 . 若=m,则 cos α的值为 ( )
A. B. C. D.
答案 A
已知 F 是抛物线 C:y 2=4x 的焦点 ,M 是 C 上一点 ,FM 的延伸线交 y 轴于点3.(2018 浙江名校协作体期初,15)
N. 若=,则| |= .
答案 5
2
月 ),11) 已知抛物线 y =-2px
4.(2017 浙江稽阳联谊学校联考(4 过点 M(-2,2), 则 p= , 准线方程
是.
答案1;x=
5.(2018 浙江镇海中学期中 ,19) 在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线 C:x 2=2py 的焦点为 F(0,1), 过 O作斜率为 k(k ≠0) 的直线 l 交抛物线于 A( 异于 O点 ), 已知 D(0,5), 直线 AD交抛物线于另一点 B.
(1)求抛物线 C 的方程 ;
(2)若 OA⊥BF, 求 k 的值 .
分析(1) 由题意知 , =1, 所以 p=2, 所以抛物线C:x 2=4y.(6分)
(2)由题意知 , 直线 OA:y=kx, 将其代入抛物线方程 :x 2=4y 中 ,
消去 y, 得 x2-4kx=0, 则 A(4k,4k 2).(8分)
直线 AB:y=x+5, 直线 BF:y=- x+1,(10分)
联立可解得B.(12分)
又因为 B 在抛物线C上 , 则=43,(13 分 )
得 (4k 2+3)(4k 2 -5)=0, 得 k= ± .(15 分 )
考点二
抛物线的几何性质
6.(2018 浙江镇海中学期中 ,6) 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,O 为原点 , 若 M 是抛物线上的动点 , 则
的最
大值为(
)
A. B.
C.
D.
答案 C
2
7.(2017 浙江镇海中学模拟卷 ( 五 ),12) 已知抛物线 则该抛物线的焦点坐标是 ; 过焦点斜率
x =4y, 为 1 的直线与抛物线交于 P,Q 两点 , 则 |PQ|= . 答案 (0,1);8
8.(2016
浙江宁波二模
,19)
在“ 2016 ”的
Logo 设计中
, 有这样一个图案
:
. 其由线段
l 、抛物线弧
E 及
圆 C 三部分构成 E:y 2=2px(p>0,y
. 对其进行代数化的剖析 ≥ 0,0 ≤ x ≤ 8), 若圆心
, 如图建系C 恰为抛物线
, 发现 : 圆 C 方程为 (x-4) 2
y =2px 的焦点 , 线段 l
2+y 2=16, 抛物线弧 所在的直线恰为抛物线
y 2=2px
的准线 .
(1) 求 p 的值及线段 l 所在的直线方程 ;
(2)P 为圆 C 上的随意一点 , 过 P 作圆的切线交抛物线弧 在 l 上的投影的长度与圆 C 的直径之比为 4∶ 3?若存在
E 于 , 求出
A 、
B 两点 , 问能否存在这样的点
P 点坐标 ; 若不存在 , 请说明原因
P, 使得弦 .
AB 分析 (1) 由题意易得 p=8, 线段 l 所在直线方程为 (2) 假定存在这样的 P 点 , 设 P(x 0,y 0)(0 ≤ x 0≤ 8),
则切线方程为 (x 0-4)(x-4)+y 0y=16,(7 分 ) 2
将其与抛物线方程
y =16x 联立 , 明显 x 0≠ 4,y 0>0.
x=-4.(5
分 )
整理得
y 2+y 0y-4x 0=0,(9 分)
设点 A 、 B 在 l 上的投影分别为 M,N.
由题意可得 |MN|=|y A -y B |= = ,
解得 x =1(x 0
=16 舍去 ).
此时 P(1,
), 则 y A,B = ( ±2),(11 分)
因为抛物线弧的右上端点坐标为 (8,8
),
且 (
+2)>8 , 故此时的 P 不知足条件 , 即这样的 P 点不存在 .(15 分 )
B 组 2016— 2018 年模拟 2提高题组
一、选择题
1.(2017 浙江绍兴质量调测(3 月 ),7) 已知抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点为 F, 过点 M(p,0) 的直线交抛物线于
A,B 两点 ,若=2 , 则=()
A.2
B.
C.
D. 与 p 相关
答案 B
二、填空题
2.(2017 浙江名校 ( 镇海中学 ) 沟通卷二 ,13) 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,P,R 为抛物线上的点 , 若 |PF|=4, 则
点 P 的坐标是; 若直线 RF与抛物线的另一交点为Q,且△ RQO(O为坐标原点 ) 的重心在直线 y= x 上, 则直线 RF的斜率是.
答案(3, ±2 );2 或 1
3.(2017
2
的焦点 F 作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C 浙江台州 4 月调研卷 ( 一模 ),15) 过抛物线 y =4x
三点,若 =4 , 则 | |= .
答案
4.(2017浙江名校新高考研究结盟测试一,11) 已知抛物线C:y 2=2x, 若 C上的点 M到焦点 F 的距离为, 则△OFM的面积是.
答案 1
三、解答题
5.(2018浙江名校协作体期初,21) 如图 , 已知抛物线C1:x 2=2py 的焦点在抛物线C2:y=x 2+1上,点P 是抛物线C1上的动点 .
(1)求抛物线 C1的方程及其准线方程 ;
(2)过点 P 作抛物线 C2的两条切线 ,A 、 B 为两个切点 , 求△ PAB面积的最小值 .
2
分析(1)C 1的方程为x =4y,(3分)
(2) 设 P(2t,t 2
),A(x
1 1
2 2
),
,y ),B(x ,y
则切线 PA的方程 :y-y 1=2x1(x-x 1), 即 y=2x 1x-2 +y 1, 又 y1= +1, 所以 y=2x 1x+2-y 1, 同理得切线 PB的方程为
y=2x x+2-y , 又切线 PA和 PB都过 P 点 , 所以所以直线 AB 的方程为 4tx-y+2-t 2 分 )
=0.(9
2 2
联立得 x2-4tx+t 2-1=0, 所以
所以 |AB|= |x 1-x 2|= .(11 分 )
点 P 到直线
AB 的距
离
d=
=
.(13
分 )
所以△
PAB 的面
积
S= |AB|d=2(3t
2
+1)
=2(3t
2+1
,
所以当 6.(2017
t=0 时 ,S 获得最小值 浙江名校 ( 诸暨中学
, 为 2. 即△ PAB 面积的最小值为 2.(15 分 ) 2
) 沟通卷四 ,21) 设抛物线 C:x =2py(p>0) 的焦点为
F, 直线 l
过点
F, 且与
C 交于
M,N 两点 .
(1) 当 l 与 y 轴垂直时 , △ OMN 的面积为 2(O 为坐标原点 ), 求此时抛物线 C 的方程 ;
(2) 过 M,N 分别作抛物线 C 的两条切线交于点 P, 当直线 l 变化时 , 证明 :P 点在一条定直线上 , 而且以 MP 为直径的圆过定点 .
分析
(1) 当直线 所以此时抛物线
l 与 y 轴垂直时 ,|MN|=2p,S
2
C 的方程为 x =4y.(4
分 )
△ OMN
= 2 2p2
= =2, 所以
p=2,
(2) 证明 : 由题意知
, 直线 l
的斜率必存在
, 设 l
的方程为 y=kx+ ,M(x 1,y
1),N(x
2,y
2),P(x
P ,y P ). 由 x 2=2py,
得 y=
x 2, 所以
y'= x,
所以切线 PM 的斜率
为
x 1,PM 的方程为
y-y
1= x 1(x-x
1 ),
即 x 1x=p(y
1+y).
同理 ,PN 的方程为 x 2x=p(y 2+y).
联立
消去 x,
得
y=
=
=- ,
故点 P 的纵坐标为定值
, 所以点
P 在定直线 y=- , 即抛物线的准线上
.(12
分 )
把
y P =- 代入 x 1x=p(y 1+y), 得 x P =
=pk,
所以
P
,
又因为
F
, 所以
k PF =- .
于是 PF ⊥ MN,亦即∠ PFM=90°,
所以以 PM 为直径的圆过定点 F.(15
分 )
C 组 2016— 2018 年模拟 2方法题组
方法 1
抛物线的定义和标准方程的解题策略
1.(2017
浙江名校协作体期初
,9)
双曲线
C: -y 2=1 的渐近线方程是
; 若抛物线
y 2=2px(p>0)
的焦点
与双曲线
C 的一个焦点重
合
, 则 p=
.
答案
y=±
x;4
2.(2016
浙江嘉兴第一中学能力测试
,20)
已知抛物线
x 2=2py(p>0)
与直线
3x-2y+1=0
交于
A,B
两
点 ,|AB|=
, 点
M 在抛物线
上
,MA ⊥ MB.
(1) 求 p 的值 ;
(2)求点 M的坐标 .
分析(1) 将 y= x+ 代入 x2=2py, 得 x2-3px-p=0,
由 |AB|=及p>0得p= .
(2) 由 (1) 得 A(1,2),B , 抛物线方程为 y=2x2.
设点 M(x0,y 0), 由 MA⊥ MB得 2 =0,
即 (x 0-1) +(y 0-2) =0,
将 y0=2 代入得 (x 0-1) +4(x 0-1)(x 0+1) 2 =0,
又 x0≠ 1 且 x0≠- , 所以 1+4(x 0+1) =0, 解得 x0=0 或 x0=- ,
所以点 M的坐标为 (0,0) 或.
方法 2 抛物线的几何性质的解题策略
3.(2016 “江南十校”信息优化卷 ,13) 经过抛物线y2=2px(p ≠0) 的极点 O作两条弦 OA和 OB,若弦 OA、OB所在直线的斜率k1、 k2恰巧是方程x2 +6x-4=0 的两个根 , 则直线 AB的斜率为.
答案
方法 3与抛物线相关的综合问题的解题策略
4.(2016 浙江模拟训练卷 ( 三),19) 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F, 过点 M(-1,0) 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 订
交于不一样的两点 A、B, 且∠ AFB为锐角 .
(1)求 k 的取值范围 ;
(2)求△ AFB面积的取值范围 .
分析(1) 明显 k≠ 0, 直线 l 的方程为 y=k(x+1),
由得 k2x2+2(k 2-2)x+k 2 =0.
设 A(x ,y ) 、 B(x ,y
2 ), 则有 x +x =- ,x x =1.
1 1
2 1 2 1 2
明显 A,F,B 三点不共线 , 故∠ AFB为锐角等价于 2 >0.
而
2 =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y2=(x 1 -1)(x 2-1)+k 2(x 1+1) 2 (x 2+1)=(k 2+1)x 1x2+(k 2-1)(x 1+x2)+k 2 +1=2k2+2+
,
进而有 2k 2+2+>0, 即有 k2> .
由 =4(k 2-2) 2 -4k 4>0, 得 k2<1.
则有<k2<1, 故 k 的取值范围为∪.
(2)|AB|=|x 1-x 2|= 2
=2=,
点F(1,0) 到直线l:kx-y+k=0 的距离为d= , ∴ S△AFB= 3 |AB| 3 d= =4 ,
由 (1) 知<k2<1, 则 1< <2, ∴0<S△AFB<4,
故△ AFB面积的取值范围是(0,4).。