人教A版高中数学必修一 《指数》指数函数与对数函数PPT课件

考点
学习目标
利用指数幂的性质化 理解指数幂的含义及其
简求值
运算性质
会根据已知条件，利用
条件求值问题
指数幂的运算性质、 根式的性质进行相关求
值运算
核心素养 数学运算
数学运算
问题导学 预习教材 P104－P109，并思考以下问题： 1．n 次方根是怎样定义的？ 2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ 4．有理指数幂有哪些运算性质？
A. （－5）2＝－5
4 B.
a4＝a
C. 72＝7
3 D.
（－π）3＝π
解析：选 C.由于 （－5）2＝5，4 a4＝|a|，3 （－π）3＝－π， 故 A，B，D 项错误，故选 C.
2．化简( a－1)2＋ （1－a）2＋3 （1－a）3＝________．
解析：由( a－1)2 知 a－1≥0，a≥1. 故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1. 答案：a－1
1
4 ＝
4 x3
1x3(x＞0)，
故③正确；对于④，x－13＝ 1 ，故④错误．综上，故填③. 3 x
答案：③
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)： (1)a2 a；(2)3 a2· a3；(3)(3 a)2· ab3；(4) a2 .
6 a5 解：(1)原式＝a2a12＝a2+12＝a52. (2)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a163. (3)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a32a12b32＝a32+12b23＝a67b32. (4)原式＝a2·a－56＝a2－56＝a76.
4.1 指 数
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
理解 n 次方根和根式的
概念，掌握根式的性质， 根式的化简与求值
会进行简单的求 n 次方
根的运算
理解整数指数幂和分数
根式与分数指数幂的 指数幂的意义，并能熟
互化
练掌握根式与分数指数
幂之间的相互转化
核心素养 数学抽象
数学运算
第四章 指数函数与对数函数
【解】 (1)原式＝1＋14×4912－101012＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝29512＋110－2＋6247－32－3＋3478＝53＋100＋196－3＋3478＝ 100.
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
21
＝aa－3·12·bb213÷(a－1－12b－21－1) －23 ＝a23＋12b12－13÷(a－23b－32)－23
＝a76b16÷(ab)＝a67－1b16－1
＝a16b－65.
本部分内容讲解结束
■名师点拨
n an与(n a)n 的区别
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的
奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制．
n (2)(
a)n
是实数
a
的
n
次方根的
n
次幂，其中实数
a
的取值由
n
的
奇偶决定．其算法是对 a 先开方，后乘方(都是 n 次)，结果恒等于
a.
3．分数指数幂的意义
1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是 ________(只填序号)． ①－ x＝(－x)21(x＞0)； ②6 y2＝y13(y＜0)； ③x－34＝ 4 1x3(x＞0)； ④x－13＝－3 x(x≠0)．
解析：对于①，－ x＝－x12，故①错误；对于②，当 y＜0 时，
6 y2＞0，y31＜0，故②错误；对于③，x－34＝
计算：
(1)(－1.8)0＋32－2· 3
3382－
1＋ 0.01
93；
(2)14－21·0.1（－2·4（aba－31b）－33）21(a＞0，b＞0)．
解：(1)原式＝1＋232·28732－10＋923＝1＋232·322－10＋27＝29 －10＝19. (2)原式＝412·0.12·23a·32a·32b·－b－32 23 ＝2×1100×8＝245.
根式的化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用 根式的性质进行化简． (2)注意点：
①正确区分(n a)n 与n an两式； ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平 方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论．
1．下列各式正确的是( )
条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式 子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系， 可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全 平方公式及其变形公式．
已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x＜y，求xx2211＋－yy1212的 值． 解：xx2211＋－yy1212＝（x12＋yx12）12－（y12x212－y12） ＝（x＋y）x－－y2（xy）21.① 因为 x＋y＝12，xy＝9，② 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
0 的任何次方根都是 0，即n 0＝0.
2．根式
n (1)定义：式子___a__叫做根式，这里
n
叫做__根_指__数_____，a
叫做
_被__开_方__数____．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
①(n a)n＝__a___． ②n an＝___a__|a__|， __， n为n为 奇偶 数数 ，.
(1)当 n∈N*时，(n －3)n 有意义．( × ) (2) （π－4）2＝4－π.( √ ) (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( √ ) (4)0 的任何指数幂都等于 0.( × )
81 的 4 次方根是( )
A．2
B．±2
C．3 答案：D
D．±3
1861－41的值是(
)
2 A.3 C.841
1
“x2＋
x－12＝
3”改为
1
“x2－
x－21＝
1”，如何求
值？ 解：将 x21－x－12＝1 两边平方，得 x＋x－1－2＝1，
所以
x＋x－1＝3，则x＋x2－1＋3＝3＋2 3＝
1 3.
2．(变问法)在本例条件下，如何求 x2＋x－2 的值？
解：将 x21＋x－12＝3 两边平方可得 x＋x－1＋2＝9，则 x＋x－1＝7， 两边再平方，得 x2＋x－2＋2＝49，所以 x2＋x－2＝47.
因为 x＜y，
所以 x－y＝－6 3.③
将②③式代入①式，
得xx1212－ ＋yy1212
1
＝12－－62×3 92＝－
3 3.
1．将 532写成根式的形式，正确的是( )
A.3 52
C．
53 2
答案：D
B. 3 5 D. 53
2．计算4 （－5）4的结果是( )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
3 a2
【解】 (1)(a－b)－34＝
1
.
4 （a－b）3
(2) 5 （ab）2＝(ab)25.
(3) 3 （x－1）5＝(x－1)35. (4) 1 ＝a－23
3 a2
(5)(a－b)37＝7 （a－b）3.
根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法：根指数 分数指数的分母， 被开方数(式)的指数 分数指数的分子． (2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形 式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写 出．
【解】 (1) 3 （－2）3＝－2. (2) 4 （－3）2＝4 32＝ 3. (3) 8 （3－π）8＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝ （x－y）2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x＜y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 所以原式＝02， （xy－≥xy， ），x＜y.
条件求值问题 已知 x21＋x－12＝3，求x－1＋2x＋3的值．
【解】 因为 x12＋x－12＝3， 所以(x12＋x－12)2＝9， 所以(x12)2＋2x21·x－21＋(x－21)2＝9， 所以 x＋2＋x－1＝9， 所以 x＋x－1＝7， 所以原式＝7＋2 3＝15.
1．(变条件)若将条件
正分数 指数幂
规定：amn＝_n__a_m_ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
分数 指数
幂
负分数 指数幂
1 规定：a－mn＝__a_m_n _＝ 1
n am
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0__，0 的负分数指数 指数幂 幂__没_有__意__义___
解析：选 B.287－23＝3233－32＝49，故选 B.
5．计算下列各式的值：
(1)
295＋2674－31－π0；
2
a3 b (2)
a－21·3
÷a－b1 b
ab－1－23.
解：(1)原式＝53＋624731－1 ＝53＋43331－1 ＝53＋43－1＝2.
(2)原式＝aa－23·12·bb1213÷a－b1·ba－12 12－23
■名师点拨
分数指数幂 amn不可以理解为mn 个 a 相乘． 4．指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋_s_ (a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝__a_rs__ (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝_a_r_b_r _ (a＞0，b＞0，r∈R)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
＝－13ac－1
＝－3ac.
(4)原式＝
2a23÷4a16b61·3b32
＝12a23－16·b－16·3b32
＝32a12b34.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分 数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的 符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式 表示．
答案：B
3 B.2 D．－841
根式3 m－5化为分数指数幂为________．
答案：m－53
计算(π－3)0＋3－1×2解析：原式＝1＋13×32＝1＋12＝32.
答案：32
根式的化简与求值
求下列各式的值． (1) 3 （－2）3； (2) 4 （－3）2； (3) 8 （3－π）8； (4) x2－2xy＋y2＋7 （y－x）7.
1．n 次方根 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的_n__次__方__根____，其中
定义 n＞1，且 n∈N*
n 是奇数
a＞0 a＜0
x＞0 x＜0
x 仅有一个 值，记为__n_a__
性质 n 是偶数
a＞0
x 有两个值，且互为
n
相反数，记为_±___a_
a＜0
x 在实数范围内不存在
■名师点拨
解析：选
4 A.
（－5）4＝|－5|＝5.
3．若 a<14，则化简 （4a－1）2的结果是(
)
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D．－ 1－4a
解析：选 B.因为 a<14，所以 4a－1<0，
所以 （4a－1）2＝|4a－1|＝1－4a.
4.287－32＝(
)
9
4
A.4
B.9
C.23
D.32
3．若 （2a－1）2＝3 （1－2a）3，则实数 a 的取值范围为 ________．
解析： （2a－1）2＝|2a－1|，3 （1－2a）3＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，
故 2a－1≤0，所以 a≤12.
答案：－∞，1
2
根式与分数指数幂的互化
把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表 示为根式的形式： (1)(a－b)－43(a＞b)；(2) 5 （ab）2； (3) 3 （x－1）5；(4) 1 ；(5)(a－b)37.
利用指数幂的性质化简求值
计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)2350＋2－2×214－12－(0.01)0.5； (2)2790.5＋0.1－2＋21207－32－3π0＋3478； (3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (4)23 a2÷46 a·b·3 b3.