红河自治州2010年中考数学真题及答案解析
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A
B
C D 2010年云南红河自治州高中招生统一考试
数学试卷解析
一、选择题(本大题共7个小题,每小题只有一个选项符合题目要求,每小题3分,满分
21分) 1.(2010云南红河州,1,3分)下列计算正确的是 ( )
A .(-1)-
1=1 B .(-3)2=-6 C .π0=1 D .(-2)6÷(-2)3=(-2)2 【分析】选项A 错误(-1)-
1=
1
1
(1)-=-1;选项B 答案是9;选项C 正确;选项D 应该等于(-2)6-
3=(-2)3. 【答案】C
【涉及知识点】整式、幂的运算
【点评】本题考查了幂的运算法则、零指数幂、负指数幂。
幂a n =n 个a 相乘。
当a ≠0,n =0时,为零指数幂,任何非0的数的零次幂都等于1,即a 0=1;负指数幂a -
n =
1
n a
;同底数幂的除法法则:a m ÷a n =a m -
n . 【推荐指数】★★
2.(2010云南红河州,2,3分)不在函数x
y 12
=
图像上的点是( ) A .(2,6) B .(-2,-6) C .(3,4) D .(-3,4) 【分析】分别将4个点的坐标代人解析式验证,只有(-3,4)不符合. 【答案】D
【涉及知识点】反比例函数
【点评】本题考查了反比例函数,判断某点是否在函数图像上的方法是:把该点的坐标代人解析式,如果符合,就在图像上;如果不符合,就不在函数图像上。
本题还是一道易错题,如果不认真审题,以为是在函数图像上,看到选项A 就选了. 【推荐指数】★★
3. (2010云南红河州,3,3分)图1是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体,则它
的主视图是
图1
【分析】几何体的主视图,就是从前面看这个几何体得到的正投影,4个选项里,只有B 符合,选项A 为左视图,选项C 为俯视图. 【答案】B
【涉及知识点】三视图
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,考查知识点单一,考查信度高.
【推荐指数】★
4. (2010云南红河州,4,3分)使分式
x
-31
有意义的x 的取值是 ( ) A .x ≠0 B . x ≠±3 C . x ≠-3 D . x ≠3 【分析】分式
x
-31
有意义的条件是分式的分母不等于0,所以,3-x ≠0, x ≠3. 【答案】D
【涉及知识点】分式有意义
【点评】初中阶段涉及有意义的地方有三处,一是分式的分母不能为0,二是二次根式的被开方数必须是非负数,三是零指数的底数不能为零. 【推荐指数】★
5. (2010云南红河州,5,3分)下列命题错误的是 ( )
A 四边形内角和等于外角和
B 相似多边形的面积比等于相似比
C 点P (1,2)关于原点对称的点的坐标为(-1,-2)
D 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半
【分析】选项A 正确,四边形内角和等于外角和都是360°;选项B 错误,相似多边形的面积比应该等于相似比的平方. 【答案】B
【涉及知识点】命题、n 边形的内角和、n 边形的外角和、相似多边形的性质、关于原点对称的点的坐标规律、三角形的中位线定理.
【点评】本题是一道命题判断题,考查的知识点多.n 边形的内角和公式(n -2)180°;n 边形的外角和都是360°;相似多边形的面积比等于相似比的平方;点P (a ,b )关于原点对称的点的坐标为(-a ,-b ); 三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 【推荐指数】★★★
6. (2010云南红河州,6,3分)如果的取值是
和是同类项,则与n m y x y x
m m n 31
253--( )
A .3和-2
B .-3和2
C .3和2
D .-3和-2
【分析】两个同类项中相同字母的指数相同,所以,2n -1=m , m =3解得:m =3,n =2.
【答案】C
【涉及知识点】同类项、二元一次方程组
【点评】本题考查了同类项的概念的运用,两个同类项中相同字母的指数相同,结合一次方程进行考查,题目不难,学生容易得分,考查信度好. 【推荐指数】★★
7(2010云南红河州,7,3分)如图2,已知BD 是⊙O 的直径,⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ,若∠AOD =60°,则∠DBC 的度数为 ( )
A .30°
B .40°
C .50°
D .60°
图2
E D
C B
A
o
【分析】因为BD 为直径,弦AC ⊥BD ,根据垂径定理弧AD =弧DC ,所以,∠AOD =∠COD =60°,再根据圆周角是同弧所对圆心角的一半,则∠DBC 的度数为30°. 【答案】A
【涉及知识点】圆、垂径定理、圆周角、圆心角 【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,•那么它们所对的圆心角相等;圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,•都等于这条弦所对的圆心角的一半.
【推荐指数】★★★
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,满分24分) 8.(2010云南红河州,8,3分)3
1
-
的相反数是 【分析】根据相反数的定义,只有符号不同的两个数,我们称它们互为相反数,零的相反数是零。
所以,31-的相反数是3
1. 【答案】
3
1 【涉及知识点】相反数
【点评】本题考查了相反数的求法:a 的相反数是-a ,0的相反数是0;考查知识点单一,是一道简单的基础题. 【推荐指数】★ 9.(2010云南红河州,9,3分) 四次测试小丽每分钟做仰卧起坐的次数分别为:50、45、48、47,这组数据的中位数为_______.
【分析】将这组数据排序:45、47、48、50,中间的两个数是47、48,所以,这组数据的中位数取47、48的平均数47.5. 【答案】47.5
【涉及知识点】中位数
【点评】求中位数的步骤:⑴将数据由小到大(或由大到小)排列,⑵数清数据个数是奇数还是偶数,如果数据个数为奇数则取中间的数,如果数据个数为偶数,则取中间位置两数的平均值作为中位数. 【推荐指数】★ 10.(2010云南红河州,10,3分)红河州初中毕业生参加今年中考的学生数约是36600人,这个数用科学记数法可表示为
【分析】36600=3.66³10000=3.66³104
.
【答案】3.66³104
【涉及知识点】科学记数法
【点评】科学记数法是每年中考试卷中的必考问题,把一个数写成a ³10n
的形式(其中1
≤a <10,n 为整数,这种计数法称为科学记数法),其方法是(1)确定a ,a 是只有一位整数的数;(2)确定n ;当原数的绝对值≥10时,n 为正整数,n 等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n 为负整数,n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零).试题解析版权:江苏如皋初级中学冒建中. 【推荐指数】★ 11.(2010云南红河,11,3分)如图3,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,若∠A =70°,∠B =60°,DE//BC .则∠AED 的度数是
图3
E
D C
B
A
【分析】根据三角形的内角和等于180°,∠A =70°,∠B =60°,得到∠C =180°-70°-60°=50°;再由DE//BC ,∠AED =∠C =50°. 【答案】50°
【涉及知识点】三角形的内角和、平行线的性质 【点评】本题运用了三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°,以及平行线的性质:两直线平行,同位角相等. 【推荐指数】★★ 12.(2010云南红河州,12,3分)已知一次函数y = -3x+2,它的图像不经过第 象限.
【分析】本题的解题方法是根据一次函数的性质,画出简易图像,得出结论。
因为k =-2<0所以函数图像从左到右下降,又因为b =2,所以,图像与y 轴交于正半轴,由此画出函数图像的草图,得出结论. 【答案】三
【涉及知识点】一次函数的图像
【点评】本题考查了一次函数的图像与解析式的各系数的规律:当k>0时,直线y =kx+b 由左至右上升;当k<0时,直线y =kx+b 由左至右下降.当b>0时,直线y =kx+b 与y 轴交于正半轴;当b<0时,直线y =kx+b 与y 轴交于负半轴. 【推荐指数】★★
13.(2010云南红河州,13,3分)计算:12+2sin60°= 【分析】本题通过计算得到结论,12+2sin60°=23+23
2
=23+3=33. 【答案】33
【涉及知识点】二次根式、特殊角的锐角三角函数值
【点评】本题考查了二次根式的化简以及特殊锐角三角函数值的记忆及其计算。
. 【推荐指数】★★ 14.(2010云南红河州,14,3分)已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面展开
(3)(2)(1)C 3B 3A 3A 2C 1B 1A 1
C B A
C 2
B 2B 2
C 2A B C A 1B 1C 1A 2C 1B 1A 1C B
A … 图4
图的圆心角为
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形,其弧长等于圆锥的底面周长,本题先求弧长,再利用弧长公式求侧面展开图的圆心角. 【答案】120°
【涉及知识点】圆锥的侧面展开图、弧长公式 【点评】抓住圆锥的侧面展开图与圆锥之间的不变量:圆锥的侧面展开扇形弧长等于圆锥的底面周长;圆锥的侧面展开扇形的半径是圆锥的母线,弧长公式为:n °的圆心角所对的弧长
,本题还要注意认真审题,不能把题中的直径看成半径,所以,本题还是一道易错
题.
【推荐指数】★ 15.(2010云南红河州,15,3分)如图4,在图(1)中,A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边
BC 、CA 、AB 的中点,在图(2)中,A 2、B 2、C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A 1、 A 1B 1的中点,…,按此规律,则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个.
【分析】本题的解题方法是,在图(1)中,有3个平行四边形;在在图(2)中,有6个平行四边形;在图(3)中,有9个平行四边形. 【答案】3n
【涉及知识点】找规律、三角形中位线
【点评】三角形的中位线定理:三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半;一个三角形的三条中位线把这个三角形分成了4个三角形,它们可以组合成3个平行四边形. 【推荐指数】★★★
三解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(2010云南红河州,16,7分)先化简再求值:
.2
5
624322+-+-÷+-a a a a a 选一个使原代数式有意义的数代入求值.
【分析】本题是分式的化简求值,好因式分解的要进行因式分解、约分除法要改成乘法,再选一个使原代数式有意义的数代入求值. 【答案】解:原式=
.2
5
)3(2)2)(2(32+-+-+÷+-a a a a a a =
.25)2)(2()3(232+--++⋅+-a a a a a a =
2
5
22+-+a a
=2
3
+-
a 当即可)、、的取值不唯一,只要时,(3221--≠=a a a
原式=12
13
-=+-
【涉及知识点】分式的计算
【点评】分式计算要注意:好分解约分的尽量约分,要注意运算顺序,选数代入时要注意所选的数使分式有意义,所以,本题a 不能取2、-2、-3,其他的数都可以取. 【推荐指数】★★★ 17.(2010云南红河州,17,9分)如图5,一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°,此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行,飞行10秒到山顶D 的正上方C 处,此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米,求这座山的高.(精确到0.1千米)
【分析】本题根据速度和时间求出PC 的长,再在Rt △PCD 中,运用三角函数求出CD 的长,则山高DG 可求.
【答案】解:延长CD 交AB 于G ,则CG =12(千米)
依题意:PC =300³10=3000(米)=3(千米) 在Rt △PCD 中: PC =3,∠P =60° CD =PC ²tan ∠P =3³tan60°
=33
∴DG =12-CD =12-33≈6.8(千米)
答:这座山的高约为6.8千米. 【涉及知识点】:解直角三角形
【点评】本题是一道简单的解直角三角形的试题,解这类题,首先要分析解题思路和解题方法。
一般,在直角三角形中,根据所给的边和角度,选用适当的锐角三角函数,求出有
A
B
12千米
P
C
D
G
60°
图5
图7
项目
手工
文体
学科
学生人数5
1015
202530关的边和角。
试题解析版权:江苏如皋初级中学冒建中
18.(2010云南红河州,18,9分)如图6,在正方形ABCD 中,G 是DC 上的任意一点,(G 与D 、C 两点不重合),E 、F 是AG 上的两点(E 、F 与A 、G 两点不重合),若AF =DF+EF ,∠1=∠2,请判断线段DF 与BE 有怎样的位置关系,并证明你的结论. 图6
F
E
D
C
B
A
21
【分析】本题首先根据图形进行猜想它们的位置关系,然后找条件证明△ABE ≌△DAF ,通过证明内错角相等证明平行.
【答案】解:根据题目条件可判断DF//BE.
证明如下:
∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB =AD ,∠DAF+∠2=90°. ∵AF =AE+EF ,又AF =DF+EF ∴AE =DF
∵∠1=∠2,∴△ABE ≌△DAF (SAS ). ∴∠AFD =∠BEA ,∠DAF =∠ABE. ∴∠ADF+∠1=90°, ∴∠BEF =∠DFE =90°. ∴DE//BF.
【涉及知识点】正方形、全等三角形 【点评】本题考查了正方形的性质,三角形全等的判定,以及平行线的判定。
题目思路清楚,学生容易想到,是一道简单的基本几何证明题. 【推荐指数】★★★ 19.(2010云南红河州,19,8分)某中学计划对本校七年级10个班的480名学生按“学科”、“文体”、“手工”三个项目安排课外兴起小组,小组小明从每个班中随机抽取5名学生进行问卷调查,并将统计结果制成如下所示的表和图7. (1)请将统计表、统计图补充完整; (2)请以小明的统计结果来估计该校七年级480名学生参加各个项目的人数.
【分析】(1)统计图中,根据所画“正”字数出频数,再把各频数除以总数50得到各自的百分比;再根据统计图的数据画出条形图。
(2)是根据样本估计总体,把480乘以各自的百分比得到七年级480名学生参加个项目人数. 【答案】 解:
图7
项目
手工
文体
学科
学生人数
5
1015202530
(1) 统计表、统计图补充如上;
(2) 七年级480名学生参加个项目人数约为:
学科:480³50%=240(人) 文体:480³20%=96(人) 手工:480³30%=144(人)
答:该校七年级480名学生参加“学科”、“文体”、“手工”三个项目的人数分别约为240人,96人,144人. 【涉及知识点】统计
【点评】本题考核知识点属于概率与统计版块,考察了学生对于图表的读图、识图能力,本
兴起小组 划 记 频数 百分比 学科 正正正正正 25 文体 正正 手工 正正正
合计
50
50
兴趣小组 划 记 频数 百分比 学科
正正正正正 25 50% 文体 正正 10 20% 手工
正正正 15 30% 合计 50 50 100%
12341234123443214321开始题渗透了数据的整理、条形统计图、用样本估计总体的知识. 【推荐指数】★ 20.(2010云南红河州,20,8分)现有一本故事书,姐妹俩商定通过摸球游戏定输赢(赢
的一方先看),游戏规则是:用4个完全相同的小球,分别表上1、2、3、4后放进一个布袋内,先由姐姐从布袋中任意摸出一个小球,记下小球的标号后放回并摇匀,再由妹妹任意摸出一个小球,若两人摸出的小球标号之积为偶数,则姐姐赢,两人摸出的小球标号之积为奇数,则妹妹赢.这个游戏规则对双方公平吗?请利用树状图或列表法说明理由.
【分析】本题是求概率的基本题型,解题方法是通过画树状图或列表法解决. 【答案】
解:树状图如下图:
或列表如下表:
1 2 3 4 1 1³1=1 1³2=2 1³3=3 1³4=4 2 2³1=2 2³2=4 2³3=6 2³4=8 3 3³1=3 3³2=6 3³3=9 3³4=12 4 4³1=4
4³2=8
4³3=12
4³4=16
由上述树状图或表格知:所有可能出现的结果共有16种. ∴ P (姐姐赢)=
431612= P (妹妹赢)=4
1164= 所以此游戏对双方不公平,姐姐赢的可能性大.
【涉及知识点】概率
【点评】求概率的方法一般有3种:画树形图、列表法、直接列举法;先表示出所有可能出现的结果数n ,再数出某事件出现的结果数m ,则某事件的概率P =
m n
. 【推荐指数】★★★★ 21.(2010云南红河州,21,9分)师徒二人分别组装28辆摩托车,徒弟单独工作一周(7天)不能完成,而师傅单独工作不到一周就已完成,已知师傅平均每天比徒弟多组装2辆,求:
(1)徒弟平均每天组装多少辆摩托车(答案取整数)?
(2)若徒弟先工作2天,师傅才开始工作,师傅工作几天,师徒两人做组装的摩托车辆数相同?
【分析】本题先设徒弟每天组装x 辆摩托车,由师傅平均每天比徒弟多组装2辆,得到师傅
姐姐
妹妹
每天组装(x+2)辆;再根据徒弟单独工作一周(7天)不能完成以及师傅单独工作不到一周就已完成列不等式组求解(2)是一道简单的题,列一元一次方程就可以解决。
. 【答案】解:(1)设徒弟每天组装x 辆摩托车,则师傅每天组装(x+2)辆.依题意得:
7x<28 7(x+2)>28
解得2<x<4
∵x 取正整数 ∴x =3
(2)设师傅工作m 天,师徒两人所组装的摩托车辆数相同. 依题意得:3(m+2)=5m 解得:m =3
答:徒弟每天组装3辆摩托车;若徒弟先工作2天,师傅工作3天,师徒两人做组装的摩托车辆数相同.
【涉及知识点】不等式组、一元一次方程
【点评】本题是一道既考查了不等式组、又考查了一元一次方程的应用题,通过观察题目,找出有关的关键词:容易发现第1问列不等式组,第2问列一元一次方程求解. 【推荐指数】★★★★
22.(2010云南红河州,22,11分)二次函数2x y =的图像如图8所示,请将此图像向右平移1个单位,再向下平移2个单位.
(1)画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式.
(2)求经过两次平移后的图像与x 轴的交点坐标,指出当x 满足什么条件时,函数值大于0?
【分析】(1)先根据图像平移规律,写出函数的解析式,画出函数图像;(2)要求函数与x 轴的交点坐标,只要把y =0代入解析式,然后,通过看函数图像,直接写出函数值大于0时,x 的取值范围. 【答案】
解: 依题意得:2)1(2
--=x y =2122
-+-x x
y x y x 备用图
图9E M R
Q P B A A B O '
o o =122
--x x
∴平移后图像的解析式为:122
--x x 画出的函数图象如图所示。
(2)当y =0时,122
--x x =0 2)1(2=-x 21±=-x
212121+=-=x x ,
∴平移后的图像与x 轴交与两点,坐标分别为(21-,0)和(21+,0) 由图可知,当x <21-或x >21+时,二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0. 【涉及知识点】二次函数
【点评】本题考查了二次函数的图像平移规律,画函数图像,求图象与坐标轴的交点坐标,以及学会看函数图象. 【推荐指数】★★★★ 23.(2010云南红河州,23,14分)如图9,在直角坐标系xoy 中,O 是坐标原点,点A 在x 正半轴上,OA =312cm ,点B 在y 轴的正半轴上,OB =12cm ,动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动,动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动,动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动,移动时间为t (0<t <6)s. (1)求∠OAB 的度数.
(2)以OB 为直径的⊙O ‘与AB 交于点M ,当t 为何值时,PM 与⊙O ‘
相切? (3)写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式,并求s 的最小值及相应的t 值. (4)是否存在△APQ 为等腰三角形,若存在,求出相应的t 值,若不存在请说明理由.
【分析】(1)在Rt △AOB 中,运用锐角三角函数,即可求出∠OAB 的度数;(2)因为切线
垂直于过切点的半径,所以,想到连接O ‘P ,O ‘M ,再证明△PM O ‘≌△PO O ‘
求出∠O O ‘P =∠M O ‘
P =60°,在Rt △PO ′O 中,利用锐角三角函数求出OP 的长,再求出时间t ;
y x
图10
M
(R )
Q
P A B
O 'o
(3)△PQR 的面积S 的求法是用△OAB 的面积-△OPR 的面积-△APQ 的面积-△BRQ 的面积,再把得到的式子进行整理得到二次函数,即可求出s 的最小值及相应的t 值 (4)△APQ 为等腰三角形,哪两条边相等不明确,需要分三种情况:①AP =AQ ,②AP =PQ ,③AQ =PQ 讨论求解. 【答案】解:(1)在Rt △AOB 中: tan ∠OAB =
3
3
31212=
=OA OB ∴∠OAB =30°
(2)如图10,连接O ‘P ,O ‘M. 当PM 与⊙O ‘相切时,有∠PM O ‘=∠PO O ‘
=90°,
△PM O ‘≌△PO O ‘
由(1)知∠OBA =60°
∵O ‘M = O ‘
B
∴△O ‘
BM 是等边三角形
∴∠B O ‘
M =60°
可得∠O O ‘P =∠M O ‘
P =60°
∴OP = O O ‘²tan ∠O O ‘
P =6³tan60°=36 又∵OP =32t ∴32t =36,t =3
即:t =3时,PM 与⊙O ‘
相切. (3)如图9,过点Q 作QE ⊥x 于点E ∵∠BAO =30°,AQ =4t
∴QE =2
1
AQ =2t
AE =AQ ²cos ∠OAB =4t ³
t 322
3
= ∴OE =OA -AE =312-32t ∴Q 点的坐标为(312-32t ,2t ) S △PQR = S △OAB -S △OPR -S △APQ -S △BRQ =
)32312(22
1
2)32312(21)212(32213121221t t t t t t -⋅-⋅---⋅⋅-⋅⋅ =372336362
+-t t
=318)3(362+-t (60<<t )
y x
D H
Q 3
Q 2
图11
Q 1
P B
A o
当t =3时,S △PQR 最小=318 (4)分三种情况:如图11.
○
1当AP =AQ 1=4t 时, ∵OP+AP =312 ∴32t+4t =312
∴t
=
2
336
或化简为t =312-18 ○
2当PQ 2=AQ 2=4t 时 过Q 2点作Q 2D ⊥x 轴于点D ,。