考研数学(数学一)模拟试卷480(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知当χ→0时，f(χ)＝arcsinχ－arctanaχ与g(χ)＝bχ[χ－ln(1＋χ)]是等价无穷小，则( )
A．a＝b＝1。

B．a＝1，b＝2。

C．a＝2，b＝1。

D．a＝b≠1。

正确答案：A
解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a＝0，，则有a＝1，b＝1。

故选A。

2．设函数f(χ)在[0，1]上连续，且＝1。

f(χ)＝bnsinπχ，χ∈R，其中bn＝2∫01f(χ)sinnπχdχ，n＝1，2，3…，测＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．
正确答案：C
解析：因为＝1，所以可得f(χ)＝1，又因为函数连续，则题目中把f(χ)展开为正弦级数，可知f(χ)为奇函数，可将函数f(χ)奇延拓，得到T＝2，
3．设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是( )
A．单调递增的奇函数
B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数
D．单调递减的偶函数
正确答案：B
解析：令χ－u＝t，则F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt，F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt，令t＝－u，F(－χ)＝∫0χ(－χ＋2u)f(－u)du＝∫0χ(χ－2u)f(－u)du。

因为f(χ)是奇函数，f(χ)＝－f(－χ)，F(－χ)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du，则有F(χ)＝－F(－χ)为奇函数。

F′(χ)＝∫0χf(t)dt －χf(χ)，由积分中值定理可得∫0χf(t)dt＝f(ξ)χ，ξ介于0到χ之间，F′(χ)＝f(ξ)χ－χf(χ)＝[f(ξ)－f(χ)]χ，因为f(χ)单调递增，当χ＞0时，ξ∈[0，χ]，f(ξ)－f(χ)＜0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减；当χ＜0
时，ξ∈[χ，0]，f(ξ)－f(χ)＞0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减。

所以F(χ)是单调递减的奇函数。

4．已知函数f(χ，y)满足＝0，则下列结论中不正确的是( )
A．f(χ，y)在(0，0)点可微
B．f′χ(0，0)＝－2。

C．f′y(0，0)＝1
D．f′χ(0，0)和f′y(0，0)不一定都存在。

正确答案：D
解析：根据多元函数可微的定义，其中A＝f′χ，B＝f′y(χ，y)，那么有通过观察f(χ，y)在(0，0)点可微，f′χ(0，0)＝－2，f′y(0，0)＝1，故选择D。

5．设，则矩阵A和B( )
A．合同且相似
B．合同不相似
C．相似不合同
D．既不相似，也不合同
正确答案：B
解析：因为｜λE－A｜＝＝λ(λ－1)(λ－4)，所以A的特征值为0，1，4。

两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同：两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。

故选B。

6．设A，B均为3阶非零矩阵，满足AB＝O，其中B＝，则( )
A．若a＝2，则r(A)＝1。

B．若a≠2，则r(A)＝2。

C．若a＝－1，则r(A)＝1。

D．若a≠－1，则r(A)＝2。

正确答案：A
解析：因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3。

当a＝2时，r(B)＝2，所以r(A)≤3－r(B)＝1；另一方面，A为3阶非零矩阵，所以r(A)≥1，从而r(a)＝1。

故选A。

7．已知(X，Y)服从二维正态分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，则随机变量X ＋Y与X－Y必( )
A．相互独立且同分布
B．相互独立但不同分布
C．不相互独立但同分布
D．不相互独立也不同分布
正确答案：B
解析：因为(X，Y)服从二维正态分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，所以他们的线性组合也是正态分布，X＋Y～N(0，2σ2＋2ρσ2)，X－Y～N(0，22σ－2ρσ2)，故分布不同。

而Cov(X＋Y，X－Y)＝0，则X＋Y，X－Y 不相关，因为(X＋Y，X－Y)仍是二维正态分布，所以不相关与独立等价。

8．设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(χ，y)，其中X服从正态分布N(0，1)，且Y＝X，若F(a，b)＝，则( )
A．a＝b＝0。

B．a＝0，b＞0。

C．a＞0，b＝0。

D．min{a，b}＝0。

正确答案：D
解析：由题可得F(a，b)＝P{X≤a，Y≤b}＝{X≤a，X≤b}＝，从而P{X≤min{a，b}}＝，即min{a，b}＝0。

填空题
9．设有曲线y＝，过原点作其切线，则以曲线、切线及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周所得到的表面积为_______。

正确答案：
解析：设切点为(χ0，)，则过原点的切线方程为y＝，把点(χ0，)代入切线方程，可得χ0＝2，y0＝1，因此切线方程为y＝χ，由切线y＝χ(0≤χ≤2)绕χ轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为由曲线y＝(1≤χ≤2)绕χ轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为所以，所求旋转体表面积为S＝S1＋S2＝
10．设F(χ)＝(χ＞0)，则F(χ)＝_______。

正确答案：
解析：作变量替换
11．设f(u，v)为二元可微函数，z＝f(χ2y，3yχ)，则＝_______。

正确答案：2yχ2y-1f′1＋3yχlnyf′2
解析：由多元复合函数求导法则，有＝2yχ2y-1f′1＋3yzlnyf′2。

12．设y＝y(χ)由方程χ＝确定，则＝_______。

正确答案：－2π
解析：由χ＝，将χ＝0代入得y＝1，再将所给方程两边对χ求导，得1＝sin2[(y－χ)].(y′－1)。

于是y′＝csc2[(y－χ)]＋1。

从而将χ＝0，y＝1代入得y′｜χ＝0＝3，y〞｜χ＝0＝－2π。

13．设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ1＝1，λ2＝－1为B 的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝_______。

正确答案：18
解析：由；｜2E＋A｜＝(－1)3｜－2E－A｜＝0，知｜－2E－A｜＝0，故λ＝－2为A的一个特征值。

因A～B，故A，B有相同特征值，即λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝－2。

且存在可逆矩阵P，使P-1BP＝。

于是p-1(E＋2B)P ＝E＋2P-1BP＝从而｜E＋2B｜＝9，｜A｜＝λ1λ2λ3＝2。

故｜A＋2AB｜＝｜A(E＋2B)｜＝｜A｜×｜E＋2B｜＝2×9＝18。

14．设随机变量X和Y均服从二项分布b(1，)，且D(X＋Y)＝1，则X和Y的相关系数ρ＝_______。

正确答案：1
解析：D(X)＝D(Y)＝，1＝D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2Cov(X，Y) ＝＋2Cov(X，Y)，解得
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．设f(χ)＝求，I＝∫0χtf(χ－t)dt。

正确答案：I＝∫0χtf(χ－t)dt∫χ0(χ－u)f(u)(－du)＝χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du。

当χ≤时，I＝χ∫0χsinudu－∫0χusinudu＝(－χcosu＋ucosu－sinu)｜0χ＝χ－sinχ。

当χ＞时，
16．设f(u)有连续的二阶导数，且z＝f(eχsiny)满足方程＝e2χz，求f(u)。

正确答案：令u＝eχsiny，则有＝f′(u)eχsiny ＝f〞(u)e2χsin2y ＋f′(u)eχsiny，＝f′(u)eχcosy ＝f〞(u)e2χcos2y－f′(u)eχsiny。

故由＝f〞(u)e2χ，可得f〞(u)e2χ＝f(u)e2χ，即f〞(u)－f(u)＝0。

此二阶常系数方程的特征方程是λ2－1＝0，特征根λ＝±1，故f(u)＝C1eu＋C2e-u，其中C1，C2为任意常数。

17．设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)上二阶可导，且f(a)＝0，f(b)＞0，f′＋(a)＜0。

证明：(Ⅰ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝0；(Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点η，使得f〞(η)＞0。

正确答案：(Ⅰ)f′＋(a)＝＜0 由极限的保号性知，存在δ＞0，当χ∈(a，a＋δ)时，＜0，从而f(χ)＜0。

取C∈(a，a＋δ)，则f(c)＜0，于是f(χ)在[c，b]上连续。

又f(c)＜0，f(b)＞0，由零点定理知，存在ξ∈(c，b)(a，b)，使得f(ξ)＝0。

(Ⅱ)对f(χ)在[a，c]，[c，b]上用拉格朗日中值定理，存在r∈(a，c)，s∈(c，b)使得再对f′(χ)在[r，s]上用拉格朗日中值定理，存在η∈(r，s)(a，b)，使得f〞(η)＝＞0。

18．在微分方程χ＝2y－χ的一切解中求一个解y＝y(χ)，使得曲线y＝y(χ)与直线χ＝1，χ＝2及y＝0所围成的平面图形绕y＝0旋转一周的旋转体体积最小。

正确答案：原方程可化为这是一阶线性微分方程，由通解公式知y ＝＝χ＋Cχ2。

由曲线y＝χ＋Cχ2与直线χ＝1，χ＝2及y＝0所围成平面图形绕χ轴旋转一周的旋转体体积为V(C)＝∫12π(χ＋Cχ2)2dχ＝令V′(C)＝π()＝0，解得C=＝－。

又V〞(C)＝＞0，故C＝－是唯一极小值点，也是最小值点。

所以y＝χ－χ2
19．计算曲面积分，其中S是曲面χ2＋y2＝R2及两平面z＝R，z＝－R(R ＞0)所围成立体表面的外侧。

正确答案：令，取上侧；取下侧；取外侧，则有令表示S1，S2在χOy面上的投影区域则有表示S3在yOz面的投影区域，则有
20．设A＝(aij)m×n，y＝(y1，y2，…，yn)T，b＝(b1，b2，…，bm)T，χ＝(χ1，χ2，…，χm)T，证明方程组Ay＝b有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。

正确答案：必要性：设方程组Ay＝b易有解，则对满足ATχ＝0的向量χ0，bTχ0＝yTATχ0＝yT×0＝0，从而，可见方程组无解。

充分性：设方程组无解，则线性方程组的增广矩阵的秩另一方面，≤r([AT，0])＋1＝r(AT)＋1＝r(A)＋1，所以有≤r(A)。

又由于≥r(A)，可知r(A)＝r()，从而方程组Ay＝b有解。

21．设实二次型f＝χTAχ经过正交变换化为标准形2y12－y22－y32，又设α＝(1，1，1)T满足A*α＝α，求A。

正确答案：由于f＝χTAχ经过正交变换化为标准形2y12－y22－y32，可知A的特征值为2，－1，－1。

又由于A*α＝α，等式两边同时左乘A可得｜A｜α＝Aα，其中｜A｜＝2，可知α即为矩阵A属于特征值2的特征向量。

由于A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知特征值－1的特征向量满足χ1＋χ2＋χ3＝0，解得基础解系为β1＝(1，－1，0)，β2＝(1，0，－1)。

可知β，β即为属于特征值－1的两个线性无关的特征向量。

令P＝(α，β1，β2)＝则有P-1AP＝∧＝所以A＝
22．设随机变量X和Y相互独立，X服从正态分布N(μ，σ2)，Y在区间[－π，π]上服从均匀分布，求随机变量Z＝X＋Y，的概率分布。

(计算结果用标准正态分布Ф表示，其中Ф(χ)＝
正确答案：X和Y的概率密度分别为由于X和Y相互独立，根据卷积公式，可得Z＝X＋Y的概率密度令t＝，则dy＝－σdt，当y＝－π时，t＝；当y＝π时，t＝，因此fz(z)＝
23．设总体X～U(1，θ)，参数θ＞1未知，X1，…，Xn是来自总体X的简单随机样本。

(Ⅰ)求θ的矩估计量和极大似然估计量；(Ⅱ)求上述两个估计量的数学期望。

正确答案：总体X～U(1，θ)，其概率密度为(Ⅰ)由＝E(X)＝，解得θ＝2－1，故θ的矩估计量为－1；似然函数L(θ)递减，又X1， (X)
∈(1，θ)，故θ的极大似然估计量为＝max{X1，…，Xn}。

(Ⅱ) 而＝max{X1，…，Xn}的分布函数。