2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}
2
3A x x =<，则
R
A =（ ）
A ．{}33x x -≤≤
B ．{3|x x ≤-或3}x ≥
C ．{|x x ≤
D ．{|x x ≤x ≥
【答案】D
【分析】先化简集合A ，再根据补集的定义求解即可． 【详解】解：由2
3x <解得x <
{
A x x ∴=<，
R {A x x ∴=≤x ≥．
故选：D ．
2．若()1i 2i z -=，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i --
C ．1i +
D ．1i -
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算即可得解. 【详解】解：因为()1i 2i z -=，
所以()()()
2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +=
==-+--+. 故选：A.
3．设p ：实数x ，y 满足1x >且2y >．q ：实数x ，y 满足3x y +>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可． 【详解】解：1x >且2y >，由不等式的性质知
3x y +>，
p q ∴⇒；
令0,4x y ==，显然满足3x y +>， 但1x <， ∴ q
p ．
∴ p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．
4．若实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．-3
B ．-2
C ．0
D ．5
【答案】C
【分析】画出可行域，根据z 的几何意义求得最小值即可． 【详解】解：作出图像如下，图中灰色部分为可行域， 点A 为220x y +-=与1x =的交点，
联立1220
x x y =⎧⎨+-=⎩，
解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，
11,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
A ，
由2
2
x z y =-知要z 最小，
只要2
z
-即2z x y =-在y 轴的截距最大即可，
∴ 当2z x y =-经过11,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时取最小值，
min 0∴=z ．
故选：C ．
5．执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.
A ．3?x >
B ．4?x >
C ．4?x
D ．5?x
【答案】B
【详解】方法一：当x =4,输出y =2,则由y =log 2x 输出，需要x >4，本题选择B 选项.
方法二：若空白判断框中的条件x >3，输入x =4，满足4>3，输出y =4+2=6，不满足，故
A 错误，
若空白判断框中的条件x >4,输入x =4,满足4=4,不满足x >3,输出y =y =log 24=2，故B 正确； 若空白判断框中的条件x ⩽4，输入x =4，满足4=4，满足x ⩽4，输出y =4+2=6，不满足，故C 错误，
若空白判断框中的条件x ⩽5，输入x =4，满足4⩽5，满足x ⩽5，输出y =4+2=6，不满足，故D 错误， 本题选择B 选项.
6．若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，51
2a =，673a a +=，则5S 的值为（ ） A ．1
B ．
3116
C ．3132
D ．
6364
【答案】C
【分析】根据等比数列求和公式计算即可． 【详解】解：设公比为q ，由题意知0q >，
652
=⋅=
q a a q ， 2
2
752=⋅=q a a q ，
2322
∴+=q q
， 化简得260q q +-=， 解得2q ，
514132
=
=a a q ， ()()551
121313*********⨯-∴==-⨯-=
-S ．
故选：C ．
7．函数()(1)ln(|1|)f x x x =+-的大致图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据函数解析式，可代入特殊点，进行排除.
【详解】根据函数表达式，当x>2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x<-1时，函数值小于0 故可排除C 和D 选项，进而得到B 正确． 故答案为B.
【点睛】这个题目考查了已知函数解析式，求函数图像的问题，这种题目一般可以代入特殊点，进行选项的排除，或者根据函数表达式得到函数的定义域，值域的问题，进行排除. 8．已知角α的终边经过点
1,2，则()πsin 23πtan 2αα⎛⎫
-+-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．35
B ．
310
C ．
35
D ．310
-
【答案】B
【分析】根据已知求得角α的正切值，再根据诱导公式化简求值即可， 【详解】解：∵ 角α的终边经过点
1,2，
tan 2α∴=-，
()πsin π2sin 23πtan sin 2π2cos 2ααααα⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭-+-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭
cos 2sin cos sin α
ααα
=-⋅+ 222sin cos 1
sin cos tan ααααα⋅=-++
22tan 1
tan 1tan ααα
=-++
4135210
=
-=． 故选：B ．
9．已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+（λ，μ为实数），则
22λμ-=（ ）
A ．12
-
B ．79
C ．
322
2
- D ．
12
2
【答案】A
【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出λμ、即可． 【详解】解：如图
在矩形ABCD 中，
()
1
2
=
+DO DA DC ， 在DAO 中，
()
1
2
=
+DE DA DO ，
1113
1132224444⎛⎫∴=++=+=- ⎪⎝⎭DE DA DA DC DA DC AB AD ，
13,44
λμ∴==-，
22191
16162
λμ∴-=
-=-． 故选：A ．
10．若3sin 5θ=
，θ是第二象限的角，则
2tan
22tan 2
θ
θ+=-（ ） A ．15-
B ．25
C ．2
D ．-5
【答案】D
【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出tan
2
θ
，再估算θ的范围，进而求得结论． 【详解】解：2222sin cos 2tan
3222sin 2sin cos 225
sin cos tan 1222θθ
θ
θθθθθθ⋅=⋅⋅===++， 整理得2
3tan 10tan
302
2
θ
θ
-+=，
解得tan
32
θ
=或1
tan
23
θ
=， ∵θ是第二象限的角，
π
2π2ππ,Z 2θ∴++∈k k k <<，
ππ
ππ,Z 422
θ∴++∈k k k <<， tan 12
θ
∴>， tan
32
θ∴=，
∴ 原式23
523
+=
=--． 故选：D ．
11．已知函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞，且()1f x +为奇函数，当1x <时，()2
4f x x x =--，
则()3
2
f x =的所有根之和等于（ ） A ．4 B ．2
C ．12-
D ．6-
【答案】A
【分析】根据二次函数对称性求和即可．
【详解】解：当1x <时，()()2
2(4)24=-+=-++f x x x x ， ∴ 对称轴为2x =-，
()1f x +为奇函数， ()()11f x f x ∴+=--+，
()(2)∴=--f x f x ， f x 关于()1,0中心对称，
设(),x y 为()()1y f x x =>图像上任意一点，
则()2,x y --在()2
4f x x x =--上，
()2
44∴-=--+y x ，
即()2
44y x =--， 对称轴为4x =． 作出图像如下：
由图像知()3
2
f x =
有4个根， 不妨设1234x x x x <<<，
由二次函数的对称性知
()12224+=⨯-=-x x ， 34+=24=8⨯x x ，
∴ ()3
2
f x =
所有根的和为8-4=4． 故选：A ．
12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n
n S b n
=
，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且通项公式为n b n =，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2
112n T m m <--对
一切*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-
C ．()(),13,-∞-+∞
D ．(][),13,-∞-+∞
【答案】D
【解析】根据题意，求得2
n S n =，进而求得数列的通项公式为21n a n =-，结合裂项法求得数列的前
n 和n T ，得出不等式211
122m m --≥，即可求得实数m 的取值范围.
【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，由“均值数列”的定义可得n
S n n
=，所以2n S n =， 当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-， 11a =也满足21n a n =-，所以21n a n =-，
所以
()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪⋅-+-+⎝⎭
，
所以111111111
11233521212212
n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，
又2112
n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，
所以211
122m m --≥，整理得2230m m --≥，解得1m ≤-或3m ≥.
即实数m 的取值范围为(][),13,-∞-+∞.
故选：D.
【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
二、填空题
13．曲线()e 2=++x
f x x x 在点()0,2处的切线方程是__________．
【答案】22y x =+
【分析】根据导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程．
【详解】解：由()e 2=++x
f x x x 得
()()e +e 11e 1'=+=++x x x f x x x ，
()02f ∴'=，
∴ 过点()0,2的切线方程为22y x -=， 即22y x =+． 故答案为：22y x =+．
14．已知向量()1,3a =-，()2,b k =，若()()
2a b a b -+∥，则k =__________． 【答案】6-
【分析】根据向量共线列式计算即可．
【详解】解：()()()22,62,4,6-=--=--a b k k ，
()1,3+=+a b k ，
∵()()
2a b a b -+∥，
()436∴-⋅+=-k k ， 解得6k =-． 故答案为：6-．
15．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a =45B =︒，75C =°，则b =__________．
【答案】22
【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】解：在ABC 中， 由正弦定理得 sin sin a b
A B
=， ()23sin 180sin ∴
=︒--b
B C B
，
()
2
2323sin 45222sin 457532
⨯
⋅︒
∴=
=
=︒+︒b ．
故答案为：22．
16．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭，
63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，则
ω=_________．
【答案】1
【详解】对于函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，
63f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得函数关于对称，
所以有
,,14,4
4
2
k k Z k k Z π
π
π
ωπω+
=
+∈∴=+∈，
又()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，所以有2,,
;1222T T ππππππωω≥-=≥≥≤，1ω∴=.
三、解答题
17．已知函数()()441
sin cos 23cos R 2
=-+-∈f x x x x x x ． (1)求2π3⎛⎫
⎪⎝⎭
f 的值；
(2)求()f x 的最小正周期及单调递减区间． 【答案】(1)3
2
-
(2)最小正周期为π；单调递减区间是π5ππ,π36k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦，Z k ∈
【分析】（1）先把函数化成()π12sin 262f x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，再代入求值即可；
（2）根据2π
T ω=
求得周期，再由sin y x =的递减区间求()π12sin 262f x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭的递减区间即可．
【详解】（1）解：由已知得
()
441sin cos cos 2
f x x x x x =-+-
()()
22221
sin cos sin cos 22=+--x x x x x
()
221
2cos sin 2=---x x x
1
2cos 22
x x =--
1122cos 222⎫=--⎪⎪⎝⎭x x π12sin 262x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭．
2π2ππ12sin 23362⎛⎫⎛⎫∴=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭f
7π1
2sin
62
=- π132sin π622⎛
⎫=+-=- ⎪⎝⎭；
（2）解：由（1）知()f x 的最小正周期为πT =． 由ππ3π2π22π262
k x k +
≤-≤+得 π5πππ36
k x k +
≤≤+，Z k ∈． ∴()f x 的单调递减区间是π5ππ,π36k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦，Z k ∈．
18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a A C A +． (1)求A ；
(2)若a =ABC ABC 的周长． 【答案】(1)π3
A =
5
【分析】（1）根据正弦定理边化角可求得A ；
（2）根据三角形面积求得bc ，再结合余弦定理可求得b c +，进而求得周长． 【详解】（1）解：由正弦定理sin sin a b
A B
=， 可得sin sin a B b A =，
又()sin cos +a A C A ，
sin cos ∴=b A A ．
sin A A ∴=，
即tan A = 又()0,πA ∈， 故π3
A =．
（2）解：由1sin 2ABC
S
bc A =
=
6bc =，
又222π2cos 3
a b c bc =+-， 即227b c bc =+-，
2213∴+=b c ，
则5b c +=
，
故ABC 5．
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()
*
112N +++=∈n n na S n ．
(1)证明：数列{}n nS 为等差数列；
(2)选取数列{}n S 的第2n ()N n *
∈项构造一个新的数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】(1)证明见解析 (2)1212n n
n T =-+
【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；
（2）先求得{}n b 的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得n T ． 【详解】（1）解：证明：∵ 11n n n a S S ++=-，
∴ 由已知得()()
*
112N ++-+=∈n n n n S S S n ，
即()()
*
112N ++-=∈n n n S nS n ．
∴ 数列{}n nS 是以2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知数列{}n nS 是以2为公差的等差数列， 又11a =，首项为1111S a ⨯==，
()11221∴=+-⋅=-n nS n n ， 211
2-∴=
=-n n S n n
． 21
22∴==-
n n n
b S ． 23
1112211111222112222212
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎛⎫⎣⎦∴=-+++⋅⋅⋅+=-=-+ ⎪⎝⎭-n
n n n
T n n n ．
20．已知函数()e x
f x ax =-，R a ∈．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若函数()()()
e 22ln =--++x
g x f x ax x a 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
内无零点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)(],4ln 2a ∈-∞
【分析】（1）求导后根据a 的正负情况分类讨论求得单调区间；
（2）当0a ≤时，()g x 递减，抓住()10g =得到()g x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点；当0a >时，根据()g x 的极
值点2a
与1
2的大小关系分两种情况求实数a 的取值范围．
【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，()e x
f x a '=-．
① 当0a ≤时，0f x
，则()f x 在(),-∞+∞递增．
② 当0a >时，由()0e 0ln '>⇒->⇒>x
f x a x a ；
由()0ln f x x a '<⇒<．
∴ ()f x 的单调减区间为(),ln a -∞，单调增区间为()ln ,a +∞． （2）解：由已知得，()()()12ln 0g x a x x x =-->． 则()2g x a x
'=-
． ① 当0a ≤时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减，
由()10g =得10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立．
∴ ()g x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内无零点．
② 当0a >时，令()0g x '=，得2x a
=． 若
212a ≥，即(]0,4a ∈时，则()g x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减， 又0x →时，()g x ∞→+． 要使()g x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭内无零点，
只需112ln 0222a g ⎛⎫
=--≥ ⎪⎝⎭
，
即04ln 2a <≤； 若
212a <，即4a >时，则()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在21,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增． ∴ ()min 2222ln g x g a a a ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
．
令()2
22ln h a a a
=--，
则()2210a h a a a
-'=-+
=<， ∴ ()h a 在()4,+∞上递减，
()()42ln 220∴<=-<h a h ． 即()min 0g x <，
∴ ()g x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上一定有零点不合题意，舍去．
综上，实数a 的取值范围是(],4ln 2-∞．
【点睛】本题解题的关键是在（2）中当0a ≤时，抓住函数()g x 过定点()1,0；当0a >时，要善于利用极值点与区间的位置关系分类讨论，从而探究不同情况下函数的性质，把问题转化成由()min g x 求a 的范围．
21．已知函数f (x )＝
ln x
x
－ax ，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线经过点(2，－1). （1）求实数a 的值；
（2）设b >1，求f (x )在[1
b ，b ]上的最大值和最小值.
【答案】（1）1；（2）最大值为－1；最小值为－b ln b －1
b
.
【分析】（1）首先对函数求导，求得'(1)f 的值，利用两点斜率坐标公式求得切线斜率，建立等量关系，求得a 的值；
（2）结合（1）的结论，得到函数的单调性，应用导数求得函数的最值，得到结果. 【详解】（1）由题可得，f (x )的导函数为2
2
1ln '()(0)x ax f x x x --=
>， ∴10'(1)11
a
f a --=
=-， 依题意，有(1)(1)112
f a --=--，即
1
112a a -+=--， 解得a ＝1.
（2）由（1）得，2
2
1ln '()(0)x ax f x x x --=
>，易知，f ′（1）＝0， ∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 又∵1
01b b
<
<<，∴f (x )的最大值为f （1）＝－1. 设111
()()()()ln h b f b f b b b b b b
=-=+-+，其中b >1，
则2
1
'()(1)ln 0h b b b =-
>， ∴h (b )在(1，＋∞)上单调递增.
当b →1时，h (b )→0，可得h (b )>0，则1
()()f b f b >，
故f (x )的最小值为11
()ln f b b b b
=--.
【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的最值，属于中档题目.
22．在平面直角坐标系中，曲线1C ：cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换2,
3x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线2C ，
在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
cos 2sin θρθ+= （1）求曲线2C 的普通方程；
（2）设点P 是曲线2C 上的动点，求点P 到直线l 距离d 的最大值.
【答案】（1）22149x y +=；（2. 【分析】（1）把cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩转化为直角坐标方程，把2,3x x y y '=⎧⎨'=⎩
代入到直角坐标方程中即可
（2）设点P 的坐标为(2cos 3sin )θθ，
，把直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式表示出点P 到直线l 距离，进一步求三角函数式的最大值.
【详解】解：（1）由题意得曲线1C ：cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，，
（α为参数）的普通方程为221x y +=.
由伸缩变换23x x y y ⎨'=='⎧⎩，，得2
3
x x y y ⎧=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪'
'⎩
，， 代入2
2
1x y +=，得22
149
x y ''+=.
∴2C 的普通方程为22149
x y
+=
（2）因为cos sin x y ρθρθ==，
cos 2sin θρθ+=
20y +-=.
∴直线l
20y +-=.
因为点P 是曲线2C 上的动点，所以设点P 的坐标为(2cos 3sin )θθ，
， 则点P 到直线l
的距离d ==
=
当πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
时，max d =
所以点P 到直线l 距离d
【点睛】考查把参数方程转化为直角坐标方程以及用三角函数知识求点到直线距离的最大值，中档题.
23．设函数()21(0)f x x a x a =+-+<. （1）当2a =-时，求不等式()2f x 的解集；
（2）若()24f x x >+对[3x ∈-，1]-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）2
[2,]3
--；（2）(,1)-∞-. 【分析】（1）采用零点分段法直接求解即可；
（2）将问题转化为2x a +>对[3x ∈-，1]-恒成立，然后根据(2)min a x <--或(2)max a x >-，求出a
的取值范围.
【详解】解：（1）当2a =-时，()221f x x x =--+， 当1x <-时，()()()2+21+4f x x x x =--+=， 当12x -时，()()()2213f x x x x =---+=-， 当2x >时，()()2214f x x x x =--+=--，
因为()2f x ，所以1,+42,x x <-⎧⎨⎩或12,
32x x -⎧⎨-≥⎩或2,42,x x >⎧⎨--≥⎩，
解得21x -<-或2
13x --或x ∈∅，
()2f x ∴的解集为2[2,]3
--.
（2）若()24f x x >+对[3x ∈-，1]-恒成立，有2(1)24x a x x +++>+，
2x a ∴+>，2x a ∴+<-或2x a +>，(2)min a x ∴<--或(2)max a x >-，
1a ∴<-或5a >.又0a <，1a ∴<-.
故a 的取值范围为(,1)-∞-.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及利用均值定理证明不等式，考查数学转化思想方法，推理论证能力，属于中档题.。