中考数学 专题19 动点问题与几何图形综合题型(原卷版)

专题19 动点问题与几何图形综合题型
题型一、动点问题与几何图形最值问题
主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.
题型二、动点问题与几何问题相结合
主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.
【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为( ).
A．4 B．C．7 D．8
【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC 是等边三角形，AB=3，E 在AC 上且AE=2
3
AC，D 是
直线BC上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D 运动时，则线段AF 的最小值是 .
【例2】（2019·开封二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝4
3
x﹣4与抛物线y＝
4
3
x2+bx+c交于
坐标轴上两点A 、C ，抛物线与x 轴另一交点为点B ；
（1）求抛物线解析式；
（2）若动点D 在直线AC 下方的抛物线上，如图2，作DM ⊥直线AC ，垂足为点M ，是否存在点D ，使△CDM 中某个角恰好是∠ACO 的一半？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，说明理由．
图1 图2
【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y =1
3
x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，
1），点B （9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P 且与y 轴平行的直线与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形AECP 的最大面积；
（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
1.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线39
44
y x =-+与x 轴交于点A ，与y
轴交于点
l
B；抛物线29 4
y ax bx
=++（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（3）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．
图1 图2
2.（2019·洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-4经过点B，C. 点P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．
（1）直接写出a，c的值；
（2）当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；
（3）当∠PBA= 1
2
∠CBP时，直接写出直线BP的解析式．
3.（2019·洛阳三模）在平面直角坐标系中，直线y=1
2
x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次
函数y =1
2
x 2+bx +c 的图象经过 B ，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点A ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M 是线段BC 上的一动点，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上．设点 D 的横坐标为 m ．过点 D 作 DM ⊥BC 于点 M ，求线段 DM 关于 m 的函数关系式，并求线段 DM 的最大值；
4.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若D (2，m )在该抛物线上，连接CD ，DB ，求四边形OCDB 的面积；
（3）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．
5.（2019·濮阳二模）如图，已知直线y ＝﹣3x +c 与x 轴相交于点A （1，0），与y 轴相交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点是C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的动点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标.
6.（2019·商丘二模）如图．在平面直角坐标系中．抛物线y＝1
2
x2+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交
于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）．已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E 不与点A，B重合）．过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P．交BC于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值；
（3）是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
7.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线y＝﹣x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.
8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，P A=QA？
9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．
10.（2019·郑州模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，OB=OC．点D 在函数图象上，CD∥x 轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b，c的值．
（2）如图1，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．
（3）如图2，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
图1 图2
11.（2019·郑州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1交于A、B两点，点A在x轴上，点B 在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P从点A AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
12.（2019·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（1
2
，1），（3,1），（3,0），
点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B 随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是。