函数的奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题及答案
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篇一：函数奇偶性练习题(内含答案)
函数奇偶性练习（内含答案）
一、选择题
1．已知函数f（x）＝ax＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax＋bx ＋cx（）
A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
2．已知函数f（x）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）
A．a?22321，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0 3
23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x－2x，则f（x）在R上的表达式是（）
A．y＝x（x－2）B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）D．y ＝x（｜x｜－2）
4．已知f（x）＝x＋ax＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
5．函数f(x)?53?x?1是（2x?x?1x2 ）
A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
6．若?(x)，g（x）都是奇函数，f(x)?a??bg(x)?2在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（）
A．最小值－5 B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3
二、填空题
7．函数f(x)?x?2?2
?x
22的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y＝（m－1）x＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．
9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)?g(x)?1
x1，则f（x）的解析式为_______．
10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．
三、解答题
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．
12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x?R，y?R），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．
13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x＋2x—1，求f（x）在R上的表达式．
14.f（x）是定义在（－∞，－5］?［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
15.设函数y＝f（x）（x?R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．
32
函数的奇偶性练习参考答案
1．解析：f（x）＝ax＋bx＋c为偶函数，?(x)?x为奇函数，2
∴g（x）＝ax＋bx＋cx＝f（x）·?(x)满足奇函数的条件．答案：A 32
2．解析：由f（x）＝ax＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．
又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴a?
221．故选A．33．解析：由x≥0时，f（x）＝x－2x，f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x＋2x）＝－x－2x＝x（－x－2）．22
?x(x?2) ∴f(x)x(?x?2)
答案：D
53(x?0),即f（x）＝x（|x|－2）(x?0),4．解析：f（x）＋8＝x＋ax＋bx为奇函数，
f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．答案：A
5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．答案：B
6．解析：?(x)、g（x）为奇函数，∴f(x)?2?a?(x)?bg(x)为奇函数．
又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，∴f（x）－2有最大值3．
∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C
7．答案：奇函数
8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x＋2mx＋3为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）＋2m（－x）＋3＝（m—1）x ＋2mx＋3，整理，得m＝0．
9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
可得f(x)?g(x)?222111111?)?2，联立f(x)?g(x)?，∴f(x)?(．x1x12x1x1x1
10．答案：0 11．答案：m? 答案：f(x)?1
x211 2
12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）?f（－y）＝f （y），故f（x）为偶函数．
13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．
f（x）＝x＋2x－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）＋2（－x）－1＝－x＋2x－1，323232 ∴f（x）＝x－2x＋1．32
?x3
? 因此，f(x)??0
?x3??2x2?1?2x2?1(x?0),(x?0), (x?0).
点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．
14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．
因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）?f（x1）＜－f（x2）?f（x1）＞f（x2），即单调减函数．
点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．
15．解析：由x1，x2?R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，
f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．
又令x1＝x2＝－1，
∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，
∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，
∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．
篇二：函数的奇偶性练习题[(附答案)
函数的奇偶性
1．函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是A．奇函数非偶函数
（）
B．偶函数非奇函数
C．奇函数且偶函数D．非奇非偶函数
2. 已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是( ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，
且f(2)=0，则使得f(x)0的x的取值范围是()
A.(-?,2)
B. (2,+?)
C. (-?,-2)?(2,+?)
D. (-2,2) 4．已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.
当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0.+∞)时，f(x)= . 5. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lg(x2?1-x); (2)f(x)＝x?2+2?x
?x(1?x)?
x(1?x)
(3) f（x）=?
(x?0),(x?0).
6.已知g(x)=－x2－3,f(x)是二次函数，当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x)是奇函数，求f(x)的表达式。

2
7.定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f(1-a)+f(1-a)0,求a的取值范围
ax2?1
(a,b,c?N)是奇函数,f(1)?2,f(2)?3,且f(x)在[1,??)上是8.已知函数f(x)?
bx?c
增函数,
(1)求a,b,c的值;
(2)当x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.
9.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有
f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
10下列四个命题：
（1）f（x）=1是偶函数；
（2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数；
（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函
数；（4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1
B．2
C．3
D．4
11下列函数既是奇函数，又在区间??1,1?上单调递减的是( )
1x2?xa?a?x D.f(x)?lnA.f(x)?sinxB.f(x)??x?C.f(x)?
22?x
??
12若y=f（x）（x∈R）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f（x）上的是（）A．（a，f（－a））B．（－sina，－f（－sina））C．（－lga，－f （lg））D．（－a，－f（a））
13. 已知f（x）=x4+ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。

a?2x?a?2
14.已知f(x)?是R上的奇函数，则a =
2x?1
1a
15.若f(x)为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f(-2)=0，则xf(x)0的解集为________
16.已知y=f(x)是偶函数，且在[0,??)上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是17.已知f(x)?x(
1?) x22?11
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）0。

答案
1.【提示或答案】D
【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。

2.【提示或答案】A
【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念3.【提示或答案】D
【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想【变式与拓展】
1：f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0,??)上递减，那么一定有( ）
A．f(?C．f(?
33
)?f(a2?a?1) B．f(?)?f(a2?a?1)4433
)?f(a2?a?1) D．f(?)?f(a2?a?1) 44
【变式与拓展】
2：奇函数f(x)在区间[3，7]上递增，且最小值为5，那么在区间[－7，－3] 上是
（）
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 4. 【提示或答案】f(x)=-x-x4
【变式与拓展】已知f（x）是定义在R上的奇函数，x0时，f（x）=x2－2x+3，则f（x）=________________。

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式5．【提示或答案】
解(1)此函数的定义域为R.
∵f(-x)+f(x)＝lg
x
-x)＝lg1＝0
∴f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。

(2)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。

（3）∵函数f（x）定义域（－∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数.
【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性6．解：设f(x)?ax2?bx?c则
f(x)?g(x)?(a?1)x2?bx?c?3是奇函数?a?1?0?a?1, c?3?0c?3??
b1
f(x)?x2?bx?3?(x?)2?3?b2
24
b1
（1）当?12即-4?b?2时，最小值为：3?
b2?1?b??
42
?b??f(x)?x2??3
b
?2即b??4时,f(2)=1无解；2b
（3）当1即b?2时，
2
（2）当?
f(?1)?1?b?3,f(x)?x2?3x?3
综上得：f(x)?x2??3或f(x)?x2?3x?3
【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合7. 【提示或答案】-11-a1
2
-11-a1
f(1-a)- f(1-a2)=f(a2-1),1-a a2-1得0a1 【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽
象函数问题8．【提示或答案】解(1)f(x)是奇函数，则
ax2?1ax2?1ax2?1
c?0由f(1)?2得a?1?2b,
?bx?cbx?c?bx?c
由f(2)?3?
a?2
?0??1?a?2 a?1
又a?N,?a?0,1.
1
当a?0时,b??N,舍去.
2
x2?11
?x?当a=1时,b=1,f(x)?xx
【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质9【提示或答案】
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子
f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：
f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．
令y=－x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3x)＜-f(3x-9x-2) =f(-3x+9x+2)，
k·3x＜-3x+9x+2，
32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
1?k
令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴x?
2
1?k
?0,即k??1时,f(0)=20,符合题意; 当21?k
?0时,对任意t0,f(t)0恒成立
当2
?1?k
?0?
??2
(1?k)2?4?2?0 ?解得?1?k??1?综上所述,所求k
的取值范围是(??,?1?
【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。

10【提示或答案】B 11【提示或答案】D 12【提示或答案】D
【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征13【提示或答案】6 篇三：函数奇偶性练习题及答案
函数的奇偶性练习题
1、判断下列函数的奇偶性。

（1）f(x)?(x?1)1?x（非奇非偶）
lg(1?x2)
（2）f(x)?|x?2|?2（奇）
22f(x)?3?x?x?3（奇偶）（3）
（4）f(x)?x?|x?a|?2（a=0，偶；a≠0，非奇非偶）2
2x?1（5）f(x)?x（奇）2?1
（6）y?lg(x?1?x)（奇）
1?cosx?sinx 1?cosx?sinx2（7）f(x)?
f(x)?（8
）x?1(奇)
332、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于?x?R，都有f(?x)??f(?x)22
成立。

（1）证明：f(x)是周期函数，并指出周期。

33?f(?x)??f(?x),f(?x)?f(x)22 3333?f(x?3)?f[(x?)?]??f[?(?x)]??f(?x)?f(x)2222
f(x)是周期函数，且T?3 所以，
（2）若f(1)?2，求f(2)?f(3)的值。

-2
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x??时，f(x)??x?x，则f(?)?（A ）
A．?? B．?? C．１D．３
4．函数f(x)的定义域为,11,，且f(x?1)为奇函数，当x?1时，
f(x)?2x2?12x?16，则直线y?2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之?和是（D ）
A．1 B．2C．4
解：
f(x+1)是奇函数
所以f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且
f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)
所以f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0
则当x1时
（1）2x2-12x+16=2
x2-6x+7=0
x=3±√2 两根都大于1
即x1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2
（2）2x2-12x+16=-2
x2-6x+9=0
x=3
所以x=3时，y=-2
(3,-2)关于(1,0)的对称点为（-1,2）
即x1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1
所以，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是
3+√2+3-√2+(-1)=5
D．5
5.下面四个结论中，正确命题的个数是( A )
①偶函数的图象一定与y轴相交
②奇函数的图象一定通过原点
③偶函数的图象关于y轴对称
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)?log1(1?x)，则函数f(x)在(1,2)上( D )
2
A．是增函数，且f(x)0 B．是增函数，且f(x)0
C．是减函数，且f(x)0 D．是减函数，且f(x)0
7．已知函数y?f(x)，x?R，有下列4个命题：
①若f(1?2x)?f(1?2x)，则f(x)的图象关于直线x?1对称；
②f(x?2)与f(2?x)的图象关于直线x?2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(2?x)??f(x)，则f(x)的图象关于直线x?2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)?f(?x?2)，则f(x)的图象关于直线x?1对称. 其中正确命题的个数为（C ）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个分析：①先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．
②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．
③用-x换x，由题设条件和偶函数的性质得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f （2+x），故f（x）的图象关于直线x=2对称．
④用-x换x，由题设条件和奇函数的性质得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称
即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．
②由题设知y=f（2-x）=f[-（x-2）]
由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，
又y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动2个单位而得到，∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．
③f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），用-x换x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）∴f（x）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．
④∵y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），用-x换x得，f（-x）=f（x-2），
∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．
故选C．
8.设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(2?x)??f(x),当0?x?1时，f(x)?x，则f(7.5)等于（B ）
A.0.5
B.-0.5
C.1.5
D.-1.5
?x＋3??的9．设f(x)是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(x)
＝f??x＋4?
所有x之和为( C ) A．－3B．3 C．－8D．8
10.已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x?1)?1?f(x)，则f(2011)等于( C ) 1?f(x)
11A．2B．－3C．－D. 23
11[解析] 由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x) 23
1＋f?x＋1?1(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2011)＝f(3)＝－.[点评] 严格推证如下：f(x＋2)＝21－f?x＋1?
1＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为f?x?
2－x11.函数y＝log2的图象( A ) 2＋x
A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称
12.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg
（x）的表达式是__________.
解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg1，那么当x∈（－1，0）时，f1?x1=lg（1－x）.1?x
答案：lg（1－x）
13.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为3 .
14．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．
0解析：因为函数y＝（m－1）x＋2mx＋3为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．(
15.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：2
①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y轴对称；
②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；
③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称；
④若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；
⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。

其中正确的命题序号为
_______．②③⑤
16．定义在,上的偶函数f?x?满足f?x?1f?x?，且在??1,0?上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
1①f?x?关于点P(,0)对称②f?x?的图像关于直线x?1对称；2
③f?x?在[0，1]上是增函数；④f?2??f?0?.
其中正确的判断是________________(把你认为正确的判断都填
上)(1)(2)(4)
17.关于y=f(x)，给出下列五个命题：
①若f(-1+x)=f(1+x)，则y=f(x)是周期函数；
②若f(1-x)= -f(1+x)，则y=f(x)为奇函数；
③若函数y=f(x-1)的图像关于x=1对称，则y=f(x)为偶函数；
④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图像关于直线x=1对称；
⑤若f(1-x)=f(1+x)，则y=f(x)的图像关于点（1,0）对称；
其中真命题的序号是_______．①③
18. 设函数y?f(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x?2对称，已知x?[?2,2]时，函数f(x)??x2?1，则x?[?6,?2]时，f(x)?
f(x)??(x?4)2?1。