2017全国1卷理科数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.
x
已知集合 A={ x|x<1} , B={ x| 3
1}，则(
)
A ・ AI
B {x|x 0} B • AUB R
C AU B {x|x 1}
D • AI B
如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的
中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(
设有下面四个命题
其中的真命题为(
1 6 2
(1
2)(1 X )展开式中x 的系数为(
X
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,
A • 1
B • 2
C • 4
D • 8
5 •函数f (x)在(， )递减，且为奇函数• 若f(1)
1，则满足1 f (x 2)
1的x 的取值范围是(
)
A • [ 2,2]
B • [ 1,1]
C • [0,4]
D • [1,3]
记S n 为等差数列 ｛a .｝的前n 项和.若a 4 a 5 24 , S 6
48，则｛务｝的公差为( )
P :若复数z 满足1
z R ，则z
P 2 :若复数 Z 满足Z 2 R ，则 z R ;
P 3 :若复数Z i , Z 2满足 Z 1Z 2 R ，贝U 乙 Z 2 ；
P 4 :若复数 z R ，则
A • P i , P 3
B • P i , P 4 P 2, P 3 D • P 2, P 4
A • 15
B • 20
30
D • 35
A
C .
正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形•该多面体的各个面中有若干个是梯形, 这些梯形的面积之和为(
A • 10
B • 12
C • 14
D • 16
8•右面程序框图是为了求出满足 3n -2n >1000的最小偶数n,那么在和一两个空白框中，可以分别填入（
）
C7W
A=3tr -2H
J
1
CTO
线C 2
曲线C 2
10 .已知F 为抛物线C : y =4x
的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 I 1, 12, 直线l i 与C 交于A 、B 两点，直线l 2
与C 交于D 、E 两点， 则|AB|+|DE |的最小值为（ )
A . 16
B
.
14 C . 12
D .10
11 .设x 、y 、z 为正数，且 2x
3y
5z
,
则（ ）
A . 2x<3y<5z
B
. 5z<2x<3y
C . 3y<5z<2x
D .3y<2x<5z
A • A>1000 和 n=n+1
B • A>1000 和 n=n+2
C • A 1000 和 n=n+1
D • A 1000 和 n=n+2
9.已知曲线C i :尸cos x , C 2：
y=sin （2x+S ）,则下面结论正确的是（
3
A .把C i 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
芒个单位长度, 6
得到曲
B .把
C i 上各点的横坐标伸长到原来的
2 倍, 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
—个单位长度, i2
得到曲
C 2
C .把 C i 上各点的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
」个单位长度, 6
得到曲
C 2
D ・把C i 上各点的横坐标缩短到原来的
1
丄倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2
」个单位长度，得到
i2
12 •几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件•为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学
题获取软件激活码”的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列
1 , 1, 2, 1 , 2, 4, 1,
2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,…，其中第一项是20,接下来的两项是20, 21,再接下来的三项是20, 21, 22, 依此类推•求满足如下条件的最小整数N: N>100且该数列的前N项和为2的整数幕•那么该款软件的激活码是（）
A • 440
B • 330
C • 220
D • 110
、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.
13. 已知向量a, b 的夹角为60° |a|=2, |b|=1,则| a +2 b |= __________ .
x 2y 1
14. ________________________________________________________________ 设x, y满足约束条件2x y 1,则z 3x 2y的最小值为_____________________________________________________________ .
x y 0
2 2
15•已知双曲线C:笃占1 (a>0, b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的a b
一条渐近线交于M、N两点.若/ MAN =60°,贝U C的离心率为_______ ___ .
16. 如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O. D、E、F为圆O上的
点，△ DBC ,△ ECA, △ FAB分别是以BC, CA, AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC, CA, AB为折痕折起△ DBC ,△ ECA, △ FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥•当△ ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________________________ .
三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17~21题为必考题，每个试题考生都必
须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
a2
17. (12分)△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知△ ABC的面积为
3sin A
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1 , a=3，求△ ABC 的周长.
18. (12 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD，且BAP CDP 90°
(1)证明：平面PAB丄平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, APD 90°，求二面角A-PB-C 的余弦值.
19.
( 12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16个零件，并测
量其尺寸(单位：cm ) •根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
2
N(,).
(1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(
3 , 3 )之外的零件数，求
P(X 1)及X 的数学期望;
(2) —天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(
3 , 3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(i)
试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ii)
:
S 艮f x)2屈(」嚴)2 OF ，其中X i 为抽取的第i
经计算得x 右「9.97 , 个零件的尺寸，i 1,2, ,16 .
生产过程进行检查？剔除
(？ 3?, ? 3?)之外的数据，用剩下的数据估计
和 (精确到0.01)
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N( , 2)，则P( 3 Z 3 ) 0.9974 ,
0.997416 0.9592 , 0.008 0.09 .
20. (12分)已知椭圆 C : x
2
y
：=1 (a>b>0)，四点
P 1( 1,1), P 2( 0, 1),P 3(-1，罟),P 4( 1，罟)
a b 2 2
中恰有三点在椭圆 C 上.
(1)求C 的方程;
(2)设直线I 不经过P 2点且与C 相交于A , B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为 -,证明：I 过定 占
1 16 •厂16
2
花
用样本平均数x 作为 的估计值？，用样本标准差s 作为
的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的
八、、♦
2x x 21. (12 分)已知函数f(x) ae (a 2)e x .
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.
(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修4 —4坐标系与参数方程］(10分)
x 3cos
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(B为参数)，直线I的参数方程为
y sin
(1 )若a=-1 ,求C与I的交点坐标;
(2)若C上的点到I的距离的最大值为..17，求a.
23.［选修4—5:不等式选讲］(10分)
已知函数f(x) = —2+ax+4, g(x)= |x+1 | + X_1 J
(1 )当a=1时，求不等式f(x) sg(x)的解集；
(2 )若不等式f(x)為(x)的解集包含［1］,求a的取值范围.4t
（t为参数）t
参考答案(理科数学)
、选择题
123456789101112
A B B C D C B D D A D A 、填空题
13. 2 3 14. 5 15. -------- 16. 4.15
3
三、解答题
17. [mffJCD 宙題谩得丄皿或泅士一^,
2Ssinji 2 3M A
由正弓玄定理得^sin CsinB =史兰.
2 3sia J
故sin E sin C 二扌”
(2)由題设B: (1)得cos.SeMC-sm 5sinC = -i B $ Slcos(5+C)
所y^4-C = ^, =
虫题设得-业sin A ————,即屁=$
2 3$iaA
由余弓玄定理得沪+沪一址=9,即0 4处=9*得占+ f =
故厶ABC的周设为3 + J5T
図.【解折】(D由已知疋用』尸二/CD尸二90°, AB . AP・匸0丄尸口
山于故丄卩D 从而川R丄平面口1D
乂MB G平面附乩所臥平面用衣丄平面用D
(2＞在平面PdD内做PF丄AD.垂足为F,
曲＜1)可知.丄平PAD t故丄E丄可得PF丄平血川丧CZX
以F为坐标懐点.兀S的方向为工轴正方虬|石|为单位紐建立如斷示的空间直箱坐标系F-xyz.
可取川=(0广—J5)一
ffiij cos ＜^«＞=上上-=_邑 颅以二面角A-PS-C 的余弦AS 为-—・
I 砂利I 3
3
19"解析1(1)抽取的一个零件的尺寸在3-斑屮+迈＞之内的牴率为0.9974,从而尊件的尺寸在
(亞亠3忑之外的概率九Q 烦细 teX^(16T O_CC26).B 此
P^X iL) = l - P(X =0) = 1- &貯7 斗=0.0408 X 的数学期望为 EX = 16x0.0026 = 0,0416.
⑵(1)如果生产伏态正常，一个軍件尺寸在3-衍丄右6之外的槪率只有00026, —榭取的16 个零件
中F 邸斬寸在3—斑卫+3仍之外的零件的枇率只有O.04OS,发生的柢率很小一因业一旦发生这 不帽况'就有理由认为这条生产线在这一夭的生产过程可能出现了异囂I#况，需对当天的生产过程进i 亍检 査』可见上述监揑生产过程的方法是合理的
仆)由x = 9.97卫纭0.212,得并的＜古计信为旷的估计值为由祥本数据可朝看出 有一个寥件的尺寸在@一地直十岁②之外，因业需对当天的生产过程进行检查・
剔除3-怡3彷)之外幽握皿 析数据的平瑚4为1(16x9.97-^22)^10,02,因此卫的估计 值为1C.02.
16X0J2121 + 16x 9.971 a 1591,134 ＞剔除(―站/舟®之#的數捣9阳 剩下数摒的祥本方
箜为丄(1591J34-9.221 -15xlO/021)^0.008 , 因此疔的佔计值为伍顾立0・09・
设西二(工卩②是平面PCB 的法冋童」则
\nCB=O
^/lx — 0
设M=(X.J ；,Z )是平面尸血的法向量，则 m PA — 0
一 阿
=0
v = 0 L*
e 【解祈】（1〉由于6耳两点关于y 轴对称，故由题设知0经过环 耳两旨
又畔 +右〉护缶知，f 不经过点刊，所以点鬥在C 上
故<?的方程为刍
4
⑵ 设直与直线F 出的斜率分别为0 4 如果知轴垂直，设hi 由题设知目J 牛2,可得儿号的坐标分另处|G 更寻）,〔f 「盘2）. 则十■灯
于="5合戚
从而可设I: J ■加十附（廉#1 ） 一将丫・肝~加代人二彳才二1得（4A 2 1）X : + Sfonn-4???* -4-0
斗
由题设可SQA=16（4V -m' + l ）>0
而十;1 +/ft-l toe 】十战7 绸氐十（曲一
1］（画十总） Xi 堆
耳上 由题设馬宀直=* -1 土故(2Jt* I)护2 +(JW -1)(^ + ^)-0.
Mil”， 八%亠却『 八-8^W1 xy^t . 也十I
即(2fc +1)——7——4-{/?i -I) ------------------ :—二0.懈咼k.= . 4F +1 4JI' +1 1
岂且仪当術A —L 时'i>欲俠/： y = -—^―+
-即尸1 = 一葺°懐一2)， £ £>
所以？过犀点0 -!> 设启 <n, Vi>j B (xz,旳〉)则兀LX2= 4^+1 钿— 4^-t-l
儿［解析輕1）代0的定义域为（7.2）, fg二30十（“20-1=3—1X2^7,（i ）若打兰0” EJrW<0 ；所決f（J0在（TO,炖）单谊逋療.
（ii）gd>0> 则由/XX>=0得f lz-
岂XE0O广1卫）喷fg",甘龙㈠口彳亠巧町，『⑶入
m fg在（T0= -10 C单调邈碰「拄（一血见+功里调遥増.
<2）（0若必0』由（1>灿门>）至梦育一个零点
(li)若"0,宙(D 翔 当工咋 丸工)取得最小值，最小值为-丄十詁6 £1
① 当◎=】吋】由T/ein^ ^O.故/⑴只肯一个零点*
② 当^€(1.+®)吋，由于 1 一丄材"A (h BP/(-I II G )>O I
■
③ 当应 E (Q1)时，1 一丄+111^<0 , gp /(-h4U )<0.
a
又/(-2) = a^ + (a-2)t^2>-2e 2 + 2 >0 ,故/(x)在(^c-liia)有一个當点-
3 设正整数®满足坯> In(- —1｝,则/(^)=皆2护+ &—2) —吟a 出一 ％ n X —炀A 0・ a 由于怙(丄-1) >-lna, Slit /(x>在(-lg 皿)有一个零点
a
綜上+证的眼值范围为COJ).
22.麟析】⑴ 曲射的音通方程^y+/=l,
当"J 时，宜线｛的普通方程为* + 4厂3=0一
y H 24
2： ■从而C 与F 的交点坐标为00), (-^,0).
⑵直线［的音通方程为工+ 4，-口-4兰0,故C 上的点&8心価仍到啲距宫为才」兀％ + °曲
当◎王7E 寸，川的最大僖为•宙题设得了弓_=』1耳，所■以灯=8 ；
当口<7时，〃的最大值为马二，由题设得卑！=丽，所以“=一1「
VT7 V17 综上，£? —8=£CJ =-36 .
23.【解析】⑴当。

=1时，不等式/(jr)Hg(jr)等价丁疋—切|工+ 1|十
为工<一1时,①式化为疋一3瓷一4乞0,无解；
21
工二—一
藍+4卩一3=0 由£心解毗
寸,①式化为H-x —2W0,从而一1兰xWlj 当x>W f ①式滋x 2*工一 4E0,从而1<"T +
奶 ⑵当细71］日寸，g(x)-2
所IX/W > g(±)的解集SabLll 、等价于当工E [71]时f(x) 3 2 . h 又/(力在［7H 的最小值必为7X7与/⑴之一，所且")X2,得 所叹农的取值范围M-U ］
2
所以/(X )> g(x)的解集为｛x|-l<x< 二历｝。