新人教A版数学选修2-3课件：第一章1.3-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论：
(1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数的最大项，需要根据各项系数的 正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开 式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各 项系数分别为 A0，A1，A2，…，An，且第(r＋1)项最大， 应用AArr≥≥AArr－＋11，，解出 r，即得出系数的最大项．
(1)解析：由 2n＝8 192 得 n＝13， 所以(a－b)2n 有 27 项． 答案：D (2)解：①令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4 ＝16. ②令 x＝－1 得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝ 256， 而由①知 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝16，两式相加可得 a0 ＋a2＋a4＝136. ③令 x＝0 得 a0＝(0－1)4＝1，得 a1＋a2＋a3＋a4＝a0 ＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.
答案：C
归纳升华 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：先通过观 察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系，然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来， 使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、 隔行看、从多角度观察．
[变式训练] 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成 0，得到如图所示的0－1三角数表，从上往下数，第1次 全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3 行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61 行中1的个数是________．
(2)增减性与最大值．当 k＜n＋2 1时，二项式系数是逐 渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减少的，且在 中间取得最大值．当 n 为偶数时，中间一项的二项式系
n 数 C2n 取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项
__________相等，且同时取得最大值．
(3)①各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋… ＋Cnn＝2n．
的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 审题指导： 求二项式系数最大的项，利用性质知展
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展 开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n. 失分警示：若此处对展开式各项系数和的概念不清楚， 则不能得出正确的关系式 又展开式二项式系数和 C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n， 由题意有 4n－2n＝992. 即(2n)2－2n－992＝0，得 2n＝32，所以 n＝5.(3 分) (1)因为 n＝5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数 最大项为第三、四两项．(4 分) 失分警示：此处易错成认为展开式只有 5 项，中间项 的二项式系数最大
2．关于(a－b)10 的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为 1 024
B．展开式中第 6 项的二项式系数最大
C．展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大
D．展开式中第 6 项的系数最小 解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系 数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为 偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数， 所以是系数中最小的． 答案：C
3．(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8＝ ________．
解析：由题意可知 a8 是 x8 的系数，所以 a8＝C810·22 ＝180.
答案：180
4．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最 大，则 n 等于________．
解析：因为只有第 5 项的二项式系数最大，所以n2＋ 1＝5，所以 n＝8.
3
它们是 T3＝C25( x2)3(3x2)2＝90x6.
3
22
T4＝C35( x2)2(3x2)3＝90x 3 .(6 分)
(2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大．
3
10＋4k
又 Tk＋1＝Ck5( x2)5－k(3x2)k＝Ck53kx 3 ，(7 分)
得CCk5k533kk≥≥CC5k5k＋－1133kk－＋11，. 失分警示：若此处不列出不等式组判断 k 的取值范
第一章 计数原理
1.3 二项式定理 1．3.2 “杨辉三角”与
二项式系数的性质
[学习目标] 1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与 组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的 观察能力、分析能力和归纳推理能力(重点)． 2.理解二 项式系数的性质，并会简单应用(难点)． 3.会用“赋值 法”解题(重点)．
(3)由①②两式联立得： a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1， a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243， 两式相减得a1＋a3＋a5＝12×(1－243)＝－121.
类型 3 二项式中关于系数的最值问题(规范解答)
3
[典例 3] 已知( x2＋3x2)n 展开式中各项系数和比它
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的 项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它 “肩上”两个数的和，即Crn＋1＝_C__nr－_1_＋__C_rn_．
2．二项式系数的性质
(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系 数相等，它反映了组合数性质Βιβλιοθήκη C_nm_＝__C__nn－_m_．
解析：观察可得第 1 行，第 3 行，第 7 行，第 15 行， 全行都为 1，故第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n－1 行．
因为 n＝6⇒26－1＝63，故第 63 行共有 64 个 1， 逆推知第 62 行共 32 个 1，第 61 行共 32 个 1. 答案：2n－1 32
类型 2 二项展开式系数的和的相关问题 [典例 2] (1)已知(a＋b)n 的展开式各项的二项式系 数之和为 8 192，则(a－b)2n 的展开式中共有( ) A．13 项 B．14 项 C．26 项 D．27 项 (2)设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. ①求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4； ②求 a0＋a2＋a4； ③求 a1＋a2＋a3＋a4.
围，只是通过猜测得出 k 的值，会造成步骤不完整，只能
得6分
则53k－≥1 k6≥－1 kk，＋3 1，解得72≤k≤92.
又因为 k 为整数，所以 k＝4，(10 分)
所以展开式中第 5 项系数最大．(12 分)
26
26
系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
归纳升华
(3)二项展开式的二项式系数和为C
1 n
＋C
2 n
＋…＋C
r n
＋…＋Cnn.( )
解析：(1)对，由杨辉三角观察可知结论正确． (2)错，二项式展开式中系数与二项式系数是不同的 两个概念，所以最大项也不相同． (3)错，二项展开式的二项式系数和为 C0n＋C1n＋C2n ＋…＋Crn＋…＋Cnn. 答案：(1)√ (2)× (3)×
A．144 B．146
C．164 D．461
解析：由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12， 第 3 项是 C23，第 4 项是 C13……第 15 项是 C29，第 16 项是 C19.
所以 S16＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13 ＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(2＋3＋…＋9)＋C310＝ （2＋29）×8＋130××29××18＝164.
归纳升华 1.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n ∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子 求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． 2．若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式 中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4 ＋…＝f（1）＋2f（－1），偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5 ＋…＝f（1）－2f（－1）.
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出或 探究．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的 关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式 系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为 0，1 或－1， 但在解决具体问题时要灵活掌握．
3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数； (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中 r∈{0， 1，2，…，n}的范围．
答案：8 5．(2x－1)6 展开式中各项系数的和为________；各 项的二项式系数和为________． 解析：令展开式左、右两边 x＝1，得各项系数和为 1； 各二项式系数之和为 26＝64. 答案：1 64
类型1 与“杨辉三角”有关的问题(自主研析) [典例1] 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭 头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6， 4，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16＝( )
[变式训练] 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2 ＋a4x＋a5.
(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)求a1＋a3＋a5. 解：(1)令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋ a4＋a5， 所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①
[类题尝试] 已知14＋2xn的展开式中前三项的二项 式系数的和等于 37，求展开式中二项式系数最大的项的 系数．
解：由 C0n＋C1n＋C2n＝37，得 1＋n＋12n(n－1)＝37， 得 n＝8.14＋2x8的展开式共有 9 项．其中 T5＝C48144(2x)4 ＝385x4，该项的二项式系数最大，系数为385.
②展开式的偶数项的二项式系数与奇数项的二项式 系数相等，都等于 2n－1．
温馨提示 在求二项式系数的最大值时，要注意讨论 n 的奇偶性．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数
列．( )
(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项
是相同的．( )
(2)因为(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4 －a5.
令x＝－1，得[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4 ＋a5，
即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35＝243，② 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.