【5套打包】西安市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元检测试卷(含答案解析)

人教版九年级上册第24 章数学圆单元测试卷 ( 含答案 )(4)
一．选择题
1．以下相关圆的一些结论，此中正确的选项是（）
A．随意三点能够确立一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．均分弦的直径垂直于弦，而且均分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
2．用直角三角板检查半圆形的工件，以下工件哪个是合格的（）
A．B．
C．D．
3．已知⊙O的半径为2，点P在⊙ O内，则OP的长可能是（）
A． 1B． 2C．3D．4
4．如图．BC是⊙O的直径，点A、 D在⊙ O上，若∠ ADC＝48°，则∠ ACB等于（）度．
A． 42B． 48C． 46D．50
5．今年寒假时期，小明观光了中国扇博物馆，如图是她看到的纸扇和团扇．已知纸扇的骨柄长为 30cm，扇面有纸部分的宽度为18cm，折扇张开的角度为150°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（）
A．B．C．D．
6．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（）A． 4B．C．D．
7．如图，
AB 是圆
O
的直径，点
C
在的延伸线上，直线与圆
O
相切于点，弦⊥
BA CD D DF AB
于点，连结，＝＝4，则的长度为（）
E BD CD BD OE
A．B． 2C． 2D．4
8．如图，四边形ABCD是菱形，
点B，C在扇
形
AEF的
弧
EF上，若扇
形
ABC的面积为，
则菱形ABCD的边长为（）
A． 1B． 1.5C．D．2
9．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C 是半圆上的点，D
是
上的点．若∠BOC＝50°，则∠ D的度数（）
A． 105°B． 115°C． 125°D．85°
10．如图，在 Rt △中，∠＝ 90°，以点
C 为圆心的圆与边
AB
相切于点．交边
BC
ABC ACB D 于点 E，若 BC＝4， AC＝3，则 BE的长为（）
A． 0.6B． 1.6C． 2.4D．5
11．如图，在平行四边形ABCD中， AB＝4， AD＝2，分别以A、 B 为圆心， AD、 BC为半径画
弧，交 AB于点 E，交 CD于点 F，则图中暗影部分图形的周长之和为（）A． 2+πB． 4+πC． 4+2πD．4+4π
12．如图，为半圆
O 的直径，⊥ 且＝，射线交半圆
O
的切线于点，⊥
AB BC AB BC AB BD E DF CD 交于，若＝ 2 ，＝ 2，则⊙的半径长为（）
AB FAEBF DF O
A．B．4C．D．
二．填空题
13．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是．
14．如图，点O是△ ABC的内切圆的圆心，若
∠
A＝80°，则∠BOC为．
15．一条弦把圆分红1： 2 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．
16．如图，⊙O的直径AB垂直于
弦
CD，垂足为E，假如∠ B＝60°，AO＝4，那么CD的长为．
17．如图点A是半圆上一个三均分点（凑近点N这一侧），点 B是弧 AN的中点，点 P 是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则 AP+BP的最小值为．
三．解答题
18．如图，E是 Rt △ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边 AC 于点 F，连结 AD．
（1）求证：AD均分∠BAC．
（2）若AE＝ 2，∠CAD＝25°，求的长．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点D在以 AB为直径的 QO上．
（1）若直线CD是⊙O的切线，求∠BAD的度数；
（2）在（ 1）的条件下，若⊙O的半径为 1，求图中暗影部分的周长．
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣8，0）， B（0，6），∠ ABO的角均分线交△ABO 的外接圆⊙ M于点 D，连结 OD， C为 x 正半轴上一点．
（1）求⊙M的半径；
（2）若OC＝，求证：∠OBC＝∠ODB；
（3）若I为△ABO的心里，求点D到点I的距离．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 12，拱高为 4 ．
AB m CD m
（ 1）求拱桥的半径；
（ 2）有一艘宽为 5 的货船，船舱顶部为长方形，并超出水面 3.4，则此货船能否能顺
m m
利经过此圆弧形拱桥，并说明原因；
22．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延伸BD到点 C，使 AB＝ AC，连结 AC，过点 D
作 DE⊥AC，垂足为
E．（ 1）求证：DC＝
BD；
（ 2）求证：DE为⊙O的切线；
（ 3）若AB＝ 12，AD＝ 6 ，连结OD，求扇形BOD的面积．
23．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（ 1）求证：BD＝CD；
（ 2）若AB＝ 4，∠BAC＝45°，求暗影部分的面积．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D 是⊙ O上的点，且OD∥ BC， AC分别与 BD、 OD订交于点 E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝ 6，AB＝ 10，求DF的长；
PC+PD的最（ 3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝ 80°，点P 是线段AB上随意一点，试求
出
小值．
25．如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠ABC的均分线交AC于点 E，过点 E 作 BE的垂线交 AB 于点 F，⊙ O是△ BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（ 3）若CD＝ 1，EF＝，求AF长．
参照答案
一．选择题
1．解：A、不共线的三点确立一个圆，故本选项不切合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不切合题意；
C、均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不切合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项切合题意．
应选： D．
2．解：依据90°的圆周角所对的弦是直径获得只有C选项正确，其余均不正确；
应选： C．
3．解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴OP＜2．
应选： A．
4．解：连结AB，以下图：
∵ BC是⊙ O的直径，
∴∠ BAC＝90°，
∵∠ B＝∠ ADC＝48°，
∴∠ ACB＝90°﹣∠ B＝42°；
应选： A．
5．解：纸扇的扇面面积＝﹣＝315π，则团扇的半径＝＝ 3（cm），
应选： D．
6．解：∵正六边形的边心距为2，
∴ OB＝2，∠ OAB＝60°，
∴AB＝＝＝2，
∴AC＝2AB＝4．
应选： A．
7．解：连结OD，如图，
∵直线 CD与⊙ O相切于点 D，
∴OD⊥CD，
∴∠ ODC＝90°，
∵ CD＝BD＝4，
∴∠ C＝∠ B，
∵ OD＝OB，
∴∠ B＝∠ ODB，
∴∠ DOE＝∠ B+∠ ODB＝
2∠B，∴∠ DOE＝2∠ C，
在 Rt △OCD中，∠DOE＝ 2∠C，则∠DOE＝ 60°，∠C＝30°，∴ OD＝cot∠ EOD?CD＝×4 ＝4，
∵DF⊥AB，
∴∠ DEO＝90°，
在 Rt △ODE中，OE＝ cos ∠EOD?OD＝× 4＝2，
应选： B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝ AC，
∴∠ BAC＝60°，
∵＝，
∴AB＝1.5，
应选： B．
9．解：连结BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ ADB＝90°，
∵∠ BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ ADC＝90°+25°＝115°．
应选： B．
10．解：在 Rt △ACB中，AB＝＝ 5，∵以点 C为圆心的圆与边AB相切于点 D
∴CD⊥AB，
∵CD?AB＝ AC?BC，
∴ CD＝＝2.4，
∵CE＝CD＝2.4，
∴BE＝BC﹣ CE＝4﹣2.4＝1.6．
应选： B．
11．解：设∠A＝n°，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴∠ B＝180°﹣ n°， BC＝AD＝2，
由题意得， AE＝AD＝2， BE＝ BC＝2，
∴图中暗影部分图形的周长之和＝的长 +的长+CD＝+4+＝4+2π，
应选： C．
12．解：连结AD， CF，作 CH⊥ BD于 H，以下图：
∵AB是直径，
∴∠ ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠ BDF+∠ BDC＝90°，∠ CBD+∠ DBA＝90°，
∴∠ ADF＝∠ BDC，∠ DAB＝∠ CBD，
∴△ ADF∽△ BDC，
∴＝＝，
∵∠ DAE+∠ DAB＝90°，∠ E+∠ DAE＝90°，
∴∠ E＝∠ DAB，
∴△ ADE∽△ BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴ AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设 BF＝x，则 AE＝2x， AB＝ BC＝3x，
∴ BE＝＝x， CF＝＝，
2
由切割线定理得：AE＝ ED× BE，
∴ ED＝＝＝x，
∴ BD＝BE﹣ ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠ BHC＝90°，∠ CBH+∠BCH＝∠ CBH+∠ ABE，
∴∠ CBH＝∠ ABE，
∵∠ BAE＝90°＝∠ BHC，
∴△ BCH∽△ EBA，
∴＝＝，即＝＝，解得： B H＝x， CH＝x，
∴ DH＝BD﹣ BH＝x，
222
x 2
∴ CD＝ CH+DH＝，∵DF⊥CD，
2222
+（ 222
，
∴ CD+DF＝ CF，即x）＝（）解得： x＝，
∴AB＝3，
∴⊙ O的半径长为；
应选： A．
二．填空题（共 5 小题）
13．解：圆锥的侧面积＝×2π× 3×7＝21π．故答案为21π．
14．解：∵∠BAC＝ 80°，
∴∠ ABC+∠ ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点 O是△ ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ ABC，∠ BCA的角均分
线，∴∠ OBC+∠ OCB＝50°，
∴∠ BOC＝130°．
故答案为： 130°．
15．解：如图，连结OA、 OB．
弦AB将⊙O分为1：2两部分，
则∠ AOB＝×360°＝120°；
∴∠ ACB＝∠AOB＝60°，
∠ADB＝180°﹣∠60＝120°；
故这条弦所对的圆周角的度数为 60°或 120°．故答案是： 60°或 120°
16．解：连结OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ACB＝90°，
∵∠ B＝60°，∴∠
A＝30°，∴∠
EOC＝60°，∴∠
OCE＝30°
∵AO＝OC＝4，
∴OE＝ OC＝2，
∴CE＝＝2，
∵直径 AB垂直于弦 CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为： 4 ．
17．解：作 B 点对于 MN的对称点 B′，连结 OA、 OB′、 AB′， AB′交 MN于 P′，如图，∵ P′ B＝ P′ B′，
∴P′ A+P′ B＝ P′ A+P′ B′＝
AB′，∴此时 P′ A+P′B 的值最小，
∵点 A是半圆上一个三均分点，
∴∠ AON＝60°，
∵点 B是弧 AN的中点，
∴∠ BPN＝∠ B′ON＝
30°，
∴∠ AOB′＝∠ AON+∠ B′ON＝60°+30°＝
90°，∴△ AOB′为等腰直角三角形，
∴AB′＝ OA＝3，
∴AP+BP的最小值为3．
故答案为3．
三．解答题（共8 小题）
18．（ 1）证明：连结OD，如图，
∵ BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠ C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ CAD＝∠ ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ ODA＝∠ OAD，
∴∠ CAD＝∠ OAD，
即 AD均分∠ BAC；
（2）∵AD均分∠BAC，∠CAD＝
25°，∴∠ FAE＝2∠ CAD＝50°，
∵AE＝2，
∴ OE＝1，
∴的长为．
19．解：（ 1）∵直线CD是⊙ O的切线，
∴OD⊥CD，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥AB，
∴∠ AOD＝90°，
∵ OD＝OA，
∴∠ BAD＝45°；
（ 2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，∠ C＝∠ A＝45°，
过 B作 BE⊥CD于 E，
∴ BE＝OD＝ CE＝1，
∴CB＝，
∵的长＝＝，
∴图中暗影部分的周长＝1+2++＝3+．
20．（ 1）解：∵∠AOB＝ 90°，
∴ AB是⊙ M的直径，
∵A（﹣8，0），B（0，
6），∴ OA＝8， OB＝6，
∴ AB＝＝10，
∴⊙ M的半径 OA＝5；
（ 2）证明：∵∠AOB＝∠BOC＝ 90°，
∴ tan ∠OBC＝＝＝， tan∠OAB＝＝＝，
∴∠ OBC＝∠ OAB，
∵∠ ODB＝∠ OAB，
∴∠ OBC＝∠ ODB；
（ 3）解：作∠BOE的均分线交BD于I，作IM⊥OB于M，以下图：
则 IM∥OA， I 为△ ABO的心里， IM 为△ ABO的内切圆半径， OM＝ IM
＝（6+8﹣ 10）＝ 2，∴ BM＝4，∴ BI＝＝ 2，
∵ IM∥OA，
∴△ BIM∽△ BEO，
∴＝，即＝，
解得： EO＝3，
∴ AE＝OA﹣ EO＝5， BE＝＝＝ 3，
∴ IE＝BE﹣ BI＝，
由订交弦定理得：BE× DE＝ AE× EO，
即 3DE＝5×3，
解得： DE＝，
∴DI＝DE+IE＝2；
即点 D到点 I 的距离为2．
21．解：（ 1）如图，连结ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵ AB＝12m，
∴BD＝ AB＝6m．
又∵ CD＝4m，
设 OB＝OC＝ ON＝r ，则 OD＝（ r ﹣4）m．
在 Rt △BOD中，依据勾股定理得：r 2＝（ r ﹣4）2+62，解得 r ＝6.5．
（ 2）∵CD＝ 4m，船舱顶部为长方形并超出水面 3.4 m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（ m），
∴OE＝r ﹣ CE＝6.5﹣0.6＝5.9（ m），
2222
﹣ 5.92
＝7.44
2
在 Rt △OEN中，EN＝ON﹣OE＝
6.5（ m），∴＝（）．
EN m
∴＝2＝ 2×≈ 5.4＞ 5．
MN EN m m
∴此货船能顺利经过这座拱桥．
22．证明：（ 1）连结AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ADB＝90°，又
∵ AB＝ AC，
∴ DC＝BD；
（ 2）连结半径OD，
∵OA＝OB， CD＝BD，
∴ OD∥AC，
∴∠ ODE＝∠ CED，
又∵ DE⊥ AC，
∴ ∠ CED＝90°，
∴∠ ODE＝90°，即
OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；
（ 3）∵AB＝ 12，AD＝ 6 ，
∴ sin B＝＝＝，
∴∠ B＝60°，
∴∠ BOD＝60°，
∴ S 扇形BOD＝＝ 6π．
23．（ 1）证明：连结AD，
∵AB为⊙O直径，
∴ AD⊥BC，
又∵ AB＝ AC，
∴ BD＝CD；
（ 2）解：连结OE，
∵ AB＝4，∠ BAC＝45°，
∴∠ BOE＝90°， BO＝ EO＝2，∠ AOE＝90°，
∴S 阴＝ S△+S 扇形＝4+2π．
BOE OAE
24．（ 1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠ OFA＝90°，
∴ OF⊥AC，
∴ ＝，
即点 D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而 OA＝OB，
∴ OF为△ ACB的中位线，
∴ OF＝ BC＝3，
∴DF＝OD﹣ OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点对于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连结OC，如图，∵ PC＝PC′，
∴PD+PC＝ PD+PC′＝
DC′，∴此时 PC+PD的值
最小，∵ ＝，
∴∠ COD＝∠ AOD＝
80°，∴∠ BOC＝20°，
∵点 C和点 C′对于 AB对称，
∴∠ DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则 C′H＝ DH，
在 Rt △OHD中，OH＝OD＝，∴ DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．25．证明：（ 1）如图 1，连结OE．
∵BE⊥EF，
∴∠ BEF＝90°，
∴ BF是圆 O的直径．
∵BE均分∠ABC，
∴∠ CBE＝∠ OBE，
∵OB＝OE，
∴∠ OBE＝∠ OEB，
∴∠ OEB＝∠ CBE，
∴OE∥BC，
∴ AC是⊙ O的切线；
（ 2）解：如图2，连结DE．
∵∠ CBE＝∠ OBE， EC⊥ BC于 C， EH⊥ AB于 H，∴EC＝EH．
∵∠ CDE+∠ BDE＝180°，∠ H FE+∠ BDE＝180°，∴∠ CDE＝∠ HFE．
在△ CDE与△ HFE中，
∴△ CDE≌△ HFE（ AAS），
∴CD＝HF．
（3）解：由（ 2）得CD＝HF，又CD＝ 1，
∴ HF＝1，
∵EF⊥BE，
∴∠ BEF＝90°，
∴∠ EHF＝∠ BEF＝90°，
∵∠ EFH＝∠ BFE，
∴△ EHF∽△ BEF，
∴，即，
∴BF＝10，
∴ OE＝BF＝5， OH＝5﹣1＝4，
∴ Rt △OHE中， cos ∠EOA＝，
∴ Rt △EOA中， cos ∠EOA＝，
∴，
∴OA＝，
∴AF＝．
人教版数学九年级上册第二十四章圆的综合单元测试卷
一．选择题
1．以下说法错误的选项是（）
A．圆有无数条直径
D．能够重合的圆叫做等圆
2．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是（）
A．20°B． 15°C．35°D．70°
3．如图，点A 是量角器直径的一个端点，点 B 在半圆周上，点P 在上，点Q 在AB 上，且 PB＝ PQ．若点P 对应140°（ 40°），则∠PQB 的度数为（）
A．65°B． 70°C．75°D．80°
4．如图，点
A 、、在⊙
O
上，
CO
的延伸线交
AB
于点
D
，
BD
＝
BO
，∠
A
＝ 50°，则B C
∠ B 的度数为（）
A ． 15 °B． 20°C．25° D ． 30°
5．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，假如∠BAC＝ 60°，那么 OD 的长是（）
A．2B．C．1D．
6．用 48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（）
A ．m2B．m2C．m2 D ．m2
7．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前 3 个正五边形，要达成这一圆环还需正五边形的个数为（）
A．10B．9C．8D．7
8．如图，PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B，PA＝3，∠ BPA＝60°，若 BC 为⊙ O 的直径，则图中暗影部分的面积为（）
A ． 3πB．πC．2π D ．
9．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝ 45°，点P 在数轴上运动，若过点 P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝ x，则x 的取值范围是（）
A ．﹣ 1≤x≤ 1B．﹣≤ x≤C．0≤x≤ D ．x＞
10．如图，C 是以AB 为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC 为边向外作正方形ACDE， BCFG，DE ， FG，，的中点分别是M，N ，P， Q．若MP+ NQ ＝14，AC+ BC＝20，则AB 的长是（）
A ． 9B．C．13D．16
11．如图，扇形AOB中， OA＝2，C 为上的一点，连结AC， BC，假如四边形AOBC为菱形，则图中暗影部分的面积为（）
A ．﹣B．﹣2C．﹣ D ．﹣ 2
12．如图，以等边三角形ABC的 BC 边为直径画半圆，分别交AB、AC 于点E、 D，DF是圆的切线，过点 F 作BC 的垂线交BC 于点G．若AF的长为2，则FG 的长为（）
A ． 4B． 6C．3 D ． 2二．填空题
13．如图，⊙
O 的直径
AB
垂直于弦，垂足为
E
，假如∠＝ 60°，
AO
＝ 4，那么
CD
的
CD B
长为．
14．如图，正六边形
ABCDEF 中，边长为4，连结对角线
AC
、、
AE
，则△
ACE
的周长
CE
为．
15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连结BD，半径 OE ⊥ BC，连结 EA， EA⊥ BD 于点 F．若 OD ＝2，则 BC＝．
16．如图，四边形ABCD 内接于⊙ O，∠ BOD＝120°，则∠ DCE＝．
17．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，P为CD延伸线上的一点，PE切⊙O于E．BE 交 CD 于 F．若 AB＝6，DP＝2，则 BF＝．
三．解答题
18．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）AB＝AC．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD 与 AB 交于点 E，过点 B 的切线 BP 与 CD 的延伸线交于点 P，连结 OC， CB．
（1）求证：AE ?EB＝CE?ED；
（ 2）若⊙O的半径为3，OE＝ 2BE，＝，求线段DE 和 PE 的长．
20．如图1，已知点A，B，C是⊙O上的三点，以AB，BC为邻边作 ?ABCD，延伸AD，交⊙O 于点 E，过点 A 作 CE 的平行线，交 CD 的延伸线于 F
（1）求证：FD＝FA；
（2）如图 2，连结AC，若∠F＝ 40°，且AF恰巧是⊙O的切线，求∠CAB的度数．
21．以下图，⊙O是等腰三角形ABC 的外接圆， AB＝ AC，延伸 BC 至点 D，使 CD＝ AC，连结 AD 交⊙ O 于点 E，连结 BE、 CE，BE 交 AC 于点 F．
（ 1）求证：CE＝AE；
（ 2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE 是菱形；
②若AE ＝， AB＝，则DE的长为．
22．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、 B 的一点，过 C 点的切线于BA 的延伸线交于D点，E为CD 上一点，连EA并延伸交⊙O 于H，F 为 EH上一点，且EF ＝CE， CF 交延伸线交⊙ O 于
G．（ 1）求证：弧AG＝弧GH；
（ 2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙ O的半径．
23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝ 2，弦BM均分∠ ABC
交 AC 于点 D，连结 MA，
MC．（ 1）求⊙O半径的长；
（ 2）求证：AB +BC＝BM．
24．如图，点I 是△ ABC 的心里， BI 的延伸线与△ ABC 的外接圆⊙ O 交于点 D，与 AC 交于点 E，延伸 CD、 BA 订交于点 F，∠ ADF 的均分线交AF 于点 G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝ 4，BE＝ 5，求BI的长．
参照答案
一．选择题
1．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连结圆上随意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
应选： C．
2．解：连结BD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ ADB＝90°，
∵∠ BAD＝70°，
∴∠ B＝90°﹣∠ BAD ＝20°，
∴∠ ACD＝∠ B＝20°．
应选： A．
3．解：∵点P 对应140°，
∴∠ ABP＝70°，
∵PB＝ PQ，
∴∠ PQB＝∠ ABP＝70°，
应选： B．
4．解：∵∠A＝50°，
∴∠ BOC＝2∠ A＝100°，
∴∠ BOD ＝80°．
又∵ BD ＝BO，
∴∠ BDO ＝∠ BOD ＝80°
∴∠ B＝180°﹣80°﹣80°＝20°．
应选： B．
5．解：∵OD⊥弦BC，
∴∠ BOQ＝90°，
∵∠ BOD ＝∠ A＝60°，
∴OD＝ OB＝1，
应选： C．
6．解：由题意得：AB ＝48÷6＝8，
过 O 作 OC⊥AB，
∵ AB＝ BO＝ AO ＝8，
∴CO＝＝4，
∴正六边形面积为：4× 8××6＝96（m2）；
应选： A．
7．解：∵五边形的内角和为（5﹣2）?180°＝ 540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷ 5＝108°，
如图，延伸正五边形的两边订交于点O，
则∠ 1＝ 360°﹣ 108°× 3＝360°﹣ 324°＝ 36°，360°÷ 36°＝ 10，
∵已经有 3 个五边形，
∴10﹣3＝ 7，
即达成这一圆环还需 7 个五边形．应
选： D．
8．解：∵ PA 、PB 与⊙ O 相切，
∴ PA ＝PB ，∠ PAO ＝∠ PBO ＝ 90°
∵∠ P ＝60°，
∴△ PAB 为等边三角形，∠ AOB ＝ 120°，
∴ AB ＝ PA ＝ 3，∠ OCA ＝ 60°， ∵ AB 为⊙ O 的直径，
∴∠ BAC ＝ 90°．
∴ BC ＝2 ．
∵ OB ＝ OC ，
∴
S
△ AOB
＝
S
△OAC
，
∴ S 暗影 ＝ S 扇形 OAB ＝ ＝π，
应选： B ．
9．解：∵半径为 1 的圆，∠ AOB ＝45°，过点
P 且与 OA 平行的直线与⊙ O 有公共点，
∴当 P ′C 与圆相切时，切点为
C ，
∴ OC ⊥ P ′ C ，
CO
＝1，∠ ′ OC ＝ 45°， ′＝，
P OP
∴过点 P 且与 OA 平行的直线与⊙ O 有公共点，即 0≤ x ≤
，
同理点 P 在点 O 左边时， 0
∴ 0≤ x ≤ ．
应选： C ．
10．解：连结、
OQ 分别与、订交于点
G
、
H
，
OP AC BC
依据中点可得OG+ OH＝（ AC+ BC）＝10， MG+ NH ＝ AC+ BC＝20，∵MP+NQ ＝14，
∴PG+ QH ＝20﹣14＝6，
则 OP+ OQ＝（ OG+ OH）+（ PG+ QH）＝10+6＝16，
依据题意可得 OP、 OQ 为圆的半径， AB 为圆的直径，则
AB＝ OP+ OQ＝16．
应选： D．
11．解：连结OC，过点 A 作 AD ⊥ CD 于点 D，
∵四边形 AOBC 是菱形，
∴OA＝ AC＝
2．∵OA＝OC，
∴△ AOC 是等边三角形，
∴∠ AOC＝∠ BOC＝60°
∴△ ACO 与△ BOC 为边长相等的两个等边三角
形．∵AO＝2，
∴ AD ＝ OA?sin60°＝2×＝．
∴S暗影＝S扇形AOB﹣2S△AOC＝﹣2××2×＝﹣2．应选： D．
12．解：连结OD ，
∵DF 为圆 O 的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ ABC 为等边三角形，
∴ AB＝ BC＝ AC，∠ A＝∠ B＝∠ C＝60°，
∵OD＝ OC，
∴△ OCD 为等边三角形，
∴∠ CDO＝∠ A＝60°，∠ ABC＝∠ DOC＝60°，
∴OD∥ AB，
∴DF⊥ AB，
在 Rt△AFD中，∠ADF＝30°，AF＝2，
∴ AD ＝4，即 AC＝8，
∴ FB＝ AB﹣AF＝8﹣2＝6，
在 Rt△BFG中，∠BFG＝30°，
∴BG＝3，
则依据勾股定理得：FG＝3．
应选：C．
二．填空题（共 5 小题）
13．解：连结OC，
∵AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ACB＝90°，
∵∠ B＝60°，
∴∠ A＝30°，
∴∠ EOC＝60°，
∴∠ OCE＝30°
∵AO ＝ OC＝4，
∴OE ＝ OC＝2，
∴CE＝＝2，
∵直径 AB 垂直于弦 CD，
∴CE＝ DE ，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为： 4 ．
14．解：作BG⊥ AC，垂足为 G．以下图：则 AC＝2AG，∵
AB＝ BC，∴AG＝
CG，
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠ ABC＝120°， AB＝ BC＝4，
∴∠ BAC＝30°，
∴ AG ＝AB?cos30°＝4×＝2，∴AC＝2×2＝4，
∴△ ACE 的周长为3×4＝12 ．
故答案为12．
15．解：∵OD⊥AC，
∴AD ＝ DC，
∵ BO＝ CO，
∴AB＝2OD ＝2×2＝4，
∵ BC 是⊙ O 的直径，
∴∠ BAC＝90°，
∵ OE⊥BC，
∴∠ BOE＝∠ COE＝90°，
∴＝，
∴∠ BAE＝∠ CAE＝∠ BAC＝90°＝ 45°，
∵EA⊥ BD，
∴∠ ABD＝∠ ADB＝45°，
∴AD ＝AB＝4，
∴DC＝ AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC＝＝＝4．
故答案为： 4．
16．解：∵∠BOD＝120°，
∴∠ BCD＝＝ 60°．
∴∠ DCE＝180°﹣60°＝12 0°．
故答案为： 120°．
17．解：如图，连结OE，
∵∠ PEF＝90°﹣∠ OEB＝90°﹣∠ OBE＝∠ OFB＝∠ EFP，
∴PF＝PE，
∵AB＝6， AB ，CD 是⊙ O 的直径，
∴ OE＝OD ＝ OC＝ OB＝ OA＝3，
∵PE切⊙O于 E，
∴∠ PEO＝90°，
在 Rt△OPE中，DP＝ 2，
OP＝3+2＝5，
由勾股定理可得OP2＝PE2+ OE2，
∴52＝PE2+3 2，解得PE＝4，
∴PF＝PE＝4， OF＝ OP﹣ PF＝5﹣4＝1，
∵ AB⊥ CD，
∴∠ BOF＝90°，
在 Rt△OBF中，由勾定理可得BF2＝OB 2+ OF2，即 BF2＝32+12＝10，
∴FB＝．
故答案为：．
三．解答题（共7 小题）
18．证明：（ 1）连结OD，
∵O 是 AB 的中点， D 是 BC 的中点，
∴ OD 是△ ABC 的中位线，
∴OD ∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD ，
∴DE 是⊙ O 的切线；
（ 2）连结AD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ ADB＝90°，
∴AD ⊥ BC，
∵D 是 BC 的中点，
∴ AD 垂直均分 BC，
∴ AB＝ AC．
19．（ 1）证明：连结AC、BD ，如图，∵∠ CAE＝∠ CDB，∠ ACE＝∠ BDE，∴△ ACE∽△ BDE，
∴AE： DE＝ CE： BE，
∴AE?EB＝CE?ED ；
（2）∵OE+ BE＝ 3，OE＝2BE，
∴ OE＝2， BE＝1，
∴ AE＝5，
∴ CE?DE＝5×1＝5，
∵＝，
∴CE＝ DE，
∴DE ?DE ＝5，解得 DE ＝，
∴CE＝3．
∵PB 为切线，∴
PB2＝ PD?PC，
而 PB2＝ PE2﹣ BE2，
∴ PD?PC＝ PE2﹣ BE2，即（ PE﹣）（PE+3）＝PE2﹣1，∴PE＝3
20．（ 1）证明：连结CA，如图1，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AE∥ BC， AB ∥CF，
∴∠ 1＝∠ 2，
∴＝，
∴+＝+，即＝，∴∠BAE＝∠E，
∵ AB∥ CF，
∴∠ 4＝∠BAE，
∵ AF∥CE，
∴∠ E＝∠3，
∴∠ 3＝∠ 4，
∴FA＝FD；
（2）解：连结OA、OC，如图 2，
∵∠ F＝40°，
∴∠ FAD＝∠ FDA ＝70°，
∴∠ E＝∠ FAD ＝70°，∠ BAD ＝∠ FDA ＝70°，
∵∠ AOC＝2∠ E＝140°，
而 OC＝OA，
∴∠ OAC＝（180°﹣140°）＝20°，
∵ AF 为切线，
∴OA ⊥ AF，
∴∠ OAF＝90°，
∴∠ CAB＝∠ BAF﹣∠ OAF﹣∠ OAC＝140°﹣90°﹣20°＝30°．
21．证明（ 1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ ABC＝∠ ACB，∠ CAD＝∠ D
∵∠ ACB＝∠ CAD+∠ D＝2∠ CAD
∴∠ ABC＝∠ ACB＝2∠ CAD
∵∠ CAD＝∠ EBC，且∠ ABC＝∠ ABE+∠EBC
∴∠ ABE＝∠ EBC＝∠ CAD，
∵∠ ABE＝∠ AC E
∴∠ CAD＝∠ ACE
∴CE＝ AE
（2）①当∠ABC＝ 60°时，四边形AOCE是菱形；
原因以下：
如图，连结 OE
∵OA＝ OE， OE＝OC， AE＝ CE
∴△ AOE ≌△ EOC（ SSS）
∴∠ AOE ＝∠ COE，
∵∠ ABC＝60°
∴∠ AOC＝120°
∴∠ AOE ＝∠ COE＝60°，且 OA ＝ OE ＝OC ∴△ AOE ，△ COE 都是等边三角形
∴AO＝ AE＝OE＝ OC＝ CE，
∴四边形 AOCE 是菱形
故答案为： 60°
②如图，过点 C 作 CN⊥AD 于 N，
∵AE＝，AB＝，
∴ AC＝ CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥ AD ∴AN＝DN
在 Rt△ACN中，AC2＝AN2+ CN2，①在
Rt△ECN中，CE2＝EN2+ CN2，②
∴①﹣②得： A C2﹣ CE2＝ AN 2﹣EN 2，
∴8﹣ 3＝（+ EN）2﹣EN2，
∴EN ＝
∴AN＝AE+ EN＝＝DN
∴DE＝DN +EN＝
故答案为：
22．（ 1）证明：如图1，连结AC，BC，
∵ AB 为⊙ O 的直径，
∴∠ ACB＝90°，
∴∠ B+∠ CAO＝90°，
∵CD 为⊙ O 的切线，∴∠
ECA+∠ ACO＝90°，
∵OC＝ OA，
∴∠ ACO＝∠ OAC，
∴∠ ECA＝∠ B，
∵EF＝ CE，
∴∠ ECF＝∠ EFC，
∵∠ ECF＝∠ ECA +∠ ACG，∠ EFC＝∠ GAF+∠ G，
∵∠ ECA＝∠ B＝∠ G，
∴∠ ACG＝∠ GAF＝∠ GCH ，
∴；
（ 2）解：过点 E 作 EN ⊥DA，连结 OC， OG， OG 与 AH 交于点 M，∵，
∴OG⊥ AH ， AM＝ MH＝，
∵ CD 是⊙ O 的切线，
∴∠ DCO＝90°，
设 CO＝ x，
∵sin∠CDO＝＝，∴
DO ＝3x，
∴CD＝＝＝2，
∵E 为 DC 的中点，
∴CE＝ DE＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴，
∵∠ EAN ＝∠ OAM ，∠ ENA ＝∠ OMA ，
∴△ AEN ∽△ AOM ，
∴，
∴，
∴OM＝，
在 Rt△AOM中，OA＝．
∴⊙ O 的半径为3．
23．解：（ 1）连结OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图 1，
∵∠ ABC＝120°，
∴∠ AMC＝180°﹣∠ ABC＝60°，
∴∠ AOC＝2∠ AMC＝120°，
∴∠ AOH ＝∠ AOC＝60°，
∵AH＝ AC＝，
∴OA＝，
故⊙ O 的半径为2．
（ 2）证明：在BM 上截取 BE＝ BC，连结 CE，如图2，
∵∠ MBC＝60°， BE＝ BC，
∴△ EBC 是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠ BCD+∠ DCE＝60°，
∵∠ ACM＝60°，
∴∠ ECM+∠DCE ＝60°，
∴∠ ECM＝∠ BCD，
∵∠ABC＝120°，BM 均分∠ABC，
∴∠ ABM＝∠ CBM＝60°，
∴∠ CAM＝∠ CBM＝60°，∠ ACM＝∠ ABM＝60°，∴△ ACM 是等边三角形，
∴AC＝ CM，
∴△ ACB≌△ MCE，
∴AB＝ ME，
∵ME+ EB＝ BM，
∴ AB+ BC＝ BM．
24．（ 1）证明：∵点I 是△ ABC 的心里，
∴∠ 2＝∠ 7，
∵DG 均分∠ ADF ，
∴∠ 1＝∠ADF，
∵∠ ADF＝∠ ABC，
∴∠ 1＝∠ 2，
∵∠ 3＝∠ 2，
∴∠ 1＝∠ 3，
∴DG ∥ AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的心里，
∴∠ 5＝∠ 6，∵∠ 4＝∠ 7+ ∠5＝∠
3+ ∠ 6，
即∠ 4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠ 3＝∠ 7，∠AED＝∠BAD，
∴△ DAE ∽△ DBA ，
∴ AD ： DB＝ DE ：DA ，即 AD：9＝4： AD，
∴AD＝6，
∴DI ＝6，
∴ BI＝ BD﹣ DI＝9﹣6＝3．
人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试题（含答案）一、选择题 ( 每题 4 分，共 32 分 )
1．用反证法证明时，假定结论“点在圆外”不建立，那么点与圆的地点关系只好是
()
A．点在圆内B．点在圆上
C．点在圆心上D．点在圆上或圆内
2．如图 1， AB为⊙ O的直径， CD是⊙ O的弦，∠ ADC＝ 35°，则∠ CAB的度数为 ()
图 1
A． 35°B． 45°
C． 55°D． 65°
3．已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为 6 cm，则圆锥的侧面积是 ()
A． 18π cm2B． 27π cm2
22
C． 18 cm D． 27 cm
4．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完整覆遮住的正六边形的边长最大不可以超
过()
A． 12 mm B． 12 3 mm
C． 6 mm D． 6 3 mm
5．如图 2，半圆的直径 BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完整重合，若 BC＝ 4，则图中暗影部分的面积是 ()
图 2
A． 2＋πB． 2＋ 2π C ． 4＋πD． 2＋ 4π
6．如图 3，四边形 ABCD内接于⊙ O，点 I 是△ ABC的心里，∠ AIC＝ 124°，点 E 在 AD 的延伸线上，则∠CDE的度数为 ()
图 3
A． 56°B． 62°C． 68°D． 78°
7．如图 4，已知⊙ O 的半径为5，弦 AB， CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠ COD，若∠AOB与∠ COD互补，弦 CD＝ 6，则弦 AB 的长为 ()
图 4
A． 6B． 8C．5 2D．5 3
︵︵︵
8．如图 5，在⊙ O中， AB 是⊙ O的直径， AB＝ 10， AC＝ CD＝ DB，点 E 是点 D 对于 AB的
1
对称点， M是 AB上的一动点，有以下结论：①∠ BOE＝ 60°；②∠ CED＝∠ DOB；③ DM⊥ CE；
2
④CM＋ DM的最小值是10. 上述结论中正确的个数是()
A． 1B． 2C． 3图 5 D． 4
二、填空题( 每题 5 分，共35 分)
9．已知正方形ABCD的边长
为1，以点A 为圆心， 2 为半径作⊙A，则点C在
________(
填
“圆内”“圆外”或“圆上”) ．
10．如图 6 所示，一个宽为 2 厘米的刻度尺( 刻度单位：厘米 ) 放在圆形玻璃杯的杯口上，
刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰巧是 3 和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．
图 6
︵
11.如图 7， PA，PB分别切⊙ O于 A，B 两点， C 是 AB上的一点，∠ P＝40°，则∠ ACB的度数为 ________．
图 7
12．如图 8，在△ ABC中， AB＝ AC＝ 10，以 AB为直径的⊙ O与 BC交于点 D，与 AC交于点 E，连结 OD交 BE于点 M，且 MD＝ 2，则 BE的长为 ________．
图 8
13．如图 9，△ABC是正三角形，曲线 CDEF叫做正三角形的渐开线，此中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心挨次是 A， B， C，假如 AB＝1，那么曲线 CDEF的长为 ________．
图 9
CAB＝ 30°， BC＝ 2，O， H分别为边AB， AC 14．如图10，Rt △ABC中，∠ ACB＝ 90°，
∠
B 顺时针旋转120°到△A1BC1的地点，则整个旋转过程中线段OH所的中点，将△ABC绕
点
扫过部分的面积( 即暗影部分面积) 为 ________．
图 10
15．如图 11，给定一个半径为 2 的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d，即 OM＝ d. 我们把圆上到直线l 的距离等于 1 的点的个数记为m.如 d＝0 时，l 为经过圆心O的一条直线，
此时圆上有四个到直线l 的距离等于 1 的点，即m＝ 4，由此可知：
图 11
(1)当 d＝ 3 时， m＝ ________；
(2)当 m＝ 2 时， d 的取值范围是
________．三、解答题 ( 共 33 分)
16． (10 分 ) 如图 12， AN是⊙ M的直径， NB∥x 轴， AB交⊙ M于点 C.
(1)若点 A(0 ， 6) ， N(0 ，2) ，∠ ABN＝ 30°，求点 B 的坐标；
(2)若 D 为线段 NB的中点，求证：直线 CD是⊙ M的切线．
图 12
17． (10 分) 已知 AB 是⊙ O的直径， AT 是⊙ O的切线，∠ ABT＝ 50°， BT 交⊙ O于点 C，
E 是 AB上一点，连结 CE交并延伸⊙ O于点 D.
(1) 如图 13①，求∠ T 和∠ CDB的大小；
(2)如图 13②，当 BE＝ BC时，求∠ CDO的大小．
图 13
18．(13 分 ) 如图 14，AB是⊙ O的直径， BC是⊙ O的弦，半径OD⊥ BC，垂足为 E，若 BC ＝6 3，DE＝ 3. 求：
(1)⊙O的半径；
(2)弦 AC的长；
(3)暗影部分的面积．
图 14
1．D 2.C 3．A4．A
5．A 6．C 7．B 8．C
9．圆上
13
10. 411 ． 110°
12． 8
13． 4π
14．π[
15． (1)1(2)1 ＜ d＜ 3
16．解： (1) ∵ A(0 ， 6) ，N(0 ， 2) ，∴ AN＝4.∵∠ ABN＝ 30°，∠ ANB＝90°，
∴AB＝2AN＝ 8，
∴由勾股定理，得NB＝
22
3 ，∴ B(43，2) ．AB－ AN＝4
(2)证明：连结 MC， NC，如
图．∵ AN是⊙ M的直径，
∴∠ ACN＝ 90°，
∴∠ NCB＝ 90° .
在 Rt△ NCB中，∵ D 为 NB的中点，
1
∴CD＝2NB＝ ND，∴∠ CND＝∠ NCD.
∵MC＝MN，∴∠ MCN＝∠ MNC.
又∵∠ MNC＋∠ CND＝ 90°，
∴∠ MCN＋∠ NCD＝ 90°，
即 MC⊥ CD.
∴直线 CD是⊙ M的切线．
17．解： (1) 如图①，连结AC，
∵AB是⊙O的直径，AT 是⊙O的切线，
∴ AT⊥AB，
即∠ TAB＝ 90° .
∵∠ ABT＝ 50°，
∴∠ T＝ 90°－∠ ABT＝ 40° .
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ACB＝ 90°，
∴∠ CAB＝ 90°－∠ ABT＝40°，
∴∠ CDB＝∠ CAB＝ 40° .
(2)如图②，连结 AD，
在△ BCE中， BE＝ BC，∠ EBC＝ 50°，
∴∠ BCE＝∠ BEC＝ 65°，
∴∠ BAD＝∠ BCD＝ 65° .
∵OA＝OD，∴∠ ODA＝∠ OAD＝ 65°.
∵∠ ADC＝∠ ABC＝ 50°，
∴∠ CDO＝∠ ODA－∠ ADC＝ 15° .
18．解： (1) ∵半径 OD⊥BC，∴ CE＝ BE.
∵BC＝ 6
人教版九年级数学上册第24 章圆单元测试题（含答案）
一、选择题 (每题 3 分，共 24 分 )
1．已知⊙ O 的半径为 5 cm，点 P 在直线 l 上，且点 P 到圆心 O 的距离为 5 cm，则直。